第8章2拉普拉斯变换存在定理性质
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拉普拉斯变换
在半平面 Re s > C 上一定存在.此时右端的积分绝对 收敛而且一致收敛.并且在此半平面内 F s 为解析 函数
1.3 一些常用函数的拉普拉斯变换
例1 求单位脉冲函数 t 的拉氏变换
解
ℒ (t ) 0 (t ) e st dt 1
t 1
所以
f t 1 et
s s s5 例14 已知 F s 求 f (t ) s 3 2 s s s5 5 2 解 F s s s 1 s s
3 2
所以
f t t t t 5
求 f (t ) s 2 9 2 s 2 2s 5 1 3 解 F s 2 2 2 2 2 3 s 2 9 s 2 3 s 2 3
0
我们称上式为函数
f (t ) 的拉普拉斯变换式 ,记做
F ( s ) ℒ f (t ) F ( s) 叫做 f (t ) 的拉氏变换,象函数.
f (t ) 叫做 F ( s ) 的拉氏逆变换,象原函数, f (t ) = ℒ
1
F ( s)
1.2 拉普拉斯变换存在定理
若函数 f (t ) 满足下列条件 Ⅰ 在 t 0 的任一有限区间上连续或分段连续,
3.1 利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆 变换 一些常用函数的拉氏变换
(t ) 1
1 e sk
kt
1 u (t ) s
tn n! s n 1
k sin kt 2 s k2
s cos kt 2 s k2
拉氏逆变换的性质 1 ℒ F 1 (s) F 2 (s) f1 (t ) f 2 (t )
拉普拉斯变换性质
F ( s a)
注： 这个性质表明了一个象原函数乘以指数函数 e 后取Laplace变换等于将其象函数作位移。
at
例5：求 L[eat t m ]
解：
已经知道：
m L t
(m 1) s m 1
根据上述位移性质可知：
(m 1) L e t ( s a)m1
•在半平面Re(s)>c上一定存在, •右端的积分在Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, •并且在Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数。
§2.2 拉普拉斯变换的性质
1、线性性质 2、微分性质 3、积分性质 4、位移性质 5、延迟性质 6、初值定理与终值定理
*
1 线性性质
若 , 是常数， 设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
4 位移性质
设 L f t F s
,
at L e 则有： f t F s a
, (Re( s a ) 0)
证： 有如下
L[e f (t )] eat f (t ) e st d t
at 0
0
f (t ) e ( s a )t d t
F1 s F2 s
f1 t f2 t .
注： 这个性质表明函数线性组合的Laplace变换等于各函数Laplace变换 的线性组合。
设 f1 t , f2 t , 满足拉普拉斯变换存在条件，
L f1 t F1 s ,
L f1 t F1 s
则有：
,
L f2 t F2 s
拉普拉斯变换
工程数学 --------- 积分变换
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例1. 设函数 f1(t) t, f2(t) sin t, 求 f1(t) * f2 (t).
解:
t
t *sin t sin( t )d
0
cos(t ) t
t
cos(t )d
00
t sin t
工程数学 --------- 积分变换
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象函数微分性质
1[F(s)] tf (t)
或
[tf (t)] d [ f (t)]
ds
一般地
1[F (n) (s)] (1)n t n f (t)
或
[t n f (t)] (1)n F (n) (s)
工程数学 --------- 积分变换
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工程数学 --------- 积分变换
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例2. 求函数 f (t) u(t )的Laplace 变换.
解: [u(t )] es [u(t)] 1 es
s 例3. 求函数 f (t) ebt cos at的 Laplace 变换.
解:
[cos
at]
s2
s
t
1[ 1
s
s
1 2
] 1
t
sin tdt
0
1 cost
工程数学 --------- 积分变换
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例11. 计算积分 1 cos t etdt.
0
t
解: [1 cos t ]
t
ds s s(s2 1)
1 [ ss
s
s2
积分变换第2讲x
说明：凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变 换存在定理的条件，并且把这些函数的增长指数 都统一地取为C.
1、线性性质 若, 为常数，则
L L L [f 1 ( t ) f 2 ( t ) ][ f 1 ( t ) ][ f 2 ( t )]
证明：根据定义和积分的性质即可证明.
拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来.
于是
0
s titn dt0 s21 1d sarc|0 t2 a.n
思考题： sint etdt ?
0t 22
4、位移性质 若 L[f(t)]F(s)则 ,
L [ e s 0 tf(t) ] F (s s 0 ),R s s e 0 ) ( c .
或者
L 1 [F (s s 0 ) ] e s 0 tL 1 [F (s ) ] e s 0 tf(t).
若 L[f(t)]F(s)则 ,
L[f(t)]
F(s)d.s
(*)
t
s
特别地，在*式中令s=0，则
f(t)
0 t dt0 F(s)d.s
21
例4 求 f (t) sint 的拉氏变换. t
解：因为
L[sint]
1
s2
, 1
所以
L [stit]n s s21 1d sarc | s t2 a a nrc s.tan
解：因为 f(m)(t)m!, 所以
L [f(m )(t) ]s m F (s ) s m 1 f(0 ) s m 2f'(0 ) f(m 1 )(0 )
s m F (s ),
于是 sm L[f(t) ]L[m !]m !L[1 ]m !1,
s
L[tm]
m! sm1
1、线性性质 若, 为常数，则
L L L [f 1 ( t ) f 2 ( t ) ][ f 1 ( t ) ][ f 2 ( t )]
证明：根据定义和积分的性质即可证明.
拉氏逆变换也有类似的性质，请自己写出来.
于是
0
s titn dt0 s21 1d sarc|0 t2 a.n
思考题： sint etdt ?
0t 22
4、位移性质 若 L[f(t)]F(s)则 ,
L [ e s 0 tf(t) ] F (s s 0 ),R s s e 0 ) ( c .
或者
L 1 [F (s s 0 ) ] e s 0 tL 1 [F (s ) ] e s 0 tf(t).
若 L[f(t)]F(s)则 ,
L[f(t)]
F(s)d.s
(*)
t
s
特别地，在*式中令s=0，则
f(t)
0 t dt0 F(s)d.s
21
例4 求 f (t) sint 的拉氏变换. t
解：因为
L[sint]
1
s2
, 1
所以
L [stit]n s s21 1d sarc | s t2 a a nrc s.tan
解：因为 f(m)(t)m!, 所以
L [f(m )(t) ]s m F (s ) s m 1 f(0 ) s m 2f'(0 ) f(m 1 )(0 )
s m F (s ),
于是 sm L[f(t) ]L[m !]m !L[1 ]m !1,
s
L[tm]
m! sm1
拉普拉斯变换的基本性质
所以
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s)
例：已知
求
f1 (t ) f2 (t )
的拉普拉斯变换
F( s)
解：F(s) F1 (s) F2 (s)
1 1 s 1 1 s 1 (s 1)(s 2) (s 1)(s 2) s 2
说明：前面求正余弦信号的拉普拉斯变换时已经用到了线性性。
二．延时（时域平移）
证明：
L f (t )e
α t
α t st f ( t )e e d t F (s α) 0
例：求 e α t cos ω0t 的拉氏变换
解：已知 : L cos(ω0t )u (t )
t
sα 所以 e cos(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0 ω0 t 同理 : e sin(ω0t )u (t ) 2 ( s α ) 2 ω0
所以
1 1 F ( s) F1 ( s ) 2 (1 e2 s )2 s 2s
七．s 域微分定理
若
L f (t ) F (s ) d F ( s) L tf (t ) ds n d F ( s) n L (t ) f (t ) d sn
则
n 取正整数
(2)信号一定是右移 (3)表达式
所表示的信号不能用时移性质
二．延时（时域平移）
例：已知
1 f (t ) 0
0<t <t0
其余
求
F( s)
解： 因为
所以
f (t ) u (t ) u (t t 0 )
拉普拉斯定理
拉普拉斯定理拉普拉斯定理（Laplace's theorem），又称拉氏变换定理（Laplace transform theorem），是拉普拉斯变换理论中的重要定理之一。
它描述了一个函数经过拉普拉斯变换后的性质，被广泛应用于各个科学领域，如物理学、工程学等。
下面将详细介绍拉普拉斯定理的定义、性质以及应用。
首先，我们需要了解拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换是一种将一个时间或空间域函数转化为一个复平面上的函数的数学工具。
对于一个函数f(t)，它的拉普拉斯变换表示为F(s)，其中s是复变量。
拉普拉斯变换可以将原函数从时间域转换到频率域，从而方便地进行信号分析和处理。
拉普拉斯定理是指当函数f(t)及其导数在t=0存在时，它们的拉普拉斯变换具有以下性质：1. 常数项性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(t)中的常数项c的拉普拉斯变换为c/s。
这意味着拉普拉斯变换可以方便地处理包含常数项的函数。
2. 积分性质：如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么∫[0,t]f(u)du 的拉普拉斯变换为F(s)/s。
这个性质对于计算函数的积分非常有用，并且可以简化一些复杂的积分计算。
3. 初值定理：如果f'(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么f(0)的拉普拉斯变换为lim(s->∞)sF(s)。
这个定理描述了函数f(t)在t=0处的初始值与其拉普拉斯变换之间的关系。
4. 终值定理：如果lim(t->∞)f(t)存在，并且函数f(t)的拉普拉斯变换为F(s)，那么lim(s->0)sF(s)为f(t)的终值。
这个定理描述了函数f(t)在t趋近于无穷大时的极限与其拉普拉斯变换之间的关系。
拉普拉斯定理的这些性质可以方便地用于求解微分方程、差分方程以及其他许多数学问题。
它可以将一个复杂的微分方程转化为一个简单的代数方程，从而更加容易通过数值方法求解。
此外，拉普拉斯定理还在控制系统理论中有广泛的应用。
拉普拉斯变换及其基本性质(“函数”相关文档)共62张
K 2(s2j3)F (s)s 2j3s s2 5j3s 2j30.5j0.50.52ej45
即
F (s )
K 1
K 2
0 .52 e j4 5 0 .52 e j4 5
(s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 ) (s 2 j3 )
其中α=2,ω=3,θ=–45°，查表可得出
(2) K的象函数为
F(s)L[K]K estdtK(e sst) 0K s
0
(3) 单位冲击函数δ(t) 的象函数
δ(t)函数定义
(t ) 0
t 0
t
0
(t)dt 1
δ(t)函数意义:t≠0时,δ(t)=0 。当t=0 时是一个面积
为1，但宽度极为窄小而幅度极大的脉冲。
δ(t) 的象函数为
F(s)K1 K2 Kn
sp1 sp2
spn
式中K1、K2…Kn是待定系数。上式两边都乘以(s–P1)，则
(sp1)F (s)K 1(sp1) s K 2 p2s K n pn
令s=P1 代入，则等号右边除K1项之外其余项为零，故得
同理得出
K 1(s p 1 )F (s)s p 1 K2 (sp2)F(s) sp2
f(t)
把
改写为
由象函数求原函数
【例9-1】求下列原函数的象函数
(1) 单位阶跃函数ε(t)；
(2) 实常数K；
(3) 单位冲击函数δ(t) ；
(4) 指数函数 e;at
解 对于以上几个原函数，直接用拉普拉斯变
换式
(1)
ε(Ft)(的s)象0函 求f(数t取)e为。stdt
F (s ) L [(t)]0 (t)e s td t0 e s td t e s s t 0 1 s
第八章拉普拉斯变换剖析
第八章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换 拉氏变换的基本公式和性质
拉氏逆变换
第八章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ
0时有定义，而且积分
0
f
(t)est dt
（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此
积分决定的函数可写为
F
(s)
0
f (t)est dt,
f t nT f t,0 t T, n 1 则f t的拉氏变换为
L f
t
1
1 esT
T
0
f
testdt,Res 0
(2.2.13)
二、拉氏变换的性质
设 L f t FsRes c L f1t F1s L f2t F2 s 则有
(1) 线性性质（设α、β为常数）
L αf1t βf2t αF1s βF2s. (2.2.14)
Lf (Leabharlann )f (t)est dt,
0
L
f (t)
f (t)est dt
0
0 0
f
(t)est dt
R
f (t)
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
一、常用函数的拉氏变换公式
(1) Lut 1 ,Res 0 (2.2.1)
s
(2) L ekt 1 , Res k (2.2.2) sk
推论 = L f nt snFs sn1 f 0 sn2 f '0 f n10,Res c (2.2.18) 特别地，当初值 f 0 f ' 0 f n10 0时，有
L f nt snFs (2.2.18)
(5)积分性质
拉普拉斯变换 拉氏变换的基本公式和性质
拉氏逆变换
第八章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ
0时有定义，而且积分
0
f
(t)est dt
（s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此
积分决定的函数可写为
F
(s)
0
f (t)est dt,
f t nT f t,0 t T, n 1 则f t的拉氏变换为
L f
t
1
1 esT
T
0
f
testdt,Res 0
(2.2.13)
二、拉氏变换的性质
设 L f t FsRes c L f1t F1s L f2t F2 s 则有
(1) 线性性质（设α、β为常数）
L αf1t βf2t αF1s βF2s. (2.2.14)
Lf (Leabharlann )f (t)est dt,
0
L
f (t)
f (t)est dt
0
0 0
f
(t)est dt
R
f (t)
§2.2 拉氏变换的基本公式和性质
一、常用函数的拉氏变换公式
(1) Lut 1 ,Res 0 (2.2.1)
s
(2) L ekt 1 , Res k (2.2.2) sk
推论 = L f nt snFs sn1 f 0 sn2 f '0 f n10,Res c (2.2.18) 特别地，当初值 f 0 f ' 0 f n10 0时，有
L f nt snFs (2.2.18)
(5)积分性质
拉普拉斯变换的基本性质
§ 4.3 拉普拉斯变换的基本性质主要内容线性；原函数微分；原函数积分；延时（时域平移）；s 域平移；尺度变换；初值；终值 卷积；对s 域微分；对s 域积分一．线性例题： 已知则同理二．原函数微分证明：推广：电感元件的s 域模型 [][][])()()()( ,),()( ),()( 22112211212211s F K s F K t f K t f K L K K s F t f L s F t f L +=+==则为常数，若()tj t j e e t t f ωωω-+==21)cos()([]αα+=-s e L t 1()[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-=ωωωj s j s t L 1121cos 22ω+=s s ()[]22sin ωωω+=s t L [])0()(d )(d ),()(--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=f s sF t t f L s F t f L 则若()()()())(0 d d 000s sF f t e t sf e t f t e t f st st st +-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--='-∞∞--∞⎰⎰()()[])0()0()( )0(0d )(d 22----'--='--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡f sf s F s f f s F s t t f L ∑-=----=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10)(1)0()(d )(d n r r r n n n f ss F s t t f L设应用原函数微分性质三．原函数的积分证明：① ② ()s s F =电容元件的s 域模型)(t i+-)(t v L L t t i L t v LL d )(d )(=[][])()(),()(s V t v L s I t i L L L L L ==[])0()()0()()(---=-=L L L L L Li s I sL i s sI L s V()s V L +-[]，则若)()(s F t f L =()s f s s F f L t )0()(d )(1--∞-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰ττ()()()ττττττd d d 00⎰⎰⎰+=∞-∞-t t f f f ① ② ()()01-f ()()s f 01-→()⎰⎰∞-⎥⎦⎤⎢⎣⎡00d d t e f st t ττ()()⎰⎰-∞-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=t st t st t e t f s f s e 000d 1d ττ()⎰-=t st te tf s 0d 1+-)t v C C ⎰∞-=t c C i C t v ττd )(1)([][])()( ),()(s V t v L s I t i L C C C C ==设四．延时（时域平移）证明：0)(st e s F -=五．s 域平移证明：六．尺度变换证明：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=--s i s s I C s V C C C )0()(1)()1()0(1)(1-+=C C v s s I sCsC 1()-01C v s +-()s V C[][]0)()()( )()(00st e s F t t u t t f L s F t f L -=--=，则若[]⎰∞----=--00000d )()()()(t e t t u t t f t t u t t f L st ⎰∞--=0d )(0t st t e t t f ，令0t t -=τ代入上式则有,d d ,0ττ=+=t t t []⎰∞---=--000d )()()(0τττs st e e f t t u t t f L [][])()( )()(αα+==-s F e t f L s F t f L t ，则若[])(d )()(0ααα+==⎰∞----s F t e e t f e t f L st t t [][]()0 1)( ),()(>⎪⎭⎫ ⎝⎛==a a s F a at f L s F t f L 则若[]⎰∞--=0d )()(t e at f at f L st时移和标度变换都有时:七．初值八．终值终值存在的条件:证明：根据初值定理证明时得到的公式九．卷积，则令at =τ[]⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=0d )()(a e f at f L a s τττ⎰∞⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0d )(1τττa s e f a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=a s F a 1[]()0,0 1)()(>>⎪⎭⎫ ⎝⎛=---b a e a s F a b at u b at f L a b s 若)(lim )0()(lim ),()(d )(d )(0s sF f t f s F t f t t f t f s t ∞→+→==−→←+则可以进行拉氏变换，且及若()应化为真分式：不是真分式若,s F k s F s F -=)()(1[][])(lim )(lim )(lim )0(0t f ks s sF k s F s f t s s +→∞→∞→+=-=-=()()()项。
拉普拉斯变换
∫ ∫ d F(p) = d
dp
dp
+∞ f (t)e−ptdt =
0
+∞ 0
∂ ∂p
⎡⎣
f
(t)e−
pt
⎤⎦
dt
≤
(σ1
M −σ0
)2
故 F( p) 的导数在 Re p = σ > σ 0 上处处存在且有限，
可见 F( p) 在半平面 Re p = σ > σ 0 内解析。
G-函数(gamma函数)简介, 在工程中经常应用的G-函数定义为
第八章 拉普拉斯变换
拉普拉斯变换理论（又称为运算微积分，或称为算 子微积分）是在19世纪末发展起来的．首先是英国工程 师亥维赛德(O.Heaviside)发明了用运算法解决当时电工 计算中出现的一些问题，但是缺乏严密的数学论证．后 来由法国数学家拉普拉斯(place)给出了严密的数 学定义，称之为拉普拉斯变换方法．
积分．又称为黎曼－梅林反演公式，这就是从像函数求原 函数的一般公式．
∫ 注意：公式 F ( p) = +∞ f (t)e− ptdt 0
和公式
∫ f (t) = 1 β +i∞ F ( p)e ptdp, (t > 0) 2πi β −i∞
构成一对互逆的积分变换公式，也称 f (t)和 F ( p)构成
∫ [ ] ∫ [ ] +∞ ∂ f (t)e−pt dt ≤ +∞ ∂ f (t)e− pt dt
0 ∂p
0 ∂p
∫≤
+∞ 0
M
t
e
−(σ
1
−σ
0
)
t
dt
=
(σ
1
拉普拉斯变换
=
1 s3
∫ 进 而 有
L[ t 3 ε (t )] = 3!
⎡ L⎢
⎢⎣
t t2 0− 2
⎤ ε (t) d t⎥
⎥⎦
=
1⋅ 1 s s3
=
1 s4
L
⎡ ⎢ ⎣
t n−1 (n − 1)!
ε
⎤ (t)⎥
⎦
=
1 sn
；
反过来有
L− 1
⎡1 ⎢⎣ sn
⎤ ⎥⎦
=
t n−1 ε (t) (n − 1)!
∴ L[ s i n ε (t) = L[ 1 e jω tε (t) − 1 e − jω tε (t) ]
2j
2j
= 1 { L [ e jω t ε ( t ) ] − L [ e ε − jω t ( t ) ]} 2j
= 1( 1 − 1 ) 2 j s − jω s + jω
= 1 ⋅ 2 jω =
记 入 f(0-)到 f(n-1)(0-)共 n 个 原 始 值
例 8-2-2 某动态电路的输入—输出方程为
d2 d t2
r
(t) +
a1
d dt
r
(t) +
a0
r
(t )
=
b1
d dt
e (t) +
b0
e (t)
原 始 值 为 r(0-)及 r/(0-) ， 原 始 值 为 e(0-)=0， 求 r(t)的 象 函 数 。 解： 设 r(t)， e(t)均可进行拉氏变换即有
∫ F ( S ) = ∞ f (t ) ε （ t ) e − s t d t 0−
其 中积分下 标取 0-而 不是 0 或 0+ ，是为 了将冲激 函数 δ(t)及其导函 数 纳入拉普拉斯变换的范围。
第8章 拉普拉斯变换
0
的，故有界. 即存在常数 M ，对任意的 t 0 成立 | (t ) | M 因此，当 Re s 1 时
t
lim e
0
( s s1 ) t
(t ) 0
0
f (t )e dt
st
e ( s s1 )t (t )dt
( s s1 ) t 0 0
d M st t [ f (t )e ] dt Mte dt 2 所以 0 0 ds d 由此可见， [ f (t )e st ]dt 在半平面 Re s c1 c0 内也是绝 0 ds
.
对收敛并且一致收敛.
从而微分积分的次序可以交换，即
(t ) e
( s s1 )
1
0
(t )e ( s s )t dt
1
( s s1 )
(t )e ( s s )t dt
Re( s s1 ) 0 上收敛且为解析函数.（1）得证.
因右端积分
0
(t )e ( s s )t dt 绝对收敛，故左端积分在
st
这个积分在 Re s k 时收敛，而且有 1 ( s k ) t 0 e dt s k 1 kt 所以，L [e ] (Res k ).
sk
L [ f (t )]
0
e e dt
kt st
0
e ( s k )t dt.
本章从克服傅氏变换中两大缺点的讨论开始，引入拉氏变 换的概念，揭示拉氏变换和傅氏变换的关系，在给出一些常见 函数的拉氏变换后，再深入地研究拉氏变换的一系列的重要性 质. 最后讨论拉氏逆变换以及拉氏变换的一些重要应用.
的，故有界. 即存在常数 M ，对任意的 t 0 成立 | (t ) | M 因此，当 Re s 1 时
t
lim e
0
( s s1 ) t
(t ) 0
0
f (t )e dt
st
e ( s s1 )t (t )dt
( s s1 ) t 0 0
d M st t [ f (t )e ] dt Mte dt 2 所以 0 0 ds d 由此可见， [ f (t )e st ]dt 在半平面 Re s c1 c0 内也是绝 0 ds
.
对收敛并且一致收敛.
从而微分积分的次序可以交换，即
(t ) e
( s s1 )
1
0
(t )e ( s s )t dt
1
( s s1 )
(t )e ( s s )t dt
Re( s s1 ) 0 上收敛且为解析函数.（1）得证.
因右端积分
0
(t )e ( s s )t dt 绝对收敛，故左端积分在
st
这个积分在 Re s k 时收敛，而且有 1 ( s k ) t 0 e dt s k 1 kt 所以，L [e ] (Res k ).
sk
L [ f (t )]
0
e e dt
kt st
0
e ( s k )t dt.
本章从克服傅氏变换中两大缺点的讨论开始，引入拉氏变 换的概念，揭示拉氏变换和傅氏变换的关系，在给出一些常见 函数的拉氏变换后，再深入地研究拉氏变换的一系列的重要性 质. 最后讨论拉氏逆变换以及拉氏变换的一些重要应用.
8-1,2拉普拉斯变换的概念
L[ f (t )] sF ( s ) f (0)
若f ( t ), f ( t ), , f ( n ) ( t )都是像原函数, 则
L[ f
( n)
( t )] s F ( s ) s
n
n 1
f ( 0) s
n 2
(0) f ( n1) (0) f
像函数微分性质
L[ f 2 ( t )] F2 ( s ), 则有
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s )F2 ( s ),
L [ F1 ( s )F2 ( s )] f1 ( t ) f 2 ( t ).
卷积定义
1
f1 ( t ) f 2 ( t )
f1 (t ) f 2 ( )d
Ts 2Ts 3Ts
L[ f ( t )] F1 ( s ) e
F1 ( s ) e
F1 ( s ) e
T 0
F1 ( s )
st
F1 ( s ) L[ f ( t )] 1 e Ts
F1 ( s) f1 (t )e dt
17
例4 求L[| sint |]. 全波整流后的正弦波
解: T , L[| sint |]
F1 ( s ) 1 Ts Ts 1 e 1 e
e 1 1 e Ts
st
| sin t |
T t
T
0
e
st
sintdt
T 0
分部积分两次
( s sint cos t ) s2 2
1 e Ts
即像原函数都满足 f ( t ) 0, t 0
拉普拉斯变换性质
第
例
求e−α t cosω t的拉氏变换 0
16 页
s 已知: L[cos(ω0t )u(t)] = 2 2 s + ω0
所以 e
−α t
s +α cos(ω0t )u(t) ↔ 2 2 (s + α) + ω0
ω0 sin (ω0t )u(t) ↔ 2 2 (s + α) + ω0
同理: e
−α t
4 页
式中f(0-)及f(n)(0-)分别表示f(t)及f(t)的n阶微分f(n)(t)在 t=0-时的值。 若f(t)为单边信号,则f(0-)=0，可简化为
d [ f (t )u (t )] L{ } = sF ( s ) dt
第
证
∞ df (t ) ∞ df (t ) − st L =∫ e dt = ∫ e − st df (t ) 0_ 0_ dt dt
∞ − st ∞ 0 0
− st
dt
= ∫ k1 f1 (t )e dt + ∫ k2 f 2 (t )e − st dt = k1F1 ( s ) + k2 F2 ( s )
第
例
3 页
第
原函数微分性质
若
L[ f (t )] = F ( s ), 则 df (t ) L[ ] = sF ( s ) − f (0 _) dt d 2 f (t ) L[ ] = s 2 F ( s ) − sf (0 _) − f ' (0 _) dt 2 n −1 d n f (t ) n L[ ] = s F ( s ) − ∑ s n − r −1 f ( r ) (0 _) dt n r =0
08章 拉普拉斯变换
L
s [cos kt] s2 k 2
L
[shkt]
s2
k
k
2
(Re s Im k ) (Re s Re k )
L [chkt] s (Re s Re k )
s2 k2
(Re s Re k)
L
[tm ]
(m 1) sm1
m! sm1
(m非负整数, Re
s
0)
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
另外，在物理、线性控制等实际应用中，许多以时间为自 变量的函数，往往当t<0时没有意义，或者不需要知道t<0 时的情况，因此傅里叶变换要求的函数条件比较强，这就 限制了傅里叶变换应用的范围．
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换 为了解决上述问题而拓宽应用范围，人们发现对于任意一个
实函数f(t)可以经过适当地改造以满足傅氏变换的基本条件．
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
g(t) et f (t), ( 0)
G() F [g(t)] g(t)eitdt f (t)e( i)tdt
0
0
上式即可简写为 拉普拉斯变换的核
F (s) f (t)estdt, ( s i) 0
G(ω)的 Fourier逆变换
(2)相似性质 L [ f (at)] 1 F ( s )
aa
证：令u=at
L
[ f (at)]
f (at)estdt
1
st
f (u)e a du
1
F(s)
0
0a
aa
复变函数与积分变换
第8章 拉普拉斯变换
例8.15 求拉氏变换 L [sin kt]
复变函数与积分变换-第八章-Laplace变换
e 2j
jkt
e st dt
例3： 解：
求函数 f (t ) t m （m为正整数）的 Laplace变换。
1 m st m 1 st [ t e mt e dt ] L [t ] t e dt | 0 0 0 s m m m 1 st [ t m 1］ (Re(s) 0) t e dt L ［ s s 0 m m( m 1) m m 1 m2 故 L [t ] L [t ] L [ t ] 2 s s m! m( m 1) 2 1 m 1 L [ u ( t )] s sm
证明：
L [u(t ) f (t )]
st
0
u(t ) f (t )e st dt
s ( x ) dx f ( t )e dt 0 f ( x )e
x t
e
s
0
f ( x )e
sx
0
t
称为函数 f1 ( t )和 f 2 ( t )的拉氏卷积，有时也记为 ( L ) f1 ( t ) f 2 ( t ) 。
2、拉氏卷积和傅氏卷积的关系
( L ) f1(t ) f 2 (t ) (F )[ f1(t )u(t )] [ f 2 (t )u(t )]
由于拉氏卷积和傅氏卷积本质上的一致性，与傅氏 卷积一样，拉氏卷积也具有交换律、结合律、分配律， 即：
1)、为什么要引入Laplace变换 经典Fourier变换的存在性定理要求原函数在实轴上
•
绝对可积，但许多常见函数并不满足该条件，例如sin t , cos t , t n。
拉普拉斯变换讲义
§ 7.1 拉普拉斯变换的概念和存在定理
1.定义 place变换存在定理 和象函数的微分性质
1. Laplace变换的概念
设函数f (t)u(t)et ( 0)满足Fourier 变换存在定理条件，
ℱ 则F (w)
f (t )u(t )et f (t )u(t )et eiwt dt
则有：1)当t
0时，f (t)
ℒ1F
(s)
n
Re
s
F
(s)e st
,
sk
;
k 1
2)当t 0时，f (t) 1
i
F
(
s)e
st
ds
0.
2i i
证明思路：
y
设c
作以s0
max Re( s1 ), Re( s2 ),Re( sn ), c, C
0
(t) ℒ 1
定义：
-
(n)(t
t0) f
(t )dt
(1)n
-
(t
t0
)
f
(n) (t )dt.
ℒ (t)
(t )e st dt
(t )( s)e st dt
s.
0
0
(n)(t) ℒ s n
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函数f (t)满足如下两个条件：
则有下列三个结论成立：
(1)：F(s) ℒ f (t) 在右半平面Re(s) c内存在，
其反常积分F(s) f (t)estdt在该平面内绝对收敛; 0
(2)：对任意实数t和常数 Re(s) c,反演积分
f (st ds(t
0)收敛，
2i i
且处处收敛到函数f (t) f (t)u(t)在各点t处的左右极限的
1.定义 place变换存在定理 和象函数的微分性质
1. Laplace变换的概念
设函数f (t)u(t)et ( 0)满足Fourier 变换存在定理条件，
ℱ 则F (w)
f (t )u(t )et f (t )u(t )et eiwt dt
则有：1)当t
0时，f (t)
ℒ1F
(s)
n
Re
s
F
(s)e st
,
sk
;
k 1
2)当t 0时，f (t) 1
i
F
(
s)e
st
ds
0.
2i i
证明思路：
y
设c
作以s0
max Re( s1 ), Re( s2 ),Re( sn ), c, C
0
(t) ℒ 1
定义：
-
(n)(t
t0) f
(t )dt
(1)n
-
(t
t0
)
f
(n) (t )dt.
ℒ (t)
(t )e st dt
(t )( s)e st dt
s.
0
0
(n)(t) ℒ s n
place变换存在定理和象函数的微分性质
定理1： 若函数f (t)满足如下两个条件：
则有下列三个结论成立：
(1)：F(s) ℒ f (t) 在右半平面Re(s) c内存在，
其反常积分F(s) f (t)estdt在该平面内绝对收敛; 0
(2)：对任意实数t和常数 Re(s) c,反演积分
f (st ds(t
0)收敛，
2i i
且处处收敛到函数f (t) f (t)u(t)在各点t处的左右极限的
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f (t ) e
0
st
dt
令u t
f ( u) e s ( u )du f ( u) e
0
s ( u )
e
s
du 0 f ( u)e
su
e
s
du
F ( s)
若 L[f ( t )] F ( s )
(2)
f ( t ) t
t
1 L[f ( t )e at ] F ( s a ) L[ 0 f ( t ) d t ] F ( s ) s t 3t 146页5(3) 求函数 f ( t ) t e sin 2t d t 的拉氏变换
t 0
若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
t 则 L[ f ( t )] F ( s )
例1 求函数 f ( t ) ( t 1)2 e t 的拉氏变换 t 2 t t 解 f ( t ) t e 2te e
1 L[ e ] s 1
t
1 L[t e ] ( s 1)2
t
2 L[t e ] 3 ( s 1)
0
t e 3t sin 2t d t
s (2)解 L[cos 2t] 2 s 4
3 s 原式 2 s 4 s 3 13
2 (3) 解 L[ sin 2t ] 2 s 4 2 L[t sin 2t] ( 2 2 4s 2 ) ( s 4) s 4 12 4s 原式 2 2 169 ( s 4) s 3
§2.2 拉氏变换的性质 2. 原函数 的微分性质 设 L[f ( t )]
f (t ) e s t d t F ( s) 0 则 L[ f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) sF ( s ) f (0) Re( s ) L[f ( t )] s L[ f ( t )] f (0) s 2 F ( s ) sf (0) f (0) L[f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) 3 s 2 f (0) sf (0) f (0) s Fs ) ( st f ( t )n f n1 ) e d t ( n s t d f ( t )( n1) 证明 ( nL[ e 2) ] 0 ( t ) (0) (0) f t L[ f ( t )] s F ( s ) s f (0) ... sf0 f (为正整数 s d t ne s t f ( t ) 求 f ( t ) 的拉氏变换 其中n t ) ( s )e 0 t 0 例2 1) (n (n) st (0) f 0, s 解 f (0) 0, f (0) ..., f f (0) e 0,d tf ( t ) n ! 0 (t( n)) 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 s n F (f ) L[ f ( t )]=L[ n !] n ! sF ( s ) s (0) s n! F ( s ) n 1 s
2 2 3t (1) 解 L[ sin 2t ] 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 4( s 3) 2 ] L[f ( t )] [ 2 ( s 3) 4 [( s 3)2 4]
e 3t sin 2t d t 0 2 t 2 1 3 解 L[ e 3t sin 2t d t] 2 0 s 6 s 2 13 s s ( s 3) 4 2 2(3 s 2 12 s 13) ) 3 L[f ( t )] ( 3 2 s 6 s 13 s ( s 6 s 2 13 s )2
5. 象函数的积分性质 若 L[f ( t )]
0
f (t ) e s t d t F ( s)
f (t ) 则 L[ ] s F ( s )d s t
证明
s
F ( s)d s
0
f ( t ) [ s e s t d s ] d t f (t )
t
t
0
f (t ) d t e s t d t
t 0
1 s
0
f (t ) d t d e
st
t 1 t s t st { 0 f ( t ) d t e 0 0 e [ 0 f ( t )d t ] d t } s 1 1 st 0 f ( t ) e d t F ( s ) s s
[ F ( s )]( n ) 则 ( st L[t ) ) ( 1) 故 F L[ f ( t )]f ()F st) d t 在Re(fs( t]内一定收敛且解析 ) t e (s 0
n n
象函数的微分性质的应用 若 L[f ( t )] F ( s )
Re( s )
t n f ( t )] ( 1)n [F ( s )]( n ) L[ n! 1 L[ t ] 1 n 例如 L[ 1 ] L[t ] n1 n为自然数 2 s s s 1 n! 1 at at n at L[e ] L[t e ] L[t e ] 2 (s a) ( s a ) n 1 sa s a 158页6 L[ cos at ] 2 L[ sinat ] 2 2 s a s a2 s a L[t cos at ] ( 2 ) L[ t sin at ] ( 2 2 2) s a s a 2 2 2 2 s a s 2s s a 2as 2 2 2 2 2 2 2 (s a ) 2 2 (s a ) (s a )
复习 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
L[ 0
t
146页5 求下列函数的拉氏变换 f ( t ) te 3t sin 2t (1)
1 f ( t ) d t ] F ( s ) s
L[f ( t )e at ] F ( s a )
例3
f ( t ) sinkt 的拉氏变换 f ( t ) k cos kt f ( t ) k 2 sin kt 解 f ( t ) k 2 f ( t ) 0 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[f ( t )] s 2 F ( s ) sf (0) f (0)
f (t ) 例7 利用 L[ ] s L[f ( t )] d s t
7.原函数的延迟性质
若 L[f ( t )] F ( s )
f ( t ) ] e s F ( s ) 又 t 0 时 f ( t ) 0, 则 0, L[
证明
L[f ( t ) ]
解
L[ sin 2t ]
2 2 s 4 2 2 3t 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 6 s 13
3t
4( s 3) 2 L[t e sin 2t ] ( 2 ) 2 ( s 6 s 13)2 s 6 s 13 4( s 3) L[f ( t )] s( s 2 6 s 13)2
2 t
1 2 2 L[ f ( t ) ] 3 2 s 1 ( s 1) ( s 1)
4. 原函数的积分性质 若
L[f ( t )] F ( s ) t 1 则 L[ f ( t ) d t ] F ( s ) 0 s
证明
L[ 0 f ( t ) d t ] 0
求
s 2 F ( s ) k 2 2 s F ( s) k k F ( s) 0
k F ( s) 2 s k2
k 即 L[ sin kt ] 2 2 s k
F ( s ) f ( t ) e s t d t 在 Re( s ) 内一定收敛 且解析 0 证明 求 阶导数得到 则 0 两边对设 Re( s ) |) 由 | f ( t )( n M t 得到 ( e s t )( n ) F ( s ) e 0 f ( t ) dt t t t ( )t t st Me | f ( t )e | | f ( t )e Men e s t Me | n s t f ( t ) ( t ) e d t =L[ t ) f ( t ) ] 0 | d t t d t M ( Me 于是 0 | f ( t )e n 0 n f ( t )] ( 1)n F ( ) ( s ) L[t
sinh t 1 s 1 L[ ] L[ sinh t ] d s ln s 2 s1 t
s
1 s1 ln 2 s 1
a0 sin at 145页4 求下列函数的拉氏变换 (5) f ( t ) t a sin at ds ] s L[sinat ]d s s 2 解 L[f ( t )] =L[ 2 s a t s s arctan arctan 3 t e sin 2t a s a 2 6(2) f ( t ) t 2 2 L[e 3tsin 2t ] 2 解 L[ sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 s 3 L[f ( t )] s ( s 3)2 4 d s arctan 2 s s 3 178页6(3) 的结果是多少？ arctan 2 2
存在定理 设 f ( t ) 在 [0, ) 内的任何 有限区间上 连续 或者分段连续, 如果 存在实数 M 0 和实数 0 | f ( t ) | M e t 则含复参变量s 的广义积分 使
s
n
0
st
dt
令u t
f ( u) e s ( u )du f ( u) e
0
s ( u )
e
s
du 0 f ( u)e
su
e
s
du
F ( s)
若 L[f ( t )] F ( s )
(2)
f ( t ) t
t
1 L[f ( t )e at ] F ( s a ) L[ 0 f ( t ) d t ] F ( s ) s t 3t 146页5(3) 求函数 f ( t ) t e sin 2t d t 的拉氏变换
t 0
若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
t 则 L[ f ( t )] F ( s )
例1 求函数 f ( t ) ( t 1)2 e t 的拉氏变换 t 2 t t 解 f ( t ) t e 2te e
1 L[ e ] s 1
t
1 L[t e ] ( s 1)2
t
2 L[t e ] 3 ( s 1)
0
t e 3t sin 2t d t
s (2)解 L[cos 2t] 2 s 4
3 s 原式 2 s 4 s 3 13
2 (3) 解 L[ sin 2t ] 2 s 4 2 L[t sin 2t] ( 2 2 4s 2 ) ( s 4) s 4 12 4s 原式 2 2 169 ( s 4) s 3
§2.2 拉氏变换的性质 2. 原函数 的微分性质 设 L[f ( t )]
f (t ) e s t d t F ( s) 0 则 L[ f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) sF ( s ) f (0) Re( s ) L[f ( t )] s L[ f ( t )] f (0) s 2 F ( s ) sf (0) f (0) L[f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) 3 s 2 f (0) sf (0) f (0) s Fs ) ( st f ( t )n f n1 ) e d t ( n s t d f ( t )( n1) 证明 ( nL[ e 2) ] 0 ( t ) (0) (0) f t L[ f ( t )] s F ( s ) s f (0) ... sf0 f (为正整数 s d t ne s t f ( t ) 求 f ( t ) 的拉氏变换 其中n t ) ( s )e 0 t 0 例2 1) (n (n) st (0) f 0, s 解 f (0) 0, f (0) ..., f f (0) e 0,d tf ( t ) n ! 0 (t( n)) 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 s n F (f ) L[ f ( t )]=L[ n !] n ! sF ( s ) s (0) s n! F ( s ) n 1 s
2 2 3t (1) 解 L[ sin 2t ] 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 4( s 3) 2 ] L[f ( t )] [ 2 ( s 3) 4 [( s 3)2 4]
e 3t sin 2t d t 0 2 t 2 1 3 解 L[ e 3t sin 2t d t] 2 0 s 6 s 2 13 s s ( s 3) 4 2 2(3 s 2 12 s 13) ) 3 L[f ( t )] ( 3 2 s 6 s 13 s ( s 6 s 2 13 s )2
5. 象函数的积分性质 若 L[f ( t )]
0
f (t ) e s t d t F ( s)
f (t ) 则 L[ ] s F ( s )d s t
证明
s
F ( s)d s
0
f ( t ) [ s e s t d s ] d t f (t )
t
t
0
f (t ) d t e s t d t
t 0
1 s
0
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st
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[ F ( s )]( n ) 则 ( st L[t ) ) ( 1) 故 F L[ f ( t )]f ()F st) d t 在Re(fs( t]内一定收敛且解析 ) t e (s 0
n n
象函数的微分性质的应用 若 L[f ( t )] F ( s )
Re( s )
t n f ( t )] ( 1)n [F ( s )]( n ) L[ n! 1 L[ t ] 1 n 例如 L[ 1 ] L[t ] n1 n为自然数 2 s s s 1 n! 1 at at n at L[e ] L[t e ] L[t e ] 2 (s a) ( s a ) n 1 sa s a 158页6 L[ cos at ] 2 L[ sinat ] 2 2 s a s a2 s a L[t cos at ] ( 2 ) L[ t sin at ] ( 2 2 2) s a s a 2 2 2 2 s a s 2s s a 2as 2 2 2 2 2 2 2 (s a ) 2 2 (s a ) (s a )
复习 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
L[ 0
t
146页5 求下列函数的拉氏变换 f ( t ) te 3t sin 2t (1)
1 f ( t ) d t ] F ( s ) s
L[f ( t )e at ] F ( s a )
例3
f ( t ) sinkt 的拉氏变换 f ( t ) k cos kt f ( t ) k 2 sin kt 解 f ( t ) k 2 f ( t ) 0 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[f ( t )] s 2 F ( s ) sf (0) f (0)
f (t ) 例7 利用 L[ ] s L[f ( t )] d s t
7.原函数的延迟性质
若 L[f ( t )] F ( s )
f ( t ) ] e s F ( s ) 又 t 0 时 f ( t ) 0, 则 0, L[
证明
L[f ( t ) ]
解
L[ sin 2t ]
2 2 s 4 2 2 3t 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 6 s 13
3t
4( s 3) 2 L[t e sin 2t ] ( 2 ) 2 ( s 6 s 13)2 s 6 s 13 4( s 3) L[f ( t )] s( s 2 6 s 13)2
2 t
1 2 2 L[ f ( t ) ] 3 2 s 1 ( s 1) ( s 1)
4. 原函数的积分性质 若
L[f ( t )] F ( s ) t 1 则 L[ f ( t ) d t ] F ( s ) 0 s
证明
L[ 0 f ( t ) d t ] 0
求
s 2 F ( s ) k 2 2 s F ( s) k k F ( s) 0
k F ( s) 2 s k2
k 即 L[ sin kt ] 2 2 s k
F ( s ) f ( t ) e s t d t 在 Re( s ) 内一定收敛 且解析 0 证明 求 阶导数得到 则 0 两边对设 Re( s ) |) 由 | f ( t )( n M t 得到 ( e s t )( n ) F ( s ) e 0 f ( t ) dt t t t ( )t t st Me | f ( t )e | | f ( t )e Men e s t Me | n s t f ( t ) ( t ) e d t =L[ t ) f ( t ) ] 0 | d t t d t M ( Me 于是 0 | f ( t )e n 0 n f ( t )] ( 1)n F ( ) ( s ) L[t
sinh t 1 s 1 L[ ] L[ sinh t ] d s ln s 2 s1 t
s
1 s1 ln 2 s 1
a0 sin at 145页4 求下列函数的拉氏变换 (5) f ( t ) t a sin at ds ] s L[sinat ]d s s 2 解 L[f ( t )] =L[ 2 s a t s s arctan arctan 3 t e sin 2t a s a 2 6(2) f ( t ) t 2 2 L[e 3tsin 2t ] 2 解 L[ sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 s 3 L[f ( t )] s ( s 3)2 4 d s arctan 2 s s 3 178页6(3) 的结果是多少？ arctan 2 2
存在定理 设 f ( t ) 在 [0, ) 内的任何 有限区间上 连续 或者分段连续, 如果 存在实数 M 0 和实数 0 | f ( t ) | M e t 则含复参变量s 的广义积分 使
s
n