第8章2拉普拉斯变换存在定理性质
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求
s 2 F ( s ) k 2 2 s F ( s) k k F ( s) 0
k F ( s) 2 s k2
k 即 L[ sin kt ] 2 2 s k
F ( s ) f ( t ) e s t d t 在 Re( s ) 内一定收敛 且解析 0 证明 求 阶导数得到 则 0 两边对设 Re( s ) |) 由 | f ( t )( n M t 得到 ( e s t )( n ) F ( s ) e 0 f ( t ) dt t t t ( )t t st Me | f ( t )e | | f ( t )e Men e s t Me | n s t f ( t ) ( t ) e d t =L[ t ) f ( t ) ] 0 | d t t d t M ( Me 于是 0 | f ( t )e n 0 n f ( t )] ( 1)n F ( ) ( s ) L[t
2 t
1 2 2 L[ f ( t ) ] 3 2 s 1 ( s 1) ( s 1)
4. 原函数的积分性质 若
L[f ( t )] F ( s ) t 1 则 L[ f ( t ) d t ] F ( s ) 0 s
证明
L[ 0 f ( t ) d t ] 0
特别
0
t
0
e
st
f (t ) d t =L[ ] t
0
F ( s)d s
f (t ) dt t
1 f ( ts) 1 fs t( t ) t L[ e ]s L[ ]d s e s t t t
象函数的积分性质 的应用
f ( t ) f ( t ) 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ ]d s ] s L[ t f ( t ) 0 t d t 0 L[f (t )]d s sinh t 例4 求函数 f ( t ) 的拉氏变换 t a 解 L[sinhat ] 2 s a2 1 1( 1 1 ) L[ sinh t ] 2 s 1 2 s 1 s1
8.相似性质
1 s 则 L[f (at ) ] F ( ) a a
,(a 0)
广义积分算法1 若 L[f ( t )]
则 例. 计算下列积分
(2)
0
f (t ) e
st
d t F ( s)
sa
0
f (t ) e
a t
d t F ( s)
0
e
3t
cos 2t d t (3)
f (t ) e
0
st
dt
令u t
f ( u) e s ( u )du f ( u) e
0
s ( u )
e
s
du 0 f ( u)e
su
e
s
du
F ( s)
若 L[f ( t )] F ( s )
复习 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
L[ 0
t
146页5 求下列函数的拉氏变换 f ( t ) te 3t sin 2t (1)
1 f ( t ) d t ] F ( s ) s
L[f ( t )e at ] F ( s a )
t
t
0
f (t ) d t e s t d t
t 0
1 s
0
f (t ) d t d e
st
t 1 t s t st { 0 f ( t ) d t e 0 0 e [ 0 f ( t )d t ] d t } s 1 1 st 0 f ( t ) e d t F ( s ) s s
(Βιβλιοθήκη Baidu)
f ( t ) t
t
1 L[f ( t )e at ] F ( s a ) L[ 0 f ( t ) d t ] F ( s ) s t 3t 146页5(3) 求函数 f ( t ) t e sin 2t d t 的拉氏变换
t 0
若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
f (t ) 例7 利用 L[ ] s L[f ( t )] d s t
7.原函数的延迟性质
若 L[f ( t )] F ( s )
f ( t ) ] e s F ( s ) 又 t 0 时 f ( t ) 0, 则 0, L[
证明
L[f ( t ) ]
2 2 3t (1) 解 L[ sin 2t ] 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 4( s 3) 2 ] L[f ( t )] [ 2 ( s 3) 4 [( s 3)2 4]
e 3t sin 2t d t 0 2 t 2 1 3 解 L[ e 3t sin 2t d t] 2 0 s 6 s 2 13 s s ( s 3) 4 2 2(3 s 2 12 s 13) ) 3 L[f ( t )] ( 3 2 s 6 s 13 s ( s 6 s 2 13 s )2
例3
f ( t ) sinkt 的拉氏变换 f ( t ) k cos kt f ( t ) k 2 sin kt 解 f ( t ) k 2 f ( t ) 0 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[f ( t )] s 2 F ( s ) sf (0) f (0)
5. 象函数的积分性质 若 L[f ( t )]
0
f (t ) e s t d t F ( s)
f (t ) 则 L[ ] s F ( s )d s t
证明
s
F ( s)d s
0
f ( t ) [ s e s t d s ] d t f (t )
sinh t 1 s 1 L[ ] L[ sinh t ] d s ln s 2 s1 t
s
1 s1 ln 2 s 1
a0 sin at 145页4 求下列函数的拉氏变换 (5) f ( t ) t a sin at ds ] s L[sinat ]d s s 2 解 L[f ( t )] =L[ 2 s a t s s arctan arctan 3 t e sin 2t a s a 2 6(2) f ( t ) t 2 2 L[e 3tsin 2t ] 2 解 L[ sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 s 3 L[f ( t )] s ( s 3)2 4 d s arctan 2 s s 3 178页6(3) 的结果是多少？ arctan 2 2
解
L[ sin 2t ]
2 2 s 4 2 2 3t 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 6 s 13
3t
4( s 3) 2 L[t e sin 2t ] ( 2 ) 2 ( s 6 s 13)2 s 6 s 13 4( s 3) L[f ( t )] s( s 2 6 s 13)2
Re( s )
t n f ( t )] ( 1)n [F ( s )]( n ) L[ n! 1 L[ t ] 1 n 例如 L[ 1 ] L[t ] n1 n为自然数 2 s s s 1 n! 1 at at n at L[e ] L[t e ] L[t e ] 2 (s a) ( s a ) n 1 sa s a 158页6 L[ cos at ] 2 L[ sinat ] 2 2 s a s a2 s a L[t cos at ] ( 2 ) L[ t sin at ] ( 2 2 2) s a s a 2 2 2 2 s a s 2s s a 2as 2 2 2 2 2 2 2 (s a ) 2 2 (s a ) (s a )
0
t e 3t sin 2t d t
s (2)解 L[cos 2t] 2 s 4
3 s 原式 2 s 4 s 3 13
2 (3) 解 L[ sin 2t ] 2 s 4 2 L[t sin 2t] ( 2 2 4s 2 ) ( s 4) s 4 12 4s 原式 2 2 169 ( s 4) s 3
t 则 L[ f ( t )] F ( s )
例1 求函数 f ( t ) ( t 1)2 e t 的拉氏变换 t 2 t t 解 f ( t ) t e 2te e
1 L[ e ] s 1
t
1 L[t e ] ( s 1)2
t
2 L[t e ] 3 ( s 1)
§2.2 拉氏变换的性质 2. 原函数 的微分性质 设 L[f ( t )]
f (t ) e s t d t F ( s) 0 则 L[ f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) sF ( s ) f (0) Re( s ) L[f ( t )] s L[ f ( t )] f (0) s 2 F ( s ) sf (0) f (0) L[f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) 3 s 2 f (0) sf (0) f (0) s Fs ) ( st f ( t )n f n1 ) e d t ( n s t d f ( t )( n1) 证明 ( nL[ e 2) ] 0 ( t ) (0) (0) f t L[ f ( t )] s F ( s ) s f (0) ... sf0 f (为正整数 s d t ne s t f ( t ) 求 f ( t ) 的拉氏变换 其中n t ) ( s )e 0 t 0 例2 1) (n (n) st (0) f 0, s 解 f (0) 0, f (0) ..., f f (0) e 0,d tf ( t ) n ! 0 (t( n)) 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 s n F (f ) L[ f ( t )]=L[ n !] n ! sF ( s ) s (0) s n! F ( s ) n 1 s
[ F ( s )]( n ) 则 ( st L[t ) ) ( 1) 故 F L[ f ( t )]f ()F st) d t 在Re(fs( t]内一定收敛且解析 ) t e (s 0
n n
象函数的微分性质的应用 若 L[f ( t )] F ( s )
存在定理 设 f ( t ) 在 [0, ) 内的任何 有限区间上 连续 或者分段连续, 如果 存在实数 M 0 和实数 0 | f ( t ) | M e t 则含复参变量s 的广义积分 使
s
n
故含复参变量s 的广义积分 f ( t ) e s t d t 在Re(L[f( ] F ( s ) Re( s ) 3. 象函数的微分性质 若 s ) t ) 内绝对收敛 和一致收敛 0
s 2 F ( s ) k 2 2 s F ( s) k k F ( s) 0
k F ( s) 2 s k2
k 即 L[ sin kt ] 2 2 s k
F ( s ) f ( t ) e s t d t 在 Re( s ) 内一定收敛 且解析 0 证明 求 阶导数得到 则 0 两边对设 Re( s ) |) 由 | f ( t )( n M t 得到 ( e s t )( n ) F ( s ) e 0 f ( t ) dt t t t ( )t t st Me | f ( t )e | | f ( t )e Men e s t Me | n s t f ( t ) ( t ) e d t =L[ t ) f ( t ) ] 0 | d t t d t M ( Me 于是 0 | f ( t )e n 0 n f ( t )] ( 1)n F ( ) ( s ) L[t
2 t
1 2 2 L[ f ( t ) ] 3 2 s 1 ( s 1) ( s 1)
4. 原函数的积分性质 若
L[f ( t )] F ( s ) t 1 则 L[ f ( t ) d t ] F ( s ) 0 s
证明
L[ 0 f ( t ) d t ] 0
特别
0
t
0
e
st
f (t ) d t =L[ ] t
0
F ( s)d s
f (t ) dt t
1 f ( ts) 1 fs t( t ) t L[ e ]s L[ ]d s e s t t t
象函数的积分性质 的应用
f ( t ) f ( t ) 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ ]d s ] s L[ t f ( t ) 0 t d t 0 L[f (t )]d s sinh t 例4 求函数 f ( t ) 的拉氏变换 t a 解 L[sinhat ] 2 s a2 1 1( 1 1 ) L[ sinh t ] 2 s 1 2 s 1 s1
8.相似性质
1 s 则 L[f (at ) ] F ( ) a a
,(a 0)
广义积分算法1 若 L[f ( t )]
则 例. 计算下列积分
(2)
0
f (t ) e
st
d t F ( s)
sa
0
f (t ) e
a t
d t F ( s)
0
e
3t
cos 2t d t (3)
f (t ) e
0
st
dt
令u t
f ( u) e s ( u )du f ( u) e
0
s ( u )
e
s
du 0 f ( u)e
su
e
s
du
F ( s)
若 L[f ( t )] F ( s )
复习 若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
L[ 0
t
146页5 求下列函数的拉氏变换 f ( t ) te 3t sin 2t (1)
1 f ( t ) d t ] F ( s ) s
L[f ( t )e at ] F ( s a )
t
t
0
f (t ) d t e s t d t
t 0
1 s
0
f (t ) d t d e
st
t 1 t s t st { 0 f ( t ) d t e 0 0 e [ 0 f ( t )d t ] d t } s 1 1 st 0 f ( t ) e d t F ( s ) s s
(Βιβλιοθήκη Baidu)
f ( t ) t
t
1 L[f ( t )e at ] F ( s a ) L[ 0 f ( t ) d t ] F ( s ) s t 3t 146页5(3) 求函数 f ( t ) t e sin 2t d t 的拉氏变换
t 0
若 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[ f ( t )] F ( s ) t
f (t ) 例7 利用 L[ ] s L[f ( t )] d s t
7.原函数的延迟性质
若 L[f ( t )] F ( s )
f ( t ) ] e s F ( s ) 又 t 0 时 f ( t ) 0, 则 0, L[
证明
L[f ( t ) ]
2 2 3t (1) 解 L[ sin 2t ] 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 4( s 3) 2 ] L[f ( t )] [ 2 ( s 3) 4 [( s 3)2 4]
e 3t sin 2t d t 0 2 t 2 1 3 解 L[ e 3t sin 2t d t] 2 0 s 6 s 2 13 s s ( s 3) 4 2 2(3 s 2 12 s 13) ) 3 L[f ( t )] ( 3 2 s 6 s 13 s ( s 6 s 2 13 s )2
例3
f ( t ) sinkt 的拉氏变换 f ( t ) k cos kt f ( t ) k 2 sin kt 解 f ( t ) k 2 f ( t ) 0 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 L[f ( t )] s 2 F ( s ) sf (0) f (0)
5. 象函数的积分性质 若 L[f ( t )]
0
f (t ) e s t d t F ( s)
f (t ) 则 L[ ] s F ( s )d s t
证明
s
F ( s)d s
0
f ( t ) [ s e s t d s ] d t f (t )
sinh t 1 s 1 L[ ] L[ sinh t ] d s ln s 2 s1 t
s
1 s1 ln 2 s 1
a0 sin at 145页4 求下列函数的拉氏变换 (5) f ( t ) t a sin at ds ] s L[sinat ]d s s 2 解 L[f ( t )] =L[ 2 s a t s s arctan arctan 3 t e sin 2t a s a 2 6(2) f ( t ) t 2 2 L[e 3tsin 2t ] 2 解 L[ sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 4 2 s 3 L[f ( t )] s ( s 3)2 4 d s arctan 2 s s 3 178页6(3) 的结果是多少？ arctan 2 2
解
L[ sin 2t ]
2 2 s 4 2 2 3t 2 L[e sin 2t ] 2 ( s 3) 4 s 6 s 13
3t
4( s 3) 2 L[t e sin 2t ] ( 2 ) 2 ( s 6 s 13)2 s 6 s 13 4( s 3) L[f ( t )] s( s 2 6 s 13)2
Re( s )
t n f ( t )] ( 1)n [F ( s )]( n ) L[ n! 1 L[ t ] 1 n 例如 L[ 1 ] L[t ] n1 n为自然数 2 s s s 1 n! 1 at at n at L[e ] L[t e ] L[t e ] 2 (s a) ( s a ) n 1 sa s a 158页6 L[ cos at ] 2 L[ sinat ] 2 2 s a s a2 s a L[t cos at ] ( 2 ) L[ t sin at ] ( 2 2 2) s a s a 2 2 2 2 s a s 2s s a 2as 2 2 2 2 2 2 2 (s a ) 2 2 (s a ) (s a )
0
t e 3t sin 2t d t
s (2)解 L[cos 2t] 2 s 4
3 s 原式 2 s 4 s 3 13
2 (3) 解 L[ sin 2t ] 2 s 4 2 L[t sin 2t] ( 2 2 4s 2 ) ( s 4) s 4 12 4s 原式 2 2 169 ( s 4) s 3
t 则 L[ f ( t )] F ( s )
例1 求函数 f ( t ) ( t 1)2 e t 的拉氏变换 t 2 t t 解 f ( t ) t e 2te e
1 L[ e ] s 1
t
1 L[t e ] ( s 1)2
t
2 L[t e ] 3 ( s 1)
§2.2 拉氏变换的性质 2. 原函数 的微分性质 设 L[f ( t )]
f (t ) e s t d t F ( s) 0 则 L[ f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) sF ( s ) f (0) Re( s ) L[f ( t )] s L[ f ( t )] f (0) s 2 F ( s ) sf (0) f (0) L[f ( t ) ] s L[f ( t )] f (0) 3 s 2 f (0) sf (0) f (0) s Fs ) ( st f ( t )n f n1 ) e d t ( n s t d f ( t )( n1) 证明 ( nL[ e 2) ] 0 ( t ) (0) (0) f t L[ f ( t )] s F ( s ) s f (0) ... sf0 f (为正整数 s d t ne s t f ( t ) 求 f ( t ) 的拉氏变换 其中n t ) ( s )e 0 t 0 例2 1) (n (n) st (0) f 0, s 解 f (0) 0, f (0) ..., f f (0) e 0,d tf ( t ) n ! 0 (t( n)) 设 L[f ( t )] F ( s ) 则 s n F (f ) L[ f ( t )]=L[ n !] n ! sF ( s ) s (0) s n! F ( s ) n 1 s
[ F ( s )]( n ) 则 ( st L[t ) ) ( 1) 故 F L[ f ( t )]f ()F st) d t 在Re(fs( t]内一定收敛且解析 ) t e (s 0
n n
象函数的微分性质的应用 若 L[f ( t )] F ( s )
存在定理 设 f ( t ) 在 [0, ) 内的任何 有限区间上 连续 或者分段连续, 如果 存在实数 M 0 和实数 0 | f ( t ) | M e t 则含复参变量s 的广义积分 使
s
n
故含复参变量s 的广义积分 f ( t ) e s t d t 在Re(L[f( ] F ( s ) Re( s ) 3. 象函数的微分性质 若 s ) t ) 内绝对收敛 和一致收敛 0