用二分法求方程的近似解

取 1, 2 区间的中点x1 1.5, f 1.5 0.33,因为
f 1 f 1.5 0所以x0 1,1.5 .
取（1，1.5）的中点x2=1.25 ,f(1.25)= -0.87， 因为f(1.25)· f(1.5)<0，所以x0∈（1.25，1.5） 同理可得， x0∈（1.375，1.5），x0∈(1.375， 1.4375），由于 |1.375-1.4375|=0.0625< 0.1 所以，原方程的近似解可取为1.4375
b）；否则重复2～4.
尝试:借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7的近似解（精确度0.1）.
先确定零点的范围；再用二分法去求方程的近似解
列表
x
f x 2 x 3x 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-6
-2
3
10
21
40
75
142
273
绘制函数图像
解:由图像和函数值表可知,f 1 0, f 2 0, 则f 1 f 2 0, 所以f x 在 1, 2 内有一个零点x0 .
A.(1,0)
B.(1,2)
C .(0,1)
D.(2,3)
问题:你会解下列方程吗?
2x-6=0; 2x2-3x+来自百度文库=0; lnx+2x-6=0 你会求方程lnx+2x-6=0的近似解吗?
思 路

求方程根的问题 相应函数的零点问题

求方程 ln x 2 x 6 0的近似解的问题 可以转化为函数 f x ln x 2 x 6 在区 间（2，3）内零点的近似值。
问题5: 你能归纳出“给定精确度ε,用二 分法求函数零点近似值的步骤”吗?
1.确定区间 a, b ,验证 f a f b 0 ,给定精确度 2.求区间 a, b 的中点 c ； 3.计算 f c ； （1）若 f c 0 ，则 c 就是函数的零点； （2）若 f a f c 0 ，则令 b
其中点 c ,计算f(c),如果f(c）=0，那么 c 就是函数的零点；如果不为0，通过比较
中点与两个端点函数值的正负情况，即可 从而将范围缩小了一半，以此方法重复进
行„„
判断零点是在（a,c)内，还是在（c,b)内，
问题
解方程 : • ln x 2 x 6 0
找函数• ( x ) ln x 2 x 6的零点 f
x 2.53125
y
二分法概念
a
0 b x
数
y f x ,通过不断地把函数 f x 的零点所在的区
对于在区间 a, b 上连续不断且 f a f b 0 的函
间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到 零点近似值的方法叫做二分法.
二分法的实质:就是将函数零点所在的 区间不断地一分为二，使新得到的区间 不断变小，两个端点逐步逼近零点．
游戏： “看商品猜价格”，请同学 们猜一下下面这部科学计算器(120～ 200元间)的价格。要求:误差小于1元 探究：你猜这件商品的价格，是如何 想的？在误差范围内如何做才能以最 快的速度猜中？
（对半猜）
这能提供求确定
函数零点的思路吗
思路：用区间两个端点的中点， 将区间一分为二„„
对于一个已知零点所在区间[a,b],取
夯实基础
成就未来
3.1.2 用二分法 求方程的近似解
祁东二中 谭雪峰
上节回忆
1、函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点
结论:
方程f ( x) 0有实数根 函数y f ( x)的图象与x轴有交点 函数y f ( x)有零点
上节回忆
2、如何判断函数y=f(x)在区间[a,b]上是否 有零点? (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连 续不断的一条曲线 (2) f(a)· f(b)<0
如何找到零点近似值 ？？
在已知存在零点的区间确定函数的 零点的近似值，实际上就是如何缩小零 点所在的范围，或是如何得到一个更小
的区间，使得零点还在里面，从而得到
零点的近似值。 思考：如何缩小零点所在的区间？
游戏规则： 给出一件商品，请你猜 出它的准确价格，我们给的 提示只有“高了”和“低 了”。给出的商品价格在100 ~ 200之间的整数，如果你能 在规定的次数之内猜中 价格，这件商品就是你的了。
(2,3)
逐渐缩小函数f ( x ) ln x 2 x 6的零点所在范围
在区间（2，3）内零点的近似值.
区间 （2，3） 中点 的值 2.5 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 区间长度 1 0.5 0.25 0.125 0.0625
（2.5，3） 2.75 （2.5，2.75） 2.625 （2.5，2.625） 2.5625 （2.5，2.5625） 2.53125 （？，？） …
思考: 通过这种方法,是否可以得到任 意精确度的近似值? （如精确度 为0.01）
精确度为0.01,即零点值与近 似值的差的绝对值要小于或等于 0.01
结论 1.通过这样的方法，我们可以得到任意精确度的零点近似值． 2.给定一个精确度，即要求误差不超过某个数如0．01时，可 以通过有限次不断地重复上述缩小零点所在区间的方法步骤， 而使最终所得的零点所在的小区间内的任意一点，与零点的误 差都不超过给定的精确度，即都可以作为零点的近似值． 3.本题中，如在精确度为0．01的要求下，我们可以将区间 (2.53125,2.5390625)内的任意点及端点作为此函数在区间(2， 3)内的零点近似值． 4.若再将近似值保留两为小数，那么2．53，2．54都可以作 为在精确度为0．01的要求下的函数在(2，3)内的零点的近似 值．一般地，为便于计算机操作，常取区间端点作为零点的 近似值，即2．53125
思考：区间[a,b]上零点是否是唯一的？
思考二： 如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，那么当
f(a)· f(b)>0时，函数y=f(x)在区间
（a，b）内一定没有零点吗？
上节回忆
练习：
函数 f ( x) x x 1 在下列哪个区间内 有零点? (C )
3
求函数f x ln x 2x 6在区间 2， 零点的近似值.(精确度为0.01) 3
区间 中点的值 中点函数 近似值 -0.084 0.512 0.215 0.066 -0.009 0.029 0.010 0.001 区间长度
（2，3） （2.5，3） （2.5，2.75） （2.5，2.625） （2.5，2.5625） （2.53125，2.5625） （2.53125，2.546875） （2.53125，2.5390625）
2.5 2.75 2.625 2.5625 2.53125 2.546875 2.5390625 2.53515625
1 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125
设函数的零点为 如图
=2.53125, b =2.5390625，则 a x b. x0 , a 0 . . .
借助计算器用二分法求 x 3x 1 0
3
的近似解(精确度0.1).
方程的近似解为
x 0.3125或0.375.
作业
1.课外作业: 课本P92 习题3.1 3,4,5 A组
2.课外搜索:请通过网络、杂志等途径 寻找“方程求解”的数学历史.
给定精确度 ,用二分法求函数 f x 零点近似 值的步骤如下:

;
（3）若 f c f b 0 ，则令 a c （此时零点 x0 4.判断是否达到精确度 近似值 a（或
c（此时零点 x0 a, c）.
：即若 a b ，则得到零点
c, b）.
x0 a b 由于 a b 2.53125 2.5390625 0.0078125 0.01,
所以
x0 a b a 0.01, x0 b a b 0.01,
所以我们可将此区间内的任意一点作为函数 零点的近似值，特别地，可以将区间端点作为零 点的近似值. 所以方程的近似解为
小结
方程
用二分法求 方程的近似解
函数
1.寻找解所在的区间 2.不断二分解所在的区间 3.根据精确度得出近似解 逼近思想 二分法 数形结合 转化思想
通过本节课的学习,你学会了 哪些知识? 基本知识:1. 二分法的定义; 2.用 二分法求解方程的近似解的步骤. 二分法求方程近似解的口诀: 定区间，找中点， 同号去，异号算， 周而复始怎么办? 中值计算两边看; 零点落在异号间; 精确度上来判断.