2014年高考广西理科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）【2014年广西，理1，5分】设10i
3i
z =+，则z 的共轭复数为（ ）
（A ）13i -+ （B ）13i -- （C ）13i + （D ）13i - 【答案】D
【解析】∵()()()10i 3i 10i 1030i 13i 3i 3i 3i 10z -+=
===+++-，∴13i z =-，故选D ． 【点评】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
（2）【2014年广西，理2，5分】设集合2{|340}M x x x =--<，{|05}N x x =≤≤，则M N =（ ）
（A ）(0,4] （B ）[0,4) （C ）[1,0)- （D ）(1,0]- 【答案】B
【解析】由2340x x --<，得14x -<<．∴{}
{}234014M x x x x x =--<=-<<，又{}05N x x =≤≤，
∴{}{}[)14050,4M
N x x x x =-<<≤≤=，故选B ．
【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题． （3）【2014年广西，理3，5分】设0sin33a =，0cos55b =，0tan35c =，则（ ）
（A ）a b c >> （B ）b c a >> （C ）c b a >> （D ）c a b
>> 【答案】C
【解析】由诱导公式可得()cos55cos 9035sin 35b =︒=︒-︒=︒，由正弦函数的单调性可知b a >，
而sin35tan35sin35cos35c b ︒
=︒=
>︒=︒
，∴c b a >>，故选C ．
【点评】本题考查三角函数值大小的比较，涉及诱导公式和三角函数的单调性，属基础题．
（4）【2014年广西，理4，5分】若向量,a b 满足：||1a =，()a b a +⊥，(2)a b b +⊥，则||b =（ ）
（A ）2 （B （C ）1 （D 【答案】B
【解析】由题意可得，2
()10a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-；()
2
2
2220a b b a b b b +⋅=⋅+=-+=，∴2
2b =， 则||2b =，故选B ．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题． （5）【2014年广西，理5，5分】有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗
小组，则不同的选法共有（ ）
（A ）60种 （B ）70种 （C ）75种 （D ）150种 【答案】C
【解析】根据题意，先从6名男医生中选2人，有2615C =种选法，再从5名女医生中选出1人，有1
5
5C =种选法，则不同的选法共有15×5=75种，故选C ．
【点评】本题考查分步计数原理的应用，注意区分排列、组合的不同．
（6）【2014年广西，理6，5分】已知椭圆C ：22221x y a b
+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，
过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为C 的方程为（ ）
（A ）22132x y += （B ）22
13
x y += （C ）221128x y += （D ）221124x y +=
【答案】A
【解析】∵1AF B ∆的周长为43，∴443a =，∴3a =，∵离心率为
3
3
，∴1c =，∴222b a c =-=， ∴椭圆C 的方程为22
132
x y +=，故选A ．
【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题． （7）【2014年广西，理7，5分】曲线1x y xe -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）
（A ）2e （B ）e （C ）2 （D ）1 【答案】C
【解析】函数的导数为()()1111x x x f x e xe x e ---'=+=+，当1x =时，()12f '=，即曲线1x y xe -=在点()1,1处切线
的斜率()12k f '==，故选C ．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，直接求函数的导数是解决本题的关键，比较基础． （8）【2014年广西，理8，5分】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球
的表面积为（ ）
（A ）814π （B ）16π （C ）9π （D ）274
π
【答案】A
【解析】设球的半径为R ，则∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()()
2
2
242R R =-+
，
∴94R =，∴球的表面积为2
981444ππ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
，故选A ．
【点评】本题考查球的表面积，球的内接几何体问题，考查计算能力，是基础题． （9）【2014年广西，理9，5分】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，
若12||2||F A F A =，则21cos AF F ∠=（ ）
（A ）
14 （B ）1
3
（C ）24 （D ）23
【答案】A
【解析】∵双曲线C 的离心率为2，∴2c
e a
==，即2c a =，点A 在双曲线上，则12||||2F A F A a -=，又12||2||F A F A =，
∴解得14F A a =，22F A a =，122F F c =，则由余弦定理得
2
2
2
2222222222121
212212
44164123431cos 22228244
AF F F AF a c a c a c a a a AF F AF F F a c ac ac a +-+----∠=
=====⋅⨯⨯，故选A ．
【点评】本题主要考查双曲线的定义和运算，利用离心率的定义和余弦定理是解决本题的关键，考查学生的计算
能力．
（10）【2014年广西，理10，5分】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ） （A ）6 （B ）5 （C ）4 （D ）3 【答案】C
【解析】∵等比数列{}n a 中42a =，55a =，∴452510a a ⋅=⨯=，∴数列{}lg n a 的前8项和 ()()()4
12812
84545lg lg lg lg lg 4lg 4lg104S a a a a a a a a a a =++
+=⋅=⋅=⋅==，故选C ．
【点评】本题考查等比数列的性质，涉及对数的运算，属中档题． （11）【2014年广西，理11，5分】已知二面角l αβ--为060，AB α⊂，AB l ⊥，A 为垂足，CD β⊂，C l ∈，
0135ACD ∠=，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（ ）
（A ）14 （B ）24 （C ）34 （D ）12
【答案】B
【解析】如图，过A 点做AE l ⊥，使BE β⊥，垂足为E ，过点A 做//AF CD ，过点E 做
EF AE ⊥，
连接BF ，∵AB l ⊥，∴60BAE ∠=︒，又135ACD ∠=︒，∴45EAF ∠=︒，
在Rt BEA ∆中，设AE a =，则2AB a =，3BE a =，在Rt AEF ∆中，则EF a =，2AF a =，在Rt BEF ∆ 中，则2BF a =，∴异面直线AB 与CD 所成的角即是BAF ∠，
()
(
)
()2
2
2
2
2
2
2222
cos 24222a a
a AB AF BF BAF AB AF a a
+
-+-∴∠===
⋅⨯⨯，故选B ． 【点评】本题主要考查了二面角和异面直线所成的角，关键是构造二面角的平面角和异面直线所成的角，考查了
学生的空间想想能力和作图能力，属于难题．
（12）【2014年广西，理12，5分】函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，则()
y f x =的反函数是（ ）
（A ）()y g x = （B ）()y g x =- （C ）()y g x =- （D ）()y g x =-- 【答案】D
【解析】设(),P x y 为()y f x =的反函数图象上的任意一点，则P 关于y x =的对称点(),P y x '一点在()y f x =的
图象上，又∵函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称，∴(),P y x '关于直线0x y +=的对称点(),P x y ''--在()y g x =图象上，∴必有()y g x -=-，即()y g x =--，∴()y f x =的
反函数为：()y g x =--，故选D ．
【点评】本题考查反函数的性质和对称性，属中档题．
第II 卷（共100分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）【2014年广西，理13，5分】8
()x y y x -的展开式中22x y 的系数为 ．
【答案】70
【解析】8
x y y x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()()8338422
18811r
r r r
r r r r r x y T C C x y y x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
， 令3384222
r r
-=-=，求得4r =，故展开式中22x y 的系数为4870C =．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系
数，属于中档题．
（14）【2014年广西，理14，5分】设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
，则4z x y =+的最大值为 ．
【答案】5
【解析】由约束条件0
2321
x y x y x y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪-≤⎩
作出可行域如图，联立023x y x y -=⎧⎨+=⎩，解得()1,1C ．
化目标函数4z x y =+为直线方程的斜截式，得144
z
y x =-+．
由图可知，当直线144
z
y x =-+过C 点时，直线在y 轴上的截距最大，z 最大．此时max 1415z =+⨯=．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题． （15）【2014年广西，理15，5分】直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为()1,3，则1l 与2l
的
夹角的正切值等于____________． 【答案】4
3
【解析】设1l 与2l 的夹角为2θ，由于1l 与2l 的交点()1,3A 在圆的外部，且点A 与圆心O
之间的距离为
OA =
r =
sin r OA θ=
=
，cos θ=，sin 1tan cos 2θθθ==，2
2tan 14
tan 211tan 314
θθθ=
==--． 【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，直角三角形中的变角关系，同角三角函数的基本关系、二倍角的正
切公式的应用，属于中档题．
（16）【2014年广西，理16，5分】若函数()cos2sin f x x a x =+在区间(,)62
ππ
是减函数，则a 的取值范围是 ．
【答案】(],2-∞
【解析】由()2cos 2sin 2sin sin 1f x x a x x a x =+=-++，令sin t x =，则原函数化为221y t at =-++．∵(,)62
x ππ
∈
时()f x 为减函数，则221y t at =-++在1,12t ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上为减函数，∵221y t at =-++的图象开口向下，且
对称轴方程为4a t =．∴1
42
a ≤，解得：2a ≤．∴a 的取值范围是(],2-∞．
【点评】本题考查复合函数的单调性，考查了换元法，关键是由换元后函数为减函数求得二次函数的对称轴的位
置，是中档题．
三、解答题：本大题共6题，共75分． （17）【2014年广西，理17，10分】ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a C c A =，
1
tan 3
A =，求
B ．
解：根据正弦定理，由3cos 2cos 3sin cos 2sin cos a C c A A C C A =⇒=sin sin 323tan 2tan cos cos A C
A C A C
⇒⨯=⨯⇒=
因为1tan 3
A =，所以1132tan tan 32C C ⨯=⇒=，所以11tan tan 32tan()1111tan tan 132
A C A C A C +
++==
=--⨯ 因为0A C π<+<，所以4A C π+=，由三角形的内角和可得344
B ππ
π=-=．
【点评】本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与基本
技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
（18）【2014年广西，理18，12分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a =，2a 为整数，且4n S S ≤．
（1）求{}n a 的通项公式；
（2）设11
n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，而110a =，从而有10(1)n a n d =+-若，0d =，10n S n =，此时4n S S ≤不
成立；若0d >，数列{}n a 是一个单调递增数列，n S 随着n 的增大而增大，也不满足4n S S ≤；当0d <时， 数列{}n a 是一个单调递减数列，要使4n S S ≤，则须满足5400
a a ≤⎧⎨≥⎩，即1040105
103032d d d +≤⎧⇒-≤≤-⎨
+≥⎩，又因 为21a a d =+为整数，所以d Z ∈，所以3d =-，此时103(1)133n a n n =--=-．
（2）由（1）可得1111111
()(133)(103)(313)(310)3133103
n n n b a a n n n n n n +=
===-⨯------， 所以111111111
(())(())()31073743133103n T n n =---+---++-⨯--
1111111111(()()())()31077431331031031010(310)
n n n n n =---+---++-=--=-----．
【点评】本题主要考查数列通项公式及数列和的求法，考查学生对裂项相消求和的能力及运算能力，属中档题． （19）【2014年广西，理19，12分】如图，三棱柱111ABC A B C -中，点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上，
090ACB ∠=，11,2BC AC CC ===．
（1）证明：11AC A B ⊥；
（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A AB C --的大小． 解：解法一： （1）因为1A D ⊥平面ABC ，1A D ⊆平面11AA
C C ，故平面11AA C C ⊥平面ABC ． 又BC AC ⊥，所以BC ⊥平面11AA C C ．连结1A C ．因为侧面11AA C C 为菱形，故11AC A C ⊥． 由三垂线定理得11AC A B ⊥．
（2）BC ⊥平面11AA C C ，BC ⊆平面11BCC B ，故平面11AA C C ⊥平面11BCC B ．
作11A E CC ⊥，E 为垂足，则1A E ⊥平面11BCC B ．又直线1//A A 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1A A
与平面11BCC B 的距离，13A E =．因为1A C 为11A CC ∠的平分线，故113A D A E ==．作DF AB ⊥， F 为垂足，连结1A F ．由三垂线定理得1A F AB ⊥，故1A FD ∠为二面角1A AB C --的平面角．
由22111AD AA A D =
-=得D 为C A 中点，15
=25
AC BC DF AB ⨯⨯=
，11tan 15A D A FD DF ∠==． 所以二面角1A AB C --的大小为arc tan 15． 解法二：
以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角 坐标系C xyz -，由题设知1A D 与x 轴平行，z 轴在平面11AA C C 内
（1）设1(,0,)A a c ，由题设有2,(2,0,0),(0,1,0)a A B ≤，则(2,1,0),(2,0,0)AB AC =-=-，
1(2,0,)AA a c =-，111(4,0,),(,1,)
AC AC AA a c BA a c =+=-=-
………………2分
由221||2(2)2AA a c =⇒-+=，即2240a a c -+=①
于是221140AC BA a a c ⋅=-+=，所以11AC A B ⊥． ……………………5分 （2）设平面11BCC B 的法向量(,,)m x y z =，则1,m CB m BB ⊥⊥，所以10,0m CB m BB ⋅=⋅=，
因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ===-，所以0
(2)0y a x cz =⎧⎨-+=⎩
，令x c =，则2z a =-，
(,0,2)m c a ∴=-， 点A 到平面11BCC B 的距离为2222222|||cos ,|2
||(2)44CA m c c c
CA m CA c m c a a a c ⋅⋅<>=
====+--++， 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c =代入①解得3a =（舍去）或1a = ……8分 于是1(1,0,3)AA =-，设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB ⊥⊥所以10,0n AA n AB ⋅=⋅=，
所以3303202p r r p p q q p
⎧⎧-+==
⎪⎪⇒⎨⎨-+=⎪⎩⎪=⎩
，令3p =，则23,1,(3,23,1)q r n ===，又(0,0,1)p =为平面ABC
的法向量，故22211
cos ,4
||||(3)(23)11n p n p n p ⋅<>===⋅++⨯，
所以二面角1A AB C --的大小为1
arccos 4
． ………………………………………………………12分
【点评】本题考查二面角的求解，作出并证明二面角的平面角是解决问题的关键，属中档题． （20）【2014年广西，理20，12分】设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，
各人是否需使用设备相互独立．
（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；
（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望．
解：记i A 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，0,1,2i =，
B 表示事件：甲需使用设备，
C 表示事件：丁需使用设备，
D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备
（1）122D A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅，
22()0.6,()0.4,()0.5,0,1,2i
i P B P C P A C i ====，
所以122()()P D P A B C A B A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅122()()()P A B C P A B P A B C =⋅⋅+⋅+⋅⋅
122()()()()()()()()P A P B P C P A P B P A P B P C =++0.31=．
（2） X 的可能取值为0，1，2，3，4，0(0)()P X P B C A ==⋅⋅0()()()P B P C P A =2(10.6)(10.4)0.50.06=-⨯-⨯=
001001222(1)()()()()()()()()()()
0.60.5(10.4)(10.6)0.50.4(10.6)20.5(10.4)0.25
P X P B A C B A C B A C P B P A P C P B P A P C P B P A P C ==⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯⨯-+-⨯⨯+-⨯⨯⨯-=
2(4)()P X P B C A ==⋅⋅2()()()P B P C P A =20.50.60.40.06=⨯⨯=，(3)()(4)0.25P X P D P X ==-==，
(2)1(0)(1)(3)(4)0.38P X P X P X P X P X ==-=-=-=-== 所以X
(X)(2)0(0)1(1)2(3)3(3)4(4)E P X P X P X P X P X P X ===⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯=
0.2520.3830.2540.06=+⨯+⨯+⨯2=．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率和数学期望，关键是找到独立的事件，计算要有耐心，属于难题． （21）【2014年广西，理21，12分】已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，直线4y =与y 轴的交点为P ，
与C 的交点为Q ，且5
||||4
QF PQ =．
（1）求C 的方程；
（2）过的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、
N 四点在同一圆上，求l 的方程．
解：（1）设0(,4)Q x ，代入22y px =得08x p =，所以8PQ p =，8
22p p p QF x p
=+=+，
由题设得858
24p p p
+=⨯．解得2p =-或2p =，所以C 的方程为24y x =．
（2）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为1x my =+（0m ≠），代入24y x =得2440y my --=
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124y y m +=，124y y =-，故AB 的中点为2(21,2)D m m +．
214(1)AB y m =-=+，又'l 的斜率为m -，所以'l 的方程为21
23x y m m
=-++
将上式代入24y x =，并整理得224
4(23)0y y m m
+-+=，设33(,)M x y ，44(,)N x y ，则344y y m +=-，
2
344(23)y y m =-+故MN 的中点为2222
(23,)E m m m
++-．3MN y =
-= 由于MN 垂直平分AB ，故A 、M 、B 、N 四点在同一圆上等价于1
2
AE BE MN ==，
从而2221144AB DE MN +=，即22
222222
22
224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，
化简得210m -=，解得1m =或1m =-，所求直线l 的方程为：10x y --=或10x y +-=．
【点评】本题主要考查求抛物线的标准方程，直线和圆锥曲线的位置关系的应用，韦达定理、弦长公式的应用，
体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
（22）【2014年广西，理22，12分】函数()ln(1)(1)ax
f x x a x a
=+->+．
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设111,ln(1)n n a a a +==+，证明：23+22n a n n <≤+． 解：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞，2'
2
[(2)]()(1)()x x a a f x x x a --=++，
（i ）当12a <<时，若2(1,2)x a a ∈--，则'()0f x >，()f x 在2(1,2)a a --上是增函数；
若2(2,0)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(2,0)a a -上是减函数； 若(0,)x ∈+∞，则'()0f x >，()f x 在(0,)+∞上是增函数；
（ii ）当2a =时，'()0f x ≥，'()0f x =成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞上是增函数； （iii ）当2a >时，若(1,0)x ∈-，则'()0f x >，()f x 在(1,0)-上是增函数；
若2(0,2)x a a ∈-，则'()0f x <，()f x 在2(0,2)a a -上是减函数；
若2(2,)x a a ∈-+∞，则'()0f x >，()f x 在2(2,)a a -+∞上是增函数．
（2）由（1）知，当2a =时，()f x 在(1,)-+∞上是增函数，当(0,)x ∈+∞时，则()(0)0f x f >=，
2ln(1)(0)2
x
x x x +>>+．又由（1）知，当3a =时，()f x 在[)0,3上是减函数．
当(0,3)x ∈时，则()(0)0f x f <=，即3ln(1)(03)3
x
x x x +<<<+．
下面用数学归纳法证明23
+22n a n n <≤
+． （i ）当1n =时，由已知12
13
a <=，故结论成立；
（ii ）设当n k =时结论成立，即23
+22
k a k k <≤
+．当1n k =+时，成立当且仅当0x =，()f x 在(1,)-+∞ 上是增函数；12222+2ln(1)ln(1)2+23+2+2k k k a a k k k +⨯
=+>+>=+，13
333+2ln(1)ln(1)3+23+3+2
k k k a a k k k +⨯
=+≤+<
=+， 即当1n k =+时有
123
+33
k a k k +<≤
+，结论成立． 根据（i ）、（ii ）知对任何*n N ∈结论都成立．
【点评】本题主要考查函数单调性和导数之间的关系，以及利用数学归纳法证明不等式，综合性较强，难度较大．。