第二篇图论习题.ppt
第五部分图论第二部分教学-PPT精选
比较T4中各点指标可知：e和g的指标相同，且最小，
故可选其中一个，DT5(e)=8是a到e的最短路径长度，
abcfe是a到e的最短路径。
21
令 T6＝T5－{e}={g, z} T6中各结点的指标为：
D T 6(g)m in (D T 5(g),D T 5(e) W (e,g))
m in (8 , )8 通路：abcg
已知当前目标集为Tm={tm, tm+1, …, tn}，且 DTm(ti)是ti关于目标集T的指标，tm是最小指标点。
要求新的目标集Tm+1= Tm －{tm}中任意点ti的指标 可用下公式求得：
D m 1 m T D m ( t i i ) D T n , m ( t m ) ( T W ( t m , t i )i ) m 1 ,n ..
证明(续)：
(2) (反证法) 假设存在ti(i2) ，使得a到
ti的最短通路小于a到t1的最短通路。设
该通路为P，边权值和为d。则 d<DT(t1)且d<DT(ti)。
t2
已知DT(ti)是从a到ti但不通过T中其 它顶点的通路中权和最小者，则P一定
至少通过T中一个其它顶点。设t2是P 经过T中的第一个顶点，则：
d
m in( , ) 通路：无
c是指标最小的点。
a到c的最短通路为： abc,边权和为DT2(c)=3
7 g
T2
18
令 T 3 = T 2 { c } { d , e , f , g , z } , T 3 中 各 点 的 指 标 为
D T 3(d ) m in (D T 2(d ),D T 2(c) W (c,d ))
两点间的最短通路必为基本通路。
图论习题答案2
第四次作业
四(13).设M是二分图G的最大匹配，则 | M || X | max| S | | N ( S )| ，
SX
证明： | X | max| S | | N ( S )| min(| X | | S |) | N ( S )| ，而（X - S ) N ( S )是G的一个覆盖，则 min(| X | | S |) | N ( S )|是G的最小覆盖，
第七次作业
• 五(28).设sn是满足下列条件的最小整数，把 {1,2,...,sn}任划分成n个子集后，总有一个子集 中含有x+y=z的根，求s1,s2,s3是多少？ • 解：n=1,枚举得s1=2; • s2=5 • s3=14
第七次作业
五(34).求证r(k, l) = r(l, k) 证明：若G含有K k 子图，则G c 含有k个顶点的独立集；若G含有 l个顶点的独立集，则G c 含有K l 子图。则命题成立。
五 (13).若 是单图 G 顶的最小次数，证明； 若 1则存在 1边着色， 使与每顶关联的边种有 1种颜色。 反证法：假设在 v1处无 i 0色 设 C (E 1 , E 2 ,..., E 1 )为 G 的( 1) 最佳边着色 第一步：构造点列： v1 , v 2 ,..., v h , v h 1 ,....., vl ,.... v1处无 i 0色， v j v j 1着 i j色，且在 v j点处 i j 色重复出现，可知在 v j1处仅一 个 i j色；证明如下： 用反证法证明，假设在 v j1处 i j色重复出现，将 v j v j 1改成 v j 所关联的边 没有的颜色 im，则可以对图 G 的找色进行改善。与 C 是最佳边着色矛盾， 假设不成立。 又 是单图 G 顶的最小次数，则必存 在最小整数 h使得 i h i l 第二步：着色调整： v j v j 1着 i j-1色 ( j 1,2,..., h )，所得新着色为 C ' 在 C '中， v1处多了个 i 0色， v h 1处少了个 i h 色，其他点的边着色数 不变， 所以 C ' 还是 1最佳边着色
图论课件-PPT课件
学习方法
目的明确
态度端正 理论和实践相结合
充分利用资源
逐步实现从知识到能力到素质的深化和
升华
课程考核
平时成绩 （30%-40%）
闭卷考试 （60%-70%）
图论模型
为了抽象和简化现实世界，常建立数学模型。图是关 系的数学表示，为了深刻理解事物之间的联系，图 是常用的数学模型。 (1) 化学中的图论模型 19世纪，化学家凯莱用图论研究简单烃——即碳氢 化合物 用点抽象分子式中的碳原子和氢原子，用边抽象原子间 的化学键。
E={w1r1, w1r2, w2r2, w2r3, w2r4, w3r3, w3r5}代表每个仓库和每个 零售店间的关联。则图模型图形为： w1 w2 w3
r1
r2
r3
r4
r5
29
(3) 最短航线问题 用点表示城市，两点连线当且仅当两城市有航线。为了 求出两城市间最短航线，需要在线的旁边注明距离值。 例如：令V={a, b, c, d, e}代表5个城市} E={a b, ad, b c , be, de}代表城市间的直达航线 则航线图的图形为： a 320 500 d 370 b 140 430 e c
图论学科简介 （2）
19世纪末期，图论应用于电网络方程组
和有机化学中的分子结构 20世纪中叶，由于计算机的发展，图论 用来求解生产管理、军事、交通运输、 计算机和网络通信等领域中的离散性问 题 物理学、化学、运筹学、计算机科学、 电子学、信息论、控制论、网络理论、 社会科学、管理科学等领域应用
七桥问题
近代图论的历史可追溯到18世纪的七桥问题:
穿过Kö nigsberg城的七座桥，要求每座桥通过 一次且仅通过一次。
图论及其应用 第二章答案
)3( 题属中国邮路问题除第欧拉图与哈密尔顿图<1.>给定一个由16条线段构成的图形（见下图）.证明：不能引一条折线与每一线段恰好相交一次（折线可以是不封闭的和自由相交的，但他的顶点不在给定的线段上）证明：建立一个图G ：顶点i v 代表图形的区域(1,2,3,4,5,6)i X i ，顶点i v 与j v 之间连接的边数等于区域i X 与j X 公共线段的数目.于是，将上图的区域和边可转化成下图：由顶点度数知不存在欧拉路，从1X 到6X 只能相交于外面的两条线段.<2.>下列图形中哪些能一笔画成.解：只需考虑该图是否有欧拉路（即有两个奇点或者无奇点），故第一个和第三个可以一笔画成，第二个不能一笔画成.<4.>下图是某个展览馆的平面图，其中每个相邻的展览室有门相通.证明：不存在一条从A 进入，经过每个展览室恰好一次再从A 处出来的参观路线.证：用顶点代表展览室，两顶点相邻当且仅当这两点所对应的展览室有门相通，则可得一个连通简单图G （见下图）.因此，只要证明G 中不存在H —回路即可.具体理由如下：令}{1216,,,S y y y = ，则显然S 是G 的真子集，而()1816G S S ω-=>=（x 共18个，y 共16个），故由讲义中定理2.3知不存在H —回路.<5.>某次会议有20人参加，其中每个人都至少有10个朋友.这20人围一桌入座，要想使与每个人相邻的两位都是朋友是否可能？解:用顶点代表人，两人是朋友时相应顶点间连一边，得到一个无向图(,)G V E =.只要证明G 中存在H —回路即可. G 是10阶连通图，对于20n =，且()10,()10G G d u d v ≥≥，可得：()()20G G d u d v n +≥=，故由讲义中定理2.4知G 中存在H —回路.<6.>已知,,,,,,a b c d e f g 七个人中，a 会讲英语，b 会讲英语和汉语，c 会讲英语、意大利语和俄语，d 会讲汉语和日语，e 会讲意大利语和德语，f 会讲俄语、日语和法语，g 会讲德语和法语.能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈.解：用七个顶点表示这七个人.若两人能交谈（会讲同一种语言），就在这两顶点之间连一条边，得到图G .只要证明图G 中存在H -回路即可. 具体结果如下：c e g f d b a c 意大利语德语法语日语汉语英语英语 .<7.>设G 是分划为,X Y 的二部图，且X Y ≠，则G 一定不是H —图。
图论作业2
习题四：3.（1）画一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；（2）画一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；（3）画一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图；（4）画一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图；解：找到的图如下：(1) 一个有Euler 闭迹和Hamilton 圈的图；(2) 一个有Euler 闭迹但没有Hamilton 圈的图；(3) 一个有Hamilton 圈但没有Euler 闭迹的图;(4)一个即没有Hamilton 圈也没有Euler 闭迹的图.4.设n 阶无向简单图G 有m 条边，证明:若m ≥(n−12)+2,则G 是Hamilton 图。
证明: G 是H 图。
若不然，因为G 是无向简单图，则n ≥3,由定理1：若G 是n ≥3的非单图，则G 度弱于某个C m,n .于是有：2,1()()(2)(1)(1)2111(1)(2)(1)(21)221 1.2m n E G E C m n m n m m m n m m m n m n ⎡⎤≤=+---+-⎣⎦-⎛⎫=+------- ⎪⎝⎭-⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭这与条件矛盾！所以G 是H 图。
8.证明：若G 有2k ≥0个奇点，则存在k 条边不重的迹Q 1,Q 2…Q k ,使得E (G )=E (Q 1)∪E (Q 2)∪E (Q 3)∪⋯∪E(Q k ).证明：不失一般性，只就G 是连通图进行证明。
设G=(n, m)是连通图。
令v l ，v 2，…,v k ,v k+1,…,v 2k 是G 的所有奇度点。
在v i 与v i+k 间连新边e i 得图G*（1≦i ≦k).则G*是欧拉图，因此，由Fleury 算法得欧拉环游C.在C 中删去e i （1≦i ≦k).得k 条边不重的迹Q i （1≦i ≦k):12()()()()k E G E Q E Q E Q =10.证明：若：（1）G 不是二连通图，或者（2）G 是具有二分类(X,Y )的偶图，这里|X |≠|Y |,则G 是非Hamilton 图。
图论试题及答案解析图片
图论试题及答案解析图片一、选择题1. 图论中，图的基本元素是什么？A. 点和线B. 点和面C. 线和面D. 点和边答案：A2. 在无向图中，如果两个顶点之间存在一条边，则称这两个顶点是：A. 相邻的B. 相连的C. 相等的D. 相异的答案：A3. 在有向图中，如果从顶点A到顶点B有一条有向边，则称顶点A是顶点B的：A. 父顶点B. 子顶点C. 邻接顶点D. 非邻接顶点答案：B4. 一个图的度是指：A. 图中顶点的总数B. 图中边的总数C. 一个顶点的边数D. 图的连通性答案：C5. 一个图是连通的，当且仅当：A. 图中任意两个顶点都是相邻的B. 图中任意两个顶点都可以通过边相连C. 图中任意两个顶点都可以通过路径相连D. 图中任意两个顶点都可以通过子顶点相连答案：C二、填空题1. 在图论中，一个顶点的度数是该顶点的________。
答案：边数2. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过边相连，则称该图为________。
答案：完全图3. 一个图中，如果存在一个顶点到其他所有顶点都有边相连，则称该顶点为________。
答案：中心顶点4. 图论中，最短路径问题是指在图中找到两个顶点之间的________。
答案：最短路径5. 如果一个图的任意两个顶点都可以通过有向路径相连，则称该图为________。
答案：强连通图三、简答题1. 请简述图论中的欧拉路径和哈密顿路径的定义。
答案：欧拉路径是指在图中经过每条边恰好一次的路径，而哈密顿路径是指在图中经过每个顶点恰好一次的路径。
2. 什么是图的着色问题？答案：图的着色问题是指将图中的顶点用不同的颜色进行标记，使得相邻的两个顶点颜色不同。
四、计算题1. 给定一个无向图G，顶点集为{A, B, C, D, E}，边集为{AB, BC, CD, DE, EA}，请画出该图，并计算其最小生成树的权重。
答案：首先画出图G的示意图，然后使用克鲁斯卡尔算法或普里姆算法计算最小生成树的权重。
离散数学图论2PPT教学课件
且走过所有结点，就是所谓的一笔画.
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（2）欧拉图或通路的判定 1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的
所有结点度数为偶数):(定理1) 2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇
数度的结点；(定理1的推论) 3) 连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D
m
② mij degvi() j1
nm
nm
③ (m ij 1 ) (m ij 1 )m
2020/12i /11 1 j 1
i 1j 1
3
4．(有向图)邻接矩阵
设D=<V,E>, Vn,Em
A(D)= aij n
其中aij=邻接vi与vj的边的条数 (与A(G)类似) ( 以行和列均为结点)
aij
0
，表明vi是孤立点;
j1
i1
j1
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3．(有向图)关联矩阵
设D＝<V,E>, Vn,Em
M(D)= mij nm
1
其中 mij 0
vi为始,点 vj为终点
vi与vj不关联 (结点为行，边为列).
具有性质： 1 vi为终， 点vj为始点
n
① mij 0 (列元素之和为 0）； i1
二、图的矩阵表示、欧拉图
1．（无向图)
设G=<V,E>, Vn,Em M(G)= mij nm
其中mij=vi与ej的关联次数(行为结点，列为边). 具有性质：
m
① mij 2(列元素之和为2)；
i1
m
② mij degv,(i若)
离散数学课件图论2
有向边: 带箭头的弧线。 从u到v的边表示成 <u,v>
无向边:不带箭头的弧线。 u和v间的边表示成 (u,v)
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实例
1. 设 V1= {v1, v2, …,v5}, E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3), (v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)}
例： 给定右图所示 V/R={ {a,b,g}，{c,d,e,f}，{h} }
h
gf
e
a
bc
d
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14-3 图的连通性
［G的连通性与连通分支］ ① 若u, vV，uv，则称G是连通的 ② V/R={V1,V2,…,Vk}，称等价类构成的子图G[V1], G[V2], …,G[Vk]为G的连通分支，其个数 p(G)=k (k1)； k=1，G是连通的。
定义：设G=<V,E>为n阶无向简单图，以V为顶点集，以所 有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图， 称为G的补图，记作 G 。
若G G , 则称G是自补图。 相对于K4, 求上面图中所有图的补图，并指出哪些是自补图. 问：互为自补图的两个图的边数有何关系？
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14-1 图
6. 邻域与关联集 ① vV(G) (G为无向图) v 的邻 N (v ) { 域 u |u V (G ) (u ,v ) E (G ) u v }
(优选)第二讲图论模型Ppt
用 G (V (G), E(G)) 表示图，简记 G (V , E). 也用 viv j 来表示边 (vi ,v j ).
例设 G (V (G), E(G)) ， 其中：V (G) {v1,v2,v3,v4}， E(G) {e1,e2, e3,e4,e5,e6} ， e1 v1v1，e2 v2v3，e3 v1v3， e4 v1v4，e5 v3v4，e6 v3v4. （见图 2）
6) 任意两顶点都相邻的简单图,称为完全图. 记为Kv.
7) 若V (G) X Y，X Y ，且X 中任意两顶点不
相邻，Y 中任意两顶点不相邻，则称为二部图或 偶图；若X中每一顶点皆与Y 中一切顶点相邻,称为 完全二部图或完全偶图,记为Km,n (m=|X|,n=|Y|)．
，
8) 图 K1,n 叫做星.
X : x1 x2 x3 X : x1 x2 x3
Y : y1 y2 y3 y4 Y : y1 y2 y3 y4
K1,4
K6
二部图
K3,4
2) 赋权图与子图
定义 若图 G (V (G), E(G)) 的每一条边e 都赋以 一个实数w(e)，称w(e)为边e的权，G 连同边上的权 称为赋权图.
定义 设 G (V , E)和 G (V , E)是两个图. 1) 若V V , E E ,称 G是 G 的一个子图,记 G G. 2) 若V V，E E ，则称 G是G的生成子图.
常用术语
1) 边和它的两端点称为互相关联.
2)与同一条边关联的两个端点称 为相邻的顶点，与同一个顶点 点关联的两条边称为相邻的边.
3) 端点重合为一点的边称为环， 端点不相同的边称为连杆.
图论-总结PPT课件
.
16
第三节 割点、桥和割集
3.1 割点和桥(割边)
定义1 设v是图G的一个顶点，若G-v的支数大于 G的支数，则称顶点v为图G的一个割点(如图)。
degu + degv≥p-1，
则G是连通的。[这个定理是一个充分条件]
定理3 设G=(V,E)是至少有一个顶点不是弧立顶 点的图。若对任意v∈V，degv为偶数，则G中 有回路。
定理4 若图G中的两个不同顶点u与v间有两条不 同的路联结，则G中有回路。
.
6
例1 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 G连通G+uv连通。
.
8
第五节 欧拉图(Euler)
5.1 欧拉图
定义1 设(G,V)是一个图，则包含图的所有顶 点和所有边的闭迹称为欧拉闭迹；存在一 条欧拉闭迹的图称为欧拉图。
定理1 图G是欧拉图当且仅当G是连通的且每 个顶点的度都是偶数。
(定理1对多重图也成立)
.
9
第六节 哈密顿图
6.1 哈密顿图 定义1 设G是一个图，则图G中包含G的所有顶
数称为顶点v的度，记为degv。 定理1 (握手定理)设G=(V,E)是一个具有p个顶点q条边的图,
则G中各顶点度的和等于边的条数q的两倍，即∑degv=2q。 推论1任一图中，度为奇数的顶点的数目必为偶数。
.
3
定义3 设G是图，若Δ(G)=δ(G)=r，即G的每个顶点的 度都等于r，则G称为r度正则图。
第二篇 图论-习题
习题3 习题3
为正整数， 例1 设p，q为正整数，则 为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？ Kp是欧拉图 （1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值 Kp为半欧拉图 为半欧拉图？ 时Kp为半欧拉图？ （2）p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ p,q为何值时Kp,q为欧拉图？ 为何值时Kp,q为欧拉图 p,q为何值时Kp,q为哈密顿图 为何值时Kp,q为哈密顿图？ （3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？ 为何值时，轮图Wp为欧拉图？ Wp为欧拉图 （4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？ 判断如图所示的图是否为哈密顿图， 例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。 密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
e
c b a
f a g j
d
d
j i
h
i
e h
b
c
f
g
给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子， 10个顶点的非哈密顿图的例子 例3 给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每 一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥9。 一对不邻接的顶点u 均有degu+degv≥9。 degu+degv≥9 证明：完全图K 例4 证明：完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条 哈密顿回路和一条哈密顿路？ 哈密顿回路和一条哈密顿路？ 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 Kp中不同的哈密顿圈的个数 例5 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图； 例6(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。 完全偶图K 为哈密顿图的充要条件是什么？ (2) 完全偶图Km,n为哈密顿图的充要条件是什么 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 12面体的表面上有无哈密顿回路 例7 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为 是连通图且顶点数为p,最小度数为δ 例8设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ， p>2δ 中有一长至少为2 的路。 若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。 证明：彼德森图不是哈密顿图。 例9 证明：彼德森图不是哈密顿图。
第6-8章---图论2PPT课件
-
6
8.判别一个二部图中存在完备匹配的相异性条件和t条 件分别是充要条件和充分条件,但t条件对任一二部图能 极容易地进行检验,因而在考虑用较为复杂的相异性条 件之前,可首先用t条件判断,如果t条件不成立,再用相异 性条件判断。
9.图是点（边或面）k-可着色的，是指能用k种颜色给 图的结点（边或面）着色，但k不一定是最少的颜色数。 图是点（边或面）k-色的，是指最少要用k种颜色绘图 的结点（边或面）着色。平面图的面着色问题一般化 为对其偶图的点着色问题。Welch-Powell算法是近似 算法，它给出的结点着色的颜色数不一定是最少的， 而是较少的。
6.掌握最小点覆盖、最小边覆盖、最大点独立集、最 大边独立集（匹配）、最大匹配、完美匹配、完备匹 配、可增广路径等概念，能够利用相异性条件和t条件
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2
判定二部图中是否存在完备匹配，了解可增广路径求 完备匹配的方法和思想。
7.掌握结点着色、边着色、面着色等概念及有关性质， 能够用Welch—power算法确定一个使图的颜色数尽可 能少的结点着色。
数目。
3.掌握求图中某个结点到其他任一结点的最短路径的 Dijkstra算法，以及求图中任意两个结点的最短路径的
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1
Warshsll算法。
4.掌握欧拉图和哈密尔顿图的概念及其判别方法，能 够利用fleury
算法求欧拉回路，了解邮路问题，能够用近邻法求哈 密尔顿回路。
5.掌握平面图、面、边界、极大平面图、同胚等概念 及有关性质，能够判定一个图是否为平面图。
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§6.3基本题
§6.3.1选择题
1.设D=<V，E>为有向图，则有（
A. E ∈ V*V
B.EV*V
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例9 9个学生，每个学生向其他学生中的3个学生各送 一张贺年卡。确定能否使每个学生收到的卡均来自 其送过卡的相同人？为什么？
解:否，不存在9（奇数）个顶点的3－正则图。
习题课 2
例10 若G是一个恰有两个奇度顶点u和v的无向图，则 （1）顶点u与v连通；（2）G连通G+uv连通。
例1 设G为p阶简单无向图，p＞2且p为奇数，G和G的 补图GC 中度数为奇数的顶点的个数是否一定相等？ 试证明你的结论。 例2 设V={v1,v2,…,vp}，计算以V为顶点集的无向图 的个数是多少？(KP有多少个生成子图) 例3 设V={v1,v2,…,vp},q≤p(p-1)/2，计算以V为顶 点集具有q条边的无向图的个数是多少？
习题课1
例1 设d=(d1,d2,…,dn),其中di为非负整数， i=1,2,…,n。若存在n个顶点的(简单)无向图,使得顶 点vi的度为di，则称d是可图解的。下面给出的各序列 中哪些是可图解的？哪些不是，为什么？ （1）（1,1,1,2,3）； （6）（1,3,3,3）； （2）（0,1,1,2,3,3）；（7）（2,3,3,4,5,6）； （3）（3,3,3,3）； （8）（1,3,3,4,5,6,6）； （4）（2,3,3,4,4,5）；（9）（2,2,4）； （5）（2,3,4,4,5）； （10）(1,2,2,3,4,Kp,q为欧拉图？
（3）p,q为何值时Kp,q为哈密顿图？
（4）p为何值时，轮图Wp为欧拉图？
例2 判断如图所示的图是否为哈密顿图，若是写出哈
密顿圈，否则证明其不是哈密顿图。
a
g
e
f
j
d
b c
d j
a i
h
i
b
c
e h
f g
例3 给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子，使得每 一对不邻接的顶点u和v，均有degu+degv≥9。 例4 证明：完全图K9中至少存在彼此无公共边的两条 哈密顿回路和一条哈密顿路？
例13 某公司来了9名新雇员，工作时间不能互相交谈。 为了尽快互相了解，他们决定利用每天吃午饭时间相 互交谈。于是，每天在吃午饭时他们围在一张圆桌旁 坐下，他们是这样安排的，每一次每人的左、右邻均 与以前的人不同。问这样的安排法能坚持多久？ 例14 已知a,b,c,d,e,f,g7个人中，a会讲英语；b会 讲英语和汉语；c会讲英语、意大利语和俄语；d会讲 汉语和日语；e会讲意大利语和德语；f会讲俄语、日 语和法语；g会讲德语和法语。能否将他们的座位安 排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？
例2 画出具有 6、8、10、…、2n个顶点的三次图； 是否有7个顶点的三次图？
例3 无向图有21条边，12个3度数顶点，其余顶点的 度数均为2，求的顶点数。 (p=15)
例4 下列各无向图中有几个顶点？ (1) 16条边，每个顶点的度为2； (2) 21条边，3 个4度顶点，其余的都为3度数顶点； (3) 24条边，各顶点的度数相同。 (1. p=16; 2. p=13; 3. pk=48讨论)
例5 设图G中有9个顶点，每个顶点的度不是5就是6。 证明:G中至少有5个6度顶点或至少有6个5度顶点。
例6 有n个药箱，若每两个药箱里有一种相同的药， 而每种药恰好放在两个药箱中，问药箱里共有多 少种药？
例7 设G是有个p顶点，q条边的无向图，各顶点的度 数均为3。则 (1)若q=3p-6,证明:G在同构意义下唯一，并求p,q。 (2)若p=6，证明:G在同构的意义下不唯一。
例7 给无向完全图Kp(p≥7)的各边随意地涂上红色或 绿色，若已知从某点v0引出的p-1条边中至少有6条边 涂红色，则Kp存在红色的K4或绿色的K3。
例8 有17位学者，每2位讨论3篇论文中的一篇且仅一 篇，证明：至少有3位学者，他们相互讨论的是同一篇 论文。
习题3
例1 设p，q为正整数，则
（1）p为何值时，无向完全图Kp是欧拉图？p为何值
例5 试求Kp中不同的哈密顿圈的个数。 例6(1) 证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图；用 此结论证明如图所示的图不是哈密顿图。
(2) 完全偶图Km,n为哈密顿图的充要条件是什么？ 例7 菱形12面体的表面上有无哈密顿回路？ 例8设G=(V,E)是连通图且顶点数为p,最小度数为δ， 若p>2δ,则G中有一长至少为2δ的路。 例9 证明：彼德森图不是哈密顿图。
例10 某工厂生产由6种不同颜色的纱织成的双色布。 双色布中，每一种颜色至少和其他3种颜色搭配。证 明:可以挑出3种不同的双色布,它们含有所有6种颜色。 与例8等价的例题： 例11 今要将6个人分成3组（每组2个人）去完成3项 任务，已知每个人至少与其余5个人中的3个人能相互 合作，问：
(1)能否使得每组2个人ⅰ都能相互合作？ (2)你能给出集中方案？（两种） 例12 设G=(V,E)是p(p>3)个顶点的简单无向图,设G中 最长路L的长度为l(l≥2)，起点与终点分别为u,v， 而且degu+degv≥p。证明：G中必有与L不完全相同但 长度也为L的路。
例4 设G是（p,q）图，r≤q，则具有r条边的G的生成 子图有多少？ 答案： 2p(p-1)/2 ，Cqp(p-1)/2 ，Crq。
例5 证明：若无向图G是不连通的，则G的补图GC是连 通的。（逆命题不成立）
例6 将无向完全图K6的边随意地涂上红色或绿色,证明: 无论何种涂法,总有红色的K3或绿色K3。
例15 设G为p个顶点的简单无向图。 (1) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+2，证明G为
哈密顿图。 (2) 若G的边数q= (p-1)·(p-2)/2+1，则G是否
一定为哈密顿图？
例16 如图所示的图G是哈密顿图。试证明：若图中
的哈密顿回路中含边e1，则它一定同时也含e2。 例17 已知9个人v1,v2,…,v9，其中v1和两个人握过手， v2,v3,v4,v5各和3个人握过手，v6和4个人握过手， v7,v8各和5个人握过手，v9和6个人握过手。证明:这 9个人中一定可以找出3个人互相握过手。