162二次根式的乘除 (2)
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复习回顾
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2 a（a≥0）
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
计算： 30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 3 30 8 2 5
2
32
二次根 式的混合
( 3 2)( 10 8 5 )
(6)
4 4 (7) 9
a2b 8c 2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a
2a a
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab（a≥0，
b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
探究
把 a b ab
反过来，就可以
得到:
ab a
b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12 43 22 3 2 3 (2) 27 15 9 3 3 5
2
2
运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理ຫໍສະໝຸດ Baidu
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a bb
a a（a≥0，b＞0） bb
最简二次根式。
巩固练习
1、化简：
(1) 24 (2) 9125 (3) 32 42
(4) 29 2 212 (5) 4a2b3c
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解
计算：(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9
20 (2 3 3)2 2018 360
解： (2) 6 15 10 6 15 10 233552
(235)2 302 30
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0， b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2.
( a )2 a（a≥0）
a2 a（a≥0）
复习回顾
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？
探究
下列根式中，哪些是最简二次根式？
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
计算： 30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 3 30 8 2 5
2
32
二次根 式的混合
( 3 2)( 10 8 5 )
(6)
4 4 (7) 9
a2b 8c 2
2、计算：
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a
2a a
化简 25x3 y4
解：由二次根式的意义可知：
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算：
有什么发现？
(1) 4 2 ( 2) 4 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
12 2 3
探究
把 a a 反过来，就可以得到: bb
a a （a≥0，b＞0） bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
一般情况下，a≥0，b≥0时， a 与b ab
有什么关系？
一般地，对于二次根式的乘法，有：
a b ab（a≥0，
b≥0）
例题讲解
计算：
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
a
3
解：(1) 3 12 312 36 6
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
探究
把 a b ab
反过来，就可以
得到:
ab a
b（a≥0，b≥0）
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式，就要把被开方数 中的平方数（或平方式）从根号里 开出来。
解: (1) 12 43 22 3 2 3 (2) 27 15 9 3 3 5
2
2
运算，从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理ຫໍສະໝຸດ Baidu
a b ab ab a b（a≥0，b≥0）
a a bb
a a（a≥0，b＞0） bb
最简二次根式。
巩固练习
1、化简：
(1) 24 (2) 9125 (3) 32 42
(4) 29 2 212 (5) 4a2b3c
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解
计算：(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
练习
计算：
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解： (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9
20 (2 3 3)2 2018 360
解： (2) 6 15 10 6 15 10 233552
(235)2 302 30
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中，一般要求 最后结果的分母中不含根式。
最简二次根式
1、被开方数不含分母； 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式，叫做最简二次根式。
二次根式的运算中，最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法：根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab（a≥0， b≥0）
根号外的系数与系数相乘，积 为结果的系数。