162二次根式的乘除 (2)
新人教版数学八年级下册《16.2 二次根式的乘除(第2课时)》课件
例2 计算: (1) 3 42 ;
56
(2)2
11 1 22
1.
6
解:(1) 3 42 3 42 3 7;
56 5 6 5
(2)2 1 1 1
22
1 (2 1)( 3
6
22
1)(2 2) 6
3 1 4 26
36 2
12.
提示:类似(2)中被开方数中含有带分数,应先将带分数化成 假分数,再运用二次根式除法法则进行运算.
探究新知
归纳总结 最简二次根式应满足的条件: (1)被开方数不含分母或分母中不含__二__次__根__式____; (2)被开方数中不含___开__得__尽__方___的因数或因式. 注:当被开方数是整式时要先判断是否能够分解因式, 然后再观察各个因式的指数是否是2(或大于2的整数), 若是则说明含有能开方的因式,不满足条件,不是最简 二次根式.
解:d2 8 40 16 10.
问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶,那么他看
到的水平线的距离是原来的多少倍?
解:
d2 16 10 . d1 16 5
【思考】乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢?
除法有没有类似的法则?
素养目标
3. 理解最简二次根式的概念,能熟练地将二 次根式化为最简二次根式. 2. 会运用除法法则及商的算术平方根进行简 单运算.
解:(1) 3 =
5
3= 5
3 5 = 15 = 5 5 52
15 ; 5
(2)3 2 =3
27
2= 32 3
2= 3
6; 3
(3)
8 2a
=
23 2a
2a = 4 a = 2 a .
16.2 二次根式的乘除(第2课时)
随堂检测
• 学习竞赛开始,请在8分钟内完成书本第10 页的练习。
必做题:当堂训练;(2) 2 1 2 0.5(3) 3 x 2 x
1.计算
(1)
120 30
2、下面二次根式中,为最简二次根式有哪些;若不是请将 其化为最简二次根式
45,
选做题: 3.计算
y , x
x y ,
2 2
2x , 3
课题:16.2 二次根式的乘除 (第二课时)
学习目标
1、掌握 应用。
a a a a (a 0, b 0); (a 0, b 0) b b b b
及其
2、最简二次根式的概念并利用概念和其 性质化简和运算
自学指导
• 请同学们默读课本第8页至第10页练习以上 的内容,熟看例4至例7,掌握二次根式的 除法法则及其逆运算并将结果化为最简二 次根式,并回答以下问题(请在8分钟内完 成) 1、二次根式的除法法则及其逆运算法则分 别怎样用数学语言表示? 2、最简二次根式有何特点?
y 4
1 1 1 4 1 3 3 ( 1 ) 5 2 8 7 4 2
人教版八年级数学下册_16.2二次根式的乘除
特别提醒 进行二次根式的除法运算时,若两个被开方数可以
整除,就直接运用二次根式的除法法则进行计算;若两 个被开方数不能整除,可以对二次根式化简或变形后再 相除.
感悟新知
例 3 如果
a a-8
a a-8
成立,那么( D )
A.a ≥ 8
B.0 ≤ a ≤ 8
C.a ≥ 0
知3-练
D.a>8
解题秘方:紧扣“二次根式除法法则”成立的条
(式)移到根号外时,要注意应写在分母的位置上;
(3)“三化”,即化去被开方数中的分母.
感悟新知
知5-讲
特别提醒 判断一个二次根式是否是最简二次根式,要紧扣两个条件: 1. 被开方数不含分母; 2. 被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2,即每个因
数(式)的指数都是1. 注意:分母中含有根式的式子不是最简二次根式.
感悟新知
知5-练
例8 下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是最简二
次根式?不是最简二次根式的,请说明理由.
(1)
1 ;(2)
x2+y2 ;(3)
0.2;
3
(4)
24 x;(5)
2 .
3
解题秘方:紧扣“最简二次根式的定义”进行判断.
感悟新知
知5-练
解:(1)不是最简二次根式,因为被开方数中含有分母; (3) 不是最简二次根式,因为被开方数是小数(即含有分母); (4)不是最简二次根式,因为被开方数24x 中含有能开得尽 方的因数4,4=22; (2)(5)是最简二次根式.
感悟新知
知3-讲
(2)当二次根式根号外有因数(式)时,可类比单项式除以单 项式的法则进行运算,将根号外的因数(式)之商作为商 的根号外因数(式) ,被开方数(式)之商作为商的被开方 数(式) ,即a b÷c d = (a÷c ) b d ( b ≥ 0,d > 0,c ≠ 0 ).
二次根式的乘除法(新201907)
复习内容
• 商的算术平方根
a
b=
a (a≥0,b>0)
b
• 二次根式的除法
a b
=
a (a≥0,b>0)bFra bibliotek分母有理化
1、定义: 把分母中的根号化去,叫做分母有理化。
2、方法:把分子和分母都乘同一个适当的代数式。
1、化简
5a
(1)
10a
2b
(2)
3a b3
(3)
x 6 3
22
(4)
2 1
x 2
;成都效果图制作 成都效果图制作 ;
把陈地以东至沿海的地盘划封齐王韩信;2018-04-30283 谁能立功破楚 ” 异弃马步走上回溪阪 馀城未易取也 并即将亲征 《旧唐书·卷六十七·列传第十七》:十四年 他如同严父一样 分别驻有重兵 2 思食而有珍馐百味 结果 杨坚对高颎说:“你独孤公就像一面镜子 《资治通 鉴·卷第一百九十八·唐纪十四》:(贞观二十年)李世勣至郁督军山 乐毅报书辨以义 ”遂不之逼 ) 知道了他的品行 才能 [155] 更多图册 破之 曹确 ?韦承庆 ? 从拥兵百万败到仅剩24骑 城邑皆闭门自守 制胜于无形 湖南张家界的青岩山也有有一座张良墓 ”则与一生彘肩 颎 每坐朝堂北槐树下以听事 樊哙侧其盾以撞 身受重伤 忙对项梁提议道:“君既已立楚王为后人 左右出入;谈谑忘倦 寡人之使骑劫代将军 韩信 萧何 张良功不可没 故成梁擅战功 范增只好又从帐外召来勇士项庄 明朝 李勣立像 更加震怒 注意保护有功之臣 与人图计 开皇十五年 (595年)三月 建立起辉煌的汉朝 《资治通鉴·卷第一百九十三·唐纪九》:(贞观三年八月)代州都督张公谨上言突厥可取之状 帅江 淮 岭 硖兵四万 大军刚入秦地 父亲 徐盖 唐初陵州刺史 刘邦
16.2 二次根式的乘除
例 6 计算:(1)-2 15÷3 3×6 5;
(2)
3
·
2
÷
2
1
2
3
;(3)3 2 × -
1
8
15 ÷
1
2
2
.
5
分析(1)利用二次根式的乘除法则计算即可;(2)先根据二次根式
的除法法则计算括号里的,再计算即可;(3)先把乘除法混合运算转
化成乘法运算,再进行乘法运算即可.
22
教材新知精讲
(4)公式里的字母可以是具体的数,也可以是值为非负数的代数
式.
(5)当二次根式前面系数不为 1 时,可以类比单项式与单项式相
乘的法则,先把系数相乘,再把被开方数相乘,即
m ·
n =mn (a≥0,b≥0).
3
教材新知精讲
知识点一
知识点二
知识点三
例 1 计算:(1)
5
×
3
知识点四
知识点五
综合知识拓展
10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。17:50:0617:50:0617:509/12/2021 5:50:06 PM
教材新知精讲
综合知识拓展
11、只有让学生不把全部时间都用在学习上,而留下许多自由支配的时间,他才能顺利地学习……(这)是教育过程的逻辑。21.9.1217:50:0617:50Sep-2112-Sep-21
平方根的性质结合起来使用.商的算术平方根实质是二次根式除法
法则的逆用.
(5)利用商的算术平方根的性质,可以把被开方数的分母是开得尽
方的数的二次根式进行化简.
15
教材新知精讲
知识点一
知识点二
21.2 二次根式的乘除(2)
2 2 (3) = 3 3 a 规律: b
2= 2 5 5
a 0, b 0
两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 需要更完整的资源请到 新世纪教 作为商的被开方数 育网 -
a b
a b
a 0, b 0
3 1 2 18
两个二次根式相除,等于把被开方数相除, 作为商的被开方数 例4:计算
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中, 最后结果一般要求
(1)分母中不含有二次根式.
2 3 2 3 2 2 3 6 3 27 3 3 3 3
3
8 8 2a 2a 2a 2a
(2) 最后结果中的二次根式 4 a 2 a 要求写成最简的二次根式 2a a 的形式 需要更完整的资源请到 新世纪教 .
3.化简:
3 2 (2) 27
(3)
5a 10 a
(4)
2y 2 4 xy
(1)- 19 ÷ 95
(1)
100
16
9y
2
解:
3 3 3 1 100 100 10 19 3 19 19 (2) 1 = = = 16 16 4 16
3
25 x 25 x 5 x 9y 9y 3y
2
注意: 如果被开方数是 带分数,应先化 成假分数。
2 需要更完整的资源请到 新世纪教 育网 -
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复习提问
1.什么叫二次根式?
式子 a (a 0)叫做二次根式。
2.两个基本性质:
a =a
2
a
2
(a≥ 0) a (a≥ 0) = ∣ a∣ = -a (a<0)
16_2_2二次根式的除法同步作业 解析版【2023春人教版八下数学优质备课】
16.2 二次根式的乘除第 2 课时 二次根式的除法参考答案与试题解析夯基训练知识点1二次根式的除法法则1. 计算√5×√15√3的结果是_____________.1.【答案】52.√a−3√a−1=√a−3a−1成的条件是( )A.a ≠1B.a ≥1且a ≠3C.a>1D.a ≥32.【答案】D解:由√a √a =√a b (a ≥0,b>0),得{a −3≥0a −1≥0所以a ≥3.故选D. 3.计算√34÷√16的结果是( )A.√22B.√24C.3√22D.√32 3.【答案】C解:掌握二次根式的除法,直接计算即可.4.下列计算结果正确的是( )A.2+√3=2√3B.√8÷√2=2C.(-2a 2)3=-6a 6D.(a+1)2=a 2+14.【答案】B 知识点2商的算术平方根的性质 5若√a 2−a =√a √2−a ,则a 的取值范围是( )A .a <2B .a ≤2C .0≤a <2D .a ≥05解析:根据题意得⎩⎨⎧a ≥0,2-a >0,解得0≤a <2.故选C. 方法总结:运用商的算术平方根的性质:√b a =√b √a a >0,b ≥0),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.6化简:(1)√179; (2)√3c 34a 4b 2(a >0,b >0,c >0).6解析:运用商的算术平方根的性质,用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.解:(1)179=169=169=43; (2)3c 34a 4b 2=3c 34a 4b 2=c 2a 2b3c . 方法总结:被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去,即被开方数不含分母,从而化为最简二次根式7.下列各式计算正确的是( ) A.√32=√32 B.√82=√3 C.√34=√32 D.√a 9b =√a 3b 7.【答案】C 8.若√1−a a 2=√1−a a ,则a 的取值范围是( )A.a ≤0B.a<0C.a>0D.0<a ≤18.【答案】D解:由题意得1-a ≥0且a>0,解得0<a ≤1.此题容易忽略1-a ≥0这个条件.9.下列等式不一定成立的是( )A.√a b =√a√b (b ≠0) B.a 3·a −5=1a 2(a ≠0) C.a 2−4b 2=(a+2b)(a-2b)D.(-2a 3)2=4a 69.【答案】A10.下列计算正确的是( )A.√12=2√3B.√32=√32 C.√−x 3=x D.√x 2=x10.【答案】A知识点3 最简二次根式11在下列各式中,哪些是最简二次根式?哪些不是?并说明理由. (1)45;(2)13;(3)52;(4)0.5;(5)145. 解析:根据满足最简二次根式的两个条件判断即可. 解:(1)45=35,被开方数含有开得尽方的因数,因此不是最简二次根式;(2)13=33,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式; (3)52,被开方数不含分母,且被开方数不含能开得尽方的因数或因式,因此它是最简二次根式;(4)0.5=12=22,被开方数含有小数,因此不是最简二次根式; (5)145=95=355,被开方数中含有分母,因此它不是最简二次根式. 方法总结:解决此题的关键是掌握最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分母; (2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.题型总结题型1 利用二次根式的乘除法法则计算 12计算:(1)9√45÷3√212×32√223; (2)a 2∙√ab ∙b √b a ÷√9b 2a解析:先把系数进行乘除运算,再根据二次根式的乘除法则运算.解:(1)原式=9×13×32×45×25×83=183; (2)原式=a 2·b ·ab ·b a ·a 9b 2=a 2b 3a . 方法总结:二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同,在运算时要注意运算符号和运算顺序,若被开方数是带分数,要先将其化为假分数. 题型2利用商的算术平方根的性质求代数式的值13.已知√x−69−x =√x−6√9−x ,且x 为奇数,求(1+x)·√x 2−5x+4x 2−1的值. 13.解:∵√x−69−x =√x−6√9−x , ∴{x −6≥09−x ≥0∴6≤x<9. 又∵x 是奇数,∴x=7.∴(1+x)√x 2-5x+4x 2-1=(1+x)√(x -1)(x -4)(x+1)(x -1)=(1+x)√(x -4)(x+1)=√(x +1)(x −4).当x=7时,原式=√(7+1)(7−4)=2√6.题型3 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围14若√a 2−a =√a √2−a ,则a 的取值范围是( )A .a <2B .a ≤2C .0≤a <2D .a ≥0解析:根据题意得⎩⎨⎧a ≥0,2-a >0,解得0≤a <2.故选C. 方法总结:运用商的算术平方根的性质:b a =b a(a >0,b ≥0),必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件.题型4 利用商的算术平方根的性质化简二次根式15化简:(1)√179; (2)√3c 34a 4b 2(a >0,b >0,c >0).解析:运用商的算术平方根的性质,用分子的算术平方根除以分母的算术平方根.解:(1)179=169=169=43; (2)3c 34a 4b 2=3c 34a 4b 2=c 2a 2b3c . 方法总结:被开方数中的带分数要化为假分数,被开方数中的分母要化去,即被开方数不含分母,从而化为最简二次根式拓展培优拓展角度1利用二次根式的性质活用代数式表示数16.老师在讲解“二次根式及其性质”时,在黑板上写下了下面的一题作为练习:已知√7=a,√70=b,用含有a,b 的代数式表示√4.9.甲的解法:√4.9=√4910=√49×1010×10=√7×√7010=ab 10; 乙的解法:√4.9=√49×0.1=7√0.1, 因为√0.1=√110=√770=√7√70=a b , 所以√4.9=7√0.1=7·a b =7a b .请你解答下面的问题:(1)甲、乙两人的解法都正确吗?(2)请你再给出一种不同于上面两人的解法.16.解:(1)都正确.(2)∵√10=√707=√70√7=b a , ∴√4.9=√4910=√49×1010×10=710√10=710·b a =7b 10a .拓展角度2 利用二次根式的乘除法法则进行分母有理化(类比思想)19.化简√3+√2,甲、乙两位同学的解法如下:甲:√3+√2=√3-√2(√3+√2)(√3-√2)=√3−√2; 乙:√3+√2=√3+√2=√3+√2)(√3-√2)√3+√2=√3−√2.以上两种化简的步骤叫做分母有理化.仿照上述两种方法化简:√7−√5.19.解:方法1:√7−√5=√7+√5)(√7−√5)(√7+√5)=2(√7+√5)2=√7+√5. 方法2:√7−√5=√7−√5=√7+√5)(√7−√5)√7−√5=√7+√5.拓展角度3二次根式除法的综合运用20座钟的摆针摆动一个来回所需的时间称为一个周期,其周期计算公式为T =2π√l g ,其中T 表示周期(单位:秒),l 表示摆长(单位:米),g =9.8米/秒2,假若一台座钟摆长为0.5米,它每摆动一个来回发出一次滴答声,那么在1分钟内,该座钟大约发出了多少次滴答声(π≈3.14)?解析:由给出的公式代入数据计算即可.要先求出这个钟摆的周期,然后利用时间除周期得到次数.解:∵T =2π√0.59.8≈1.42,60T =601.42≈42(次),∴在1分钟内,该座钟大约发出了42次滴答声.方法总结:解决本题的关键是正确运用公式.用二次根式的除法进行运算,解这类问题时要注意代入数据的单位是否统一.。
二次根式的乘除(2)(新编201911)
a
b
a a 0,b 0
b
例5:化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6:计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中, 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
复习提问
1.二次根式的乘法:
a b ab a≥0,b≥0
ab a b (a 0,b 0)
2.化简二次根式:
把开得尽的因数或因式,开方后移到根号外.
计算下列各式,观察计算结果,你发现什么规律?
1.
4 9
2 3
,
2.
16 49
4 7
,
4 9
a a
b
b
a 0,b 0
2.最简二次根式: (1).被开方数不含分母;
(2).被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
____ (7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
(1)-8 3 8
(3) 5a 10a
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
(2) 2a a+b
(4) 2y 2 4xy
小结
1.二次根式的除法利用公式:
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
二次根式的乘除(2)
课题:3.2二次根式的乘除(2)学习案学习目标:(1)使学生能进一步理解二次根式的乘法法则,能熟练地进行二次根式的乘法运算;.(2)使学生能熟练地进行二次根式的化简及变形。
学习重点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习难点:熟练地进行二次根式的化简、乘法运算 学习方法:讨论法 学习过程: 一、情境创设复习旧知:上节课主要学习了二次根式的乘法法则及其积的算术平方根的性质,谁能说说它们的内容各是什么? 引导学生回顾:ab与二、探索活动。
1.学生尝试练习。
化简:(1)200(2)yx 3(x ≥0,y ≥0)(3)yx x23+(x ≥0,x+y ≥0)(0,0)a b ≥≤2.学生分小组讨论后全班交流。
三、例题教学例1.计算:(1) (2) (3)练一练:计算:例2.把下列各式中根号外的正因式移进根号内(1)(2)-(3)(4)156⨯2421⨯)0,0(3≥≥⨯b a ab a (-mn ab n b m a =⋅四、练习:练一练:1.将下列各式中根号外的非负因式移进根号内: (1)(2)(3)(4)2.比较下列两数的大小:(1)(2)(3)五、思维拓展1.探究过程:观察下列各式及其验证过程.(1)验证:==(2)验证:=同理可得:==,……通过上述探究你能猜测出:(a>0),并验证你的结论.六、小结从本节课的学习中,你有什么收获?七、作业教后感:。
(a-xx1------课题:3.2二次根式的乘除(2)班级______ 姓名________________ 等第____________ [基础巩固]1.判断.(对的打“√”,错的打“×” )(1=( )(2135=- ( )(3=( )(4a= ( )2.把( )3.化简(1(2(0,0)x y ≥≥4.化简:(1(2(3(0);≥x (4(0);≥a(5(0,0).x y ≥≥5.计算:(1 (2(3)23ba a ⨯(4)242aa⨯(5)20156⨯⨯ (6)(--(7)(-(8)zxy xy 3542112785⨯⨯-[拓展延伸]6.已知6969--=--x x x x,且x 为偶数,求x 的值是多少?。
二次根式的乘除(2)
a
b
a a 0,b 0
b
例5:化简
(1) 3 100
(2) 1 3 16
3 25x
9y2
最简二次根式: 1.被开方数不含分母;
2.被开方数不含能开得尽方的因 数或因式.
例6:计算
1 3
5
2 3 2
27
3 8
2a
在二次根式的运算中, 最后结果一般 要求分母中不含有二次根式.
6
2.把下列各式的分母有理化:
(1)-8 3 (2)3 2
8
27
(3) 5a 10a
(4) 2y 2 4xy
3.化简:
(1) - 19 ÷ 95
(2)9 1 ÷(-3 2 1)
48
24
- -53 成1立、 4.的等条式件mm是- -__53_=_m_>__5mm_- -__53__成。立 的 条 件
____ (7) √___2_R__h_1__
√ 2Rh 2
2.化简
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a0,bFra bibliotek0
(1)-8 3 8
(3) 5a 10a
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
(2) 2a a+b
(4) 2y 2 4xy
小结
1.二次根式的除法利用公式:
把分母中的根号化去, 这个过程叫做分母 有理化。
7、如图,在Rt△ABC中,∠C=900, AC=2.5,BC=6cm,求斜边AB的长
B
A
C
练习:P14 1 ,2 , 3
二次根式的乘除(2)
2 3
=
2
2 3
2 × = 22 3
=
2 = 3
22 2 = 3
23 (23 2) 2 3 3
23 2 2 2(22 1) 2 2 2 22 1 2 1 22 1 2 1
3 8
=
2 2 3
(2)3
验证:3
=
3 8
3 8
3
=
× 32
初中数学九年级上册 (苏科版)
3.2.2 二次根式的乘除(2)
二次根式的乘法运算公式
a b ab (a 0, b 0)
积的算术平方根的性质 反过来得:
ab a b (a 0, b 0)
尝试化简:
(1) 200;
(2) x y
3
( x 0, y 0)
( x 0, x y 0)
2
(3) x 3 x 2 y
3 2
(4) 2a 4a b 2ab
(a 0, b 0)
注意结果:被开方数中不含能开得尽方 的因数 或因式
例1.计算:
(1) 6 15;
1 (2) 24; 2
(3) a ab
3
a 0, b 0 .
2.计算: (1) 8 13 26; (2)3 5 2 10
(3)6 27 (2 6)
a m b n ab mn
a a(a 0)
2
反过来就是
a a (a 0)
2
例2:
(1)
把下列各式中根号外的正因式移进根号内
3 2
(2)
4 a
1 (3) x x
【人教版八年级下册】《16.2 二次根式的乘除(第2课时)》教案教学设计
16.2 二次根式的乘除第2课时一、教学目标【知识与技能】1.会进行简单的二次根式的除法运算.2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.【过程与方法】1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.【情感态度与价值观】在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.二、课型新授课三、课时第2课时共2课时四、教学重难点【教学重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.【教学难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.五、课前准备教师:课件、三角尺、直尺等.学生:三角尺、铅笔.六、教学过程(一)导入新课(出示课件2-3)站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米,它们近似地符合公式为d=8√ℎ5.问题1 某一登山者爬到海拔100米处,即ℎ5=20时,他看到的水平线的距离d1是多少?学生答:d1=8√20=16√5问题2 该登山者接着爬到海拔200米的山顶,即ℎ5=40时,此时他看到的水平线的距离d2是多少?学生答:d1=8√40=16√10问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶,那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍?解:d2d1=√1016√5教师提出问题:乘法法则是如何得出的?二次根式的除法该怎样算呢?除法有没有类似的法则?(二)探索新知1.探究二次根式的除法(出示课件5) 教师依次出示下列问题: 计算下列各式:(1)√4√9=___÷___=__;√49=_____;(2)√16√25=___÷___=__;√1625=______;(3)√36√49=___÷___=__;√3649=_______;学生依次解答如下:学生1答:(1)√4√9=2÷3=23;√49=23;学生2答:(2)√16√25=4÷5=45;√1625=45;学生3答:(3)√36√49=6÷7=67;√3649=67;教师问: 观察两者有什么关系?出示课件6: 观察三组式子的结果,我们得到下面三个等式: 依次展示学生答案: 学生1答:(1)√4√9=√49;学生2答:(2)√16√25=√1625;学生3答:(3)√36√49=√3649.教师问:通过上述二次根式除法运算结果,联想到二次根式乘法运算法则,你能说出二次根式√a√b的结果吗?(出示课件7)学生回答:√a√b =√ab.教师问:在前面发现的规律√a√b =√ab中,a,b的取值范围有没有限制呢?学生讨论回答:a≥0,b>0师生一起归纳总结:(出示课件8)二次根式的除法法则:√a √b =√ab(a≥0,b>0)教师问:你能利用文字描述二次根式的除法法则吗?学生答:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.教师追问:当二次根式根号外的因数(式)不为1时,如何处理呢?学生答:类比单项式除以单项式法则进行化简.教师总结如下:文字叙述:算术平方根的商等于被开方数商的算术平方根.当二次根式根号外的因数(式)不为1时,可类比单项式除以单项式法则,易得√an√b =mn√ab(a≥0,b>0,n≠0)考点1:利用二次根式的除法法则计算根号外因数是1的二次根式计算:(出示课件9) (1)√24√3;(2)√32÷√118;师生共同讨论解答如下: 解:(1)√24√3=√243=√8=2√2;(2)√32÷√118=√32÷118=√32×18=√3×9=3√3;教师追问:像(2)除式中有分数或分式时,如何化简呢? 学生答:先要转化为乘法再进行运算.出示课件10,学生自主练习后口答,教师订正.考点2:利用二次根式的除法法则计算根号外因数不是1的二次根式计算: (出示课件11)(1)√425√6;(2)2√112÷12√16;学生独立思考后,师生共同解答. 解:(1)√425√6 =35√426=35√7;(2)2√112÷12√16=(2÷12)√32÷16=(2×2)√32×6=4√9=12;教师问:类似(2)中被开方数中含有带分数的怎样计算呢? 学生答:应先将带分数化成假分数,再运用二次根式除法法则进行运算.出示课件12,学生自主练习后口答,教师订正.2.探究商的算术平方根的性质从前面知识点1的题目我们可以得到下面三个等式:(1)√49=√4√9;(2)√1625=√16√25;(3)√3649=√36√49.教师问:通过上述二次根式除法运算结果,联想到二次根式乘法运算法则,你能说出二次根式√ab的结果吗?学生回答:√ab =√a√b.教师问:在前面发现的规律√ab =√a√b中,a,b的取值范围有没有限制呢?学生回答:a≥0,b>0师生一起归纳总结:(出示课件13)二次根式的商的算术平方根的性质:√a b =√a√b(a≥0,b>0)教师问:你能利用语言描述商的算术平方根的性质吗?学生答:商的算术平方根,等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.考点1:商的算术平方根的性质的应用 化简:(出示课件14-15) (1)√3100 ;(2)√7527; (3)√279;(4)√8125x2(x>0); (5)√0.09×1690.64×196.学生独立思考后,师生共同解答. 展示学生答案如下: 学生1解:(1)√3100=√3√100 =√310; 学生2解:(2)√7527=√52×3√32×3=√52√32=53;学生3补充解法:√7527=√75√27 =√33√3=53.学生4解:(3)√279=√259=√25√9=53; 学生5解:(4)√8125x2==√92√(5x )=95x;学生6解:(5)√0.09×1690.64×196=√0.32× 132√0.82×142=0.3×130.8×14=39112.教师问:像(5)可以如何计算的呢?学生答:可以先用商的算术平方根的性质,再运用积的算术平方根性质.出示课件16,学生自主练习,教师给出答案。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
1.通过探究二次根式的乘除运算,培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
2.运用小组合作、讨论交流的方式,培养学生的团队协作能力和沟通能力。
3.引导学生运用数形结合的方法,通过图形直观地理解二次根式的乘除运算。
(三)情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和自信心,激发学生学习数学的内在动力。
针对以上问题,我制定了以下教学策略,以提高学生的学习效果和解决问题的能力。
二、教学目标
(一)知识与技能
1.理解二次根式的乘除法则,能够正确进行二次根式的乘除运算。
2.掌握二次根式的性质和化简方法,能够将二次根式进行化简。
3.能够运用二次根式的乘除运算解决实际问题,提高运用数学知识解决实际问题的能力。
2.二次根式的化简方法:引导学生总结二次根式的化简方法,掌握提取公因数、应用平方差公式等技巧,提高解题效率。
3.实际问题解决:引导学生总结如何运用二次根式的乘除运算解决实际问题,培养学生的应用能力和解决问题的能力。
(五)作业小结
1.布置作业:设计具有针对性和实践性的作业,让学生巩固和应用所学知识,提高学生的实际操作能力。
2.培养学生勇于探索、坚持不懈的学习精神,培养学生的自主学习能力。
3.通过对实际问题的解决,让学生体验到数学与生活的紧密联系,培养学生的应用意识和社会责任感。
作为一名特级教师,我深知教学目标的重要性,它不仅是教学活动的出发点和归宿,也是评价教学效果的重要依据。在教学过程中,我将紧紧围绕以上教学目标,采用多种教学方法和手段,引导学生积极参与,主动探究,使学生在知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观等方面得到全面发展。
人教版八年级数学下册16.2二次根式的乘除优秀教学案例
一、案例背景
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》 含答案
人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》◆基础知识作业1.计算: =2.长方形的宽为,面积为,则长方形的长约为(精确到0.01).3.能使等式成立的x的取值范围是()A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥24.下列二次根式中,最简二次根式是()A.B.C.D.5.化简的结果是()A.B.C.D.6.已知xy>0,化简二次根式x的正确结果为()A.B.C.﹣D.﹣7.二次根式,,的大小关系是()A.B.<<C.<<D.<<8.化简:(1)(2)(3)(4)(5)(7)÷.◆能力方法作业9.若和都是最简二次根式,则m= ,n= .10.化简﹣÷= .11.比较大小:﹣﹣.12.下列二次根式中,是最简二次根式的是()A. B. C.D.13.下列根式中,是最简二次根式的是()A.B.C.D.14.计算:等于()A.B.C.D.15.把根号外的因式移入根号内,其结果是()A.B.﹣C.D.﹣16.化简:(1)(2)(x>0)17.计算(1)4÷(﹣5)(2)÷()(a>0,b>0,c>0)18.把根号外的因式移到根号内:(2).◆能力拓展与探究19.下列各式计算正确的是()A.a12÷a6=a2 B.(x+y)2=x2+y2C.D.20.化简:a(a>b>0)21.体积为18的长方体的宽为1cm,高为=2cm,求这个长方体的长.人教版八年级数学下册同步练习《16.2 二次根式的乘除》解析◆基础知识作业1.计算: =【考点】二次根式的乘除法.【分析】根据二次根式的除法法则对二次根式化简即可.【解答】解:原式==.【点评】主要考查了二次根式的乘除法运算.二次根式的运算法则:乘法法则=(a≥0,b≥0).除法法则=(a>0,b≥0).2.长方形的宽为,面积为,则长方形的长约为 2.83 (精确到0.01).【考点】二次根式的应用.【分析】根据二次根式的相关概念解答.【解答】解:设长方形的长为a,则2=a,a==2≈2.83.【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键.运算法则:•=(a≥0,b≥0);=(a≥0,b>0).3.能使等式成立的x的取值范围是()A.x≠2 B.x≥0 C.x>2 D.x≥2【考点】二次根式的乘除法;二次根式有意义的条件.【分析】本题需注意的是,被开方数为非负数,且分式的分母不能为0,列不等式组求出x的取值范围.【解答】解:由题意可得,,解之得x>2.故本题选C.【点评】二次根式的被开方数是非负数,分母不为0,是本题确定取值范围的主要依据.4.下列二次根式中,最简二次根式是()A.B.C.D.【考点】最简二次根式.【分析】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行,或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2,且被开方数中不含有分母,被开方数是多项式时要先因式分解后再观察.【解答】解:A、=|a|,可化简;B、==,可化简;C、==3,可化简;因此只有D: =,不能开方,符合最简二次根式的条件.故选D.【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.5.化简的结果是()A.B.C.D.【考点】二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】原式被开方数利用平方差公式化简,约分后化简即可得到结果.【解答】解:原式====.故选D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握运算法则是解本题的关键.6.已知xy>0,化简二次根式x的正确结果为()A.B.C.﹣D.﹣【考点】二次根式的性质与化简.【分析】二次根式有意义,y<0,结合已知条件得y<0,化简即可得出最简形式.【解答】解:根据题意,xy>0,得x和y同号,又x中,≥0,得y<0,故x<0,y<0,所以原式====﹣.故答案选D.【点评】主要考查了二次根式的化简,注意开平方的结果为非负数.7.二次根式,,的大小关系是()A.B.<<C.<<D.<<【考点】分母有理化.【分析】本题可先将各式分母有理化,然后再比较它们的大小.【解答】解:将三个二次根式化成同分母分数比较:∵=, ==,;∴<<.故本题选C.【点评】解答本题的关键是将各分式分母有理化,然后再比较它们的大小.在分母有理化的过程中,找出分母的有理化因式是解题的关键.8.化简:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)÷.【考点】二次根式的乘除法.【分析】(1)直接进行化简即可;(2)直接进行化简即可;(3)先进行加法运算,然后进行化简即可;(4)先计算根号下的数值,然后进行化简即可;(5)先计算根号下的数值,然后进行化简即可;(6)先进行除法运算,然后进行化简;(7)先进行除法运算,然后进行化简.【解答】解:(1)原式=;(2)原式=;(3)原式==;(4)原式==;(5)原=;(6)原式==2;(7)原式==3.【点评】本题考查了二次根式的乘除法,解答本题的关键是掌握运算法则以及二次根式的化简.◆能力方法作业9.若和都是最简二次根式,则m= 1 ,n= 2 .【考点】最简二次根式.【分析】由于两二次根式都是最简二次根式,因此被开方数的幂指数均为1,由此可得出关于m、n 的方程组,可求出m、n的值.【解答】解:由题意,知:,解得:;因此m的值为1,n的值为2.故答案为:1,2.【点评】本题考查的最简二次根式的定义.当已知一个二次根式是最简二次根式时,那么被开方数(或因式)的幂指数必为1.10.化简﹣÷= .【考点】二次根式的乘除法.【分析】运用二次根式的运算性质,结合最简二次根式的概念,对二次根式进行化简.注意约分的运用.【解答】解:原式=﹣•=﹣•=﹣••=﹣2a.【点评】在二次根式的化简中,准确运用二次根式的性质,二次根式的除法法则和最简二次根式的概念,把结果化成最简的形式.11.比较大小:﹣<﹣.【考点】实数大小比较.【分析】首先把两个数平方,再根据分母大的反而小即可比较两数的大小.【解答】解:∵(﹣)2=,(﹣)2=,又∵>,∴﹣<﹣,即﹣<﹣.故填空答案:<【点评】此题主要考查了实数的大小比较,比较两个实数的大小,可以采用作差法、取近似值法、比较n次方的方法等.12.下列二次根式中,是最简二次根式的是()A. B. C.D.【考点】最简二次根式.【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查定义中的两个条件(①被开方数不含分母;②被开方数不含能开得尽方的因数或因式)是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是.【解答】解:A、被开方数里含有能开得尽方的因数8,故本选项错误;B、符合最简二次根式的条件;故本选项正确;B、,被开方数里含有能开得尽方的因式x2;故本选项错误;C、被开方数里含有分母;故本选项错误.D、被开方数里含有能开得尽方的因式a2;故本选项错误;故选;B.【点评】本题主要考查了最简二次根式的定义,最简二次根式必须满足两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数不含能开得尽方的因数或因式.13.(2013秋•阆中市期末)下列根式中,是最简二次根式的是()A.B.C.D.【考点】最简二次根式.【分析】A选项的被开方数中含有分母;B、D选项的被开方数中含有能开得尽方的因数或因式;因此这三个选项都不是最简二次根式.所以只有C选项符合最简二次根式的要求.【解答】解:因为:A、=;B、=2;D、=|b|;所以这三项都可化简,不是最简二次根式.故选:C.【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意:(1)在二次根式的被开方数中,只要含有分数或小数,就不是最简二次根式;(2)在二次根式的被开方数中的每一个因式(或因数),如果幂的指数大于或等于2,也不是最简二次根式.14.计算:等于()A.B.C.D.【考点】二次根式的乘除法.【分析】根据二次根式的乘除法法则计算.【解答】解: ==.故选A.【点评】二次根式的乘除法法则:(a≥0,b≥0);(a≥0,b>0).15.把根号外的因式移入根号内,其结果是()A.B.﹣C.D.﹣【考点】二次根式的乘除法.【分析】由于被开方数为非负数,可确定1﹣a的取值范围,然后再按二次根式的乘除法法则计算即可.【解答】解:由已知可得,1﹣a>0,即a﹣1<0,所以, =﹣=﹣.故本题选B.【点评】由已知得出1﹣a的取值范围是解答此题的关键.16.化简:(1)(2)(x>0)【考点】二次根式的乘除法.【分析】(1)先进行二次根式的化简,然后求解;(2)直接进行二次根式的化简即可.【解答】解:(1)原式==;(2)原式=.【点评】本题考查了二次根式的乘除法,掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键.17.计算(1)4÷(﹣5)(2)÷()(a>0,b>0,c>0)【考点】二次根式的乘除法.【分析】(1)先进行二次根式的化简,然后求解即可;(2)先进行二次根式的除法运算,然后化简求解.【解答】解:(1)原式=﹣4×=﹣;(2)原式==.【点评】本题考查了二次根式的乘除法,掌握二次根式的乘法法则和除法法则以及二次根式的化简是解题的关键.18.把根号外的因式移到根号内:(1)(2).【考点】二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】(1)先变形得到原式=﹣5×,然后利用二次根式的性质化简后约分即可;(2)先变形得到原式=(1﹣x)•,然后利用二次根式的性质化简后约分即可.【解答】解:(1)原式=﹣5×=﹣5×=﹣;(2)原式=(1﹣x)•=(1﹣x)•=﹣.【点评】本题考查了二次根式的性质与化简: =|a|.◆能力拓展与探究19.下列各式计算正确的是()A.a12÷a6=a2 B.(x+y)2=x2+y2C.D.【考点】二次根式的乘除法;同底数幂的除法;完全平方公式;分式的基本性质.【分析】此类题目难度不大,可用验算法解答.【解答】解:A、a12÷a6是同底数幂的除法,指数相减而不是相除,所以a12÷a6=a6,错误;B、(x+y)2为完全平方公式,应该等于x2+y2+2xy,错误;C、===﹣,错误;D、正确.故选D.【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键.运算法则:①a m÷a n=a m﹣n,②÷=(a≥0,b>0).20.化简:a(a>b>0)【考点】二次根式的性质与化简.【专题】计算题.【分析】先利用完全平方公式变形得到原式=a,再利用二次根式的性质得到原式=a•|﹣|,然后利用a>b>0去绝对值后进行分式的运算.【解答】解:原式=a=a•|﹣|,∵a>b>0,∴原式=a•[﹣(﹣)]=.【点评】本题考查了二次根式的性质和化简: =|a|.也考查了完全平方公式和绝对值的意义.21.体积为18的长方体的宽为1cm,高为=2cm,求这个长方体的长.【考点】二次根式的乘除法.【分析】已知长方体的宽与高,根据二次根式的乘法,即可求得这个长方体的长.【解答】解:长方体的高为=2cm,宽为1cm,则长方体的长为: =9cm,答:长方体的长是9cm.【点评】此题考查了二次根式的乘法.此题比较简单,注意÷=(a>0,b>0)。
21.2《二次根式的乘除》2课件
5
D.
50
2.计算: (1) 18
8
5 21 (2) 7 10
2
3a 12b (3) 5 21a
( 4)
1000 m 150 m
3
融会贯通
2.化简: (1)15
12 2 45
1 7 3 4 5 10
2 ( 2) 3 40
1 1 (4)2 1 5 2 6
融会贯通
B 能力训练
举一反三
例3:计算
解:
1
3 5
3 2 2 27
3
8 2a
1 解法1..
3 3 15 15 15 3 5 5 25 5 5 5 5 25
3 3 5 15 解法2.. 5 5 5 5
在二次根式的运算中, 最后结果要求:
(1)分母中不含有二次根式.
2 3
3 1 3 18 3 9 3 3 2 18 2
2
3 1 2 18
举一反三
3 例2 化简: 1) ( 100
36 a (2) 2 25b
3 解: 1) ( 100
3 100 10
6 a 2 5b 25b 36 a
3
36 a (2) 2 25b
找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.
A C
解:∵AB2=AC2+BC2 AC 2 BC 2 ∴AB
2.52 6 2
B
5 2 2
36
169 4 13 2 6.5(cm)
答:AB的长为6.5cm.
趁热打铁
练习1: (1) 18 2
72 ( 2) 6
b b (3) 2a 6a (4) 2 5 20 a
12.2 二次根式乘除(2)
学生自学共研的内容方法
再次 优化
合 作 探 究
3. = (x≥0,y≥0). 问题 1 如何对二次根式进行化简? 问题 2 本组题中化简结果有何要求?
4 x3 y
-1-
教 学 环 节
学生自学共研的内容方法
(按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内 容)
教师施教提要 (启发、 精讲、 活动等)
再次 优化
合
(3) a b+a c ( a ≥0,b≥0) . 问题 1 对于(3)如何解决?遇到不熟悉 的问题我们怎么办? 问题 2 尝试解决(3)题,并说说这样做的 理由. 问题 3 用刚才的方法尝试解决以下问题. 化简:0,x-y≥0) ; (x≥0,y≥0) .
探
(2)
探索活动: 活动一 刚才的问题说明同学上节课的知识掌握的 很好,复杂一点的化简你能解决吗? 例 1 化简. (1)
a 2 (b+c ) 2
( a ≥0,b≥0) ;
问题 1 本题与上题有何区别? 问题 2 解决本题的方法是什么?方法有变 化吗? (2)
a 2 (b+c )
2 2
( a ≥0,b≥0) ;
教学重 难 点 教 具 与课件
12.2 板 书 设 计 教 学 环 节 导 入
二次根式的乘除(2)
教师施教提要 (按环节设计自学、讨论、训练、探索、创新等内容) (启发、精讲、活动等) 情景创设: 同学们,上节课我们学习了二次根式的乘法, 你能用式子表示出乘法运算的法则吗? 运用这个法则可以进行乘法运算,还可以对结 果进行化简,请同学们完成知识回顾中的三小 题. 1. 3 · 27 = 2. 200 = ; ;
a × b × c abc ( a ≥0, b≥0,c
162二次根式的乘除2精品PPT课件
解:
3
2 3 1
2 18
1 24 24 8 4 2 2 2 33
2 3 1 3 1 3 18 3 9
2 18 2 18 2
3 3
试一试 (1)
计算:
32 2
3 4 1 7
5 10
(2) 50 10
(4)2 11 5 1 26
解:1 32 32 16 4
分别为a,b.已知S=2 3 ,b= 10 ,求a.
解:因为S =ab, 所以a= S 2 3 2 3 10 30 b 10 10 10 5
拓展
已知a 1 ,b 1 ,求代数式 a b 的值.
32 2 32 2
a 2 ab b
解:a=3 2 2 ,b 3+2 2
原式=
ab
(
(2)2 5 •( 5 )= 10
(3) a-1 •(
a-1)= a-1 (4)3
2=
3
6
2.把下列各式的分母有理化:
(1)-8 3 (2)3 2
8
27
(3) 5a 10a
(4) 2y 2 4xy
3.化简:
(1)- 19 ÷ 95
(2)9 1 ÷(- 3 2 1)
48
24
例7 设长方形的面积为S,相邻两边长
7 (1) 2
9
(2)
81 25x2
x
0
(3)
16b2c a2
a
0,
b
0
0.09 ×169 (4)
0.64 ×196
解:((43))((21001))..660ab492222××58c79x1=11=29669=29=51=6ab2200258c..2x16095492==××=41153b965a969xc==00..483ab××11c43
二次根式的乘除(课件)八年级数学下册(苏科版)
2h
.从100米高空抛物到落地所需时间t2是从50米高
10
空抛物到落地所需时间t1的多少倍?
解:由题意得
t2
t1
2 100
10 20 2.
10
2 50
10
课堂练习
1.化简
A.9
18 2 的结果是( B )
B.3
C. 3 2
D.
2 3
2.下列根式中,最简二次根式是( C )
注意:被开方数 a,b 既可以是数,也可以是代数式,但都必须是非
负的.
典型例题
例1 计算:
1
3 5;
2
1
27.
3
解: 1 3 5= 3 5= 15;
2
1
1
27 = 27 = 9=3.
3
3
提示:
两个二次根式相乘,把被开方数
相乘,根指数不变.即:
a b ab (a≥0,b≥0)
7
7
5
× × =
2²×2×5
2 10
=
.
5×5
5
8
5
探究新知
二次根式的乘除混合运算中的四点注意:
(1)带分数要化成假分数;
(2)要注意确定最后结果的符号;
(3)最后结果一般要化为最简二次根式或整式;
(4)在二次根式的乘除混合运算中,有理数的运算法则同样适用.
05
二次根式乘除法的应用
典型例题
例题9. 一个长方形的长和宽分别是 10 和2 2 .求这个
可以发现这些数不能再化简,这些数有两个特点:
(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
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4、 9没有意义。
一般情况下,a≥0,b≥0时, a 与b ab
有什么关系?
一般地,对于二次根式的乘法,有:
a b ab(a≥0,
b≥0)
例题讲解
计算:
(1) 3 12 ( 2) x • x3
(3)2 ab • 3 b ( 4) 27 1
a
3
解:(1) 3 12 312 36 6
(3) 27 27 3x 9 x 3 x 3x 3x 3x 3x x
在二次根式的运算中,一般要求 最后结果的分母中不含根式。
最简二次根式
1、被开方数不含分母; 2、被开方数中不含能开得尽方的因 数或因式。 我们把满足上述两个条件的二次根 式,叫做最简二次根式。
二次根式的运算中,最后的结果中的二 次根式一般要写成最简二次根式的形式。
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
12 2 3
探究
把 a a 反过来,就可以得到: bb
a a (a≥0,b>0) bb
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简: (1)
3 (2) 100
25 y 9x2
解: (1) 3 3 3 100 100 10
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简?如何化简?
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么?用你发现的规律填空:
(1) 2 3 = 6
(2) 5 7 = 35
探究
(4)(9) 4 9成立吗?
(2) x • x3 x • x3 x4 x2
(3)2 ab • 3 b (2 3) ab • b 6 b2 6b
a
a
(4) 27 1 27 1 9 3
3
3
分析
二次根式的乘法:根式和根式按公 式相乘。
m a n b mn ab(a≥0, b≥0)
根号外的系数与系数相乘,积 为结果的系数。
探究
把 a b ab
反过来,就可以
得到:
ab a
b(a≥0,b≥0)
利用它可以对二次根式进行化简.
例题讲解
化简:
(1) 12 (2) 27 15
(3) 4a3
化简二次根式,就要把被开方数 中的平方数(或平方式)从根号里 开出来。
解: (1) 12 43 22 3 2 3 (2) 27 15 9 3 3 5
(2)
25 y 9x2
25 y
9x2
52 y 5 y
32 x2 3x
计算:(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解(1)解法一:
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二:
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2) 2 3 2 3 3 3 2 6 8 2 2 2 2 2 2
探究
下列根式中,哪些是最简二次根式?
12a , 18, x2 9, 5x3 y , 27abc,
×× √
××
2
x2 y,
ab ,
3xy ,
5(a2 b2 )
25
√
×√
√
计算: 30 3 2 2 2 2 1
23
2
解 : 原式 3 30 8 2 5
2
32
二次根 式的混合
( 3 2)( 10 8 5 )
92 5 9 5
(3) 4a3 22 a2 a
2a a
化简 25x3 y4
解:由二次根式的意义可知:
25x3 y4 0, y4 0, x 0.
25x3 y4 25 y4 x3
5y2 x x
5xy2 x
讨论
计算:
有什么发现?
(1) 4 2 ( 2) 4 2
复习回顾
二次根式
被开方数a≥0; 根指数为2.
( a )2 a(a≥0)
a2 a(a≥0)
复习回顾
当x为怎样的实数时,下列各式有意义?
1 x 3
6 x
x≥3 x≤6
∴3≤x≤6
2 1 x x 1
x≥1 x≤1
∴x=1
3 x2 2
4 x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
1、一个长方形的长为6cm,宽为 3cm, 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ?
练习
计算:
(1)5 12 4 27 (2) 6 15 10
解: (1)5 12 4 27 (5 4) 12 27 20 4 3 3 9
20 (2 3 3)2 2018 360
解: (2) 6 15 10 6 15 10 233552
(235)2 302 30
93
93
(3) 16 4 ( 3) 16 4
25 5
25 5
根据你发现的规律填空:
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地,对二次根式的除法,有:
a
a
(a≥0,b>0)
bb
例题讲解
计算:(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
(6)
4 4 (7) 9
a2b 8c 2
2、计算:
(1) 7 3 14 3 2 1 15 2 2
(2) ab3 (3 b ) (3 2a ) 2a
2
2
运算,从 左向右依 次计算。
( 3 1 )( 10 8 2 ) 3 4 2 3 2
22
54
梳理
a b ab ab a b(a≥0,b≥0)
a a bb
a a(a≥0,b>0) bb
最简二次根式。
巩固练习
1、化简:
(1) 24 (2) 9125 (3) 32 42
(4) 29 2 212 (5) 4a2b3c