第一章_周期结构讲解

( r ) 是一维表示的基函数。 D是表示一维矩阵，实际上是一个数。
D
N
j


(r)

E
|
N
j

aj

1


(r)


E
|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0

(r)


(r)
j=1,2,3
D N j 1,
由此可得：
D exp(2i n j )
Nj
其中nj =0, 1, 2, …
E
|

N-1 N 1 2
N-2
3
E
|

Rl


r


r

Rl
E
|

Rl
1


r


r

Rl
N-3
----平移算符
E |

Rl

f

(r)

f
(E
|

Rl

1

r)


f (r R)
对于元胞数为 N = N1N2N3 的晶体，
共有

Rl
)


ei k Rl ( r )
布洛赫定理
D定义的k可作为平移群不可约表示的标记。 以上方程可理解为平移算符的本征方程，exp(ikRl)是它的k个本征值。
进一步可得



[eik( r Rl )k ( r Rl )] ei k r ( r )
如果令
但这些元素对布洛赫函数作用将产生具有不同对称性的一 组函数，它们具有相同的k和本征能量 En (k)
The cell’s volume:：

a1 (a2 a3)
Wigner-sietz cell（W-S cell）
它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面 所围成的多面体，其中只包含一个结点。 它能更明显地反映点阵的对称性。 它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。
| t 1 H | t H


可以证明： n,[k] ( r ) | tn,k ( r ) | |2 1
可求出


En (k)

* n,
[
k
]
(
r
)
H
n,
[k
]
(
r
)d
3
r



* n,k
(r )
|
t 1
H
|
t n,k
k'k K n


那么 exp( i k' Rl ) exp( i k Rl )
第一布里渊区：任意两个波矢之差小于一个最短的倒格矢的区域。
限于第一布里渊区（BZ）的波矢叫简约波矢，简约区体积为*，其中有N个 不同的波矢，它们可以唯一地标记平移群的N个不可约表示。

k ai
N
个平移算符
E
|

Rl

组成平移群
波恩-卡门循环边界条件
(1)任意两次相继的平移仍为一平移；相继两次平移的效果与它们作用的先后次序无关。
(2)满足乘法结合律
(3)存在逆元素。
(4)存在恒等操作 E | 0
3. 布洛赫定理
对于N（N=N1N2N3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时，具有平移对称性： 由于N阶平移群的每个元素本身自成一个共轭类
E | Rl 1E | RmE | Rl E | Rm
因此，平移群有N个不可约表示
N
n2 N
1
说明平移群的N个不可约表示都是一维的




E | a j 1(r ) ( E | a j r ) (r a j ) D( E | a j )(r )
不变子群条件要求 Rl 仍为正格矢，即点阵经旋转等点群操作后应与自身重合，
这就限制了晶体中只可能出现2、3、4、6次旋转轴，使晶体空间群成为有限群
（1 ）布里渊区（BZ）中En(k)的对称性
设晶体属于空间群 | t，则晶体的哈密顿H应与 | t对易，即H对于空间群
| t的一切操作是不变的，有对称性：
a2 a1
The primitive cells and vectors in a 2D lattice
Cell：The smallest unit in the lattice, which can serve as a building block
for the crystal structure.

元胞的体积：* b1 (b2 b3 )
称为倒格矢。
布里渊区 相应的W-S元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可 由另一点加上一个倒格矢的平移达到。
当它的中心为原点时，W-S元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ表 示，又称简约区
倒点阵与正点阵的关系
* (2 )3
(r )d
3r




* n,k
(
r
)
H
n,k
(
r
)d
3
r
En (k)
只是属于该晶体空间群的点群操作。 在每一能带中如果把能量En(k)看作布里渊区中“位置”的函数，它便
具有点阵点群
| 0
的全部对称性，此即简单空间群中En(k)的对称
性。
例如：二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个，4mm标记。 对于BZ中矢量k1施于上述点群操作后，它变为k2, k3, k4, k5, k6, k7, k8. 这8个点在 同一能带中有相同的能量。
能带存在的结论来自布洛赫函数的振幅是正点阵的周期函数这一普遍性特征。
周期结构中一切波的能（频）谱都成带
4. 布里渊区和晶体的对称性
空间群包含平移、旋转、反射、滑移反映、螺旋轴等对称操作
空间群算符操作：
|
t



r
t
代表旋转、反映等点群对称操作，t代表平移。
E | Rl ---平移群
Chapter 1 Periodic Structure
1.Crystal Lattice and Reciprocal Lattice
The most important characteristics of Crystals: Periodic Array of Atoms（ions, Molecules)------Lattice
C4 /a k3
k2md
my k4
-/a k5
C42
k1 E
/a
k8 mx
Kx
k6 md’
-/a
k7 C43
二维正点阵BZ为正方形，保持BZ不变的点群操作有8个
En (k1) En (k2 ) ... En (k8 )
（2.） En(k)的简并度


Hk (r ) E(k)k (r )
1．由a1, a2, a3组成的平行六面体is called as Primitive Cell。 2．Each cell contains only one lattice site。 3．The chose of the cell and primitive vector is not unique。
普遍适用于周期结构中的电子、声子和自旋波等
3. 求和与积分关系

相邻k值的间距

ki

bi Ni
(i=1, 2, 3)
每一许可k值所占的体积为



k1 ( k2 k3 )

* N1N2 N3

(2 )3
N

(2 )3
V
V 为晶体体积
V k空间单位体积内的有 (2 )3 个不同的波矢
由于
n,k Kn
n,k
En (k Kn ) En (k)
在BZ外布洛赫函数无新态
k限于BZ，是取以k=0为中心的W-S元胞
由于确定n值的 En (k) 是倒点阵的周期函数，必有能量的上界和下界 不同k同一n的所有能级包括在界内，组成一能带。
不同的n代表不同的能带，它们的总体称为晶体的带结构。

2 ij
2


0
(i j) (i j）
(i, j 1,2,3)
2
b1 (a2 a3 )

可求出： b2

2


(a3 a1 )

b3

2


(a1 a2 )




在倒点阵中任一格点的位置矢：K n n1 b1 n2b2 n3 b3 （ni为整数）
(i=1, 2, 3) (K=0的对称多面体，W-S元胞)
固体物理学的几个关系
1. 平移群不可约表示的正交关系

exp[ i(k k') Rl ] N kk'
Rl
2. 平移群特征标的正交关系

exp[ k (Rl Rs )] N RlRs
kBZ
波恩-卡门边界条件 严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性； 实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；
边长为Na1, Na2, Na3 的有限晶体沿a1, a2, a3 三个方向首尾相接形成 循环边界条件。
波恩-卡门循环边界条件在数学上表现为：
E | Niai E | Niai 1 E | 0
a2 a1
二维六角点阵的魏格纳-赛茨元胞（W-S原胞）
立方体
截角八面体
棱十二面体
SC
BC
FC
简单立方（SC）、体心立方（BC）和面心立方点阵（FC）的W-S元胞
倒格矢 由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。
倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的：

ai bi
| 0 ---点群
| ----螺旋轴或滑移反映面
算符相乘： | t | s | s t
逆： | t 1 1 | 1t
晶体空间群的定义：包括平移群作为不变子群的 | t 元素集合
| tE | Rl | t 1 E | Rl

u(r) ei k r(r )
可得 uk (r Rl ) uk (r)
是正点阵的周期函数



布洛赫函数 k (r ) uk (r ) exp( i k r )
布洛赫函数是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期性结构中的波函数都应 具有布洛赫函数的形式。
k的非唯一性问题
Rl

1


(r)



(r

R)


(r
l1

a1
l2

a2

l3

a3
)
3

exp2i (l j n j / N j )(r )
j1

在倒逆空间中定义一个波矢

k
3
nj

b
Nj
j1 j
E
|

Rl
1

k

(r)

k

(r
Hkuk (r) E(k)uk (r)
Hk

H

2k 2 2m
i2 m
k
相当作一 正则变换


由于 uk ( r Rl ) uk ( r )
可简化为在一正点阵的一个元胞中求解
有无穷多个分立的本证值 En (k)
因此，晶体中单电子能量是k的多值函数
每一个确定的k描述一套能级 En (k ) 和状态 n,k (r)
V
求和变积分：
k
(....)
(2 )3
d 3k(...)
由于晶格结构的周期性，其哈密顿量H与平移算符对易，两者具有共同
的本征函数



布洛赫函数 k (r ) uk (r ) exp( i k r )
在单电子问题中，晶体中一个电子的运动状态可由布洛赫函数描述：
Hk (r) E(k)k (r)
Any lattice point in the array can be represented by the lattice vector




Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
l1, l2, l3 are arbitrary integers ，a1, a2, a3are the lattice primitive vectors（or fundamental translation vectors）
简并：同一k不同态具有相同能量本征值。
简并度：设在k点第n个能量本征值的简并度为dn,则有dn个布洛赫函数

n,k, j ( r )( j 1,2,..., d n )
对应于同一个能量
En (k)
这种情况往往发生在BZ中某些高对称性的点与线上。
这时点群中的某些元素对k运算后保持k不变（或等于k+Kn），

3
Kn Rl 2 nili 2m
i
m为整数
BZ具有晶格点阵点群的全部对称性。
2. 平移对称性
点阵是格点在空间中的无限周期性重复排列； 点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状； 即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上
实际的晶体有界面，但体的尺寸比界面大107 ~108个数量级 因而，界面几乎不影响体的物理特性，与边界条件的选择无关。