机械振动基础试卷

一、 填空题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 )

1、 简谐振动的三要素是 振幅 、 频率 和 初相位 。

2、 不论隔力还是隔幅，当频率比λ满足 2λ> 时，隔振器才具有隔振效果。

3、 单自由度系统欠阻尼振动频率d ω，阻尼比ζ和固有频率n ω的关系为 21d n ωωζ=- 。

4、 多自由度系统中加速度频响函数矩阵的元素()i j H ω表示的物理意义是指： 幅值是指在系

统的第j 个自由度上施加单位幅值正弦激励后系统第i 个自由度上的加速度稳态响应幅值；幅角是指上述加速度响应滞后（超前）激励的相位角 。 5、 直梁的自由端 剪力 和 弯矩 为零。

二、 判断题 ( 本大题共5小题，每小题2分，共10分 )

1、 叠加原理适用于线性和非线性系统。（×）

2、 旋转机械中，不平衡质量会引起系统产生振动。（√）

3、 单自由度系统共振时系统呈阻尼特性。（√）

4、 瑞利阻尼是比例阻尼。（√）

5、 无限自由度系统的振动方程是一个常微分方程。（×）

三、 解答题 ( 本大题共4小题，共60分 )

1、 图示系统中不计刚性杆的质量，试建立系统的振动微

分方程，并求系统的固有频率。（10分）

解：取广义坐标为θ，顺时针为正方向，取质量块m 进行受力分析

厦门大学《机械振动基础》课程试卷

物理与机电工程 学院 航空系 2009年级 各 专业

主考教师：张保强 试卷类型：（A 卷）

根据动量矩定理得：

2sin cos ml k a a θθθ=-⋅⋅&&

对于微振动，sin ,cos 1θθθ≈≈，化简得到系统运动微分方程

220ml k a θθ+⋅=&&

系统固有频率为

n ω=2、 试推导单自由度欠阻尼振动系统的单位脉冲响应函数表达式。（10分） 解：受单位脉冲激励的单自由度欠阻尼系统运动方程为

()()()1()mu t cu t ku t t δ++=⋅&&&

初始条件(0)(0)0u u ==&。

设脉冲力的作用时间区间是[0,0]+, 根据冲量定理：1(0)(0)mu

mu +=-&& 所以1

(0)u m +=

&，因此初始条件变为1(0)0,(0)u u m

++==&，所以

()()()0

1

(0)0,(0)mu t cu t ku t u u m

++++===

&&&&

因此得到

1sin ,0 ()()0, 0n t

d d

e t t m u t h t t ζωωω-⎧≥⎪

==⎨⎪<⎩

式中d ωω=

3、 试证明多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交

性。（10分）

证明：对于多自由度无阻尼系统的固有振动，有2()0ω-=K M ϕ，对应第r 和s 阶模态有

2

2 ,1,,r r r s s s

r s N ωω⎧=⎪=⎨=⎪⎩L K M K M ϕϕϕϕ 等式两边分别乘以T

s ϕ和T r ϕ得

22(1)(2)

T T s r r s r

T

T

r s s r s

ωω⎧=⎪⎨=⎪⎩K M K M ϕϕϕϕϕϕϕϕ

式（1）两边转置得到

2(3)T T r s r r s

ω=K M ϕϕϕϕ

（3）-（2）得到22()0T r s r s ωω-=M ϕϕ 对于单构系统，22,r s r s ωω≠≠，所以

0,(4)T r s r s

=≠M ϕϕ

将（4）代入（2）得到

0,(5)T r s r s

=≠K ϕϕ

即，多自由度无阻尼振动系统的固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵都具有加权正交性。 4、 在图示振动系统中，已知：二物体的质量分别为1

m 和2m ，弹簧的刚度系数分别为1k 、2k 、3k 、4k 、5k ，物块的运动阻力不计。试求：（1）写出系统的动力学方程；（2）假设12m m m ==，12k k k ==，

3451

3

k k k k ===，求出系统的固有频率和相应的振型；（3）假定系统存在初始条件

12(0)2(0)4u u ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，12(0)6(0)2u u ⎡⎤

⎡⎤=⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦

&&，在条件（2）下采用模态叠加法求系统的响应；（4）假定质

量块1m 受到激励力为sin f t ω（ω≠系统固有频率），在条件（2）下求系统的稳态响应。（30分）

解：（1）系统为两自由度系统，分别以1u 、2u 建立广义坐标，则系统的动力学方程为

()()0t t +=&&Mu Ku

其中，质量矩阵1

200

m m ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M ，刚度矩阵12

2

22345k k k k k k k k +-⎡⎤

=⎢⎥-+++⎣⎦

K （2）代入参数得到00m m ⎡⎤=⎢

⎥⎣⎦M ，22k

k k k -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

K 自由振动时2()0,λλω-==K M ϕ，特征方程为 det()0λ-=K M

所以

202k m k k

k m

λλ--=--，即()()30k m k m λλ--=

因此得到1ω=

，2ω=对应振型为⎥⎦⎤⎢⎣⎡=111ϕ，⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-=112ϕ

（3）令1111-⎡⎤

=⎢⎥⎣⎦Φ，取模态坐标12q q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦q ，进行模态坐标变换=u Φq ，则 模态坐标下的振动方程为：

1122()()01-121-10()()011211q t q t m k k q t q t m k k -⎡⎤

⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

&&&& 两边同乘T Φ得到1122()()1101-11121-10()()-11011-11211q t q t m k k q t q t m k k -⎡⎤⎡⎤

⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

&&&& 即1122()()20200()()0206q t q t m k q t q t m k ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦

&&&& 所以1111122222

()cos sin ()cos sin q t a t b t

q t a t b t ωωωω=+⎧⎨

=+⎩