概率论与数理统计：3随机向量及其分布

为 n 维随机向量(X1, X2, …, Xn)的(联合)分布函数.
2 维随机向量:
F(x, y)=P{X≤x, Y≤y}
y (x, y)
x
0
联合分布函数 F(x, y)满足
(1) (非负性) P{x1< X≤x2, y1<Y≤y2} = F(x2, y2) - F(x2, y1) - F(x1, y2) + F(x1, y1).
(2) (单调性) F(x, y) 分别关于x和y是单调不减函数. 即 y0： 当x1< x2时, F(x1, y0)≤F(x2, y0); x0： 当y1< y2时, F(x0, y1)≤F(x0, y2).
(3) (有界性) 0≤F(x, y)≤1 且 F(-, y)=0，F(x, -)=0，F(-, -)=0， F(+, +)=1.
(X, Y ) 的 (联合)概率密度函数. 若 p(x, y)在点(x, y)连续，则 2F (x, y) p(x, y). xy
p(x, y) 满足：(1) p(x, y) ≥0
(非负性)
(2)
p(x, y)dxdy 1
(正则性)
若给定 p(x, y)，则对于GR2，有
P{( X ,Y ) G} p(x, y)dxdy
3!1!2!
P{X
k1,Y
k2}
6! k1!k2!(6 k1
(0.6)k1 (0.25)k2 k2)!
(0.15) 6k1 k2
一般地，若X=(X1, X2, …, Xr)的联合分布列为
P{X1
k1,
X2
k2 ,,
Xr
kr}
n! k1!k2! kr !
p k1 1
pk2 2
pr kr
其中 k1+k2+…+kr=n ,则称X 服从r项分布，
则称(X,Y)服从三项分布，记为 (X,Y) ~ M(n, p1, p2).
例4. 盒中有60个白球，25个黄球，15个红球. 从中随 机地有放回顺序抽取6个，求这6个球中恰有3个白球、 1个黄球、2个红球的概率.
记 X=6个球中的白球数，Y= 6个球中的黄球数
P{X 3,Y 1} 6! (0.6)3(0.25)1(0.15)2
yj
p1j p2j pij
联合分布列{ Leabharlann ij} (i, j=1, 2, ) 满足：
(1) pij≥0 (i, j=1, 2, )
(非负性)
(2) pij 1
ij
(正则性)
例1. 一袋中有3个球，依次标有 ①②② 三个数字， 从袋中任取一球后，不放回再取一球. 设每次取球时， 袋中各球被取到的可能性相同，记X和Y分别为第一 次和第二次取得的球上的数字，求(X,Y)的联合概率 分布列.
第3章
随机向量及其分布
§1. 随机向量及其联合分布
1. 随机向量
定义1 若随机变量X1(), X2(), …, Xn()定义在同
一个概率空间(, F, P )上，则称
X()=(X1(), X2(), …, Xn() ),
为n维随机向量或n维随机变量.
显然，对xiR, 有{ | Xi()≤ xi}F (i=1, 2, ,n) ,
(4) (右连续性) F(x, y) 关于x和y是右连续的. 即 (x0, y0)：F(x0+0, y0)=F(x0, y0)，F(x0, y0+0)=F(x0, y0).
可以证明：满足非负性、单调性、有界性和右连续 性的函数 F(x, y) 亦是某个二维随机向量 (X, Y ) 的分 布函数.
3. 联合分布列
一般地，若X=(X1, X2, …, Xr)的联合分布列为
P{X1
k1,
X2
k2,, X r
kr}
C C C k1 k2
kr
N1 N2
Nr
CNn
其中 0 ki min(Ni , n), k1 kr n, N1 Nr N
定义3 若二维随机向量 (X, Y )的可能取值只有有限对 或可列对(xi, yj), 则称(X, Y )为离散型随机向量；称
P{X= xi, Y= yj}=pij (i, j=1, 2, ) 为(X, Y )的(联合)概率分布列.
Y X
y1
x1 p11
x2 p21 xi pi1
y2
p12 p22 pi2
记为X ~ M(n, p1,…, pr).
(2)多维超几何分布
例5. 盒中有60个白球，25个黄球，15个红球. 从中随
机地不放回地抽取6个，求这6个球中恰有3个白球、1
个黄球、2个红球的概率.
P{X
3,Y
1}
C630C215C125 C6
100
P{X
k1,Y
k2}
C C C k1 k2 6k1k2 60 25 15 C6 100
于是 n {X1() ≤ x1, …, Xn()≤ xn}= {X i () xi}F . i 1
2. 联合分布函数
定义2 x1, x2, …, xnR, 称 n 元函数 F(x)=F(x1, x2, …, xn)=P{X1≤x1, X2≤x2, …, Xn≤xn}, x=(x1, x2, …, xn)Rn
离散型随机向量(X, Y ) ，其分布函数为
F (x, y) pij ( x, y ) xi x y j y
4. 联合概率密度
定义4 对于二维随机向量 (X, Y )，若存在非负可积函 数 p(x, y), 使得 x, y R，均有
xy
F(x, y)
p(x, y)dxdy
则称 (X, Y ) 为二维连续型随机向量；函数 p(x, y)称为
p(x, y) 0,
其他
试求(X,Y)的分布函数F(x,y).
5. 常见多维分布
(1)多项分布(multinomial distribution) 若(X,Y)的联合分布列为
P{X
k1,Y
k2}
n! k1!k2!(n k1
k
2
)!
p k1 1
pk2 2
(1
p1
p )nk1k2 2
其中 k1, k2=0,1,2, …,n；0<p1<1, 0<p2<1, p1+p2<1,
G
例2. 设(X,Y)的联合概率密度为
p(
x,
y)
C(6
x 0,
y),
0 x 2, 2 y 4 其他
4
y
(1)求常数C；
3
(2)求 P{1 X 1, 1 Y 3}； 2
2
(3)求P{X Y 3}.
1
O
1
x+y=3 2x
例3. 设(X,Y)的联合概率密度为
12e(3x4 y) , x 0, y 0