三元素法分析一阶电路的全响应

三元素法分析一阶电路
的全响应
电路论文
学院：电子信息工程学院
班级：电气091502班
姓名：***
学号：************
三元素法分析一阶电路的全响应
摘要：本文主要介绍用三元素法分析解决一阶电路问题。

用三元素法求一阶电路问题首先要求出三元素：初始值，稳态值，时间常数，用三元素法可以直接代入公式求解，求解过程简单。

关键词：一阶电路 三元素法
一、 全响应定义
当一个非零初始状态的一阶电路受到激励时，电路的响应称为一阶电路全响应。

全响应总是由初始值、特解和时间常数三个要素决定的。

二、 三元素法的基本原理
一阶电路的数学模型是一阶线性微分方程： 其解答一般形式为：
令 t = 0+ 全响应f （t ）的三要素求解公式为
f （t ）=f （∞）＋[f （0+）－f （∞）]e －t/τ
其中，f （0+）为t=0+时刻的初始值，f （∞）为t →∞时的特解稳态值，τ为t ≥0时的时间常数。

f （0+）、f （∞）和τ称为三要素。

只要知道f （0+）、f （∞）和τ这三个要素，就可以根据上述公式直接写出直流激励下一阶电路的全响应，这种方法称为三要素法。

三、 三元素法的解题步骤
⒈ 求初始值 ⑴ 初始值定义
t=0+时电路中电压与电流的值称为初始值。

⑵ 初始值的求解
① 由换路前电路（稳定状态）求u C (0－)和i L (0－)； ② 由换路定律得 u C (0+) 和 i L (0+)。

③ 画0+等效电路。

c bf t
f
a
=+d d τ
t
e
A t f t f -+'=)()(
a.换路后的电路
b.电容（电感）用电压源（电流源）替代。

（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。

④由0+电路求所需各变量的0+值。

⒉求稳态值
⑴稳态值的定义
t=∞时电路中电压与电流的值称为稳态值。

⑵稳态值的求解
稳态时，电容C视为开路，电感L视为短路，稳态值即求直流电阻性
电路中的电压和电源。

⒊求时间常数τ
⑴时间常数τ的定义
当电阻的单位为Ω，电容的单位为F时，乘积RC的单位为s，称为RC
电路的时间常数，用τ表示。

⑵时间常数τ的求解
对于一阶RC电路τ=R eq C
对于一阶RL电路τ=L/R eq
四、三元素法的适用范围
⒈必须是一阶电路
⒉电路的激励必须是阶跃激励，或是带开关的直流激励。

⒊电路必须具有稳定性，即必须有时间常数τ>0
五、三元素法的解题实例
例一、t=0时,开关闭合，求t >0后的i L
、i1、i2
↓
0＋时的等效电路
解:三要素为：
i L(0＋)＝i L(0－)＝10/5＝2A
i L(∞) ＝10/5＋20/5＝6A
τ＝L/R＝0.6/(5∥5)＝1/5s
三要素公式i L(t) ＝i L(∞)＋[i L(0＋)－i L(∞)]e－t/τ
i L(t) ＝6＋（2－6）e－5t＝6－4e－5t t≥0
u L(t) ＝L d i L/d t＝0.5×（－4 e－5t）×（－5）＝10 e－5t V i1(t) ＝（10－u L）/5＝2－2 e－5t A
i2(t) ＝（20－u L）/5＝4－2 e－5t A
三要素为：
i L(0＋)＝i L(0－)＝10/5＝2A
i L(∞) ＝10/5＋20/5＝6A
τ＝L/R＝0.6/(5∥5)＝1/5s
i1(0＋) ＝（10－20）/10 ＋1 ＝0A
i2(0＋) ＝（20－10）/10 ＋1 ＝2A
i L(t) ＝6＋（2－6）e－5t＝6－4e－5t t≥0
i1(t) ＝2＋（0－2）e－5t＝2－2e－5t A
i2(t) ＝4＋（2－4）e－5t＝4－2e－5t A
例二、已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。

解三要素为：
u C(0＋)＝u C (0－)＝10V
u C(∞) ＝0
τ1＝R eq C＝2×0.25＝0.5s
i L(0＋)＝i L(0－)＝0
i L(∞) ＝10/5＝2A
τ2＝L/R eq＝1/5＝0.2s
u L(t) ＝u C(∞)＋[u C(0＋)－u C (∞)]e－t/τ＝10 e－2t V
i L(t) ＝i L(∞)＋[i L(0＋)－i L(∞)]e－t/τ＝2(1－e－5t)A
i(t) ＝i L(t)＋u C(t)/2＝[2(1－e－5t) ＋5e－2t]A
六、三要素解题总结
⒈三要素法只适用于一阶电路。

⒉三要素法公式
f（t）=f（∞）＋[f（0+）－f（∞）]e－t/τ，t>0
⒊三要素求解一阶电路有两种思路。

⑴先用三要素法求换路后状态量的表达式，再用元件约束和拓扑约束求
其他响应。

⑵直接求各待求量的初值、稳态值和电路的时间常数，再套用三要素法
公式。

⒋应用的关键：三要素的求解。