上海证券:障碍期权的定价和希腊字母风险

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向下敲入看跌期权: S>H
Payoff
=
{max(X

S; 0) K,
,
if
S ≤ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = B − C + D + E,η = 1,ϕ = −1 ������������������(������ < H) = A + E,η = 1,ϕ = −1
+
H ������−������ (S)
������(������������

2������������������√������)]
其中:
������1
=
ln(������������) ������√������
+
(1
+
������)������√������
z
=
ln(������������) ������√������
D = ϕ������������(������−������)������(HS )2(������+1)������(������������2) − ϕ������������−������������(HS )2������������(������������2 − ������������√������)
向上敲出看涨期权: S<H
Payoff
=
{max(S
E
=
K������ −������������ [������(������������2

������������√������)

H 2������ (S)
������(������������2

������������√������)]
F
=
H ������+������ K[( S )
������(������������)
3.障碍期权的解析解 基于伊藤随机微分方程和风险中性定价原理,可以得到障碍期权
定价的解析解公式。需要注意的是,根据障碍水平 H 是否高于执行 价格 X,其解析解的定价公式并不相同。
S:股票价格 X:期权执行价格 H:障碍水平 K: 期权发生敲入或敲出后的支付 T: 到期时间 r:无风险利率 b:b=r-q,q 为股票股利率
未达到障碍时的期权支付 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K 在期权到期日支付 K Max(S-X,0) Max(S-X,0) Max(X-S,0) Max(X-S,0)
2
2014 年 11 月 19 日
数据来源:上海证券研究所
专题报告
为行文方便,之后本文中提到的障碍期权,均为欧式障碍期权。
日期:2014 年 11 月 19 日
证券研究报告/衍生品研究/专题报告
障碍期权的定价和希腊字母风险
邵 锐 S0870513050001 陈健宓 S0870514080001
021-53519888-1951 chenjianmi@
主要观点:
由于障碍水平的存在,障碍期权只在标的证券价格的一段区间内
2.障碍期权价格和障碍水平的关系 障碍水平越来越接近于执行价格,向下敲入看涨期权 (������������������ )敲
入的可能性越大,期权的价格越高;向上敲入看涨期权 (������������������ )敲入 的可能性越大,期权的价格也越高。向下敲出看涨期权(������������������)敲出 的可能性越大,期权的价格越低;向上敲出看涨期权(������������������)敲出的 可能性越大,期权的价格也越低。当障碍水平等于执行价格时,敲入
看涨期权价格等于香草期权价格。敲出看涨障碍期权价格为 0。 3.障碍期权价格和到期时间、波动率的关系
距到期日较远(1 年)时,波动率的增加会导致普通期权的价格
增加,敲入和敲出的概率也增加,向下敲入期权(������������������、������������������)的价格升 高,向下敲出期权(������������������、������������������)的价格降低。
向下敲入看跌期权(������������������)的价格随着波动率增加而上升。 4.期权希腊字母的数值解(Numerical Greeks)
在离散的情形下,我们可以用差分法求得期权希腊字母的近似值,
称为数值解。对于奇异期权,期权价格可以用蒙特卡洛模拟求得。因
此数值方法应用更广。
本文用 2014 年 4 月 8 日至 2014 年 5 月 19 日 28 个交易日的 HS300 指数价格构造了沪深 300 指数向下敲出看跌期权,并求出了这段时间 期权的 Delta 值。向下敲出看跌期权的 Delta 原先接近于零,在快到 期时接近于向下敲出边界,Delta 值变动剧烈。为了避免 Delta 剧烈波 动造成的复制成本增高,在实务中,我们会向下扩展敲出边界来减小
向上敲入看涨期
Payoff
=
{max(S

X; 0) K,
,
if
S ≥ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = A + E,η = −1,ϕ = 1 ������������������(������ < H) = B − C + D + E,η = −1,ϕ = 1
向上敲入看跌期权: S<H
Payoff
=
{max(X

S; 0) K,
,
if
S ≥ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = A − B + D + E,η = −1,ϕ = −1 ������������������(������ < H) = C + E,η = −1,ϕ = −1
2.障碍期权的基本分类 障碍期权按敲入和敲出,向上和向下,看跌和看涨共有八种不同
的组合:向下敲入看涨期权(������������������ )、向上敲入看涨期权(������������������ )、向下 敲入看跌期权(������������������ )、向上敲入看跌期权(������������������ )、向下敲出看涨期权 (������������������)、向上敲出看涨期权(������������������)、向下敲出看跌期权(������������������)、向上 敲出看跌期权(������������������)。障碍期权基本结构的主要变形包括:(1)部分 障碍期权,其障碍属性只在一段时间内存在,其余时候其支付和香草 期权一致。(2)非连续障碍期权,期权的激活和终止仅取决于某几个 特定日期。(3)欧式障碍期权和美式障碍期权。八种基本类型的欧式 障碍期权的支付形式为:
C = ϕ������������(������−������)������(HS )2(������+1)������(������������1) − ϕ������������−������������(HS )2������������(������������1 − ������������√������)
有效,因此它的价格相对于普通期权较便宜。在场外期权市场,障碍
期权占奇异期权市场的 70%-80%,是最有实际应用价值的期权。 1.障碍期权的分类
障碍期权按敲入和敲出,向上和向下,看跌和看涨共有八种不同
的组合:向下敲入看涨期权(������������������ )、向上敲入看涨期权(������������������ )、向下 敲入看跌期权(������������������ )、向上敲入看跌期权(������������������ )、向下敲出看涨期权 (������������������)、向上敲出看涨期权(������������������)、向下敲出看跌期权(������������������)、向上 敲出看跌期权(������������������)。相同方向的敲入敲出期权价格之和等于普通香 草期权。
Payoff
=
{max(S

X; 0) K,
,
if
S ≤ H before else, at T
T
������������������(������ > H) = C + E,η = 1,ϕ = 1 ������������������(������ < H) = A − B + D + E,η = 1,ϕ = 1
2014 年 11 月 19 日
表 1 欧式障碍期权的基本分类
障碍位置相对于标的股票价格
达到障碍时的期权支付
之下
Max(S-X,0)
之上
Max(S-X,0)
之下
Max(X-S,0)
之上
Max(X-S,0)
之下
在发生敲出时支付 K
之上
在发生敲出时支付 K
之下
在发生敲出时支付 K
之上
在发生敲出时支付 K
类型 向下敲入看涨期权 向上敲入看涨期权 向下敲入看跌期权 向上敲入看跌期权 向下敲出看涨期权 向上敲出看涨期权 向下敲出看跌期权 向上敲出看跌期权
符号 ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������ ������������������
Delta 波动。
重要提示:请务必阅读尾页分析师承诺和重要声明。
1
专题报告
一、 障碍期权的种类和定价
障碍期权是一种路径依赖期权,期权买方的权利是否有效依赖于 标的资产价格在期权的存续期内是否达到了障碍水平。如果在期权存 续期中的任一时点,资产价格达到障碍水平,期权将被激活(敲入) 或被终止(敲出)。障碍期权可以应用于货币、利率和股票等,因为 障碍期权相对于香草期权较便宜的价格,在场外期权市场,障碍期权 占奇异期权市场的 70%-80%,是最有实际应用价值的期权。
A = ϕ������(������−������)������������(������������1) − ϕ������������−������������������(������������1 − ������������√������) B = ϕ������(������−������)������������(������������2) − ϕ������������−������������������(������������2 − ������������√������)
向下敲出看涨期权: S>H
Payoff
=
{max(S

X; 0) K,
,
if
S>H at hit
before
T
������������������(������ > H) = A − C + F,η = 1,ϕ = 1 ������������������(������ < H) = B − D + F,η = 1,ϕ = 1
1.确认资产价格达到障碍水平的标准 障碍期权设计的关键是如何确认资产价格达到障碍水平。确认资
产价格达到障碍水平的关键问题包括:(1)确认达到障碍水平的有效 期,如正常平稳的交易时间,避开市场波动剧烈或成交量很小的交易 时段。(2)确认达到障碍水平时的交易规模,是否需要达到一个最小 的成交量。(3)对非市场化交易的判定,如包括明显错误或者串谋的 交易,如“光大”乌龙指事件。一般目前国内的以沪深 300 指数为标 的的障碍期权是以每个交易日的收盘价来确认期权是否敲出。
+
������������√������
������2
=
ln(������������) ������√������
+
(1
+
������)������√������
μ = (b − ������2)/������2
2
λ
=
√������2
+
2������ ������2
b=r−q
向下敲入看涨期权: S>H
在距到期日较近(1 月)的情况下,波动率的小幅增加虽然导致 向下敲出看跌期权(������������������)敲出的概率加大,但同时也增加了期权价 内的可能性,随波动率上升该期权的价格上升。随着波动率继续增加,
敲出负效应渐渐占据上风该期权的价格下降。向下敲入看跌期权(������������������) 随着波动率加大,敲入的概率加大,期权价内的可能性也增加,因此
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