曲面积分总结

多元函数积分学

一、主要内容

1、重积分的概念与性质.

2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.

3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标.

4、重积分的应用：几何应用、物理应用.

5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质.

6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.

7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质.

8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）.

9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用.

10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.

二、学习要求

1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）

5、掌握曲线（面）积分与积分曲线（面）无关的条件，会将二元、三元函数的全微分求积。

6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。

三、疑难解答

1、问：曲线积分，曲面积分都有两种类型，定积分、重积分是否可分类型？两类积分的本质区别是什么？ 答 曲线积分或曲面积分的两种类型，主要根据积分曲线（或曲面）是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分，但最主要的还是根据积分曲线（或曲面）是否有向来区分。由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。所有无向积分的性质同于a ＜b 时定积分dx x f b a ⎰)(，所有有向积分的性质，同于定积分dx x f b

a ⎰)(。

积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。

两类积分的本质差异导致了在将重积分、第一类曲线积分化为定积分计算时，每次定积分的下限必须小于上限；而将第二类曲线积分化为定积分计算时，积分的下限是曲线起点参数，上限是终点参数；将第二类曲面积分化为二重积分计算时，根据曲面的侧，二重积分前要加相应的正负号。

2、问：何种积分可以利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算，具体做法如何？

答 积分范围无向的积分（即第一类积分）都可利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算。 以二重积分σd y x f I D ⎰⎰=),(为例说明方法如下：

（1）若积分区域D 关于y 轴对称，那么

当f (x , y )关于x 是奇函数(),(),(y x f y x f -=-)时，I = 0；

当 f (x , y )关于x 是偶函数(),(),(y x f y x f =-)时，σd y x f I D ⎰⎰=1),(2，其中

}0,),(),({1≥∈=x D y x y x D .

（2）若积分区域D 关于x 轴对称，那么

当f （x ，y ）关于y 是奇函数(),(),(y x f y x f -=-)时，I = 0；

当f (x , y )关于y 是偶函数(),(),(y x f y x f =-)时，

σd y x f I D ⎰⎰=1),(2，其中}0,),(),({1≥∈=y D y x y x D .

（3）若积分区域D 关于原点对称，那么 当f (x , y ) 关于x ，y 都是奇函数(),(),(y x f y x f -=--)时，I = 0；

当f (x , y ) 关于x ，y 都是偶函数(),(),(y x f y x f =--)时，则σd y x f I D ⎰⎰=1),(4，其中

}0,0,),(),({1≥≥∈=y x D y x y x D .

（4）若积分区域D 关于直线y = x 对称，则

σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=),(),(；

σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=21),(),(，其中},),(),({1x y D y x y x D ≥∈=，},),(),({2x y D y x y x D ≤∈=； 若再有 f (x , y ) 关于变量y x ,对称 (),(),(x y f y x f =)时，则σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=1),(2),(，其中

},),(),({1x y D y x y x D ≥∈=.

这一方法可直接推广到三重积分以及对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分。

因为积分范围有向的积分（即第二类积分）不仅与积分曲线、积分曲面和被积函数有关，还与积分范围的方向有关，所以利用对称性化简积分比较复杂，直接利用时要谨慎。一般在将其化为定积分，二重积分、三重积分之后，再利用相应的对称性来简化计算，比较保险。

3、问：计算三重积分时，如何选择恰当的坐标系？

答 计算三重积分，常用直角坐标、柱面坐标、球面坐标，选择某种坐标系的一般原则是：

（1）积分区域的边界曲面在该坐标系中的方程比较简单。（当边界曲面为该坐标系中的坐标面时，方程最简单。）

（2）被积函数在该坐标系中的表达式比较简单，而且化为三次积分后，各次积分易计算。

为了选择恰当的坐标系，应该了解一些常见的曲面在何种坐标系中的方程比较简单。以及常见坐标运算式子在不同坐标系中的表示。例如

x 2+y 2在柱面坐标系中为r 2，在球面坐标系中为ϕ22sin r ；222z y x ++在柱面坐标系中为r 2 + z 2，在球面坐

标系中为r 2。

圆柱面222a y x =+的柱面坐标方程为a r =，球面坐标方程为ϕsin /a r =；

圆柱面ax y x 222=+的柱面坐标方程为θcos 2a r =，球面坐标方程为θϕcos csc 2a r =；