曲面积分总结

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曲线曲面积分公式总结

曲线曲面积分公式总结
以下是曲线曲面积分的一些基本公式：
1. 曲线积分公式：
- 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：∫(L) f(x,y) ds = ∫(a) (b)
f(x,y)√[(dx)^2 + (dy)^2]。

- 第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：∫(L) P(x,y) dx + Q(x,y) dy = ∫(a) (b) [∫(L1) P(x,y) dx + Q(x,y) dy] dσ。

2. 曲面积分公式：
- 第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∫∫(Σ) f(x,y,z) dS。

- 第二类曲面积分（对坐标的曲面积分）：∫∫(Σ) P(x,y,z) dydz + Q(x,y,z) dzdx + R(x,y,z) dxdy。

其中，f(x,y,z)、P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z) 是定义在曲面Σ 上的函数，Σ 是积分曲面，L 是积分曲线，a、b 是积分上下限，dS 是面积元，ds 是线段元，dxdy、dydz、dzdx 是面元。

这些公式是积分学中的基本公式，也是解决复杂积分问题的关键。

对于具体的问题，需要选择合适的积分公式和计算方法。

曲面积分计算技巧(一)

曲面积分计算技巧(一)曲面积分计算技巧•曲面积分是多元函数积分的重要内容之一，它在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。

本文将详细介绍曲面积分的各种计算技巧。

一、曲面积分的定义•曲面积分是对曲面上的某个量进行积分的一种数学操作。

它可以看作是对曲面上的函数在曲面上的投影进行积分的过程。

二、曲面积分的计算方法1.参数化曲面–曲面积分的第一步是将曲面参数化。

参数化是找到一个映射，将曲面上的点映射到一个参数域上。

2.计算曲面积分1.第一类曲面积分•第一类曲面积分是对曲面上的标量函数进行积分。

我们可以使用参数化曲面的方法将其转化为对参数域上的函数进行积分。

2.第二类曲面积分•第二类曲面积分是对曲面上的向量函数进行积分。

它的计算方法是将曲面分成小面元，然后求每个面元上的积分再求和。

三、曲面积分的技巧1.选择合适的参数化–在计算曲面积分时，选择合适的参数化是非常重要的。

一个好的参数化可以简化计算过程，提高计算效率。

2.利用对称性简化计算–如果曲面具有某种对称性，可以利用对称性简化曲面积分的计算过程。

3.使用曲面积分的性质–曲面积分具有一些性质，如线性性质、积分过程与参数化无关等。

我们可以灵活运用这些性质来简化计算。

4.应用变换减少计算复杂度–在某些情况下，可以通过对曲面进行变换，将复杂的曲面积分转化为更简单的形式，进而简化计算过程。

四、曲面积分的应用领域•曲面积分在物理学、工程学、计算机图形学等领域有着丰富的应用。

例如，曲面积分可用于计算物体的体积、质量、重心位置等。

五、结论•曲面积分是一种重要的数学工具，在实际应用中有着广泛的应用。

掌握曲面积分的计算技巧和应用领域，对于从事相关领域的专业人士来说是非常必要的。

希望本文能够对读者加深对曲面积分的理解和应用提供一些帮助。

六、参考文献•[1] Stewart, J. (2015). Calculus: Early Transcendentals. Boston, MA: Cengage Learning.•[2] Marsden, J. E., & Tromba, A. J. (2011).Vector calculus. New York, NY: Freeman and Company.•[3] Oprea, J. (2018). Differential geometry and its applications. Providence, RI: AmericanMathematical Society.•[4] Adams, C. J., Essex, C., & Martin, C.(2015). Calculus: A Complete Course. Boston, MA: PearsonEducation.•[5] Weisstein, E. W. Surface Integral. From MathWorld–A Wolfram Web Resource.以上是一些相关的参考文献，如果你对曲面积分有更深入的兴趣，可以参考这些文献进一步学习。

曲线积分曲面积分公式

曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是微积分学中重要的概念和计算方法，它们在物理学、工程学、计算机图形学等领域中有广泛的应用。

本文将详细介绍曲线积分和曲面积分的概念、计算方法以及它们的应用。

一、曲线积分1. 概念曲线积分是沿着曲线路径的函数值在该路径上的积分，它可以用来计算曲线上的物理量或计算路径上的某个量的总和。

一条曲线通常可以用参数方程表示，即根据一个或多个参数的变化来描述曲线上的点的坐标。

2. 计算方法曲线积分可以分为第一类曲线积分和第二类曲线积分两种。

第一类曲线积分是对曲线上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∫f(x,y,z) ds其中，f(x,y,z)是曲线上的函数，s是弧长。

第二类曲线积分是对曲线上的矢量场进行积分，计算公式为：∫F·dr 或∫F ds其中，F是曲线上的矢量场，dr是位移矢量，ds是弧长。

3. 应用曲线积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场沿着路径上的功、磁场沿着闭合路径上的环流等。

它还可以用来计算空间曲线上的质心、质量等。

在工程学中，曲线积分可以用来计算管道的流量、线段上的力等。

二、曲面积分1. 概念曲面积分是对曲面上的函数的某个量在整个曲面上的积分，它可以用来计算曲面上的物理量或计算函数在曲面上的平均值。

一般情况下，曲面可以用参数方程表示，即根据两个参数的变化来描述曲面上的点的坐标。

2. 计算方法曲面积分可以分为第一类曲面积分和第二类曲面积分两种。

第一类曲面积分是对曲面上的函数施加一个标量面积进行积分，计算公式为：∬f(x,y,z) dS其中，f(x,y,z)是曲面上的函数，dS是面积元。

第二类曲面积分是对曲面上的矢量场进行积分，计算公式为：∬F·dS 或∬F dS其中，F是曲面上的矢量场，dS是面积元。

3. 应用曲面积分在物理学中有广泛的应用，例如计算电场通过曲面的电通量、磁场通过闭合曲面的磁通量等。

它还可以用来计算物体的总质量、质心等物理量。

曲面积分基本概念

曲面积分基本概念曲面积分是向量分析中重要的工具之一，用于计算曲面上的某些物理量或者电磁场分布情况。

在本文中，我们将介绍曲面积分的基本概念和计算方法。

一、曲面积分的概念曲面积分是对曲面上一个数量函数的积分运算。

它可以看作是沿着曲面法线方向进行的积分操作，用于描述某个物理量在曲面上的分布情况。

对于平面上的积分，我们可以通过对所有点的加权求和来计算。

而在曲面上，由于其形状的复杂性，我们需要将曲面分解为许多小块，并对每个小块进行积分运算，然后将这些小块的积分结果进行累加，以得到最终的曲面积分值。

二、曲面积分的类型曲面积分分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

1. 第一类曲面积分第一类曲面积分是对标量函数在曲面上的积分运算。

它描述的是曲面上的某种物理量的总量。

常见的第一类曲面积分符号表示为：∬_Sf(x, y, z)ds其中f(x, y, z)为定义在曲面S上的函数，ds表示曲面上的微元面积。

2. 第二类曲面积分第二类曲面积分是对向量函数在曲面上的积分运算。

它描述的是曲面上的某个向量场的总量。

常见的第二类曲面积分符号表示为：∬_S F·dA其中F为定义在曲面S上的向量函数，dA表示曲面上的微元面积的法向量。

三、曲面积分的计算方法曲面积分的计算方法主要有两种：参数化计算法和面积法。

1. 参数化计算法参数化计算法是将曲面用参数方程表示，然后将曲面上的积分转化为对参数的积分。

通过这种方法，我们可以将曲面积分转化为普通的二重积分，从而简化计算过程。

2. 面积法面积法是将曲面分解为许多小面元，然后对每个小面元进行面积的计算，并将这些面积值进行累加。

这种方法适用于曲面较为简单，可以根据几何关系直接计算出面积的情况。

四、曲面积分的应用曲面积分在物理学和工程学的许多领域都有广泛的应用。

比如，在电磁学中，曲面积分可以用于计算电荷分布情况、电场强度和磁场强度等物理量在曲面上的总量；在流体力学中，曲面积分可以用于计算流体的质量、动量和能量等。

曲面积分的定义

曲面积分的定义曲面积分是微积分中的一项重要概念，在数学和物理学中有广泛的应用。

本文将介绍曲面积分的定义及其应用。

首先，我们来了解一下曲面积分的基本概念。

曲面积分是对一个曲面上某个向量场进行积分，用于表示该向量场在曲面上的贡献。

曲面积分可以分为两种类型：第一类曲面积分和第二类曲面积分。

第一类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个标量函数的积分。

设S是一个光滑曲面，f(x, y, z)是定义在S上的连续函数，则第一类曲面积分的定义如下：∬S f dS = ∫∫S f(x, y, z) dS其中，∬表示曲面积分，S表示曲面，f表示定义在曲面上的函数，dS表示曲面上的面元。

第二类曲面积分是在曲面上的每一个微小面元上计算某个向量场的点积，它表示向量场贯穿曲面的流量。

设F(x, y, z)是一个定义在曲面S上的向量场，则第二类曲面积分的定义如下：∬S F ⋅ dS = ∫∫S F(x, y, z) ⋅ dS其中，F表示定义在曲面上的向量场，⋅表示点积。

曲面积分的计算可以通过参数化方法进行。

将曲面参数化为u和v的函数，即：r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。

在这个参数化的曲面上，微小面元dS可以表示为：dS = |r_u × r_v| du dv其中，r_u和r_v分别是r对u和v的偏导数，×表示向量的叉乘。

通过参数化方法，我们可以将曲面积分转化为二重积分。

例如，第一类曲面积分可以表示为：∬S f dS = ∫∫D f(r(u, v))|r_u × r_v| du dv其中，D是曲面在平面上的投影，表示为(u, v)的取值范围。

同样地，第二类曲面积分也可以通过参数化方法进行计算。

例如，第二类曲面积分可以表示为：∬S F ⋅ dS = ∫∫D F(r(u, v)) ⋅ (r_u × r_v) du dv曲面积分在数学和物理学中有广泛的应用。

曲面积分总结

多元函数积分学一、主要内容1、重积分的概念与性质.2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标.4、重积分的应用：几何应用、物理应用.5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质.6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质.8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）.9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用.10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.二、学习要求1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。

2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。

会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。

线、面积分表达式并进行计算。

4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）5、掌握曲线（面）积分与积分曲线（面）无关的条件，会将二元、三元函数的全微分求积。

6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。

会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。

三、疑难解答1、问：曲线积分，曲面积分都有两种类型，定积分、重积分是否可分类型？两类积分的本质区别是什么？答曲线积分或曲面积分的两种类型，主要根据积分曲线（或曲面）是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分，但最主要的还是根据积分曲线（或曲面）是否有向来区分。

由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。

重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。

所有无向积分的性质同于a ＜b 时定积分dx x f b a ⎰)(，所有有向积分的性质，同于定积分dx x f ba ⎰)(。

积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。

积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则原式=dt t y t x t y t x f⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分(,,)((),()LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2xy LLLe ds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),(计算方法一：若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,)LP x y z d x Q x y z d y R x y z d z++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

11(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰1()(,)(,)L Dq pdxdy p x y dx q x y dy x y∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰如图：三、格林公式⎰⎰=∂∂-∂∂Ddxdy ypx q )(⎰+Ldy y x q dx y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当yp x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关，且⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p(,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y+=是某个函数的全微分Q Px y∂∂⇔=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

曲面积分总结

曲面积分总结曲面积分有第一型曲面积分和第二型曲面积分。

第一型曲面积分的实际意义是空间物质曲面的质量，第二型曲面积分的实际意义是流速场中沿某曲面某一侧的流量。

一、第一型曲面积分1、引例：设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在xoy 平面上的投影区域为D , 物质曲面的密度函数为),,(z y x f ，则S 的质量为⎰⎰=Sds z y x f m ),,(.此种积分称为第一型曲面积分。

2计算方法定理1、设空间光滑曲面S 的方程为),(y x z z =，在x o y 平面上的投影区域为D , ),,(z y x f 在S 上连续，则⎰⎰⎰⎰++=D y x S dxdy z z y x z y x f ds z y x f 221)),(,,(),,(。

二、第二型曲面积分1、引例：设有流速场)),,(),,,(),,,((z y x R z y x Q z y x P F = ，在此场中有一双侧光滑曲面S ，指定一侧为正侧，则通过此曲面的流量为 ⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(。

这种形式的积分称为第二型曲面积分。

上述积分上是三个积分的和⎰⎰++Sdxdy z y x R dxdz z y x Q dydz z y x P ),,(),,(),,(⎰⎰=S dydz z y x P ),,(⎰⎰+S dxdz z y x Q ),,(⎰⎰+Sdxdy z y x R ),,(2、计算方法设函数),,(z y x R 在光滑曲面S ：),(y x z z =，D y x ∈),(, 上连续，则 ⎰⎰⎰⎰±=DS dxdy y x z y x R dxdy z y x R )),(,,(),,(。

当曲面S 的正侧法线方向与z 轴成锐角时取正号，成钝角时取负号。

也就是说，曲面上侧为正侧时取正号，曲面下侧为正侧时取负号。

曲面积分精解共14页word资料

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i Λ=∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在, 则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例1 计算曲面积分,⎰⎰∑zdS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部. 解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xyD r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d ar a ardrd ha D xy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2haaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x D xy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxy D D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u例5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以 .00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算 ,)(222⎰⎰∑++dS z y x ∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y xdS z y x⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y x xy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积.解由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km).解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈RAπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节第二类曲面积分二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i n ρρρργβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρϖ),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαcos cos cos R Q P n v ++=⋅ϖϖ则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v ϖϖ.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A ϖ在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定. 例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.解把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解 .cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11cos cos x xz x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22 dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα 二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，ορn 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A ρρρρρο称为向量场A ρ通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zRy Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A ρ的散度，记为A div ϖ，即zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂=ϖ. (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-= 例2（E02）计算 ,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z 其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω 由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z )()(22 ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r 例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面，设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy h dxdy z dS z y x πγβα故 .2121)cos cos cos (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu ∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ρ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n ρ是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(ρρdS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式. 通量与散度例5（E05）求向量场k z j y ix r ρρρρ++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰⎰=Vdv r div ρ⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1) 穿过底面向上的流量1Q ⎰⎰+⋅=S S d r ρρ⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2) 穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0= 课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系. 分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习 ★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdydzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.cos cos cos ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A ρρρρ++=则沿场A ρ中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A ρ沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,, 称为向量场A ρ的旋度，记为A rot ρ，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ρρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQ Pz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=ρρρρ.四、向量微分算子：,k zj y i x ρρρ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以 .23=++⎰Γydz xdy zdx例2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n ρ即,31cos cos cos ===λβα原式dS yx x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS 例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方. 解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R r d R Rdxdy rx y x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A ρϖϖϖ222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div ρzA y A x A zy x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div ρ.4=A rot ρk y A x A j xA z A i z A y A x y zx x z ρρρ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=k y j i ρρρ)02()00()00(--+-+-=.2k y ρ-= 故0M A rot ρ.2k ρ-= 例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 gradu ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -=div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A ϖ=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A ϖ的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y x ϖϖϖϖωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v ϖ的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径r ρOM =,k z j y i x ρρρ++=则点M 的线速度v ρr ρρ⨯=ωzy x kjiz y x ωωωρρρ=,)()()(k x y j z x i y z y x x z z y ρρρωωωωωω-+-+-=于是v ρrot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=ρρρ)(2k j i z y x ρρρωωω++=.2ωρ=即速度场v ρ的旋等于角速度ωρ的 2 倍. 课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmB dz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线.2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v ρ和加速度w ρ在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

曲面积分曲线积分总结(推荐3篇)

曲面积分曲线积分总结第1篇对坐标积分，第二型积分是有方向的，对应的物理意义是力沿曲线做功两种方法1.根据对称性、代入性 2.采用化为参数方程例题一、曲线L为 \begin {cases} x^2+y^2+z^2=R^2 \\ x+y+z=0 \end{cases} ，计算\int_{L}xyds (代入性、对称性)例题二、L为 \begin {cases} 2x^2+y^2=2\\ z=x \end {cases} ,计算 \oint_{L}(x^2+y^2)ds (转空间曲线为参数方程形式)\oint_{L}\frac{(x+y)dx-(x-y)dy}{x^2+y^2} ,其中L为 x^2+y^2=a^2 的正向直接使用xxx就是“经典错误，标准错误”当 \frac{\partial P}{dy}=\frac{\partial Q}{dx}证明与路径无关，则可以重新选择简单路径，注意选择新的路径时，一定不能含有奇点。

计算 \int_{L} \frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy ,L是从A（-a，0）到B（a，0）的椭圆 \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(y\geq0,a>0,b>0)的一段。

①当区域里面还有奇点，就采用挖洞法②挖洞有讲究，不能乱挖，最好挖得和分母式子是一样的，比如分母是4x^2+y^2 ,那就挖一个椭圆 4x^2+y^2=\xi^2③挖洞的方向要和所求区域是一致的同学问的题，发现这方面的题还没做到，就写一下例题：计算曲面积分 \oint_{c}(x^2+y^2)^2ds ,其中曲线c为 \begin{cases} x^2+y^2+z^2=1 \\ x=y \end{cases}解释：1投是把积分曲面投影到相应的平面，2代是把需要变的值代换，3微变是变换积分例题、求 \iint_{\Sigma}x\sqrt{y^2+z^2}dS , \Sigma 为 x=\sqrt{y^2+z^2}与x=1围成立体的边界曲面思路：这题不是常规的直接投影到xoy平面，但我们可以通过改变坐标轴来改变积分解释：1投求那个面上的积分就往那个面上投影，2代把不在平面的值代换，3定号看与z轴的夹角，若为锐角则正号，若为钝角，则是负值。

曲面积分三合一公式(一)

曲面积分三合一公式(一)曲面积分三合一公式什么是曲面积分？在数学中，曲面积分是对曲面上某个标量或向量场进行积分的一种计算方法。

曲面可以是二维曲面，也可以是三维空间中的曲面。

曲面积分常用于物理、工程、计算机图形学等领域的计算和分析中。

曲面积分的类型曲面积分可以分为三种类型，分别是曲面上的面积分、曲面对于标量场的曲面积分和曲面对于向量场的曲面积分。

曲面上的面积分曲面上的面积分是计算曲面的面积的一种方法。

它可以用以下公式表示：S∬dS其中，S表示曲面，dS表示曲面上的微元面积。

对于一个平面上的曲面，可以通过对曲面上所有微元面积求和来计算曲面的面积。

曲面对于标量场的曲面积分曲面对于标量场的曲面积分是计算曲面上某个标量场在整个曲面上的积分。

它可以用以下公式表示：∬fS(x,y,z)dS其中，S表示曲面，f(x,y,z)表示在曲面上某点(x,y,z)处的标量场，dS表示曲面上的微元面积。

曲面对于向量场的曲面积分曲面对于向量场的曲面积分是计算曲面上某个向量场在整个曲面上的积分。

它可以用以下公式表示：∬FS⋅n dS其中，S表示曲面，F表示在曲面上的某点(x,y,z)处的向量场，n表示曲面在该点处的法向量，dS表示曲面上的微元面积。

举例说明假设有一个球面S，其方程为x2+y2+z2=1，要计算标量场f(x,y,z)=x2+y2+z2在球面上的曲面积分。

根据曲面对于标量场的曲面积分的公式，我们可以得到：∬fS (x,y,z)dS=∬(x2+y2+z2)SdS球面的法向量可以表示为n=√x2+y2+z2(x,y,z)。

将公式带入，得到：∬(x2+y2+z2) S dS=∬(x2+y2+z2)S1√x2+y2+z2dS=∬√x2+y2+z2SdS球面S的面积可以用球面积公式计算得到。

因此，我们可以利用曲面积分的三合一公式将曲面积分转化为对标量场的曲面积分进行计算，进而获得球面上标量场的积分值。

总结曲面积分是对曲面上标量或向量场进行积分的一种计算方法。

曲线积分与曲面积分总结

第十一章：曲线积分与曲面积分一、对弧长的曲线积分⎰⎰+=LLy d x d y x f ds y x f 22),(),(若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L βα≤≤t则原式=dt t y t x t y t x f⎰'+'βα)()())(),((22对弧长的曲线积分(,,)((),(LLf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰若 ():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩βα≤≤t则原式=((),(),(f x t y t z t βα⎰常见的参数方程为：特别的：22222.2x y LLLeds e ds e ds e π+===⎰⎰⎰22=2(0)L x y y +≥为上半圆周二、对坐标的曲线积分⎰+Ld y y x q d x y x p ),(),(计算方法一：若 ⎩⎨⎧==)()(:t y y t x x L 起点处α=t ，终点处β=t 则原式=dt t y t y t x q dt t x t y t x p )())(),(()())(),(('+'⎰βα对坐标的曲线积分(,,)(,,)(,,LP x y z d x Q x y z d y R x y z d z++⎰():()()x x t L y y t z z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点处α=t ，终点处β=t 则原式=((),(),())()((),(),())()((),(),())()P x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt βα'''++⎰计算方法二：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式，后者利用参数方程。

11(,)(,)(,)(,)L L L p x y dx q x y dy p x y dx q x y dy ++-+⎰⎰1()(,)(,)L Dq pdxdy p x y dx q x y dy x y∂∂=±--+∂∂⎰⎰⎰如图：三、格林公式⎰⎰=∂∂-∂∂Ddxdy ypx q )(⎰+Ld y y x q d x y x p ),(),( 其中L 为D 的正向边界特别地：当yp x q ∂∂=∂∂时，积分与路径无关，且⎰⎰⎰+=+21212211),(),(),(),(21),(),(y y x x y x y x dy y x q dx y x p dy y x q dx y x p(,)(,)(,P x y d x Q x y d y d U x y+=是某个函数的全微分Q Px y∂∂⇔=∂∂ 注：在计算曲线积分时，通过适当的添加线段或曲线，是之变成一个封闭曲线上的曲线积分与所添加线段或曲线上的曲线积分之差，从而对前者利用格林公式。

(完整版)(整理)第一类曲面积分

第四节对面积的曲面积分(第一类曲面积分)曲面积分有两种一种是对坐标的曲面积分，一种是对面积的曲面积分．一对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的基本概念与性质设有一曲面型构件∑的物体，在点(,,)x y z 处的密度为()z y x f ,,，求此物体的质量．求解的方法是, 将曲面∑分为若干个小块i ∆∑(1,2,i n =)，其面积分别记为i S ∆(1,2,i n =)，在小块曲面i ∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若密度函数()z y x f ,,是连续变化的则可以用点()i i i M ςηξ,,处的密度近似小块i S ∆上的密度．于是小块i ∆∑的质量为()i i i f ςηξ,,i S ∆，将所有这样的小块的面积加起来，就是物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i i S f m 1,,ςηξ当n 个小的曲面的直径的最大值0→λ时，上面的式子右端的极限值如果存在，则将此极限值定义为曲面的质量．即()∑=→∆=ni i i i i S f m 1,,lim ςηξλ．总之, 以上解决问题的方法就是: 先把它分成一些小片,估计每一小片上的质量并相加,最后取极限以获得精确值. 这同积分思想相一致. 为此我们定义对面积的曲面积分．定义13.3 设函数()z y x f ,,是定义在光滑曲面(或分片光滑曲面)∑上的有界函数．将曲面分为若干个小块i ∆∑(1,2,,i n =)，其面积分别记为()n i S i ,...,2,1=∆，在小块曲面i∆∑上任意取一点()i i i M ςηξ,,，若极限()∑=→∆ni i i i i S f 1,,lim ςηξλ存在，则称此极限值为函数()z y x f ,,在曲面∑上对面积的曲面积分(或称第一类曲面积分)．记为()⎰⎰∑ds z y x f ,,．即()⎰⎰∑ds z y x f ,,=()∑=→∆ni iiiiS f 1,,lim ςηξλ．其中λ表示所有小曲面i ∆∑的最大直径, ()z y x f ,,称为被积函数, ∑称为积分曲面．对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分具有相似的性质．如1) ()()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑±=±ds z y x g ds z y x f ds z y x g z y x f ,,,,,,,,；2) ()()⎰⎰⎰⎰∑∑=ds z y x f k ds z y x kf ,,,,；3)()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+=2121,,,,,,ds z y x f ds z y x f ds z y x f ．二对面积的曲面积分(第一类曲面积分)的计算设积分曲面由单值函数()y x z z ,=确定，曲面在坐标面xoy 上的投影为xy D ，函数()y x z z ,=在xy D 具有连续偏导数（即曲面∑是光滑曲面）．按照对面积的曲面积分的定义有()()iiiini S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1．设对曲面∑的第i 块i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()i σ∆，则i S ∆可以表示为下面的二重积分：()()()⎰⎰∆++=∆idxdy z y x f z y x f S y x i σ,,,,122有二重积分的中值定理有()()i i i i y i i i xi z z S σςηξςηξ∆++=∆,,,,122其中()i i i ςηξ,,是小曲面i S ∆上的任意一点，()i i ηξ,为()i σ∆内任意一点，所以()()i i i ni f dS z y x f ςηξλ,,lim ,,1∑⎰⎰=→∑=()()i i i i y i i i xz z σςηξςηξ∆++,,,,122 注意到()i i i z ηξς,=，从而得到二重积分的计算公式()()()()()⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y xdxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f ,,1,,,,,22．这个公式是很容易理解和记忆的，因为曲面∑的方程是()y x z z ,=，曲面的面积元素为dxdy z z dS y x 221++=，曲面在坐标面XOY 上的投影是xy D ，于是对面积的曲面积分就化为二重积分了．将这个过程简单归纳如下：1) 用y x ,的函数()y x z z ,=代替z ； 2) 用dxdy z z y x 221++换dS ；3) 将曲面投影到坐标面XOY 上得到投影xy D ．简单地说就是“一代二换三投影”．例13.16 计算曲面积分dSz ∑⎰⎰，其中曲面∑是由平面()a h h z <<=0截球面 2222a z y x =++的顶部．图13-16 解：曲面∑的方程为222y x a z --=，它在坐标面xoy 上的投影为圆形的闭区域：2222h a y x -≤+．222221yx a a z z y x --=++，所以dS z ∑⎰⎰＝222xyD adxdy a x y --⎰⎰ 利用极坐标计算上面的积分，得到()2222222220022012ln 2ln2xya h D a h dS ardrd ardrd d z a r a r aa a r a hπθθθππ-∑-==--⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.17 计算曲面积分()⎰⎰∑++21y x dS，其中曲面∑是由平面1=++z y x 以及三个坐标面所围成的四面体的表面．图13-17解：如上图，曲面∑由曲面4321,,,∑∑∑∑组成，其中4321,,,∑∑∑∑分别是平面1=++z y x ，0,0,0===z y x 上的部分．()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑212ln 31311021021xy x dydx y x dS；()()2ln 1111021022-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zy dydz y x dS；()()2ln 1111021023-=+=++⎰⎰⎰⎰-∑zx dxdz y x dS；()()212ln 11102124-=++=++⎰⎰⎰⎰-∑xy x dydx y x dS．所以()()()()2ln 13233212ln 3212ln 2ln 12ln 112-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=++⎰⎰∑y x dS习题13.41. 计算()x y z dS ∑++⎰⎰. 其中∑为上半球面222z a x y =--. 2. 计算||I xyz dS ∑=⎰⎰. 其中∑为曲面22z x y =+介于二平面0,1z z ==之间的部分. 3. 计算22()x y dS ∑+⎰⎰. 其中∑是锥面22z x y =+及平面1z =所围成的区域的整个边界曲面. 4. 求抛物面壳221()2z x y =+(01)z ≤≤的质量, 此壳的面密度的大小为z ρ=.5. 求面密度为0ρ的均匀半球壳2222x y z a ++=(0)z ≥对于z 轴的转动惯量. 6. 计算21(1)dS x y ∑++⎰⎰. 其中∑为四面体1x y z ++≤, 0x ≥, 0y ≥及0z ≥的边界面.参考答案1. 3a π2.3.4.21)15π 5. 4043a πρ6.1)ln 2+. 第五节对坐标的曲面积分一对坐标的曲面积分的概念和性质为了讨论对坐标的曲面积分，首先要对曲面作一些说明． 1. 曲面的侧在曲面∑上的任意一点P 处作曲面的法线向量，有两个方向，取定其中的一个方向n ，当点P 在曲面上不越过边界连续运动时，法线向量n 也随着连续变动，这种连续变动又回到P 时，法线向量n 总是不改变方向，则称曲面∑是双侧的，否则，称曲面是单侧的．如著名的M o bius 带就是单侧曲面.今后我们只讨论曲面是双侧的. 例如曲面()y x z z ,=，如果z 轴的正方向是竖直向上的，则有上侧和下侧．又如空间中的闭曲面有内侧和外侧之分．我们可以通过曲面上的法向量的指定来确定曲面的侧．例如对于曲面()y x z z ,=，若取定的法向量n 是朝上的，那么实际上就是取定曲面为上侧；对于封闭曲面，若取定的法向量n 是由内指向外的，则取定的曲面是外侧．选定了曲面的侧的曲面称为有向曲面． 2. 流向曲面一侧的流量设稳定的不可压缩的液体以速度()()()k z y x R j z y x Q i z y x P v ,,,,,,++=流向有向曲面∑，求液体在单位时刻内流过曲面指定侧的流量．其中函数()()()z y x R z y x Q z y x P ,,,,,,,,都是曲面∑上的连续函数．如果流体流过平面上的一个面积为A 的闭区域，且流体在闭区域上各点处的流速为常向量v ，又设n 是该平面上的单位法向量，那么在单位时间内流过这个闭区域的流体组成一个底面积为A ，斜高为||v 的斜柱体，其体积即流量为n v A v A V ⋅==θcos这就是通过闭区域A 流向n 所指的一侧的流量．对于一般的曲面∑，我们可以将它划分为若干个小块i ∆∑，在∑是光滑的和v 是连续的前提下，只要i ∆∑的直径很小，我们就可以用i ∆∑上任意一点()i i i ςηξ,,处的流速()()()()k R j Q i P v v i i i i i i i i i i i i i ςηξςηξςηξςηξ,,,,,,,,++==近似替代i ∆∑上各点处的流速，以此点处的曲面∑的单位法向量k j i n i i i γβαcos cos cos ++=代替i ∆∑上各点处的单位向量，从而得到通过i ∆∑流向指定侧的流量的近似值为i i i S n v ∆⋅()n i ,...,2,1=，（i S ∆为i ∆∑的面积）于是通过曲面∑指定侧的流量近似地为()()()ii i i i ni ii i i i i i i ini i i S R Q P S n v ∆++=∆⋅≈Φ∑∑==]cos ,,cos ,,cos ,,[11γςηξβςηξαςηξ注意到()yz i i i S S ∆=∆αcos ；()zx i i i S S ∆=∆βcos ；()xy i i i S S ∆=∆λcos ．因此上式可以写为()()()()()()],,,,,,[1xy i i i i ni xz i i i i yz i i i i S R S Q S P ∆+∆+∆=Φ∑=ςηξςηξςηξ当所有小块的直径的最大值0→λ时，上面和的极限就是流量Φ的精确值．在实际问题中还有很多的类似的极限，由此我们可以得到对坐标的曲面积分的定义． 3. 对坐标的曲面积分的定义定义13.4 设∑是逐片光滑的有向曲面，函数()z y x R ,,在曲面∑上有界，将∑划分为若干个小块i ∆∑，i ∆∑在坐标面xoy 上的投影为()xy i S ∆，取i ∆∑中的任意一点(,,)i i i ξηζ，若各个小块的直径的最大值0λ→时，极限()()∑=→∆ni xy i i i i S R 1,,lim ςηξλ存在，称此极限为函数()z y x R ,,在曲面∑上对坐标y x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）．记为()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，即()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,＝()()∑=→∆ni xyi iiiS R 1,,lim ςηξλ．类似地，可以定义函数()z y x P ,,在曲面∑上对坐标z y ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dydz z y x P ,,，以及函数()z y x Q ,,在曲面∑上对坐标z x ,的曲面积分（或第二类曲面积分）()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,如下：()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＝()()∑=→∆ni yziiiiS P 10,,lim ςηξλ；()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＝()()∑=→∆ni zxi iiiS Q 1,,lim ςηξλ．在应用中通常是上面三种积分的和，即()⎰⎰∑dydz z y x P ,,＋()⎰⎰∑dxdz z y x Q ,,＋()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,，简记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,．如果∑是有向封闭曲面，通常记为()()()⎰⎰∑++dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,，并规定取曲面的外侧．4.性质1) 对坐标的曲面积分与对坐标的曲线积分具有类似的性质:()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+∑+++++=++1221.,,,,,,Pdxdy Qdxdz Pdydz Pdxdy Qdxdz Pdydz dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P2) 设∑时有向曲面,∑-表示与∑取相反侧的曲面,则有()()()()()()⎰⎰⎰⎰∑∑-++-=++dxdyz y x P dxdz z y x Q dydz z y x P dxdy z y x P dxdz z y x Q dydz z y x P ,,,,,,,,,,,,二对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的计算方法下面以计算曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,为例来说明如何计算对坐标的曲面积分.取曲面∑的上侧,且曲面由方程()y x z z ,=给出,那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为锐角，曲面∑的面积元素dS 在坐标面xoy 上的投影dxdy 为正值．若xy D 为曲面∑在坐标面xoy 上的投影区域．由对坐标的曲面积分的定义()()()xy i iiini S R dxdy z y x R ∆=∑⎰⎰=→∑ςηξλ,,lim ,,1可以得到()()()⎰⎰⎰⎰=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．如果积分曲面取∑的下侧，那么曲面∑的法向量n 与z 轴的正方向的夹角为钝角，所以曲面∑在坐标面xoy 上的投影dxdy 为负值，从而有()()()⎰⎰⎰⎰-=∑xyD dxdy y x z y x R dxdy z y x R ,,,,,．类似地，如曲面∑由方程()z y x x ,=给出，则有()()(),,,,,yzD P x y z dzdy P x y z y z dzdy ∑=±⎰⎰⎰⎰；等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z y x x ,=所给出的曲面的前侧，则取正号；如果是后侧，则取负号．如曲面∑由方程()z x y y ,=给出，则有()()()⎰⎰⎰⎰±=∑xzD dzdx z z x y x P dxdz z y x Q ,,,,,．等式右边的符号这样决定：如积分曲面∑时方程()z x y y ,=所给出的曲面的右侧，则取正号；如果是左侧，则取负号．对于曲面积分()⎰⎰∑dxdy z y x R ,,的计算，我们可以简单的归纳出如下的计算步骤：a) 用y x ,的函数()y x z z ,=来代替z ； b) 将曲面∑投影到坐标面xoy 上，得到xy D ；c) 对曲面∑定向从而确定符号，上侧取正号，下侧取负号．简称为“一代二投三定向”，将曲面积分化为二重积分计算．例13.18 计算曲面积分⎰⎰∑++zdxdyydzdx xdydz ，其中∑是半球面1222=++z y x ，0≥z 的上侧．解：球面上点()z y x ,,处的单位法线向量为},,{z y x n =，速度},,{z y x v =，所以()222{,,}{,,}2xdydz ydzdx zdxdy x y z x y z dSx y z dS π∑∑∑++=⋅=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰例13.19 计算曲面积分⎰⎰∑xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分．解：将曲面∑分为21,∑∑两部分，1∑的方程为2211y x z ---=；2∑的方程为2221y x z --=．2xyD xyzdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰(1xy xyD D xyzdxdy xy dxdy∑=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以15212sin 21cos sin 212102320222=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑dr r r d rdrd r r r dxdy y x xy xyzdxdy xyxyD D πθθθθθ习题13.51. 计算2xz dydz ∑⎰⎰. 其中∑是上半球面z =. 2. 计算zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰. 其中∑为柱面221x y +=被平面0z =及3z =所截部分的外侧. 3. 计算2(1)()z x y dxdy ∑++⎰⎰. 其中∑为半球面2221xy z ++=(0)y ≥朝y 轴正向的一侧.4. 求矢量场F xyi yz j xzk =++穿过在第一卦限中的球面2221x y z ++=外侧的通量.5. 计算22x y zdxdy ∑⎰⎰. 其中∑是球面2222x y z R ++=的下半部分的下侧.参考答案 1. 5215R π 2. 6π 3. 415π 4. 316π 5.72105R π 第六节两类曲面积分之间的联系设有向曲面∑有方程()y x z z ,=给出，∑在坐标面xoy 上地投影区域为xy D ，函数()y x z z ,=在区域xy D 上具有连续的一阶偏导数，()z y x R ,,是曲面∑上的连续函数。

高数：曲线积分与曲面积分总结

与路径无关的四个等价命题
条件
在单连通开区域D 上 P ( x , y ), Q( x , y ) 具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.
等 (1) 在D内L Pdx Qdy与路径无关
价命 ( 3) 在D内存在U ( x , y )使du Pdx Qdy
P Q 题 (4) 在D内, y x
三重积分

当 R3 上区域时,
f ( M )d
f ( x , y, z )dV

曲线积分当 R3 上空间曲线时,

f ( M )d

f ( x , y , z )ds .
曲面积分当 R3 上曲面时,

f ( M )d
f ( x , y, z )dS .
Rdz

R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
斯托克斯
2.二型曲线积分计算
把曲面Σ向yoz , xoz , xoy面投影，得区域 D yz , Dzx , D xy . 进行三个代换, 化为三个坐标面上的二重积分.
y
x
投影法
(1)把曲面Σ向xoy面投影，得区域D xy
( 2)把曲面Σ的方程z f ( x , y )代入被积函数 .
n { z x , z y ,1},
R( x , y, z )dxdy R( x , y, z ) cos dS
cos

1
2 1 z2 z x y
P[ x ( y , z ), y , z ]dydz Q[ x , y( z , x ), z ]dzdx R[ x , y , z ( x , y )]dxdy

曲面积分

第十三讲曲面积分一、主要知识点1．曲面积分的概念（1）对面积的曲面积分1）定义：设函数),,(z y x f 在光滑曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对面积的曲面积分，即i ni i i i S f dS z y x f ∆=∑⎰⎰=∑→1),,(lim),,(τηξλ．2）性质： ① 与曲面∑侧的选择无关，即⎰⎰⎰⎰∑-∑=dS z y x f dS z y x f ),,(),,(．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12),,(),,(),,(dS z y x f dS z y x f dS z y x f ．（2）对坐标的曲面积分1）定义：设函数(,,),(,,),(,,)P x y z Q x y z R x y z 在光滑的有向曲面∑上有界，通过分割、近似、求和、取极限得到和的极限就是对坐标的曲面积分，即∑⎰⎰=∑→∆+∆+∆=++ni xy i i xz i i yz iiS R S Q SP Rdxdy Qdxdz Pdydz1))()()((limλ．2）性质： ① 与曲面∑的侧有关，即⎰⎰⎰⎰∑∑--=．② 对曲面具有可加性，即若21∑+∑=∑，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12．2．曲面积分的计算方法（1）对面积的曲面积分――化为投影域上的二重积分．计算方法与步骤：1）画出曲面∑草图，写出曲面方程∑=),(y x z z ：； 2）做三代换： ① ),(y x z z =；②dS =；③ 曲面∑在xoy 面上的投影域xy D ．将对面积的曲面积分化为二重积分(,,)(,,(,xyD f x y z dS f x y z x y ∑=⎰⎰⎰⎰；3）在投影域xy D 上计算二重积分．（2）对坐标的曲面积分计算方法与步骤 1）利用高斯公式① 若∑为封闭曲面，则dxdydz zR yQ xP Rdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω∂∂+∂∂+∂∂=++)(．条件一：R Q P ,,在空间区域Ω内偏导连续；条件二：曲面∑为闭曲面的外侧． ② 若∑为非封闭曲面，且R Q P ,,比较复杂, R Q P ,,在由'∑+∑ ('∑+∑为闭合)所围成的空间闭区域Ω中有一阶连续偏导数，则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑Ω∑-=-+='''．2）通过投影到坐标面上化为二重积分⎰⎰⎰⎰∑±=++=Dxydydz z y z y x P Rdxdy Qdxdz PdydzI ],),([⎰⎰⎰⎰±±xyxzD D dxdyy x z y x R dxdzz z x y x Q )],(,,[]),,(,[．其中±号的确定：若曲面∑的法向量→n 与x 轴夹角),(→∧→x n 为锐角时，第一个积分前取正号，否则取负号；若曲面∑的法向量→n 与y 轴夹角),(→∧→y n 为锐角时，第二个积分前取正号，否则取负号；若曲面∑的法向量→n 与z 轴夹角),(→∧→z n 为锐角时，第三个积分前取正号，否则取负号． 3）利用两类曲面积分之间的联系改变投影面dS dSdxdy RdSdxdz QdSdydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)(．dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中cos dydz dS α=，cos dxdz dS β=，cos dxdy dS γ=，γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．（3）两类曲面积分的联系dS dSdxdy RdSdxdz QdSdydz PRdxdy Qdxdz Pdydz ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++)(dS R Q P ⎰⎰∑++=)cos cos cos (γβα．其中γβαcos ,cos ,cos 为曲面∑上点),,(z y x P 处法向量的方向余弦．3．曲面积分应用1）几何应用：空间曲面的面积⎰⎰∑=dS S ．2）物理应用：面密度为(,,)x y z μ的物质曲面，质量： (,,)M x y z d S μ∑=⎰⎰；重心坐标： 1(,,)x x x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)y y x y z dS Mμ∑=⎰⎰，1(,,)z z x y z dS Mμ∑=⎰⎰；转动惯量： 22()(,,)x I y z x y z dS μ∑=+⎰⎰，22()(,,)y I x z x y z dS μ∑=+⎰⎰，22()(,,)z I x y x y z dS μ∑=+⎰⎰，222()(,,)o I x y z x y z dS μ∑=++⎰⎰．流体流量：设流体的密度1μ=，速度→→→→++=k R j Q i P v ，单位时间内流过曲面指定侧的流量 ⎰⎰∑++=ΦRdxdy Qdxdz Pdydz．4．高斯公式设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面所围成，函数(,,)P x y z (,,)Q x y z(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有Rdxdy Qdxdz Pdydzdv zR yQ xP ++=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω)((cos cos cos )P Q R dS αβγ∑=++⎰⎰ ．这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧，γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦．高斯公式的物理意义：若∑是高斯公式中闭区域Ω的边界曲面的外侧，那么⎰⎰∑++Rdxdy Qdxdz Pdydz ()P Q R dxdydz xyzΩ∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰解释为单位时间内离开闭区域Ω的流体的总质量等于分布在Ω内的源头在单位时间内所产生的流体的总质量．所以高斯公式另一写法n A dS divAdV ∑Ω=⎰⎰⎰⎰⎰其中∑是空间闭区域Ω的边界曲面，而γβαcos cos cos R Q P n A A n ++=⋅=是A P i Q j R k =++在∑外侧法向量上的投影．向量场A 的散度：称zR y Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= 为向量场A的散度． 5．斯托克斯公式设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数，则有dxdy yP xQ dzdx xR zP dydz zQ yR )()()(∂∂-∂∂+∂∂-∂∂+∂∂-∂∂⎰⎰∑P dx Q dy R dz Γ=++⎰．另一种写法d y d z d z d x d x d y P d x Q D y R d zxy z PQRΓ∑∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰ ．环流量：沿有向闭曲线Γ的曲线积分P dx Q dy R dz Γ++⎰ 叫向量场A P i Q j R k =++沿有向闭曲线Γ的环流量．向量场A 的旋度：A rot ()R Q i y z ∂∂=-∂∂ j x R z P )(∂∂-∂∂+()Q P k x y∂∂+-∂∂RQPz y x k j i ∂∂∂∂∂∂ ＝斯托克斯公式物理意义：向量场A 沿有向闭曲线Γ的环流量等于向量场A的旋度场通过曲线Γ所张的曲面∑的通量．二、例题分析1．对面积的曲面积分例1．计算dS z y x I ⎰⎰∑++=)(222，其中∑为球面az zy x 2222=++．解：方法1：曲面∑分成两个半球面22222221,yx a a z y x a a z ---=∑--+=∑：：,则面积元素分别为za adxdy yx a adxdy dS az adxdy yx a adxdy dS -=--=-=--=22222221,，又它们在xoy 面上的投影均为222a y x D xy ≤+：，因此积分 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+-=-==++=∑∑xyxyD D dxdy az a a z aaz zdxdy aazdS dS z y x I 222221222)(4442222264222221a aa dS aa a dxdy az a adxdy axyxyD D ππππ=+=+⋅=-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑同理 444222242)(2a aa ds z y xπππ=+-=++⎰⎰∑,于是 =I 444222222826)()(21a aa dS z y xdS z y xπππ=+=+++++⎰⎰⎰⎰∑∑．方法2：之间投影到xo y 平面计算．练习题：1．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x)(22，其中∑是立体122≤≤+z yx 的边界曲面．()12(2+π)2．计算积分⎰⎰∑zdS ，其中∑是曲面)10(),(2122≤≤+=z y x z ．(21)15π+)2．对坐标的曲面积分上述三种计算方法适用情况：（1）若曲面∑在xo y 面上投影为一个区域，则用方法3）简便；（2）若曲面∑在xo y 面上投影为一条线，且,,P Q R 具有连续的偏导数，则通常用加面*∑，使*∑+∑封闭，利用高斯公式；（3）若曲面∑在xo y 面上投影为一条线，,,P Q R 偏导数不连续的情况下，使用方法2）处理．例2．计算曲面积分212222()()axdydz z a dxdy I x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑为下半球面z =的上侧，a 为大于零的常数．解：因为被积函数在点(0,0,0)O 没有定义，不能用加、减一块面0z =构成闭曲面计算积分，应先将半球面方程带入被积函数中，得2()axdydz z a dxdyI a∑++=⎰⎰以下利用三种方法计算本题：方法1：利用高斯公式补一张面0z '∑=：，投影域为222D x y a +≤：，且是下侧，这里21(),0,,(32)P Q R z a P x Q R a z axyza∂∂∂+===++=+∂∂∂则 I ''∑∑∑=+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211(32)[()]a z dv axdydz z a dxdy a a'Ω∑=-+-++⎰⎰⎰⎰⎰2322002121[32cos sin ]3a Da a d d r r dr a dxdy a a ππππθϕϕϕ=-++⎰⎰⎰⎰⎰44221[24cos sin ]4aa d a a aππππϕϕϕπ=-++⎰3333222a a a a ππππ=-++=-．方法2：投影法：曲面∑投影到yo z 平面上应分成前后两块，即x x ⎫∑=⎪∑=前后：：曲面∑在yo z 平面的投影域为222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤，曲面∑在xo y 平面的投影域为22{(,)|1}xy D y z x y =+≤，因为22()1()axdydz z a dxdyxdydz z a dxdy aa∑∑∑++=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰而x d y d z x d y d zx d∑∑∑=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰后前(向后)yzyzD D =--⎰⎰⎰⎰232223yza D d a πθπ=-==-⎰⎰⎰⎰，21()z a dxdy a∑+⎰⎰21(xy D a dxdy a=-⎰⎰222311(22)6a d a r rdr a aπθπ=-=⎰⎰，于是 333211362I a a a πππ=-+=-．方法3：转换投影法：投影到xo y 平面上，曲面z ∑=：曲面法向量为{,,1}x y n f f ''=--=，{,,}{,,1}yzxyD I P Q R ff dxdy ''=⋅--⎰⎰ 投影域为22:1xy D x y +≤，2221{,0,(22)}yzD x a x y dxdya=--⋅⎰⎰221()]yzD a dxdy a=+-⎰⎰22222122)a d a r rdr aπθ=-⎰⎰3232014cos 6a d a πθθπ=-+⎰⎰323332200114cos sin 62ad tdt a a ππθθππ=-+=-⎰⎰练习题：利用三种方法计算下列题 (2)I x z dydz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中∑为有向曲面22z x y =+(01)z ≤≤，其中法向量与z 轴的正向夹角为锐角． 1()2π-例3．计算32222()xdydz ydxdz zdxdyI x y z ∑++=++⎰⎰，其中∑是椭球面2222221x y z abc++=外侧．解：当(,,)(0,0,0)x y z ≠时， 0P Q R xyz∂∂∂++=∂∂∂，但是曲面方程不满足222x y z ++=常数，将曲面∑改换为'∑：2222x y z ξ++=外侧，（,,a b c ξ<），于是()()0P Q R dv xyz'∑-∑Ω∂∂∂+=++=∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰空心球，即32222()xdydz ydxdz zdxdyx y z ''∑-∑∑++=-=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰31xdydz ydxdz zdxdy ξ'∑=++⎰⎰31()x y z dv xyzξ'Ω∂∂∂=++∂∂∂⎰⎰⎰（球）（2222x y z ξ'Ω++≤：）3331143343dv πξπξξΩ==⋅=⎰⎰⎰．例4．计算曲面积分I xdydz ydxdz zdxdy ∑=++⎰⎰，其中曲面∑是球面2222xy z a ++=被平面0x y z ++=所截得位于上侧的上半部分．解：该题无论投影、转化投影，高斯公式都有一定的困难，将其转化为第一类曲面积分计算．曲面方程 2222x y z a ∑++=：，令 2222F x y z a =++-，则2,2,2y z F x F y F z x∂''===∂，cos α==，cos β==cos γ==所以22(I xyzdS ∑=++⎰⎰231(4)22a dS aa a ππ∑∑====⎰⎰⎰⎰．例5．计算22xy z dxdy x y zdydz ∑+⎰⎰，其中∑为由曲面22z x y =+与平面1z =所围成的闭曲面外侧．解：对第一个积分可以用高斯公式，即221()I xy z dxdy xyz dv z∑Ω∂==∂⎰⎰⎰⎰⎰128xy zdv xy zdv ΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （其中1Ω：为Ω在0,0x y ≥≥部分）222211342010,0184sin cos (1)4x yx y x y dxdy xyzdz d r r dr πθθθ++≤≥≥==-=⎰⎰⎰⎰⎰，对于第二个积分不能用高斯公式，因为2x y z P =在0x =处偏导数不存在，只能投影，将曲面∑分成两块，2211,1z x y ∑=+≤上侧，222,01z x y z ∑=+≤≤：下侧，因为1z =垂直于yo z 平面，所以120x y zdydz ∑=⎰⎰，对于积分22x y zdydz ∑⎰⎰，将∑投影到yo z 平面还需要分2∑麻烦，采用转换投影法，投影到xo y 平，因为曲面22z x y =+法向量{2,2,1}n x y =--，所以2222{,0,0}{2,2,1}x y zdydz x y z x y dxdy ∑∑=⋅--⎰⎰⎰⎰2222222()0D xyx x y zdxdy x x y x y dxdy ∑=-=+=⎰⎰⎰⎰（因为被积函数关于x 的奇函数且积分区域xy D 关于y 轴对称），于是110044I =++=．注意：有时对第二类曲面积分的几项，各采用不同的方法去做会带来方便．例6．设()f u 为奇函数，且具有一阶连续的偏导数，∑是由锥面x =，两球面2221x y z ++=，2222x y z ++=所围成立体(0)x >的全表面外侧，求333[()][()]I x dydz y f yz dzdx z f yz dxdy ∑=++++⎰⎰．解：利用高斯公式计算： 2223()()()I x y z dv zf yz dv yf yz dv ΩΩΩ''=++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰对于第一项 2223()x y z d v Ω++⎰⎰⎰ （将对称轴x 轴作为0ϕ=，利用球坐标计算）2434400113sin 6[cos ][5d d dr r πππθϕϕπϕ==-⎰⎰136(11)10)255ππ=-=，对于第二项()zf yz dv Ω'⎰⎰⎰，因为()f u 为奇函数，()f u '为偶函数，区域Ω关于0z =对称，()zf yz '是关于z 的奇函数，所以()zf yz dv Ω'⎰⎰⎰＝0，同理第三项()yf yz dv Ω'⎰⎰⎰=0，于是3(10)5I π=．练习题： 1．计算⎰⎰∑+++++=dxdy z z y x f dxdz y z y x f dydzx z y x f I ]),,([]),,(2[]),,([,其中),,(z y x f 为连续函数, ∑为平面1=++z y x 在第四卦限的上侧．（12）2．设)(u f 具有连续一阶导数，计算曲面积分zdxdy dxdz yxf x dydz y x f y I ++=⎰⎰∑)(1)(1．其中∑是由22z x y +=与228z x y --=所围立方体表面的外侧．（16π）3．利用斯托克斯公式计算曲线积分例7．计算222222()()()I y z dx z x dy x y dx Γ=-+-+-⎰，其中Γ为球面2221x y z ++=，0,0,0x y z ≥≥≥的边界线，从球心看Γ为逆时针方向．解：方法1：曲线用参数方程表示，将Γ分成3段，xo y 平面上一段：1cos ,sin ,0x t y t z Γ===：（t 从2π到0），则 122124(sin (sin )cos cos )3I t t t t dt πΓ==--=⎰⎰，由Γ的轮换对称及表达式的轮换对称知道 4343I =⨯=．方法2：用斯托克斯公式计算斯托克斯公式：P d x Q d yR dΓ++⎰()()()R Q P R Q P dydz dzdx dxdy yzzxxy∑∂∂∂∂∂∂=-+-+-∂∂∂∂∂∂⎰⎰cos cos cos dydz dzdx dxdy dS x y z x y z PQRPQRαβγ∑∑∂∂∂∂∂∂==∂∂∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰其中（1）Γ为分段光滑的空间闭曲线；∑是以Γ为边界的分片光滑有向曲面（符合右手规则）；（2）函数,,P Q R 在含∑的空间区域内偏导数连续．这里22P y x =-，22Q z x =-，22R x y =-，则2222222()()()dydzdzdx dxdy I y z dydz z x dzdx x y dxdy x yz y x z x x y ∑∑∂∂∂==-+++++∂∂∂---⎰⎰⎰⎰ 6()6(1)()Dx y dxdy x y dxdy ∑=-+=--+⎰⎰⎰⎰ （221,0,0D x y x y +≤≥≥：）132001212cos 4D xdxdy d r dr πθθ===⎰⎰⎰⎰．注意：方向：从球心看去是逆时针方向，从外看去是顺时针方向，曲面∑法向量指向球心．练习题：计算曲线积分22I y dx xdy z dz Γ-++⎰ ＝，其中Γ是平面2y z +=和圆柱面221x y +=的交线（当在平面上侧看Γ时，Γ的方向是逆时针方向）．（π） 4．曲面积分的应用例8．设空间曲线构件的线密度为μ= ，且曲线方程是曲面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线，求曲线构件的质量M ．解：相交的曲线方程⎩⎨⎧=++=Γ2222a z y x x y ：，消去x 得到一个过曲线Γ的柱面方程2222a z y =+．又该曲线的质量 ⎰Γ+=ds z y M 222，将曲线方程代入被积函数即可计算出该积分 ⎰Γ+=ds z y M 222⎰Γ=ads 222a a a ππ== 注意：也可以利用参数方程计算该积分．例9．设向量22{,,}A xy y z = ，曲面∑为上半球面222(1)1x y z -++=(0)z ≥，被锥面z =所截部分（即z ≥A 通过曲面∑的流量（流体质量）．解：流量 022[c o s c o s c o s ]A n d S x y y z d Sαβγ∑∑Φ=⋅=++⎰⎰⎰⎰22xydydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰因为曲面∑在xo y 面上投影域的边界曲线比较容易求，所以用转换投影法，由222(1)1x y z -++=与222z x y =+，消去z ，得到22x x y =+，所以曲面∑在xo y 面上投影区域为：22{(,) }xy D x y x y x =+≤，并且∑在xo y 面上的投影点不重合，z ∑==：因为zz x y ∂∂==∂∂，所以n = 于是22{,,}xy y z dxdy ∑Φ=⎰⎰232)x y xy y z dxdy ∑-+=⎰⎰23222)y D x x y dxdy =--⎰⎰2222(2)xy xy D D x x y dxdy =+--⎰⎰⎰⎰ cos 22020(2cos )d r r rdr πθπθθ-=+-⎰⎰ 442221[cos cos ]34d ππθθθ-=-⎰ 42052cos 12d πθθ=⎰ 5315642232ππ== ．例10．一带电量q 为的正电荷置于半径为R 的球的中心，求所产生的电场强度对于该球面∑的通量．解：设球心在坐标原点，建立空间直角坐标系，在球面坐标系中，该球面的方程为sin cos sin sin cos x R y R z R ϕθϕθϕ=⎧⎪=⎨⎪=⎩（R 为常数，0ϕπ≤≤，02θπ≤≤）球面的面积元素 2s i n d S R d d ϕϕθ=球面上任意一点(,,)x y z 处外法线向量为(0)(0)(0)r x i y j z k =-+-+-其单位向量为 012222{c o s .c o s ,c o s }()r xi y j z k r r x y z αβγ++===++ ，放置点在(0,0,0)处并带电量为q 的正电荷在原点以外空间中任意一点(,,)x y z 处产生的电场强度为00322222(,,)()kq xi y j z k E x y z E E r kq r x y z ++===++ 于是电场对球面外侧的通量为0()E d s E n d S ∑∑Φ=⋅=⋅⎰⎰⎰⎰ 012222{cos .cos ,cos }()xi y j z kxi y j z k n R x y z αβγ++++===++于是32222()xi y j z k xi y j z k kqdS R x y z ∑++++Φ=++⎰⎰ 2223x y zkq dS R R∑++=⎰⎰ 224sin kqR R d d R ϕϕθ∑=⋅⎰⎰200sin 4kq d d k q ππθϕϕπ==⋅⎰⎰．练习题：1．如果半径为a 的球面上每一点的面密度等于该点到球面的某一定直径的距离的平方，试求球面的质量．（483a π） 2．已知流体的速度场→=i xy z y x v ),,(，试求此流体场在单位时间内通过曲面∑：22y x z +=位于平面1=z 以下部分外侧的流体的质量（流体密度为1）．（0）。

曲线、曲面积分方法小结

曲线、曲面积分方法小结第一篇：曲线、曲面积分方法小结求曲线、曲面积分的方法与技巧一.曲线积分的计算方法与技巧计算曲线积分一般采用的方法有：利用变量参数化将曲线积分转化为求定积分、利用格林公式将曲线积分转化为二重积分、利用斯托克斯公式将空间曲线积分转化为曲面积分、利用积分与路径无关的条件通过改变积分路径进行计算、利用全微分公式通过求原函数进行计算等方法。

例一．计算曲线积分⎰ydx+xdy,其中L是圆x2+y2=2x(y>0)上从原点LO(0,0)到A(2,0)的一段弧。

本题以下采用多种方法进行计算。

)⎧1-x⎪x=x,L由O→A,x由0→2,dy=dx.解1：OA的方程为⎨22⎪2x-x⎩y=2x-x,2=[2x-x+ydx+xdy⎰⎰2x(1-x)2x-x202L0]dx =x2x-x220-⎰x(1-x)2x-x2dx+⎰2x(1-x)2x-x20dx=24-4-0=0.分析：解1是利用变量参数化将所求曲线积分转化为求定积分进行计算的，选用的参变量为x.因所求的积分为第二类曲线积分，曲线是有方向的，在这种解法中应注意参变量积分限的选定，应选用对应曲线起点的参数的起始值作为定积分的下限。

)解2：在弧OA上取B(1,1)点，⎧)y⎪y=y,L由O→B,y由0→1,dx=OB的方程为⎨dy.22⎪1-y⎩x=1-1-y,⎧)y⎪y=y,L由B→A,y由1→0,dx=-BA的方程为⎨dy.22⎪1-y⎩x=1+1-y,⎰ydx+xdy=⎰(L01y21-y2+1-1-y)dy+⎰(-120y21-y2+1+1-y2)dy=2⎰10y21-y2dy-2⎰101-ydy=2⎰021y21-y2dy-2y1-y210+2⎰10-y21-y2dy=-2(1-1-0)=0.分析：解2是选用参变量为y,利用变量参数化直接计算所求曲线积分的，在方法类型上与解1相同。

不同的是以y为参数时，路径L不能用一个方程表示，因此原曲线积分需分成两部分进行计算，在每一部分的计算中都需选用在该部分中参数的起始值作为定积分的下限。

(整理)曲面积分精解6

第一节第一类曲面积分内容要点一、第一类曲面积分的概念与性质定义1 设曲面∑是光滑的, 函数),,(z y x f 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块i S ∆(i S ∆同时也表示第i 小块曲面的面积),在i S ∆上任取一点),,,(i i i ζηξ作乘积),,2,1(),,(n i S f i i i i =∆⋅ζηξ并作和,),,(1∑=∆⋅ni i i i i S f ζηξ 如果当各小块曲面的直径的最大值0→λ时, 这和式的极限存在,则称此极限值为),,(z y x f 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ (4.2) 其中),,(z y x f 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f (4.3)例题选讲例 1 计算曲面积分,⎰⎰∑z dS其中∑是球面2222a z y x =++被平面)0(a h h z <<=截出的顶部.解 ∑的方程为.222y x a z --=∑在xOy 面上的投影区域:xy D {}.),(2222h a y x y x -≤+又,122222yx a a z z y x --=++利用极坐标故有⎰⎰⎰⎰-=∑xy D r a adxdy z dS 22 220202222r a rdr d a r a ardrd ha Dxy-=-=⎰⎰⎰⎰-θθπ22022)(212h a r a In a -⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=π.2h aaIn π=例2（E01）计算,)(⎰⎰∑++dS z y x 其中∑为平面5=+z y 被柱面2522=+y x 所截得的部分.解积分曲面∑-=,5:y z 其投影域},25),({22≤+=y x y x Dxy,2)1(011222dxdy dxdy dxdy z z dS y x =-++=++=故⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=-++=++∑xyxyD D dxdy x dxdy y y x dS z y x )5(2)5(2)(.2125)cos 5(2520πθθπ=+=⎰⎰rdr r d例3（E02）计算,⎰⎰∑xyzdS 其中∑是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围四面体的整个边界曲面.解如图(见系统演示)，.2341xyzdS xyzdS ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑∑∑注意到在321,,∑∑∑上，被积函数,0),,(==xyz z y x f 故上式右端前三项积分等于零. 在4∑上，,1y x z --=所以,3)1()1(112222=-+-+=++y x z z从而⎰⎰⎰⎰∑∑=4xyzdS xyzdS ⎰⎰--=xyD dxdy y x xy ,)1(3其中xy D 是4∑在xOy 面上的投影区域.=⎰⎰∑xyzdS ⎰⎰---=xdy y x y xdx 1010)1(3dx y y x x x-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10103232)1(3dx x x ⎰-⋅=1036)1(3.1203)33(634312=-+-=⎰dx x x x x 例4计算,dS xyz ⎰⎰∑其中∑为抛物面).10(22≤≤+=z y x z解根据抛物面22y x z +=对称性,及函数||xyz 关于yOz xOz 、坐标面对称,有dxdy y x y x xy xyzdS dS xyz xy D ⎰⎰⎰⎰⎰⎰'+++=∑=∑2222)2()2(1)(441⎰⎰⎰⎰+=+⋅=20125122220412sin 241sin cos 4ππdr r r tdt rdr r rt t r dt.420151254141512-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰du u u 例 5 计算,⎰⎰∑xdS 其中∑是圆柱面,122=+y x 平面2+=x z 及0=z 所围成的空间立体的表面.解，＝⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑+∑+∑∑321∑∑12，在xOy 面上得投影域.1:22≤+y x D xy于是⎰⎰⎰⎰∑==1,0xyD xdxdy xdS ⎰⎰⎰⎰∑=+=2,011xyD dxdy xxdS将)1:,(313223∑∑∑-±=x y 投影到zOx 面上，得投影域.10,11:+≤≤≤≤-x y x D xydxdz y y xxdS xdS xdS zxD z x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=∑+∑=∑221232313,12112211222π=-=-+=⎰⎰⎰⎰+-x D dz x xdxdz x x x xz所以.00ππ=++=∑⎰⎰xdS例6（E03）计算,)(222⎰⎰∑++dS z y x∑为内接于球面2222a z y x =++的八面体a z y x =++||||||表面.解被积函数222),,(z y x z y x f ++=关于三个坐标面和原点均对称.积分曲面∑也具有对称性,故原积分⎰⎰⎰⎰∑∑=1,8其中),0,,(:1>=++∑z y x a z y x 1∑在xOy 面上的投影为,0:a x D xy ≤≤,0x a y -≤≤而,y x a z --=所以.3122dxdy dxdy z z dS y x =++=dS z y x dS z y x ⎰⎰⎰⎰∑∑++=++1)(8)(222222dxdy y x a y xxy D 3])([8222⎰⎰--++=dy y x a y x dxxa a⎰⎰---++=022203])([8.324a =例7（E04）求球面2222a z y x =++含在圆柱体ax y x =+22内部的那部分面积. 解由对称性知，所求曲面面积A 是第一卦限上面积1A 的4倍.1A 的投影区域),0,(:22≥≤+y x ax y x D xy曲面方程,222y x a z --=故,122222yx a a z z y x --=++所以 ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-=--=++=20cos 022222224414πθθa D D yxra rdr d a yx a adxdy dxdy z z A xyxy.42)1(sin 422202a a d a-=-=⎰πθθπ例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为36000=h km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径6400=R km). 解取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系.卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分.∑的方程为,222y x R z --=它在xOy 面上的投影区域.sin :2222αR y x D xy ≤+于是通讯卫星的覆盖面积为).cos 1(22απ-=R A将h R R +=αcos 代入上式得 .21222h R h R h R R R A +⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为%.5.4242≈R Aπ 由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔32π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dS z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算⎰⎰∑+dS y x )(22, 其中∑为锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分..3. 求半径为a 的球的表面积.第二节第二类曲面积分内容要点一、有向曲面：双侧曲面单侧曲面在科学幻想故事“一列名叫麦比乌斯的地铁”②中，故事情节围绕一列从波士顿地铁系统中神秘消逝的第86号列车而展开. 这个地铁系统前一天才举行通车仪式, 但是现在第86号却消失了, 什么痕迹也没有留下.事实上, 很多人都报告说他们听到了列车在它们的正上方或正下方飞驰的声音, 但是谁也没有真正地看到过它. 当确定这列火车为止的所有努力都失败之后, 哈佛的数学家罗杰.图佩罗给交通中心打电话, 并且提出了一个惊人的理论:这个地铁系统非常复杂, 以至于它可能变成了一个单面典面(麦比乌斯带)的一部分, 而那列在当时丢失的火车可能正在这条带子的“另一个”面上跑它的正常路线. 面对极度惊愕的市政官员, 他耐心地解释了这种系统的拓扑奇异性. 在经过一段时间——确切地说是十星期之后——这列丢失的列车又重新出现了，它的乘客都安然无恙，只是有一点累.二、第二类曲面积分的概念与性质定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点),,(z y x 处的单位法向量,cos cos cos k j i nγβα++= 又设k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=其中函数R Q P ,,在∑上有界, 则函数γβαc o s c o s c o s R Q P n v ++=⋅则∑上的第一类曲面积分⎰⎰∑⋅dS n v.)cos cos cos (⎰⎰∑++=dS R Q P γβα (5.5)称为函数),,(z y x A在有向曲面∑上的第二类曲面积分.三、第二类曲面积分的计算法设光滑曲面∑：),(y x z z =，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为xy D , 则.⎰⎰⎰⎰±=∑yzD dxdy y x z y x R dxdy z y x R )],(,,[),,(. (5.9)上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.例题选讲第二类曲面积分的计算法例1 (E01) 计算曲面积分,222⎰⎰∑++dxdy z dzdx y dydz x 其中∑是长方体}0,0,0|),,{(c z b y a x z y x ≤≤≤≤≤≤=Ω的整个表面的外侧.解如图(见系统演示), 把有向曲面∑分成六部分.除43,∑∑外，其余四片曲面在yOz 面上的投影值为零,因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=34222dydz x dydz x dydz x .0222bc a dydz dydz a yzyzD D ⎰⎰⎰⎰=-=类似地可得,22ac b dzdx y ⎰⎰∑=.22ab c dxdy z =⎰⎰∑于是所求曲面积分为.)(abc c b a ++例2 (E02) 计算,⎰⎰∑xyzdxdy 其中∑是球面1222=++z y x外侧在0,0≥≥y x 的部分.解把∑分成1∑和2∑两部分,1:2211y x z --=∑,1:2222y x z ---=∑⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=12xyzdxdy xyzdxdy xyzdxdydxdy y x xy dxdy y x xy xyxyD D )1(12222------=⎰⎰⎰⎰dxdy y x xyxyD ⎰⎰--=2212利用极坐标.1521sin 222=-=⎰⎰θθrdrd r r xyD 例3 (E03) 计算,)(2⎰⎰∑-+zdxdy dydz x z 其中∑是旋转抛物面2/)(22y x z +=介于平面0=z 及2=z 之间的部分的下侧.解.cos cos )(dS cos )()(222dxdy x z x z dydz x z ⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑+=+=+γαα 在曲面∑上，有.11c o s c o s x x z x -=-=-=γα ⎰⎰⎰⎰∑--+=-+∑dxdy z x x z zdxdy dydz x z ]))([()(22dxdy y x x x y x xy D ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=)(21)()(412222.821cos )(212020222222πθθπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=⎰⎰⎰⎰rdr r r d dxdy y x x xy D 课堂练习1.当∑是xOy 面内的一个闭区域时, 曲面积分⎰⎰∑dxdy z y x f ),,(与二重积分有什么关系?2.计算曲面积分,⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz 其中∑为平面,0=x ,0=y 1=++z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.第三节高斯公式通量与散度内容要点一、高斯公式定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数),,(z y x P 、),,(z y x Q 、),,(z y x R 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂Rdxdy Qdzdx Pdydz dv z R y Q x P (6.1)这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, γβαcos ,cos ,cos 是∑上点),,(z y x 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为.)cos cos cos (⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂dS R Q P dv z R y Q x P γβα二、通量与散度一般地，设有向量场k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A),,(),,(),,(),,(++=,其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑++=⋅=⋅=ΦRdxdy Qdzdx Pdydz S d n A S d A称为向量场A通过曲面∑流向指定侧的通量. 而zR y Q x P ∂∂+∂∂+∂∂ 称为向量场A 的散度，记为A div，即zRy Q x P A div ∂∂+∂∂+∂∂= . (6.5)例题选讲利用高斯公式计算例1（E01）计算曲面积分,)()(⎰⎰∑-+-xdydz z y dxdy y x 其中∑为柱面122=+y x 及平面3,0==z z 所围成的空间闭区域Ω的整个边界曲面的外侧（图10-6-2）.解 ,)(x z y P -=,0=Q ,y x R -=,z y x P -=∂∂,0=∂∂y Q ,0=∂∂zR利用高斯公式，得原式=⎰⎰⎰Ω-dxdydz z y )(（利用柱面坐标）⎰⎰⎰Ω-=dz rdrd z r θθ)sin (rdz z r dr d ⎰⎰⎰-=10320)sin (θθπ.29π-=例2（E02）计算,)()(22⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z其中∑为旋转抛物面221y x z --=在10≤≤z 部分的外侧.解作辅助平面∑=1,0:z 则平面∑1与曲面∑围成空间有界闭区域,Ω由高斯公式得⎰⎰∑-+-dxdy z x dzdx y z)()(22⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-+---+-=11)()()()(2222dxdy z x dzdx y z dxdy z x dzdx y z ⎰⎰⎰⎰⎰∑Ω---=1)()2(2dxdy z x dv⎰⎰⎰⎰⎰--=-xyD r d x rdz dr d σθπ22011022.434cos 0)1(42012212πππθθππ-=+-=⋅--=⎰⎰⎰rdr r d dr r r例3（E03）计算,)cos cos cos (222⎰⎰∑++dS z y x γβα 其中∑为锥面222z y x =+)0(h z ≤≤, γβαcos ,cos ,cos 为此曲面外法线向量的方向余弦.解补充平面),(:2221h y x h z ≤+=∑取1∑的上侧，则1∑+∑构成封闭曲面，设其所围成空间区域为.Ω 于是⎰⎰∑+∑++1)cos cos cos (222dS z y x γβα ⎰⎰⎰Ω++=dv z y x )(2⎰⎰⎰+++=h y x D dz z y x dxdy xy22)(2⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=-=--==+ππθ200422222.21)()(222h D D h yx h rdr r h d dxdy y x h zdz dxdy xyxy而⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑===++11,)cos cos cos (422222xyD h dxdy hdxdy z dS z y xπγβα故.2121)c o s c o s c o s (444222h h h dS z y x πππγβα-=-=++⎰⎰∑例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑Ω⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-∂∂=∆dV z v z u y v y u x v x u dS n uvudV v 其中nu∂∂为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u ,v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导数，符号222222zy x ∂∂+∂∂+∂∂=∆称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.证因为=∂∂n u γβαcos cos cos z u y u xu∂∂+∂∂+∂∂n u ⋅∇=，其中}cos ,cos ,{cos γβα=n 是∑在点),,(z y x 处的外法线的方向余弦，于是⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑∑∑⋅∇=⋅∇=∂∂dS n u v dS n u v dS nuv)[()(dS z u v y u v x u v ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=γβαcos cos cos dv z u v z y u v y x u v x ⎰⎰⎰Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=.dv z v z u y v y u x v x u udv v ⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ⎝⎛⎪⎭⎫∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∆=将上式右端移至左端即得所要证明的等式.通量与散度例5（E05）求向量场k z j y i x r++=的流量(1) 穿过圆锥)0(222h z z y x ≤≤≤+的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.解设21,S S 及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量 Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰⎰=Vdv r div⎰⎰⎰=Vdv 3.3h π=(1)穿过底面向上的流量 1Q ⎰⎰+⋅=S S d r⎰⎰=≤+=hz z y x zdxdy 222⎰⎰≤+=222z y x hdxdy .3h π=(2)穿过侧表面向外的流量2Q 1Q Q -=.0=课堂练习1.利用高斯公式计算,)()()(222⎰⎰+-+-+-S dxdy xy z dzdx xz y dydz yz x其中+S 为球2222)()()(R c z b y a x =-+-+-面的外侧.第四节斯托克斯公式环流量与旋度斯托克斯公式是格林公式的推广，格林公式建立了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的联系，而斯托克斯公式则建立了沿空间曲面∑的曲面积分与沿∑的边界曲线Γ的曲线积分之间的联系.分布图示★ 斯托克斯公式★ 例1 ★ 例2★ 例3★ 空间曲线积分与路径无关的条件 ★ 三元函数的全微分求积 ★ 环流量与旋度★ 例4 ★ 例5★ 例6★ 斯托克斯公式的向量形式 ★ 向量微分算子 ★ 内容小结 ★课堂练习★ 习题11-7★返回内容要点一、斯托克斯公式定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与∑的侧符合右手规则，函数),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在包含曲面∑在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式dxdy y P x Q dzdx x R z P dydz z Q y R ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂⎰⎰∑.⎰++=LRdz Qdy Pdx (7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx RQ P zy x dxdy dzdx dydz 利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成.c o s c o s c o s ⎰⎰⎰Γ∑++=∂∂∂∂∂∂Rdz Qdy Pdx dS RQPzy x γβα二、空间曲线积分与路径无关的条件三、环流量与旋度设向量场,),,(),,(),,(),,(k z y x R j z y x Q i z y x P z y x A++= 则沿场A中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分⎰++=ΓCRdz Qdy Pdx称为向量场A沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂-∂∂∂∂-∂∂∂∂-∂∂y P x Q x R z P z Q y R ,,称为向量场A 的旋度，记为A rot，即.k y P x Q j x R z P i z Q y R A rot ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=旋度也可以写成如下便于记忆的形式：RQPz y x k j i A rot ∂∂∂∂∂∂=.四、向量微分算子：,k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇例题选讲利用斯托克斯公式计算例1（E01）计算曲线积分,⎰Γ++ydz xdy zdx 其中Γ是平面1=++z y x 被三坐标面所截成的三角形的整个边界, 它的正向与这个三角形上侧的法向量之间符合右手规则.解按斯托克斯公式，有,⎰⎰⎰∑++=++Γdxdy dzdx dydz ydz xdy zdx由于∑的法向量的三个方向余弦都为正，再由对称性知:,3⎰⎰⎰⎰=∑++xyD d dxdy dzdx dydz σ所以.23=++⎰Γydz xdy zdx例 2 计算曲线积分,)()()(222222dz y x dy x z dx z y -+-+-⎰Γ其中Γ是平面2/3=++z y x 截立方体：,10≤≤x ,10≤≤y 10≤≤z 的表面所得的接痕，从x 轴的正向看法，取逆时针方向.解取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量,3}3,1,1{=n即,31cos cos cos ===λβα原式dS y x x y z y z y x z⎰⎰∑---∂∂∂∂∂∂=222222313131⎰⎰∑++-=dS z y x )(34.293322334-=-=∑⋅-=⎰⎰⎰⎰xyD dxdy dS例3（E02）计算,)()()(222222⎰Γ+++++dz y x dy z x dx z y 式中Γ是).0,0(2,222222><<=+=++z R r rx y x Rx z y x此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面Rx z y x 2222=++上的最小区域保持在左方.解由斯托克斯公式，有原式⎰⎰∑-+-+-=dS y x x z z y ]cos )(cos )(cos )[(2γβαdS R z y x R y x z R x z y ⎰⎰∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(1)( ⎰⎰∑-=dS y z )(2(利用对称性)⎰⎰⎰⎰∑=∑=dS R zdS γcos ..2222R rd R Rdxdy rxy x πσ==∑=⎰⎰⎰⎰≤+例4 求矢量场k z j xy i x A 222+-=在点()2,1,10M 处的散度及旋度.解 A div z A y A x A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=z x x 2)2(2+-+=.2z =故0M A div .4=A rot k y A x A j x A z A i z A y A x y z x x z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂= k y j i)02()00()00(--+-+-= .2k y -=故0M Arot .2k -=例5（E03）设,32222yz xy y x u -+= 求grad u ； div(grad u )；rot(grad u ). 解 g r a d u⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂∂∂∂=z u y u x u ,,}.6,4,2{yz xy xy -= div(gradu)⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂-∂+∂∂+∂∂=z yz y xy x xy )6()4()2(y x y 642-+=).(4y x -=rot(gradu).,,222222⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂∂∂∂-∂∂∂=x y u y x u z x u x z u y z u z y u 因为22232yz xy y x u -+=有二阶连续导数,故二阶混合偏导数与求导次序无关,故rot(gradu).0=注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A=grad u 为势量场或保守场，而u 称为场A的势函数.例6（E04）设一刚体以等角速度k j i z y xωωωω++=绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v的旋度.解取定轴l 为z 轴，点M 的内径rOM =,k z j y i x ++=则点M 的线速度v r⨯=ωzyx kji z yx ωωω =,)()()(k x y j z x i y z y x x z z yωωωωωω-+-+-= 于是v rot xy z x y z z y x kj i y x x z z y ωωωωωω---∂∂∂∂∂∂=)(2k j i z y x ωωω++=.2ω =即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.课堂练习1. 计算,)()()(222⎰-+-+-AmBdz xy z dy xz y dx yz x 其中AmB 是螺线πϕϕϕ2,sin ,cos h z a y a x ===从)0,0,(a A 到),0,(h a B 的一段曲线. 2. 物体以一定的角速度ω依逆时针方向绕Oz 轴旋转, 求速度v 和加速度w在空间点),,(z y x M 和已知时刻t 的散度和旋度.。

曲面积分(小结)

曲面积分（小结）1、第一类曲面积分（对面积的曲面积分）：∑⎰⎰=→∑∆=ni i i i i S f dS z y x f 1),,(lim ),,(ζηξλ ①第一类曲面积分（对面积的曲面积分）计算----化为二重积分： (1)若将曲面∑向xoy 面投影，投影域为xy D ，:(,)z z x y ∑=，则.),(),(1)],(,,[),,(22⎰⎰⎰⎰++=∑xyD y x dxdy y x z y x z y x z y x f dS z y x f(2)若将曲面∑向yoz 面投影，投影域为yz D ，:(,)x x y z ∑=，则(,,)((,),,yzD f x y z dS f x y z y z ∑=⎰⎰⎰⎰；(3)若将曲面∑向xoz 面投影，投影域为xz D ，:(,)y y x z ∑=，则(,,)(,(,),xzD f x y z dS f x y x z z ∑=⎰⎰⎰⎰.注：将曲面∑向哪个坐标面投影是需要选定的，要求：①∑的投影面积不能为0（即投影不能是直线或曲线）；（例如书P125，习题9-4：4（4））②对∑尽量少分块。

（例如书P125，习题9-4：4（1）） ②几何意义：当(,,)1f x y z =时，(,,)f x y z dS dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰表示积分曲面∑的面积；③奇偶对称性：当曲线∑所围成的空间区域关于xoz 面对称，则12(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中1∑是∑在xoz 面右侧的部分：{}1(,,)0x y z y ∑=∈∑≥；当曲线∑所围成的空间区域关于xoy 面对称，则22(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中2∑是∑在xoy 面上方的部分：{}2(,,)0x y z z ∑=∈∑≥；当曲线∑所围成的空间区域关于yoz 面对称，则32(,,), (,,)(,,);(,,)0, (,,)(,,) .f x y z dS f x y z f x y z f x y z dS f x y z f x y z ∑∑⎧-=⎪=⎨⎪-=-⎩⎰⎰⎰⎰其中2∑是∑在yoz 面前侧的部分：{}3(,,)0x y z x ∑=∈∑≥；注：计算对面积的曲面积分的常用技巧：①应用代入法简化计算，例如：若:(,,)f x y z a ∑=，则(,,)f x y z d Sa d S∑∑=⎰⎰⎰⎰.（例如书P125，习题9-4：4（2））②应用对称性简化计算。

曲线积分曲面积分总结

曲线积分曲面积分总结(总27页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除第十三章曲线积分与曲面积分定积分和重积分是讨论定义在直线段、平面图形或者空间区域上函数的积分问题．但在实际问题中，这些还不够用，例如当我们研究受力质点作曲线运动时所作的功以及通过某曲面流体的流量等问题时，还要用到积分区域是平面上或空间中的一条曲线，或者空间中的一张曲面的积分，这就是这一章要讲的曲线积分和曲面积分.第一节对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念与性质在设计曲线构件时，常常要计算他们的质量，如果构件的线密度为常量，那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积. 由于构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样, 因此, 可以认为这构件的线密度(单位长度的质量)是变量, 这样构件的质量就不能直接按下面它的线密度与长度的乘积来计算. 下面考虑如何计算这构件的质量. 设想构件为一条曲线状的物体在平面上的曲线方程为()x f y =，[]b a x ,∈，其上每一点的密度为()y x ,ρ．如图13-1我们可以将物体分为n 段，分点为n M M M ,...,,21, 每一小弧段的长度分别是12,,...,n s s s ∆∆∆．取其中的一小段弧i i M M 1-来分析．在线密度连续变化的情况下, 只要这一小段足够小，就可以用这一小段上的任意一点(),i i ξη的密度(),i i ρξη来近似整个小段的密度．这样就可以得到这一小段的质量近似于(),i i i s ρξη∆．将所有这样的小段质量加起来，就得到了此物体的质量的近似值．即()∑=∆≈ni i i i s y x M 1,ρ．用λ表示n 个小弧段的最大长度. 为了计算M 的精确值, 取上式右端之和当0λ→时的极限，从而得到1lim (,).ni i i i M s λρξη→∞==∆∑图13-1即这个极限就是该物体的质量．这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 上述结果是经过分割、求和、取极限等步骤而得到的一种和数得极限，这意味着我们已经得到了又一种类型的积分. 抛开问题的具体含义，一般的来研究这一类型的极限，便引入如下定义：定义13.1 设L 是xoy 面内的一条光滑曲线，函数()y x f ,在L 上有界，用L 上任意插入一点列n M M M ,...,,21将曲线分为n 个小段. 设第i 段的长度为i s ∆(1,2,,i n =)，又()i i ηξ,为第i 个小段上任意取定的一点，作乘积()i i i s f ∆ηξ,，并作和()i i i ni s f ∆∑=ηξ,1，若当各小段的长度λ的最大值趋于零时，此和式的极限存在，称此极限为函数()y x f ,在曲线L 上对弧长的曲线积分, 也称为第一类曲线积分, 记作()⎰Lds y x f ,, 即1(,)lim (,)ni i i Li f x y ds f s λξη→==∆∑⎰,其中()y x f ,叫做被积函数，L 称为积分弧段．当L 是光滑封闭曲线时，记为()⎰Lds y x f ,．类似地，对于三元函数()z y x f ,,在空间的曲线L 上光滑，也可以定义()z y x f ,,在曲线L 上对弧长的曲线积分()⎰Lds z y x f ,,．这样，本节一开始所要求的构件质量就可表示为(,).LM x y ds ρ=⎰由对弧长的曲线积分的定义可以知道，第一类曲线积分具有下面的性质：性质1（线性性）若,f g 在曲线L 上第一类曲线积分存在，,αβ是常数, 则(,)(,)f x y g x y αβ+在曲线L 上第一类曲线积分也存在，且()()()()(),,,,LLLf x yg x y ds f x y ds g x y ds αβαβ±=±⎰⎰⎰；性质２（对路径的可加性）设曲线L 分成两段12,L L . 如果函数f 在L 上的第一类曲线积分存在，则函数分别在1L 和2L 上的第一类曲线积分也存在. 反之，如果函数f 在1L 和2L 上的第一类曲线积分存在，则函数f 在L 上的第一类曲线积分也存在. 并且下面等式成立1212L L L L fds fds fds +=+⎰⎰⎰．(12L L +表示L )对于三元函数也有类似的性质，这里不再一一列出．一、第一类曲线积分的计算定理13.1 设有光滑曲线():,[,].()x t L t y t ϕαβψ=⎧∈⎨=⎩ 即'()t ϕ,'()t ψ连续. 若函数(,)f x y 在L 上连续，则它在L 上的第一类曲线积分存在，且()()()(,,Lf x y ds f t t βαϕψ=⎰⎰证明如前面定义一样，对L 依次插入121,,...,n M M M -，并设0((),())M ϕαψα=，((),())n M ϕβψβ=. 注意到01.n t t t αβ=<<<= 记小弧段1i i M M -的长度为i s ∆，那么,1,2,.ii t i t s i n -∆==⎰1,(').ii t i i i i t s t t τ--∆=<<⎰所以, 当('')i i x ϕτ=,('')i i y ψτ=时,ii i 11(,)((''),(t ,n niiii i f x y s f ϕτψτ==∆=∑∑这里i 1i i i t ',''t .ττ-≤≤ 设ni i i 1f ((''),(i t σϕτψτ==∆∑则有n niiiii i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t .ϕτψτσ==∆=+∑∑令12n t max{t ,t ,,t },∆=∆∆∆ 要证明的是t 0lim 0.σ∆→=因为复合函数f ((t),(t))ϕψ关于t 连续，所以在闭区间[,]αβ上有界，即存在M ，对一切t [,]αβ∈有|f ((t),(t))|M.ϕψ≤[,]αβ上连续，所以它在[,]αβ上一致连续. 即当任给0ε>，必存在0δ>，当t δ∆<时有|.ε≤从而1||().ni i M t M σεεβα=≤∆=-∑所以lim 0.t σ∆→=再从定积分定义得ni i i 0i 1lim f ((''),(t t ϕτψτ∆→=∑((),(.f t t βαϕψ=⎰所以当n ni i i i i i i 1i 1f (x ,y )s f ((''),(t ϕτψτσ==∆=+∑∑两边取极限后，即得所要证的结果.特别地，如果平面上的光滑曲线的方程为(),,y y x a x b =≤≤则()()(,,b Laf x y ds f x y x =⎰⎰．y=上的点()0,0A与点例13.1计算曲线积分⎰L ds y，其中L是抛物线2x()1,1B之间的一段弧．（如图13.1-2）图13-2解：积分曲线由方程[]1,0,2∈=x x y给出，所以()()⎰⎰+=1222'1dx x x ds y L12014x dx =+⎰()10241121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x =()155121-.例13.2 计算积分()22nLx y ds +⎰，其中L 为圆周:sin ,x a t =cos ,y a t =02t π≤≤.解：由于L 为圆周：π20,cos ,sin ≤≤==t t a y t a x ，所以()()()()2222222220sin cos cos (sin )nnLxyds a t a t a t a t dt π+=++-⎰⎰⎰==ππ20222n n a dt a ．对于三元函数的对弧长的曲线积分，可以类似地计算．例如：若曲线L 由参数方程()()()t z z t y y t x x ===,,，βα≤≤t 确定，则有()()()dt t z t y t x ds 222'''++=，从而()()()()()()()()dt t z t y t x t z t y t x f ds z y x f L⎰⎰++=βα222''',,,,．例13.３计算曲线积分()⎰Γ++ds z y x 222，其中Γ是螺旋线cos ,x a t =sin ,y a t = z kt =上相应于t 从0到π2的一段弧．解：由上面的结论有()()()()()()()dt k t a t a kt t a t a ds z y x⎰⎰++-++=++Γπ20222222222cos sin sin cos()()2222220222224332k a k a dtk a t k aπππ++=++=⎰例14.4 计算2Lx ds ⎰, 其中L 为球面2222x y z a ++=被平面0x y z ++=所截得的圆周.解：由对称性可知222,LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰所以22222312().333L L L a x ds x y z ds ds a π=++==⎰⎰⎰习题13.11. 计算半径为R 、中心角为2α的圆弧L 对于它的对称轴的转动惯量I （设线密度1μ=）.2. 计算曲线积分222()x y z ds Γ++⎰，其中Γ为螺旋线cos x a t =，sin y a t =，z kt =上相应于t 从0到2π的一段弧.3. 计算,x Cye dS -⎰其中C 为曲线2ln(1),23x t y arctgt t =+=-+由0t =到1t =间的一段弧.4. 求L xydS ⎰，其中L 是椭圆周22221x y a b+=位于第一象限中的那部分。

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2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。

3、理解多元函数积分的元素法。

会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。

线、面积分表达式并进行计算。

6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。

会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。

由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。

重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。

所有无向积分的性质同于a ＜b 时定积分dx x f b a ⎰)(，所有有向积分的性质，同于定积分dx x f ba ⎰)(。

积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。

积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。

两类积分的本质差异导致了在将重积分、第一类曲线积分化为定积分计算时，每次定积分的下限必须小于上限；而将第二类曲线积分化为定积分计算时，积分的下限是曲线起点参数，上限是终点参数；将第二类曲面积分化为二重积分计算时，根据曲面的侧，二重积分前要加相应的正负号。

2、问：何种积分可以利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算，具体做法如何？答积分范围无向的积分（即第一类积分）都可利用积分范围和被积函数的对称性来简化计算。

以二重积分σd y x f I D ⎰⎰=),(为例说明方法如下：（1）若积分区域D 关于y 轴对称，那么当f (x , y )关于x 是奇函数(),(),(y x f y x f -=-)时，I = 0；当 f (x , y )关于x 是偶函数(),(),(y x f y x f =-)时，σd y x f I D ⎰⎰=1),(2，其中}0,),(),({1≥∈=x D y x y x D .（2）若积分区域D 关于x 轴对称，那么当f （x ，y ）关于y 是奇函数(),(),(y x f y x f -=-)时，I = 0；当f (x , y )关于y 是偶函数(),(),(y x f y x f =-)时，σd y x f I D ⎰⎰=1),(2，其中}0,),(),({1≥∈=y D y x y x D .（3）若积分区域D 关于原点对称，那么当f (x , y ) 关于x ，y 都是奇函数(),(),(y x f y x f -=--)时，I = 0；当f (x , y ) 关于x ，y 都是偶函数(),(),(y x f y x f =--)时，则σd y x f I D ⎰⎰=1),(4，其中}0,0,),(),({1≥≥∈=y x D y x y x D .（4）若积分区域D 关于直线y = x 对称，则σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=),(),(；σσd x y f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=21),(),(，其中},),(),({1x y D y x y x D ≥∈=，},),(),({2x y D y x y x D ≤∈=；若再有 f (x , y ) 关于变量y x ,对称 (),(),(x y f y x f =)时，则σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰=1),(2),(，其中},),(),({1x y D y x y x D ≥∈=.这一方法可直接推广到三重积分以及对弧长的曲线积分，对面积的曲面积分。

因为积分范围有向的积分（即第二类积分）不仅与积分曲线、积分曲面和被积函数有关，还与积分范围的方向有关，所以利用对称性化简积分比较复杂，直接利用时要谨慎。

一般在将其化为定积分，二重积分、三重积分之后，再利用相应的对称性来简化计算，比较保险。

3、问：计算三重积分时，如何选择恰当的坐标系？答计算三重积分，常用直角坐标、柱面坐标、球面坐标，选择某种坐标系的一般原则是：（1）积分区域的边界曲面在该坐标系中的方程比较简单。

（当边界曲面为该坐标系中的坐标面时，方程最简单。

）（2）被积函数在该坐标系中的表达式比较简单，而且化为三次积分后，各次积分易计算。

为了选择恰当的坐标系，应该了解一些常见的曲面在何种坐标系中的方程比较简单。

以及常见坐标运算式子在不同坐标系中的表示。

例如x 2+y 2在柱面坐标系中为r 2，在球面坐标系中为ϕ22sin r ；222z y x ++在柱面坐标系中为r 2 + z 2，在球面坐标系中为r 2。

圆柱面222a y x =+的柱面坐标方程为a r =，球面坐标方程为ϕsin /a r =；圆柱面ax y x 222=+的柱面坐标方程为θcos 2a r =，球面坐标方程为θϕcos csc 2a r =；圆锥面22y x k z +=的柱面坐标方程为z = k r ，球面坐标方程为；球面2222a z y x =++的柱面坐标方程为222a z r =+，球面坐标方程为r=a ；球面z a z y x 2222=++ 的球面坐标方程为 )2/0(cos 2πϕϕ≤≤=a r 。

有了这些基本认识，就可较迅速，准确地选用恰当的坐标系。

一般地，当Ω由圆柱面围成（或更一般地，Ω在xOy 平面上的投影区域为圆域222a y x ≤+）且被积函数中含有x y y x /,22+ 这样的式子时，可选用柱面坐标。

当Ω由球面，圆锥面等围成，且被积函数中含有222z y x ++，22y x + 这样的式子时，可考虑用球面坐标。

但具体到一个题目，还要视情况灵活处理。

4：问，应如何掌握两类曲面积分的计算公式？答（1）第一类曲面积分S d z y x f I ⎰⎰=∑),,(的积分元素ds 是曲面的面积元素，它相应于三的不同方程有不同的表达形式，因此，将第一类曲面积分化为哪个坐标平面内的有界闭区域上的二重积分，要根据的方程形式而定，具体地，若D y x y x z z ∈=),(),(，：∑，其中D 是∑在xOy 平面上的投影区域，且),(y x z z =是D 上的单值函数，则dxdy z z y x z y x f S d z y x f y x D 221)],(,,[),,('+'+=⎰⎰⎰⎰∑；若D x z x z y y ∈=),(),(，：∑，其中D 是∑在zOx 平面上的投影区域，且),(x z y y =是D 上的单值函数，则dzdx y y z x z y x f S d z y x f x z D 221]),,(,[),,('+'+=⎰⎰⎰⎰∑；若D z y z y x x ∈=),(),(，：∑，其中D 是∑在yOz 平面上的投影区域，且),(z y x x =是D 上的单值函数，则dydz x x z y z y x f S d z y x f z y D 221)],),,([),,(++=⎰⎰⎰⎰∑；（2）第二类曲面积分的积分元素dydz ，dzdx ，dxdy 是曲面在平面yOz ，zOx 平面，xOy 平面的投影元素，与∑在相应平面内投影区域的面积元素相差一个正负号，所以，第二类曲面积分只能化为积分元素对应的坐标平面内区域D 上的二重积分。

具体地dydz z y z y x P dydz z y x P D ⎰⎰⎰⎰±=],),,([),,(∑，其中D 是∑在yOz 平面上的投影区域，∑的方程是),(z y x x =，且),(z y x x =是D 上的单值函数，当∑取前侧时，二重积分前取正号；当∑取后侧时，二重积分前取负号；dzdx z x z y x Q dzdx z y x Q D ⎰⎰⎰⎰±=]),,(,[),,(∑，其中D 是∑在zOx 平面上的投影区域，∑的方程是),(x z y y =，且),(x z y y =是D 上的单值函数，当∑取右侧时，二重积分前取正号；当∑取左侧时，二重积分前取负号；dxdy y x z y x R dxdy z y x R D ⎰⎰⎰⎰±=)],(,,[),,(∑，其中D 是∑在xOy 平面上的投影区域，∑的方程是),(y x z z =，且),(y x z z =是D 上的单值函数，当∑取上侧时，二重积分前取正号；当∑取下侧时，二重积分前取负号.5问：格林公式，斯托克斯公式，高斯公式的重要性表现在哪些方面？答这三个公式是多元函数积分学的基本公式，都可以看作一元微积分基本公式（牛顿——莱卜尼兹公式）的)1arctan (,k==ααϕ推广，在理论和应用上都有重要作用。

（1）三个公式分别建立了平面曲线积分与二重积分，空间曲线积分与曲面积分、曲面积分与三重积分之间的关系，而且每个公式都是微积分公式，和牛顿——莱卜尼兹公式一起，建立了全部微积分学之间的关系。

为各种积分之间，微分与积分之间的转化提供了条件。

（2）三个公式统称为场论三大公式，是刻化和研究许多物理现象的重要工具。

（3）由格林公式可导出平面曲线积分与格经无关的充要条件，从而给出了平面保守场的特征刻画；可导出二元函数全微分求积的判定条件和具体方法，为解一类重要的微分方程——全微分方程提供了理论依据和具体解法。

由斯托克斯公式可导出空间曲线积分与路经无关的充要条件。

从而给出空间无旋场的特征刻化；可导出三元函数全微分求积的判定条件和具体方法。

由高斯公式可导出曲面积分与积分曲面无关的条件，从而给出空间无源场的特征刻化。

6问：应用格林公式，斯托克斯公式，高斯公式计算积分应注意什么问题？答首先要注意公式成立的条件。