中考数学尖子生培优竞赛压轴题专题辅导第一章 直角三角形的边角关系18页

第一章直角三角形的边角关系

B卷1（考点整合与提升）

考点一：锐角三角函数的定义

如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A的各三角函数的定义如下：

A

C B

a

b c

（1）角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝a

c

．

（2）角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝b

c

．

（3）角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝a

b

．

例1：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝5．求∠A的正弦值、余弦值和正切值．

答案：sin A＝

5

13

，cos A＝

12

13

，tan A＝

5

12

★★变式1：在锐角△ABC中，AB＝15，BC＝14，S△ABC＝84．求：（1）tan C的值；

（2）sin A的值．

答案：解：（1）过A作AD⊥BC于D，∵S△ABC＝1

2

BC⋅AD＝84，∴

5

12

＋14＋AD＝84，∴AD＝12，又∵AB

＝15，∴BD＝9，∴CD＝14－9＝5．在Rt△ADC中，AC＝13，∴tan C＝

12

5 AD

DC

=；

（2）过点B作BE⊥AC于点E，∵S△ABC＝1

2

AC⋅EB＝8，∴BE＝

168

13

，∴sin∠BAC＝

168

56

13

1565

BE

AB

==．

E

C D

A

★★变式2：如图，点P是∠a的边OA上的一点，已知点P的横坐标为6，sinα＝4

5

．

（1）求点P的纵坐标；

（2）求∠α其他的三角函数值．

答案：

解：（1）过P 作MP ⊥x 轴于M ，则PMO ＝90°，∵点P 横坐标为6，sin α＝

45，∴4

5

PM OP =，OM ＝6．设PM ＝4x ，PO ＝5x ．由勾股定理得6²＋（4x ）²＝（5x ）²，解得x ＝2（负值舍去），PM ＝8，OP ＝10，∴P 点纵坐标是8．

（2）∵在Rt △OMP 中，∠PMO ＝90°，PO ＝10，PM ＝8，OM ＝6，∴cos α＝

63

105

OM OP ==，tan α＝84

63

PM OP ==． 考点二：坡度

坡度：坡面的铅直高度h 与水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），常用字母i 表示，即i ＝h

l

． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tan α＝i ＝

h l

． 例2：如图，某校教学楼AB 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡角α为60°．根据有关部门的

规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险．学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D 向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果

取整数米，参考数据：sin39°≈0．63，cos39°≈0．78，tan39°≈0.

81

1.411.

73≈2．24）

α

A

D

C

B

答案： 解：假设点D 移到D '的位置时，恰好∠a ＝39°，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，过点D '作D E ''⊥AC 于点E '，如图所示．∵CD ＝12米，∠DCE ＝60°，∴DE ＝CD ⋅sin60°＝12

＝，CE ＝CD ⋅cos 60°＝12 ×1

2

＝6（米）．∵DE ⊥AC ，D E ''⊥AC ， DD ' //CE ，四边形DEE D ''是矩形．DE ＝D E ''

＝∵∠D CE ''＝39°，CE '

＝

12.8tan 30D E ''≈≈︒（米）

，∴EE '＝CE ' －CE ＝12.8－6＝6.8≈7（米），故学校至少要把坡顶D 向后水平移动7米才能保证教学楼的安全，

D'

E'E

B

C

D

A

α

★★变式1：如图，某武警部队在一次地震抢险救灾行动中，探险队员在相距4米的水置地面A ，B 两处均探测出建筑物下方C 处有生命迹象，已知在A 处测得探测线与地面的夹角为30°，在B 处测得探测线与地面的夹角为60°.求该生命迹象C 处与地面的距离.(结果精确到0.1

米，1.

41≈1.73)

解：如图，过点C 作AB 的垂线交AB 的延长线于点D ，∵∠CAD =30°，∠CBD =60°，∴∠ACB =30°，∴∠CAB =∠ACB =30°，∴BC =AB =4米，在Rt △CDB 中，BC =4米，∠CBD =60°，sin ∠CBD =CD

BC

，∴sin 60°=

4CD ，∴CD =4sin 60°=4×3

=23≈3.5米，故该生命迹象C 处与地面约为3.5米. ★★变式2：如图，在坡AP 的坡脚A 处竖有一根电线杆AB ，为固定电线杆在地面C 处和坡面D 处各装一根等长的引拉线BC 和BD ，过点D 作地面MN 的垂线DH ，点H 为垂足，已知点C ，A ，H 在一条直线上，若测得AC =7米，AD =12米，坡角为30°，试求电线杆AB 的高度.(结果精确到0.1米)

解：如图，作BE ⊥AD 于点E ，设AB =x 米，在Rt △ABE 中，∠BAE =90°－∠DAH =90°－30°=60°，则AE =AB ·cos ∠BAE =xcos 60°－12

x ，∴BE =AB ·sin ∠BAE =xsin 603

x ，DE =AD －AE =(12－12x )米，在

Rt △BED 中，BD 2=BE 2+DE 23x )2

+(12－12x )2=144+x 2－12x ，在Rt △ABC 中，BC 2=AC 2+AB 2=72+x 2=49+x 2，

∵BC =BD ，∴144+x 2－12x =49+x 2，解得x =95

12

≈7.9，电线杆AB 的高度约为7.9米 考点三：三角函数的关系

(1)同角的三角函数的关系

①平方关系：sin 2A +cos 2A =1.②商的关系：tanA =

sin cos A

A

. (2)互为余角的三角函数之间的关系

sin (90°-A )=cosA ，cos (90°-A )=sinA ，tan (90°-A )=cotA . (3)一些特殊角的三角函数值

0° 30°

45° 60° 90° sinα 0 1

2

2

2 3

2

1 cosα 1 3

2

22

12

0 tanα

33

1 3

不存在

(4)锐角三角函数的增减性

①锐角α的三角函数值都是正值。 ②考0＜α＜90°，则sin α、tan α随α的增大而增大，cos α随α的增大而成小。 题型一：同角的三角函数的关系