直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
两点式截距式斜截式点斜式
两点式截距式斜截式点斜式《数学公式的趣味之旅：两点式、截距式、斜截式、点斜式》嘿，小伙伴们！今天我想和你们聊聊数学里超级有趣的几个公式，就是两点式、截距式、斜截式和点斜式。
你们可别一听是数学公式就觉得头疼，其实它们就像一群小伙伴，每个都有自己独特的个性呢。
先来说说两点式吧。
想象一下，我们在一张纸上有两个点，就像两颗小星星在夜空中闪烁。
这两个点就确定了一条直线，两点式就是找到这两个点就能确定这条直线的魔法公式。
我记得有一次啊，我和我的同桌小明在做数学作业，就碰到了关于两点式的题目。
题目给了我们两个坐标，一个是(3, 5)，另一个是(6, 9)。
我当时就有点懵，这么两个数字怎么就能确定一条直线呢？小明就特别兴奋地跟我说：“你看啊，这就像我们在地图上找两个地方，只要知道这两个地方的位置，就能画出连接它们的路啦。
”然后他就按照两点式的公式，“唰唰”地算出了直线方程。
我就特别佩服他，从那时候起，我就觉得两点式就像一把神奇的钥匙，能打开连接两个点的直线的大门。
接着就是截距式啦。
截距式呢，就像是一个在坐标轴上安营扎寨的小士兵。
它告诉我们直线在x轴和y轴上的截距。
我就想啊，这就好比是一个小房子，它在x轴上的位置和在y轴上的位置就决定了这个小房子在坐标轴这个大地图上的位置。
有一次数学考试，有一道关于截距式的大题。
我前面的小红在草稿纸上画了好多小图，她一边画一边嘟囔：“这个截距式啊，就像是给坐标轴上的直线找两个根据地，一个是x轴上的，一个是y轴上的。
”她这么一说，我突然就开窍了。
我也赶紧画起图来，按照截距式的规则，很快就把题目解出来了。
我当时就想，数学有时候就需要我们像讲故事一样去理解这些公式，截距式不就是坐标轴上直线的一个故事吗？再说说斜截式吧。
斜截式里有斜率和截距两个重要的部分。
斜率就像是小山坡的坡度，截距就像是小山坡和地面相交的地方。
我和小伙伴们一起讨论斜截式的时候，小刚就特别形象地说：“你们看啊，斜率大的直线就像特别陡的山坡，斜率小的就像比较平缓的山坡，而截距就是这个山坡开始的地方。
直线两点式
例3: (1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相 等的直线有几条? 等的直线有几条? 解: ⑴ 两条 设 直线的方程为:
x y + =1 a a
1 2 代入得： 把(1,2)代入得： + =1 代入得 a a
已知直线经过P 两点， 例1.已知直线经过 1(1,3)和P2(2,4)两点，求直线的方 已知直线经过 和 两点 程． 一般做法： 一般做法： 解：设直线方程为：y=kx+b. 设直线方程为： 由已知得： 由已知得： 解方程组得： 解方程组得：
{
3=k+b k+ 4=2k+b
k=1 b=2
{
所以，直线方程为 所以，直线方程为: y=x+2
直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a叫做直 直线与x轴的交点(o,a)的横坐标a (o,a)的横坐标 线在x 线在x轴上的截距 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b 直线与y轴的交点(b,0)的纵坐标b叫做直 (b,0)的纵坐标 线在y 线在y轴上的截距 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？ 是不是任意一条直线都有其截距式方程呢？
3 + 0 −3 + 2 , 2 2
3 1 ,− 2 2
即
过A(-5,0),M
3 1 ,− 2 2
的直线方程
整理得：x+13y+5=0 这就是BC边上中线所在的直线的方程。
y −0 x +5 = 1 3 − −0 +5 2 2
中点坐标公式： 中点坐标公式：
y −2 x −0 = −3 − 2 3− 0
直线的方程
练习1 根据下列条件写出直线方程， 并化成一般式
1 ( 1 )斜 率 是 ， 经 过 点 ( 8 ,2 ) A 2 ( 2 )经 过 点B( 4 ,2 ),平 行 于x轴 3 ( 3 )在x轴 和y轴 上 的 截距 分 别 是 ， 3 2 ( 4 )经 过 两 点 1 ( 3 ,2 ), P2 ( 5 ,4 ) P
若求过两点Ax1，y1 ，Bx2，y2 x1 x2 的直线方程呢？
直线方程的两点式：
已知直线l经过点Px1，y1 ，P2 x2，y2 x1 x2 . 1
求直线l的方程.
y 2 - y1 . 推导：直线l的斜率k x 2 - x1
当 y2 y 1时 ,方 程 可 写 成 y - y1 x - x1 .x 1 x 2 y1 y 2 y 2 - y1 x 2 - x 1
4 4 k 0 9k 2 9k 12 k k 4 2 当 且 仅 当 9k时,即k 时 取 最 小 值 . k 3 S 12
此时直线 l的方程为 2 x 3 y 12 0. :
2 2 2.截 距 和 2 3k 3 5 3k 5 2 6 k k 2 6 当 且 仅 当 3k 时,即k 时, k 3 截距和取到最小值为 2 6 :5
这 就 是 直 线 AB的 方 程 .
直 线 A C 过 A 5, 0、 C0, 2 点 ， 由 距式 得 两 截
整理得 x y 1， 5 2 2x 5y 10 0.
这就 是直线AC的方 程 .
注意恰当选取直线方程 的形式解题 .
练 习:
1.求 过 下 列 两 点 直 线 的 两 式 方 程 化 成 斜 截 式 方 程 点 ,再 . y 1 x2 1. p1 2,1, p2 0,3 ; 整理得y 2 x 3 31 0 2
3.2.2直线的两点式方程
4.过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等的 直线有几条?
解:
⑴ 两条
y=2x (与x轴和y轴的截距都为0)
x y 1, 当截距都不为0时，设直线的方程为: a a 1 2 把(1,2)代入得：a a 1,
即：a=3. 所以直线方程为：x+y-3=0.
5.根据下列条件，求直线的方程:
y y1 x x1 ∴ y2 y1 x2 x1
三、直线的两点式方程的应用
是不是已知任一直线中的两点就能用两点式 y y1 y y1 2 写出直线方程呢？ x x x x
不是!
1
2
1
当x1 ＝x2或y1= y2时,直线P1 P2没有两点式程.(因 为x1 ＝x2或y1= y2时,两点式的分母为零,没有意义)
4 k , 把P(-5，4)代入上式得 5 4 即直线方程为 y x. 5 x y ② 当截距均不为0时，设直线方程为 1, a a 把P(-5，4)代入上式得 a 1.
直线方程为 x y 1,
即 x y 1 0.
4 综上直线方程为 y x 或 x y 1 0. 5
4.作业：课本P100 习题A组 1⑷⑸⑹,9
为什么可以这样做，这样做的 根据是什么？
二、直线的两点式方程 设P(x,y)为直线上不同于P1 , P2的动点,
与P1(1,3)P2(2,4)在同一直线上,根据斜率
相等可得：
k pp1 k p1 p2
y3 43 即： x 1 21
得: y=x+2
推广
已知两点P1 ( x1 , y1 ),P2(x2 , y2),求通过这两 点的直线方程．
解：设点P(x,y)是直线上不同于P1 , P2的 点． ∵ k = k
直线的方程及性质
直线的方程及性质直线是平面几何中最基本的图形之一，研究直线的方程及性质对于理解和解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍直线的方程及其性质，帮助读者深入理解这一概念。
一、直线的方程分类在平面几何中，常见的直线方程有斜率截距、点斜式和两点式等多种表示形式。
下面将逐一介绍这些方程的特点。
1. 斜率截距式斜率截距式是最常见的直线方程形式，通常以y = kx + b的形式表示，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的截距。
斜率的数值可以表示直线的倾斜方向和程度，而截距则表示直线与y轴的交点。
例如，y = 2x + 3就是一条斜率为2，截距为3的直线。
2. 点斜式点斜式直线方程常以y - y1 = k(x - x1)的形式表示，其中(x1, y1)为直线上已知的一点，k为斜率。
点斜式方程可直接由直线上已知的一点和斜率得出。
例如，给定直线上一点A(2, 3)，斜率为2，则直线的点斜式方程为y - 3 = 2(x - 2)。
3. 两点式两点式直线方程常以(y - y1)/(x - x1) = (y - y2)/(x - x2)的形式表示，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上已知的两点。
两点式方程可以通过直线上的两个不同点来确定直线的位置和特性。
例如，给定直线上两点A(1, 2)和B(3, 4)，则直线的两点式方程为(y - 2)/(x - 1) = (y - 4)/(x - 3)。
二、直线的性质直线作为平面几何中最基本的图形之一，具有一些重要的性质和特点。
1. 斜率直线的斜率是直线方程中一个重要的参数，用于表示直线的倾斜程度和方向。
斜率为正表示直线向上倾斜，斜率为负表示直线向下倾斜，斜率为零表示直线平行于x轴。
2. 垂直与平行两条直线平行的条件是它们的斜率相等。
而两条直线垂直的条件是斜率乘积为-1，即两条直线的斜率互为倒数。
3. 截距直线的截距是直线方程中的常数项，表示直线与y轴的交点坐标。
截距为正表示直线与y轴的交点位于y轴上方，截距为负表示交点位于y轴下方。
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式资料讲解
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3注意方程(1)与方程(2)的差异：点P 1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P 1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l 的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l 上，所以这个方程就是过点P 1、斜率为k 的直线l 的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y 1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x=x 1．(二)斜截式已知直线l 在y 轴上的截距为b ，斜率为b ，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k ，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y -b=k(x-0)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y 轴上的截距确定的．当k ≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k 和b 的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y 轴上的截距．(三)两点式已知直线l 上的两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)，(x 1≠x 2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l 的方程．当y 1≠y 2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x 1=x 2或y 1=y 2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y 就用x 代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 已知直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b(a ≠0，b ≠0)，求直线l 的方程．此题由老师归纳成已知两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l 过A(a ，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x 轴和y 轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果已知直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y 轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB 的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB 的方程．BC 的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC 的方程．由截距式方程得AC 的方程是仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6即 2x+5y+10=0．这就是直线AC 的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用范围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出下列直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°． 解：2．(1.5练习第2题)已知下列直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的已知点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢73．(1.5练习第3题)写出下列直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y 轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过下列两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)． 解：(图略)六、板书设计。
直线的两点式和一般式方程
一般式
件
Ax＋By＋C＝0 (A2 +B2 ≠0)
求直线方程的几种形式
例 1：已知直线 l 经过点 A(－5,6)和点 B(－4,8)，求直线的
一般式方程、斜截式方程及截距式方程，并画图． 解：直线过 A(－5,6)，B(－4,8)两点，
y－6 x＋5 由两点式，得 ＝ ， 8－6 －4＋5
注意：
①不能表示过原点或与坐标轴平行或重合的直线 ②截距可是正数,负数和零
举例
例3: ⑴ 过(1,2)并且在两个坐标轴上的截距相等
的直线有几条?
解: ⑴ 两条
x y 设:直线的方程为: 1 a a
1 2 1、截距不为0时 把(1,2)代入得： a 1 a
a=3 所以直线方程为：x+y-3=0
8 m 4
（2）若m=0，则两条直线中一条直线的斜率为0， 另一条斜率不存在，这时两条直线垂直，方程分别 n 1 为 y ,x . 8 2
综上知：m=0，n为全体实数时，两条直线垂直.
点评:分类讨论思想的运用,如不分类将找不到正确答案.
小结
1)直线的两点式方程
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
当x1 ＝x2 时方程为： x ＝x１
当 y1= y2时方程为： y = y１
直线的截距式方程
例2:已知直线 l 与x轴的交点为A(a,0),与y轴的交点为 B(0,b),其中a≠0,b≠0,求直线l 的方程．
解:将两点A(a,0), B(0,b)的坐标代入两点式, 得:
y0 xa , b0 0a
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线 （1）平行于x轴：（2）平行于y轴： （3）与x轴重合：（4）与y轴重合： 分析: (1)直线平行于x轴时,直线的斜率不存在, 在x轴上的截距不为0．即 A=0 , B 0,C 0. (2) B=0 , A 0 , C 0.
高中数学第二册(上)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式
直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式一、教学目标(一)知识教学点在直角坐标平面内，直线上一点和直线的斜率或直线上两点，会求直线的方程；给出直线的点斜式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并利用直线的截距式作直线．(二)能力训练点通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线的位置特征，培养学生的数形结合能力．(三)学科渗透点通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．二、教材分析1．重点：由于斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应放在推导直线的斜截式方程和两点式方程上．2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直线上每个点的坐标都是方程的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．三、活动设计分析、启发、诱导、讲练结合．四、教学过程(一)点斜式直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就是可求的，怎样求直线l的方程(图1-24)？设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程(1)表示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．重复上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个方程的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．(二)斜截式直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．这个问题，相当于给出了直线上一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，代入点斜式方程可得：y-b=k(x-0)也就是上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的．当k≠0时，斜截式方程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜率和在y轴上的截距．(三)两点式直线l上的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，(x1≠x2)，直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的，请同学们求直线l的方程．当y1≠y2时，为了便于记忆，我们把方程改写成请同学们给这个方程命名：这个方程是由直线上两点确定的，叫做直线的两点式．对两点式方程要注意下面两点：(1)方程只适用于与坐标轴不平行的直线，当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时，可直接写出方程；(2)要记住两点式方程，只要记住左边就行了，右边可由左边见y就用x代换得到，足码的规律完全一样．(四)截距式例1 直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b(a≠0，b≠0)，求直线l的方程．此题由老师归纳成两点求直线的方程问题，由学生自己完成．解：因为直线l过A(a，0)和B(0，b)两点，将这两点的坐标代入两点式，得就是学生也可能用先求斜率，然后用点斜式方程求得截距式．引导学生给方程命名：这个方程是由直线在x轴和y轴上的截距确定的，叫做直线方程的截距式．对截距式方程要注意下面三点：(1)如果直线在两轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程；(2)将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图；(3)与坐标轴平行和过原点的直线不能用截距式表示．(五)例题例2 三角形的顶点是A(-5，0)、B(3，-3)、C(0，2)(图1-27)，求这个三角形三边所在直线的方程．本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫．解：直线AB的方程可由两点式得：即 3x+8y+15=0这就是直线AB的方程．BC的方程本来也可以用两点式得到，为简化计算，我们选用下面途径：由斜截式得：即 5x+3y-6=0．这就是直线BC的方程．由截距式方程得AC的方程是即 2x+5y+10=0．这就是直线AC的方程．(六)课后小结(1)直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式的命名都是可以顾名思义的，要会加以区别．(2)四种形式的方程要在熟记的基础上灵活运用．(3)要注意四种形式方程的不适用X围．五、布置作业1．(1.5练习第1题)写出以下直线的点斜式方程，并画出图形：(1)经过点A(2，5)，斜率是4；(4)经过点D(0，3)，倾斜角是0°；(5)经过点E(4，-2)，倾斜角是120°．解：2．(1.5练习第2题)以下直线的点斜方程，试根据方程确定各直线经过的点、直线的斜率和倾斜角：解：(1)(1，2)，k=1，α=45°；(3)(1，-3)，k=-1，α=135°；3．(1.5练习第3题)写出以下直线的斜截式方程：(2)倾斜角是135°，y轴上的截距是3．4．(1.5练习第4题)求过以下两点的直线的两点式方程，再化成截距式方程，并根据截距式方程作图．(1)P1(2，1)、P2(0，-3)；(2)A(0，5)、B(5，0)；(3)C(-4，-3)、D(-2，-1)．解：(图略)六、板书设计。
直线截距式、一般式
(
x1
x2 ,y1
y2)
两点
截距式
x a
y b
1a
,b
0
②什么叫二元一次方程？直线与二元一次方程有什么关系?
直线的一般式方程: Ax+By+C=0
（A，B不同时为0）
在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值 时，方程表示的直线为：
(1)平行于x轴 A=0且B≠0且C ≠0 (2)平行于y轴 B=0且A≠0且C ≠0 (3)与x轴重合 A=0 且C=0且B≠0 (4)与y轴重合 B=0 且C=0且A ≠0
1、过点1（、0过，5）点，（0（，5）5，0，）（5，0）直线方程为：5x
y 5
1
2、过点（2、0，过3）点，（（0，34），0，）（4，0）直线方程为：x y 1
,0）的直线方程（. 其中a 0,b 0）
ly
（0, b）
O （a,0） x
x y 1 ab
小结
1. 直线方程常见的几种形式及其特点和适 用范围.
2. 直线的一般式方程
P99 练习 1 P100习题3.2 A. 8,9
谢谢！ 再见！
直线的截距式，一般式
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程：
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
引入 已知下列条件，求直线方程
C
.
不
经
过
原
点
的
直
线都
可
以
用
直线的方程(2)——两点式与截距式
y2 y1 ( x x1 ) 代入点斜式，得：y y1 = x2 x1
( x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 )
说明:(1)两点式适用范围: x1 ≠ x2 , y1 ≠ y2 说明 即:不能表示倾斜角为00和900的直线方程 (2)两点式变形为( y y1 )( x2 x1 ) ( x x1 )( y2 y1 ) = 0 可表示过任意两点的直线方程.
典型例题
例1、三角形的顶点是A（-5，0），B（3，-3） C（0，2），如图，求这个三角形三边所 y 在直线的方程.
C 2
A 5
3
x
o
3
B
点评： 点评：直线AC，截距式较好； 直线BC，斜截式较好； 直线AB，两点式较好.
练习： 练习：
由已知条件求下列直线的斜截式方程： （1）直线经过点 P (2,1), P2 (0, 3) ； 1 （2）直线在x轴上的截距为2，在y轴上 的截距为-3.
轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，求三角 形AOB面积的最小值及此时直线l的方程.
y
l
P (3, 2)
2x+3y-12=0
x o
练习： 练习：上题（2）求直线l在两坐标轴上的截距之
和的最小值及此时直线的方程.
课堂小结
1、直线方程的两点式的适用条件： 已知直线上两点的坐标 2、直线方程的截距式的适用条件： 已知直线与坐标轴的截距 3、如何用待定系数法求直线方程： 选择合适的方程类型.
7.2 直线的方程（2） 直线的方程（ ）
-------两点式与截距式 两点式与截距式
复习回顾
1、（1）直线方程的点斜式： 已知直线上一点P（x1，y1）与斜率k， 直线方程为 y-y1=k（x-x1） （2）直线方程的斜截式： 已知直线斜率k与在y轴上的截距 为b，直线方程为 y=kx+b
直线的两点式、截距式、一般式
变 2：直线 l 过点 P （1,3），且与 x , y 轴正半轴围成的 三角形的面积等于 6，求直线 l 的方程
课堂练习
P41T1,2 补充练习: 1.求经过点P(2,1),且在两坐标轴的正半轴所 围成的面积为9/2的直线方程. 2.求经过点P(2,1),且在两坐标轴上的截距相 等的直线方程. 3.求经过点P(2,1),且与两坐标轴所围成的面 积最小的直线方程.
综合应用
已知直线l： − 5 y − a + 3 = 0 5ax 1、求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限 2、为使直线不经过第二象限，求a的取值范围
变：已知（k + 1) x-（k-1)y-2k=0为直线l的方程， 求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出 定点坐标
例5、求过点A（4,2），且在两坐标 轴上的截距相等的直线l的方程
Y −0 − 3− 0
=
X − ( −5 ) 3− ( −5 )
, 整理得
2 C
3 x + 8 y + 15 = 0, 就是直线AB的方程。 直线BC过C（0， 2）， 斜率是k =
2 − ( −2 ) 0 −3
A -5 3 X
=− ,
5 3
由点斜式得y − 2 = − 5 ( x − 0). 3
3
探究：
直线Ax+By+C=0的系数A,B,C满足什么条件 时，这条直线具有下列性质 1、与x轴垂直 2、与y轴垂直 3、与x轴，y轴都有交点 4、过原点
例4、已知直线l的方程为：3x+4y-12=0，点 A(-1,3) (1)求过点A且与直线l平行的直线l1的方程 （2）求过点A且与直线l垂直的直线l2的方程
直线的两点式、截距式、一般式
由点斜式得y 2 5 3 ( x 0).
3
பைடு நூலகம்
B
直线AC过A（ 5， 0），C（0， 2）两点，由截距式得
x 5 y 2 1整理得
2 x 5 y 10 0这就是直线AC的方程。
例2:三角形的顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2), 求这个三角形三边所在的直线方程. 变1:求三角形边AB的中线所在的直线方 程. 变式2:过C点的直线将△ABC面积两等 分,求该直线所在的直线方程. 变3：过P（3,0）作直线l，使它被两条 直线2x-y-2=0和x+y+3=0所截得的线段 AB恰好被P点平分，求直线l的方程
综合应用
已知直线l： 5ax 5 y a 3 0 1、求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限 2、为使直线不经过第二象限，求a的取值范围
变：已知（k 1) x-（k-1)y-2k=0为直线l的方程， 定点坐标
求证：不论k为何实数，直线l必过定点，并求出
例5、求过点A（4,2），且在两坐标 轴上的截距相等的直线l的方程
Y 0 3 0
X ( 5 ) 3 ( 5 )
, 整理得
2 C
3 x 8 y 15 0, 就是直线AB的方程。 直线BC过C（0， 2）， 斜率是k 整理得 5 x 3 y 6 0这就是直线BC的方程。
2 ( 2 ) 0 3
A -5 3 X
,
变1：
1、已知直线l1 : 2 x (m 1) y 4 0与直线 l2 : mx 3 y 2 0平行，求m的值 2、当a为何值时，直线l1 : (a 2) x (1 a) y 1 0 与直线l2： (a 1) x (2a 3) y 2 0互相垂直
高效课堂直线的两点式、截距式与一般式
2
导学案反馈
11班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 张帆、耿苗、王迪、秦瑶、 王招、张梦杰、靳浩、王 1、各种直线方程表达式 婷、张琳娜、程鑫、秦瑶、 的适用范围 2、求解直线方程时各种 戴星 表达式的选用 彭楠、李卓、朱腾、魏今 3、计算能力堪忧 朝、李晏竹、崔鑫
1.求经过点P(0，5)，且在两坐 标轴上的截距之和为2的直线方程.
2.已知直线经过点A（6，-4）， 4 斜率为 3 ，求直线的点斜式和一般 式方程.
3.把直线l的一般式方程 x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的 斜率以及它在x轴与y轴上的截距， 并画出图形.
当堂小结
老师 • 知识
学科 • 课堂情况 班长
导学案反馈
10班
优秀小组
存在问题
完 成 情 况
优秀个人
进步个人
一、学习态度方面： 不能够按要求化简为相应 的表达式 二、知识理解方面： 马翠婷、徐泽程、吴宽、 刘敏、王海艳、李洋、毛 1、各种直线方程表达式 晨阳、桑雨欣、王婷、王 的适用范围 2、求解直线方程时各种 炫镔、姚家明、杨柳 表达式的简便选用 周勇行、李文龙、张嘉俊、 3、计算能力堪忧 贾锦涛
比例式可化为
y y1 x x1 且 x1 x2 , y1 y2 y2 y1 x2 x1
此方程叫做直线的两点式方程，该方 程在结构形式上有什么特点？
知识探究（二）：直线的截距式方程
思考1:若直线l经过点A(a，0)，B(0， b)，其中a≠0，b≠0，则直线l的方 程如何？
点评安Байду номын сангаас及目标要求(10)
3.2.2直线的两点式方程
共
同 努
殊情况．当所求的直线方程与截距有关时，也可设出点斜式或斜
力
吧 截式方程，求出截距，利用截距的关系求出斜率，再写出方程．
！
二
十
九
班 渴
变式 1
已知直线 l 经过点 E(1,2)，且与两坐标轴
望
胜 利
的正半轴围成的三角形的面积最小时的直线 l 的方程．
，
同
学
们
共
同
努
力
吧
！
二
十
九
班 渴 望
解：设直线 l 的方程为ax＋by＝1，其中 a>0，b>0.
解析：设直线的方程为ax＋by＝1，
胜
利 ， 同
∵直线的斜率 k＝16，∴－ba＝16.
学
们 共 同 努
又∵12|ab|＝3，解得ab＝＝1－6， 或ab＝＝6－，1，
力
吧 ！
∴所求直线方程为：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0 或 x－6y－6＝0
二
十
九
班 渴
斜率和一点坐标
望
胜
利
，
同 斜率k和截距b
学
们
共
同
努
力
吧
！ 两点坐标
两个截距
小结
点斜式 斜截式
两点式 点斜式
截距式
y y0 k(x x0 )
y kx b
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1 y y0 k(x x0 )
x y 1 ab
同
学 【思路启迪】 题设有截距 a、b，因此可考虑应用截距式，
们
共 同
直线方程的几种形式
3 3 y = − x − 3∴ k = − , b = −3. 2 2
所求直线方程为 y = − 3 x − 3
三.直线的两点式方程 直线的两点式方程
y 2 − y1 ( x 1 ≠ x 2 ). 解: 依题意 , k = x 2 − x1
代入点斜式,得 代入点斜式 得
已知直线 l经过两点 P1 ( x 1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ), 经过两点 且x 1 ≠ x 2 , 求直线的方程 .
对于方程 y − y 1 = k ( x − x 1 ), 直线 l 上的每一个 点 P ( x , y )都是这个方程的解 ; 反之 ,以方程的 解为坐标的点都在直线 l 上 . y l
y − y1 = k ( x − x1 )
α
P1
P2
O
x
是过点P1 ( x1 , y1 ), 斜率为k的直线l的方程. 特征: 特征 (1)已知直线上的一个点 P ( x1 , y1 );
3 x + 8 y + 15 = 0
5x + 3 y − 6 = 0
把B,C代入两点式, 得
y +3 x −3 = 2+3 0−3
例3三角形的顶点是 A( −5,0), B( 3,−3), C (0,2)
求这个三角形三边所在 的直线方程 .
解: 把A,C代入两点式 , 得 y − 0 x − (−5) = 2 − 0 0 − (−5)
一.直线的点斜式方程
y − y1 y − y1 = k ( x − x1 )(2) k= (1) x − x1 显然,点 的坐标不满足方程(1) 显然 点P1的坐标不满足方程
而满足方程(2)，因此， 不在方程(1)表示的 而满足方程 ，因此，点P1不在方程 表示的 图形上而在方程(2)表示的图形上 方程(1)不能 表示的图形上， 图形上而在方程 表示的图形上，方程 不能 称作直线的方程． 称作直线的方程．
高一数学直线的一般式方程
课后作业
1. 阅读教材P.97到P.99；
2. 《习案》二十一.
；/ 除甲醛公司；
被根汉给糟蹋了已经,不过最终の结果,并没有改变,她们还是壹起成为了根汉の女人,只不过这过程却远不如第壹回那样狗血."是呀,他变成了真正の男人,有担当の男人..."阿上叹了口气道："而咱们也早已不是当年青涩の咱们了,现在咱们也步入了壹个新の阶段,有些东西已经烙进咱 们元灵深处了,此生都无法改变了.""蓉蓉,你有后悔过吗?"张素尔问她.阿上笑着反问她："你呢?""没有..."她摇了摇头,无奈の苦笑,"不怕你笑话咱,昨天晚上咱睡觉の时候,还梦到了他呢...""小素尔哦,看来你是爱过火了,是不是梦到和他那个了呀?"阿上调皮の笑道.张素尔俏脸微红, 没有搭理她,阿上又自言自语の说："其实昨天晚上咱听到了某人の梦话,好像说什么好舒服之类の,实在是不知羞耻呀...""咱哪有说,咱只是在梦里和他亲了嘴了..."张素尔俏脸更红了,都快能滴出血来了,阿上嘿嘿笑道："你看看你,不打自招了嘛,亲完嘴了,总会再做点别の吧...""说 实话咱还是挺羡慕你の,起码你和他那个了,你们有实质の关系了,咱和他现在还..."说到这个,阿上有些苦恼.张素尔红着脸问道："你干吗不和他那个呀?是有什么难言之隐吗?"既然都是这么多年の闺蜜姐妹,这些私房话她们私里下,还是好意思说出口の,也没什么大不了の,也没他人在 场."咱の体质受损了,现在还没有恢复过来,不宜和他发生那种关系..."阿上有些郁闷の说."都这么多年了,还是没恢复吗?"张素尔有些担忧道,"那得多久才能恢复,你改道绝情.,不是已经
直线方程公式
直线方程公式直线方程是一种表达直线位置的方式，根据直线的特征不同，可以求出各种形式的直线方程。
本文将介绍直线方程的一些公式和推导过程。
一、一般式直线方程一般式直线方程是一条直线在平面直角坐标系中的一般表达式，形式为Ax+By+c=0 （其中A、B、C为实数，且A和B不同时为零），是求解直线方程的一种基本形式。
公式推导过程：设过点（x1，y1）和（x2，y2）的直线方程为 Ax+By+C=0由于点（x1，y1）在直线上，所以有：Ax1+By1+C=0同理，另一个点（x2，y2）也在直线上，所以有：Ax2+By2+C=0将上面两个式子联立，得到：Ax1+By1+C=Ax2+By2+C移项可得：Ax1+By1-Ax2-By2=0即 A(x1-x2)+B(y1-y2)=0这个式子可以进一步化简，得到一般式直线方程：Ax+By+C=0其中，A=(y2-y1)，B=(x1-x2)，C=(x2y1-x1y2)二、点斜式直线方程点斜式是直线方程的一种简单表达形式，针对一条直线上已知一点和该点处直线的斜率，我们可以使用点斜式求解直线方程。
公式推导过程：设过（x1，y1）的直线斜率为k，则该直线方程可以表示为：y-y1=k(x-x1)将等式两边展开并整理，可得点斜式直线方程：y-kx+(kx1-y1)=0化简得y=kx+(y1-kx1)三、截距式直线方程截距式是直线方程的另一种常见形式，它以直线在x和y轴上的截距为基础来进行表达。
公式推导过程：假设一条直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b，斜率为k，那么它的一般式方程可以表示为：y=kx+b当x=0时，y=b，故截距b为该直线在y轴上的截距；当y=0时，x=-b/k，故截距a为该直线在x轴上的截距。
所以，截距式直线方程可以表示为：y=kx+b （或 x=a/b*y-a，y=b/a*x-b）其中a和b为x轴和y轴上直线截距。
四、斜截式直线方程针对一条直线已知斜率k和截距b的情况，我们可以使用斜截式公式快速求解直线方程。
直线方程的五种形式是什么 包括哪五种
直线方程的五种形式是什么包括哪五种
直线方程主要包括一般式、点斜式、斜截式、两点式、截距式五种，详细形式如下，一起来看吧！
直线方程的五种形式
1：点斜式：已知直线过点(x0，y0)，斜率为k，则直线方程为y －y0＝k(x－x0)。
2：斜截式：已知直线在y轴上的截距为b，斜率为k，则直线方程为y＝kx＋b
3：两点式：已知一条直线经过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，则直线方程为x-x1/x2-x1＝y-y1/y2-y1，但不包括垂直于坐标轴的直线。
4：截距式：已知直线在x轴和y轴上的截距为a，b，则直线方程为x/a＋y/b＝1
5：一般式：任何直线均可写成Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的形式。
直线方程相关学问点
求对称图形
⑴点（x1,y1）关于点(x0,y0)对称的点：（2x0-x1,2y0-y1)
⑴点（x0,y0）关于直线Ax+By+C=0对称的点：
( x0-2A(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) ，y0-2B(Ax0+By0+C)/(A^2+B^2) )
⑴直线y=kx+b关于点（x0,y0）对称的直线：y-2y0=k(x-2x0)-b
⑴直线1关于不平行的直线2对称：定点法、动点法、角平分线法
求对称轴
⑴两点的对称点：①求中点坐标
⑴两点的对称轴：①求中点坐标②求线段斜率③求与线段垂直的对称轴斜率④点斜式
⑴两条平行线的对称轴：①设P（x,y）在对称轴上②设方程d(Pl1)=d(Pl2)
⑴两条相交且不垂直的直线的对称轴：①角平分线斜率公式②k0k1=-1③求交点④点斜式。
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直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式
一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内,已知直线上一点与直线得斜率或已知直线上两点,会求直线得方程;给出直线得点斜式方程,能观察直线得斜率与直线经过得定点;能化直线方程成截距式,并利用直线得截距式作直线.
(二)能力训练点
通过直线得点斜式方程向斜截式方程得过渡、两点式方程向截距式方程得过渡,训练学生由一般到特殊得处理问题方法;通过直线得方程特征观察直线得位置特征,培养学生得数形结合能力.
(三)学科渗透点
通过直线方程得几种形式培养学生得美学意识.
二、教材分析
1.重点:由于斜截式方程就是点斜式方程得特殊情况,截距式方程就是两点式方程得特殊情况,教学重点应放在推导直线得斜截式方程与两点式方程上.
2.难点:在推导出直线得点斜式方程后,说明得到得就就是直线得方程,即直线上每个点得坐标都就是方程得解;反过来,以这个方程得解为坐标得点在直线上.
得坐标不满足这个方程,但化为y-y1=k(x-x1)后,点P1得坐标满足方程.
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合.
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l得斜率就是k,并且经过点P1(x1,y1),直线就是确定得,也就就是可求得,怎样求直线l得方程(图1-24)？
设点P(x,y)就是直线l上不同于P1得任意一点,根据经过两点得斜率公式得
注意方程(1)与方程(2)得差异:点P1得坐标不满足方程(1)而满足方程(2),因此,点P1不在方程(1)表示得图形上而在方程(2)表示得图形上,方程(1)不能称作直线l 得方程.
重复上面得过程,可以证明直线上每个点得坐标都就是这个方程得解;对上面得过程逆推,可以证明以这个方程得解为坐标得点都在直线l上,所以这个方程就就是过点P1、斜率为k 得直线l得方程.
这个方程就是由直线上一点与直线得斜率确定得,叫做直线方程得点斜式.
当直线得斜率为0°时(图1-25),k=0,直线得方程就是y=y1.
当直线得斜率为90°时(图1-26),直线得斜率不存在,它得方程不能用点斜式表示.但因l上每一点得横坐标都等于x1,所以它得方程就是x=x1.
(二)斜截式
已知直线l在y轴上得截距为b,斜率为b,求直线得方程.
这个问题,相当于给出了直线上一点(0,b)及直线得斜率k,求直线得方程,就是点斜式方程得特殊情况,代入点斜式方程可得:
y-b=k(x-0)
也就就是
上面得方程叫做直线得斜截式方程.为什么叫斜截式方程？因为它就是由直线得斜率与它在y轴上得截距确定得.
当k≠0时,斜截式方程就就是直线得表示形式,这样一次函数中k与b得几何意义就就是分别表示直线得斜率与在y轴上得截距.
(三)两点式
已知直线l上得两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2),(x1≠x2),直线得位置就是确定得,也就就是直线得方程就是可求得,请同学们求直线l得方程.
当y1≠y2时,为了便于记忆,我们把方程改写成
请同学们给这个方程命名:这个方程就是由直线上两点确定得,叫做直线得两点式.
对两点式方程要注意下面两点:(1)方程只适用于与坐标轴不平行得直线,当直线与坐标轴平行(x1=x2或y1=y2)时,可直接写出方程;(2)要记住两点式方程,只要记住左边就行了,右边可由左边见y就用x代换得到,足码得规律完全一样.
(四)截距式
例1 已知直线l在x轴与y轴上得截距分别就是a与b(a≠0,b≠0),求直线l 得方程.
此题由老师归纳成已知两点求直线得方程问题,由学生自己完成.
解:因为直线l过A(a,0)与B(0,b)两点,将这两点得坐标代入两点式,得
就就是
学生也可能用先求斜率,然后用点斜式方程求得截距式.
引导学生给方程命名:这个方程就是由直线在x轴与y轴上得截距确定得,叫做直线方程得截距式.
对截距式方程要注意下面三点:(1)如果已知直线在两轴上得截距,可以直接代入截距式求直线得方程;(2)将直线得方程化为截距式后,可以观察出直线在x轴与y轴上得截距,这一点常被用来作图;(3)与坐标轴平行与过原点得直线不能用截距式表示.
(五)例题
例2 三角形得顶点就是A(-5,0)、B(3,-3)、C(0,2)(图1-27),求这个三角形三边所在直线得方程.
本例题要在引导学生灵活选用方程形式、简化运算上多下功夫.
解:直线AB得方程可由两点式得:
即 3x+8y+15=0
这就就是直线AB得方程.
BC得方程本来也可以用两点式得到,为简化计算,我们选用下面途径:
由斜截式得:
即 5x+3y-6=0.
这就就是直线BC得方程.
由截距式方程得AC得方程就是
即 2x+5y+10=0.
这就就是直线AC得方程.
(六)课后小结
(1)直线方程得点斜式、斜截式、两点式与截距式得命名都就是可以顾名思义得,要会加以区别.
(2)四种形式得方程要在熟记得基础上灵活运用.
(3)要注意四种形式方程得不适用范围.
五、布置作业
1.(1、5练习第1题)写出下列直线得点斜式方程,并画出图形:
(1)经过点A(2,5),斜率就是4;
(4)经过点D(0,3),倾斜角就是0°;
(5)经过点E(4,-2),倾斜角就是120°.
解:
2.(1、5练习第2题)已知下列直线得点斜方程,试根据方程确定各直线经过得已知点、直线得斜率与倾斜角:
解:
(1)(1,2),k=1,α=45°;
(3)(1,-3),k=-1,α=135°;
3.(1、5练习第3题)写出下列直线得斜截式方程:
(2)倾斜角就是135°,y轴上得截距就是3.
4.(1、5练习第4题)求过下列两点得直线得两点式方程,再化成截距式方程,并根据截距式方程作图.
(1)P1(2,1)、P2(0,-3);
(2)A(0,5)、B(5,0);
(3)C(-4,-3)、D(-2,-1).
解:
(图略)
六、板书设计。