【武汉大学】量子力学第二章B

2
1(x)
d2 dx2
2
(x)
d2 dx2
2 a
sin
2 x
a
2
a
2
2 a
sin
2 x
a
2
a
2
2
(
x)
Et
a *(x, 0)Hˆ (x, 0)dx
0
a 0
4
5
1
(
x)
1
5
2
(
x)
*
2
2m
a
2
4
5
1
(
x)
2
a
2
1
5
2 (x)
dx
2
2m
a
2
4 5
2
a
2
1
补例2.4-2:一维无限深方势阱
已知初始时刻(t=0)的归一化波函数为
(
x,
0)
8 5a
1
cos
x
a
sin
x
a
,
0xa
0
x0 和xa
求:(1)t>0时刻粒子的状态波函数 (x,t) (2)粒子能量的可能取值,取值几率和期望值
(3)在t=0和t>0时,在 0 x a区/ 2域发现粒子的几率
2 sin n x
aa 0
0 xa x 0和x a
讨论: 1.分立能谱，En ，n2n为能量量子数.
能量最低的态称为基态(n=1)，能量次低的态为第一激发态
(n＝2)，能量再次低的态为第二激发态(n=3),依次类推
基态能量为:
h2 2
E基 E1 2ma2
激发态 En n2E基
2.体系的零点能: E零 E基 Vmin 对于一维无限深势阱 E零 E基 0 量子现象
Et
a *(x, 0)Hˆ (x, 0)dx
0
a 0
4
5
1
(
x)
1
5
2
(
x)
*
2
2m
d2 dx2
4
5
1
(
x)
1
5
2
(
x)
dx
式中 1(x)
2 sin x ;
aa
2(x)
2 sin 2 x
aa
而
d2 dx2
1(x)
d2 dx2
2 a
sin
x
a
a
2
2 a
sin
x
a
a
3.束缚态：在势阱中,运动状态是两端固定的驻波 (参见图2.5-2)
4.没有简并: En , n 一一对应
定态波函数 n ( x, t) n ( x)exp[iEnt / ]
n(x)
2 a
sin2
n
a
x
正交归一性
m
(
x, t)n (
x,
t )dx
mn
m
(
x
)
n(
x)dx
mn
解:(1) 解法一： (r , 0) CE E (r )
E
故在一维无限深势阱中改写为 (x,0) cn n (x)
n 1
两边乘以
* n
(
x)
后对空间积分
即
(
x,
0)
* n
( x)dx
cn
n
( x)
* n
(
x)
dx
cnnn cn
n1
n1
cn
* n
(
x)
(
x,
0)dx
a
0
2 a
5
4 5
E1
(3) 在 0 x a / 2 发现粒子的几率
(a) (t 0)
a / 2 (x,0) 2 dx 8
0
5a
a 0
/
2
sin
x
a
1 sin 2
2 x
a
2
dx
1 2
16
15
(b) (t 0) a / 2 (x,t) 2 dx 0
8
a / 2sin2 x
ei 2
4 5
;
|
c2
|2
1 5
期望值
E
| c1
|2
E1 | c2
|2
E2
4 5
E1
1 5
E2
4 5
2 2
2ma2
1 5
2 24
2ma2
4 5
2 2
ma2
8 5
E1
另一种算法：
利用下式计算
EtБайду номын сангаас Et0
*(x, 0)Hˆ (x, 0)dx
a *(x, 0)Hˆ (x, 0)dx 0
式中
Hˆ
2
2m
d2 dx 2
§2.5 一维定态问题
2.5-1 无限深方势阱 2.5-3 势垒穿透 2.5-2 一维谐振子
2.5-1 无限深方势阱
势能函数为
0, V (x)
0xa x0 和xa
(1)势阱外:
V (x) E (x) 0 x 0 和 x a
(2)势阱内: V (x) 0
束缚在势阱中
定态薛定谔方程为:
5a a
5a a
解法二：
(x,0)
8 5a
1
cos
x
a
sin
x
a
8 5a
sin
x
a
1 2
sin
2
a
x
4 5
2 sin x
aa
1 5
2 sin 2 x
aa
4
5
1
(
x)
1
5
2
(
x)
与 (x,0) cn n (x) 相比较 n 1
得 c1 4 / 5; c2 1/ 5; cn 0 as n 1, 2
t /(2ma2 )
cos x ei2 2
t /(ma2 )
2
dx
5a 0
a
a
8
5a
a 0
/
2
sin2
x
a
1
cos2
x
a
2 cos
x
a
cos
3 2 t
2ma2
dx
1 2
16
15
cos
3 2 t
2ma2
2.5-3 势垒穿透
能量为E的粒子沿x轴正 方向入射到势垒被散射
势场V(x)为:
sin
n
a
x
8 5a
1
cos
x
a
sin
x
a
dx
541n
1
5
2n
即 c1
4; 5
c2
1, 5
cn 0 as n 1, 2
t>0时刻粒子的状态波函数
(x,t) cn n (x)eiEnt / n 1
4
5
1
(
x)e
iE1t
/
1
5
2
(
x)e
iE2t
/
8 sin x ei 2 t /(2ma2 ) 2 sin 2 x ei2 2 t /(ma2 )
波函数满足三个标准条件: 有限;单值;连续
由 (在x) x=0和x=a处连续,得
E (0) 0 B 0 E (a) 0 Asin ka 0
A0
A 0 故得: ka n
n 1, 2,3,
故 k n
a
代入k的定义式, 可得体系定态能量取值为:
h2 2n2
En 2ma2
n 1, 2, 3, ...
能量取值是量子化的,分立的能级
相应的定态波函数为:
n
(
x)
Asin
n
a
x
0
0 xa x 0和x a
n 1, 2,3,
归一化常数 A:
n
(
x) n ( x)dx
|
A
|2
a sin2( n x)dx | A |2 a 1
0
a
2
得: A 2 / a 归一化的定态波函数为:
n(
x)
同样可求得粒子在t时刻的状态波函数 (x,t)
(x, t) 8 sin x ei 2 t /(2ma2 ) 2 sin 2 x ei2 2 t /(ma2 )
5a a
5a a
(2)粒子能量的可能取值,取值几率和期望值
能量的可能取值
E1
2 2
2ma2
;
E2
2 2 2
ma2
相应的取值几率
|
c1
|2
2
2m
d2 dx2
E
(x)
E E (x)
V(x)
I II o
0xa
III
ax
记 k 2mE
d2 dx2
E
(x)
k
2
E
(x)
0
方程的解为: E ( x) Asin kx B cos kx 0 x a
体函系数的为定: 态波
E
(
x)
A
sin
kx
0
B
cos
kx
0 xa x 0和x a