广东省深圳市盐田高级中学2020-2021学年高一上学期国庆作业数学试题
2020-2021深圳市高级中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案
2020-2021深圳市高级中学高中必修一数学上期末模拟试题带答案一、选择题1．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,12．已知函数1()log ()(011a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ） A ．12B ．2C ．2 D ．23．在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4．德国数学家狄利克在1837年时提出：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，则y 是x 的函数，”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个值，有一个确定的y 和它对应就行了，不管这个对应的法则是公式、图象，表格述是其它形式已知函数f （x ）由右表给出，则1102f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．35．若函数()2log ,?0,? 0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A ．1eB ．eC ．21e D ．2e6．把函数()()2log 1f x x =+的图象向右平移一个单位，所得图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称；已知偶函数()h x 满足()()11h x h x -=--，当[]0,1x ∈时，()()1h x g x =-；若函数()()y k f x h x =⋅-有五个零点，则正数k 的取值范围是（ ） A ．()3log 2,1B ．[)3log 2,1C ．61log 2,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．61log 2,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7．设函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,则实数的a 取值范围是( )A ．()()1,00,1-⋃B ．()(),11,-∞-⋃+∞C ．()()1,01,-⋃+∞D ．()(),10,1-∞-⋃8．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．149．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.910．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y 11．已知定义在R 上的函数()f x 在(),2-∞-上是减函数，若()()2g x f x =-是奇函数，且()20g =，则不等式()0xf x ≤的解集是（ ）A ．][(),22,-∞-⋃+∞B ．][)4,20,⎡--⋃+∞⎣C ．][(),42,-∞-⋃-+∞D ．][(),40,-∞-⋃+∞12．对任意实数x ，规定()f x 取4x -，1x +，()152x -三个值中的最小值，则()f x （ ）A ．无最大值，无最小值B ．有最大值2，最小值1C ．有最大值1，无最小值D ．有最大值2，无最小值二、填空题13．若函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),∞∞-+上单调递增，则m 的取值范围是__________．14．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________．15．对于复数a bc d ，，，，若集合{}S a b c d =，，，具有性质“对任意x y S ∈，，必有xy S ∈”，则当221{1a b c b===，，时，b c d ++等于___________16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．函数()()()310310x x x f x x -⎧+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是______. 19．设是两个非空集合，定义运算．已知，，则________.20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.三、解答题21．已知函数()log (12)a f x x =+，()log (2)a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-.(1)求函数()h x 的定义域; (2)若312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，求使()0h x <成立的x 的集合. 22．已知函数22()21x xa f x ⋅+=-是奇函数. (1)求a 的值;(2)求解不等式()4f x ≥;(3)当(1,3]x ∈时，()2(1)0f txf x +->恒成立，求实数t 的取值范围.23．已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭. （1）当[]2,4x ∈时，求该函数的值域；（2）求()f x 在区间[]2,t （2t >)上的最小值()g t . 24．已知函数2()1()f x x mx m =-+∈R ．（1）若函数()f x 在[]1,1x ∈-上是单调函数，求实数m 的取值范围； （2）若函数()f x 在[]1,2x ∈上有最大值为3，求实数m 的值．25．已知函数2,,()lg 1,,x x m f x x x m ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„其中01m <„.（Ⅰ）当0m =时，求函数()2y f x =-的零点个数；（Ⅱ）当函数2()3()y f x f x =-的零点恰有3个时，求实数m 的取值范围. 26．已知函数()log (1)2a f x x =-+（0a >，且1a ≠），过点(3,3). （1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式()()123122xx f f +-<-.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.2．A解析：A 【解析】 【分析】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0<a<1，把x=1代入即可求出a 的值．【详解】由函数()1log ()=0,1a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，∴0<a<1，当x=1时，1(1)log ()=-log 2=111a a f =+, 解得1=2a ， 故选A ．本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.3．C解析：C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增， 且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．4．D解析：D 【解析】 【分析】采用逐层求解的方式即可得到结果. 【详解】∵(] 121∈-∞，，∴112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 则110102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()1(())21010f f f =，又∵[)102∈+∞，，∴()103f =，故选D ． 【点睛】本题主要考查函数的基础知识，强调一一对应性，属于基础题．5．A解析：A 【解析】 【分析】直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >⎧=⎨≤⎩，因为102>，所以211()log 122f ==-，又因为10-<，所以11(1)f ee--==， 即11(())2f f e=，故选A. 【点睛】该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.6．C解析：C 【解析】分析：由题意分别确定函数f (x )的图象性质和函数h (x )图象的性质，然后数形结合得到关于k 的不等式组，求解不等式组即可求得最终结果.详解：曲线()()2log 1f x x =+右移一个单位，得()21log y f x x =-=， 所以g (x )=2x ，h (x -1)=h (-x -1)=h (x +1)，则函数h (x )的周期为2. 当x ∈[0,1]时，()21xh x =-，y =kf (x )-h (x )有五个零点，等价于函数y =kf (x )与函数y =h (x )的图象有五个公共点. 绘制函数图像如图所示，由图像知kf （3）<1且kf （5）>1，即：22log 41log 61k k <⎧⎨>⎩，求解不等式组可得：61log22k <<. 即k 的取值范围是612,2log ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查函数图象的平移变换，函数的周期性，函数的奇偶性，数形结合解题等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】因为函数()()212log ,0,log ,0.x x f x x x >⎧⎪=⎨-<⎪⎩若()()f a f a >-,所以220log log a a a >⎧⎨>-⎩或()()122log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩，解得1a >或10a -<<，即实数的a 取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故选C. 8．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kte -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】 【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.10．D解析：D 【解析】试题分析:因函数lg 10xy =的定义域和值域分别为,故应选D ．考点：对数函数幂函数的定义域和值域等知识的综合运用．11．C解析：C 【解析】 【分析】由()()2g x f x =-是奇函数，可得()f x 的图像关于()2,0-中心对称，再由已知可得函数()f x 的三个零点为-4，-2，0，画出()f x 的大致形状，数形结合得出答案. 【详解】由()()2g x f x =-是把函数()f x 向右平移2个单位得到的，且()()200g g ==，()()()4220f g g -=-=-=，()()200f g -==，画出()f x 的大致形状结合函数的图像可知，当4x ≤-或2x ≥-时，()0xf x ≤，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数性质的应用，作出函数简图，考查了学生数形结合的能力，属于中档题.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ． 故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】由题意根据函数在区间上为增函数及分段函数的特征可求得的取值范围【详解】∵函数在上单调递增∴函数在区间上为增函数∴解得∴实数的取值范围是故答案为【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根 解析：(0,3]【解析】 【分析】由题意根据函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数及分段函数的特征，可求得m 的取值范围． 【详解】∵函数(),021,01x x f x x mx m ≥⎧+=⎨<+-⎩在(),-∞+∞上单调递增，∴函数1y mx m =+-在区间(),0-∞上为增函数， ∴01212m m >⎧⎨-≤+=⎩，解得03m <≤， ∴实数m 的取值范围是(0,3]． 故答案为(0,3]． 【点睛】解答此类问题时要注意两点：一是根据函数()f x 在(),-∞+∞上单调递增得到在定义域的每一个区间上函数都要递增；二是要注意在分界点处的函数值的大小，这一点容易忽视，属于中档题．14．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．15．-1【解析】由题意可得：结合集合元素的互异性则：由可得：或当时故当时故综上可得：解析：-1 【解析】由题意可得：21,1b a == ，结合集合元素的互异性，则：1b =- ， 由21c b ==- 可得：c i = 或c i =- ， 当c i = 时，bc i S =-∈ ，故d i =- ， 当c i =- 时，bc i S =∈ ，故d i = ， 综上可得：1b c d ++=- .16．【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为：【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析：2(0)x x ≥【解析】 【分析】根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式，利用反函数的求法，即可求解． 【详解】因为点(4,2)在幂函数()()f x x R αα=∈的图象上，所以24α=，解得12α=， 所以幂函数的解析式为12y x =， 则2x y =，所以原函数的反函数为12()(0)f x x x -=≥．故答案为：12()(0)f x x x -=≥【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式的求法，以及反函数的求法，其中熟记反函数的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．17．【解析】函数是奇函数可得即即解得故答案为解析：12【解析】 函数()141x f x a =+-是奇函数，可得()()f x f x -=-，即114141x x a a -+=----，即41214141x x x a =-=--，解得12a =，故答案为12 18．【解析】【分析】作出函数的图象如下图所示得出函数的值域由图象可得m 的取值范围【详解】作出函数的图象如下图所示函数的值域为由图象可得要使函数的图像与函数的图像有公共点则m 的取值范围是故答案为：【点睛】 解析：[)()0,11,2⋃【解析】 【分析】作出函数()f x 的图象如下图所示，得出函数()f x 的值域，由图象可得m 的取值范围. 【详解】作出函数()f x 的图象如下图所示，函数()f x 的值域为[)()0,11,2⋃，由图象可得要使函数y m =的图像与函数()y f x =的图像有公共点，则m 的取值范围是[)()0,11,2⋃， 故答案为：[)()0,11,2⋃.【点睛】本题考查两函数图象交点问题，关键在于作出分段函数的图象，运用数形结合的思想求得范围，在作图象时，注意是开区间还是闭区间，属于基础题.19．01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB 然后求解A×B 即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得：A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A ∪B=x|x≥0A ∩B= 解析：【解析】 【分析】分别确定集合A ,B ，然后求解即可.【详解】 求解函数的定义域可得：,求解函数的值域可得，则，结合新定义的运算可知：，表示为区间形式即.【点睛】本题主要考查集合的表示及其应用，新定义知识的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题解析：5 【解析】 【分析】由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】cos x πππ-≤≤Q ,()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有3,22ππ，cos 1x =-的解有π， cos 1x =的解有0,2π,故共有30,,,,222ππππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.三、解答题21．(1)1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭;(2)1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由真数大于0列出不等式组求解即可； (2)由312f ⎛⎫=-⎪⎝⎭得出14a =，再利用对数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】(1)要使函数有意义，则12020x x +>⎧⎨->⎩，即122x -<<，故()h x 的定义域为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. (2)∵312f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴log (13)log 41a a +==-， ∴14a =， ∴1144()log (12)log (2)h x x x =+--，∵()0h x <，∴0212x x <-<+，得123x <<， ∴使()0h x <成立的的集合为1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了求对数型函数的定义域以及由对数函数的单调性解不等式，属于中档题. 22．(1)2a =;(2)}{20log 3x x <≤;(3)1,4t ⎛⎫∈-∞-⎪⎝⎭【解析】 【分析】(1)由奇函数的性质得出a 的值；(2)结合()f x 的解析式可将()4f x ≥化为32021xx -≥-，解不等式即可得出答案；(3)利用函数()f x 在(1,3]x ∈上的单调性以及奇偶性将()2(1)0f tx f x +->化为21tx x <-，分离参数t 结合二次函数的性质得出实数t 的取值范围.【详解】(1)根据题意，函数222222()()211212x x x x x xa a a f x f x --⋅++⋅⋅+-===-=---∴2a =.(2)222()421x xf x ⋅+=≥-，即21221x x +≥-，即2132202121x x x x +--=≥-- 即()()32210210x xx ⎧--≥⎪⎨-≠⎪⎩，解得：132x <≤，得20log 3x <≤.(3)22222244()2212121x x x x xf x ⋅+⋅-+===+--- 故()f x 在(1,3]x ∈上为减函数2()(1)0f tx f x +->，即2()(1)(1)f tx f x f x >--=-即21tx x <-，221111124t x x x ⎛⎫<-=-- ⎪⎝⎭又(1,3]x ∈，11,13x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故14t <-综上1,4t ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了由函数的奇偶性求解析式以及利用单调性解不等式，属于中档题.23．（1）1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩【解析】 【分析】(1)令4log m x =,则可利用换元法将题转化为二次函数值域问题求解; (2)根据二次函数的性质,分类讨论即可. 【详解】(1)令4log m x =,则[]2,4x ∈时,1,12m ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,则()()22131()222312248f x h m m m m m m ⎛⎫⎛⎫==--=-+=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 故当34m =时,()f x 有最小值为18-,当12m =或1时,()f x 有最大值为0, ∴该函数的值域为1,08⎡⎤-⎢⎥⎣⎦;(2)由(1)可知()2231()231248f x h m m m m ⎛⎫==-+=-- ⎪⎝⎭, []2,x t ∈Q ,41,log 2m t ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦,当413log 24t <<,即2t <<,函数()h m 在41,log 2t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减, ()()()4min log g t h m h t ==2442log 3log 1t t =-+,当43log 4t ≥,即t ≥时, 函数()h m 在13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,在43,log 4t ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增,()()min 3148g t h m h ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,综上所述:()2442log 3log 1,21,8t t t g t t ⎧-+<<⎪=⎨-≥⎪⎩. 【点睛】本题考查对数函数综合应用,需结合二次函数相关性质答题,属于中档题. 24．（1）(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞（2）1m = 【解析】 【分析】（1）根据二次函数单调性，使对称轴不在区间()1,1-上即可；（2）由题意，分类讨论，当()13f =时和当()23f =时分别求m 值，再回代检验是否为最大值. 【详解】解：（1）对于函数()f x ，开口向上，对称轴2m x =， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递增时，12m≤-，解得2m ≤-， 当()f x 在[]1,1x ∈-上单调递减时，12m≥，解得2m ≥， 综上，(,2][2,)m ∈-∞-⋃+∞．（2）由题意，函数()f x 在1x =或2x =处取得最大值， 当()13f =时，解得1m =-，此时3为最小值，不合题意，舍去； 当()23f =时，解得1m =，此时3为最大值，符合题意． 综上所述，1m =． 【点睛】本题考查（1）二次函数单调性问题，对称轴取值范围（2）二次函数最值问题；考查分类讨论思想，属于中等题型. 25．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（I ）当0m =时，由()20f x -=，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出()2y f x =-的零点的个数.（II ）令2()3()0f x f x -=，解得()0f x =（根据分段函数解析式可知()0f x >，故舍去.）或()3f x =.结合分段函数解析式，求得()3f x =的根，结合分段函数()f x 的分段点，求得m 的取值范围. 【详解】（Ⅰ）当0m =时，2,0,()lg 1,0.x x f x x x ⎧⎪=⎨+>⎪⎩„ 令()20y f x =-=，得()2f x =， 则|lg |12x +=或||22x =. 解|lg |12x +=，得10x =或110， 解||22x =，得1x =-或1x =（舍）.所以当0m =时，函数()2y f x =-的零点为1-，110，10，共3个. （Ⅱ）令2()3()0f x f x -=，得()0f x =或()3f x =.由题易知()0f x >恒成立.所以()3f x =必须有3个实根，即|lg |13x +=和||23x =共有3个根. ①解||23x =，得2log 3x =-或2log 31x =>（舍），故有1个根. ②解|lg |13x +=，得100x =或1100x =， 要使得两根都满足题意，则有1100m <. 又01m <„，所以10100m <„. 所以实数m 的取值范围为10,100⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.26．（1）2（2）{}2log 5x|2<x < 【解析】 【分析】（1）将点(3,3)代入函数计算得到答案.（2）根据函数的单调性和定义域得到1123122x x +<-<-，解得答案. 【详解】（1）()()3log 3123,log 21,2a a f a =-+=∴=∴=∴ ()()2log 12f x x =-+. （2）()()2log 12f x x =-+Q 的定义域为{}|1x x >，并在其定义域内单调递增， ∴()()1123122,123122xx xx f f ++-<-∴<-<-，不等式的解集为{}22<log 5x x <.【点睛】本题考查了函数解析式，利用函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用.。
深圳高级中学高中园2023-2024学年高一上学期期中数学(有答案)
（1）求集合 A ，集合 B ；
（2）求 A B, A B ．
. 18.
已知集合
A
x
x2 x
0 ，集合 B
x a 2 x 2a 1
（1）若 a 1，求 ðR A B ；
（2）若 x A 是 x B 的充分条件，求实数 a 的取值范围． 19 已知 a,b R ，且 a b 2 ，
B. x0 R, x02 x0 1 0
C. x0 R, x02 x0 1 0
D. x0 R, x02 x0 1 0
4. 已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，当 x 0 时， f x x 1 x ，则 f 1 （ ）
A. 1
B. 2
C. 2
D. 0
5. 如果 a,b, c, d R ，则正确的是（ ）
B. 3,5,7,8
C. 5,8
D. 8
2. 函数 g x x 3 的定义域为（ ）
A. {x | x 3}
B. {x | x 3}
C. {x | x 3}
D. {x x 3}
3. 设命题 P : x0 R, x02 x0 1 0 ，则命题 P 的否定为（ ）
A. x0 R, x02 x0 1 0
【答案】（1） f (x) x2 2x 3 ； （2） m 14 .
15
第 （2）求 a 1 2b 的最大值．
20. 已知幂函数 f x x 的图象经过点 P 2,2 .
（1）求 的值；
（2）若函数 g x f x 1 ，
x
①判断 g x 的奇偶性，并证明；
②判断 g x 的单调性，并证明．
21. 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通 车，已知该车每次拖 4 节车厢，一日能来回 16 次， 如果每次拖 7 节车厢，则每日能来回 10 次． （1）若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数解析式； （2）在（1）的条件下，每节车厢能载乘客 110 人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求 出每天最多运营人数．
广东省深圳市盐田高级中学2020~2021学年高一上学期期中数学试题含答案
2020-2021学年第一学期期中考试 盐田高级中学高一数学试卷考试时间：120分钟 满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．设集合{2}S xx =>−∣，{}2340T x x x =+−≤∣，则集合()RS T =（ ）A ．[]4,2−−B ．(],4−∞−C ．(],1−∞D ．[)1,+∞2．不等式250ax x c −+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣，则a ，c 的值为（ ） A ．6a =，1c = B ．6a =−，1c =−C ．1a =，6c =D ．1a =−，6c =−3．设函数21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((3))f f =（ ）A ．15 B ．139C ．23D ．34．下列不等式中，正确的是（ ）A ．44a a +≥B ．224a b ab +≥C2a b+≥ D．223x x+≥5．下列函数中是偶函数的是（ ）A ．4(0)y x x =<B ．|1|y x =+C ．221y x =+ D ．31y x =−6．24x >成立的一个充分非必要条件是（ ）A ．23x >B ．||2x >C ．2x ≥D ．3x >7．若函数()f x =的定义域为R ，则实数m 取值范围是（ ）A ．[0,8)B ．(8,)+∞C ．(0,8)D ．(,0)(8,)−∞+∞8．(31)4,(1)(),(1)a x a x f x x x α−+<⎧=⎨−≥⎩是定义在(,)−∞+∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．11,83⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．11,83⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分． 9．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +”是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“4a <”是“3a <”的必要条件； ④“a b >”是“22a b >”的充分条件． 其中真命题是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④10．设0b a >>，c ∈R ，则不列等式中正确的是（ ）A ．1122a b <B ．11c c a b−>− C ．22a ab b+>+ D ．22ac bc <11．给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）A ．若函数()f x 的定义域为[]0,2，则函数(2)f x 的定义域为[]0,4；B ．函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)(0,)−∞+∞； C ．若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]−∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上是单调增函数；D ．1x ，2x 是()f x 定义域内的任意的两个值，且12x x <，若()()12f x f x >，则()f x 是减函数． 12．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +−=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有()()12120f x f x x x −<−，则称函数()f x 为“理想函数”下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ） A ．()1f x x =+ B ．2()f x x =C ．()f x x =−D ．22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．命题p ：“x ∀∈R ，20x x π−≥”的否定p ⌝是_________．14．已知幂函数()22155m y m m x +=−−在(0,)+∞上为减函数，则实数m =_________．15．已知实数0x >，0y >，且412x y+=，则xy 的最小值为_________． 16．已知函数()f x 是定义在()2,2−上的奇函数且是减函数，若(1)(12)f m f m −+−0≥，则实数m 的取值范围是_________．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（满分10分）已知非空集合{121}P xa x a =+≤≤+∣，{25}Q x x =−≤≤∣．（1）若3a =，求()RP Q ；（2）若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 18．（满分12分）设集合{}2320A x x x =−+=∣，(){}222(1)50B x x a x a =+++−=∣． （1）若{2}A B =，求实数a 的值； （2）若AB A =，求实数a 的取值范围．19．（满分12分）已知定义在R 上的奇函数()f x ，当0x <时，2()21f x x x =++．（1）求函数()f x 的表达式； （2）请画出函数()f x 的图象； （3）写出函数()f x 的单调区间． 20．（满分12分）已知函数2()1ax bf x x +=+是定义在()1,1−上的奇函数，且1225f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （1）求函数()f x 的解析式；（2）判断函数()f x 的单调性，并用定义证明． 21．（满分12分）近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,040()1007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+−≥⎪⎩．由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ 22．（满分12分）若函数()f x 对于其定义域内的某一数0x ，有()00f x x =，则称0x 是()f x 的一个不动点．已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++−≠．（1）当1a =，2b =−时，求函数()f x 的不动点；（2）若对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个不动点，求a 的取值范围；（3）在（2）的条件下，若()y f x =图象上两个点A 、B 的横坐标是函数()f x 的不动点，且A 、B的中点C 在函数2()541ag x x a a =−+−+的图象上，求b 的最小值． 参考公式：()11,A x y ，()22,B x y 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭2020-2021学年第一学期期中考试 盐田高级中学高一数学试卷逐题解析与评分标准1-8CABDC DAB 9．BC 10．ABC 11．ABC 12．CD13．0x ∃∈R ，2000x x π−< 14．1− 15．4 16．30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．解析：∵{}2340{41}T xx x x x =+−≤=−≤≤∣∣，{2}S x x =>−∣， 则{2}RS x x =≤−∣，()(,1]R S T =−∞．故选：C ．2．解析：不等式250ax x c −+<的解集为1132x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣， 故不等式对应方程的系数满足：115321132ac a⎧+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，解得6a =，1c =． 故选：A ．3．解析：因为21,1()2,1x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，所以2(3)3f =，所以22213((3))1339f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．故选：B ．4．解析：0a <，则44a a+≥不成立，故A 错； 1a =，1b =，224a b ab +<，故B 错， 4a =，16b =2a b+<，故C 错；由基本不等式得223x x +≥=可知D 项正确． 故选：D ．5．解析：A 选项：因为0x <，所以定义域不关于原点对称，所以函数是非奇非偶函数，故A 选项错误；B 选项：因为|1|y x =+，所以函数图象关于1x =−对称，不关于y 轴对称， 所以函数是非奇非偶函数，故B 选项错误；C 选项：因为221y x =+，所以函数定义域为R 关于原点对称， 且2222()()()11f x f x x x −===−++， 所以函数是偶函数，故C 选项正确；D 选项：因为31y x =−，所以()3()131()f x x x f x −=−−=−−≠， 所以函数不是偶函数，故D 选项错误． 故选：C ．6．解析：由24x >解得2x >或2x <−，所以24x >成立的一个充分非必要条件是(2)(2,)−∞−+∞的真子集，因为(3,)(2)(2,)+∞−∞−⋃+∞，所以24x >成立的一个充分非必要条件是3x >， 故选：D7．解析：∵函数()f x 的定义域为R ；∴不等式220mx mx +>−的解集为R ；①0m =时，20>恒成立，满足题意； ②0m ≠时，则280m m m >⎧⎨∆=−<⎩；解得08m <<； 综上得，实数m 的取值范围是[)0,8． 故选：A ．8．解析：因为(31)4,(1)(),(1)a x a x f x x x α−+<⎧=⎨−≥⎩是定义在(,)−∞+∞上是减函数，所以3100314a a a a a−<⎧⎪−<⎨⎪−≤−+⎩，求得1183a ≤<，故选：B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分． 9．解析：①由“a b =”可得ac bc =，但当ac bc =时，不能得到a b=，故“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①错误；②因为5是有理数，所以当5a +是无理数时，a 必为无理数，反之也成立，故②正确； ③当4a <时，不能推出3a <；当3a <时，有4a <成立， 故“4a <”是“3a <”的必要不充分条件，故③正确． ④取1a =，2b =−，此时22a b <，故④错误； 故答案为：BC ．10．解析：因为12y x =在(0,)+∞上是增函数，所以1122a b <，故A 正确；因为1y c x =−在(0,)+∞上是减函数，所以11c c a b−>−，故B 正确；因为22()02(2)a ab a b b b b +−−=>++，所以22a ab b +>+，故C 正确；当0c =时，22ac bc <不成立，所以D 不成立． 故答案为：ABC ．11．解析：对于A ，若函数()f x 的定义域为[0,2]，则函数(2)f x 的定义域为[0,1]，故A 错误；对于B ，函数1()f x x=的单调递减区间是(,0)−∞和(0,)+∞，故B 错误； 对于C ，若定义在R 上的函数()f x 在区间(,0]−∞上是单调增函数，在区间(0,)+∞上也是单调增函数，则()f x 在R 上不一定为单调增函数，故C 错误； 对于D ，为单调性的定义，正确． 故答案为：ABC ．12．解析：对于①对于定义域内的任意x ，恒有()()0f x f x +−=，即()()f x f x −=−，所以()f x 是奇函数； 对于②对于定义域内的任意1x ，2x ，当12x x ≠时， 恒有()()12120f x f x x x −<−，不妨设12x x <，()()()()()121212120f x f x f x f x x x x x −−=−>−，()()120f x f x −>，()()12f x f x >，所以()f x 在定义域内是减函数；对于A ：()1f x x =+，在R 上是增函数，所以不是“理想函数”； 对于 B ：2()f x x =偶函数，所以不是“理想函数”；对于C ：()f x x =−是奇函数，并且在R 上是减函数，所以是“理想函数”；对于D ：22,0()||,0x x f x x x x x ⎧−≥==−⎨<⎩，()||()f x x x f x −==−，所以22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩是奇函数；根据二次函数的单调性，()f x 在(,0)−∞，(0,)+∞都是减函数，且在0x =处连续，所以22,0(),0x x f x x x ⎧−≥=⎨<⎩在R 上是减函数，所以是“理想函数”． 故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．解析：命题为全称命题，则命题的否定为0x ∃∈R ，2000x x π−<，故答案为：0x ∃∈R ，2000x x π−<．14．解析：∵()22155m y m m x +=−−是幂函数，∴2551m m −−=，解得6m =或1m =−，当6m =时，()2211355m y m m x x +=−−=不满足在(0,)+∞上为减函数当1m =−时，()22115?5m y m m x x +−=−−=满足在(0,)+∞上为减函数 故答案为1m =−．15．解析：由题意可得0x >，0y >，412x y =+≥， 整理得：1≥， 解得：4xy ≥(当且仅当41x y=，即4x =且1y =时取等号)， 则xy 的最小值为4． 故答案为：4．16．解析：由题意知2122122m m −<−<⎧⎨−<−<⎩，解得1322m −<<，∵函数()f x 为奇函数，由(1)(12)0f m f m −+−≥， 得(1)(21)f m f m −≥−，∵函数()f x 在()2,2−上是减函数， ∴121m m −≤−，解得0m ≥，∴实数m 的取值范围是30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 故答案为：30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解析：（1）因为P 是非空集合，所以211a a +≥+，即0a ≥．当3a =时，{}47P xx =≤≤∣， R{47}P x x x =<>∣或，{25}Q xx =−≤≤∣， 所以()R{24}P Q x x =−≤<∣．（2）若“x P ∈”是“x Q ∈”的充分不必要条件，即PQ ，即122150a a a +−⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且12a +≥−和215a +≤的等号不能同时取得， 解得02a ≤≤，即实数a 的取值范围为{}02a a ≤≤．18．解析：（1）由2320x x −+=得1x =或2x =，故集合{1,2}A =．因为{2}AB =，所以2B ∈，代入B 中的方程，得24301a a a ++=⇒=−或3a =−．当1a =−时，{}240{2,2}B xx =−==−∣，满足条件； 当3a =时，{}2440{2}B xx x =−+==∣，满足条件． 综上，a 的值为1−或3−．（2）对于集合B ，()224(1)458(3)a a a ∆=+−−=+．因为A B A =，所以B A ⊆．①当0∆<，即3a <−时，B =∅满足条件； ②当0∆=，即3a =−时，{2}B =满足条件；③当0∆>，即3a >−时，{1,2}B A ==才能满足条件，则由根与系数的关系得225122(1)21257a a a a ⎧+=−+=−⎧⎪⇒⎨⎨⨯=−⎩⎪=⎩矛盾，即a 不存在．综上，a 的取值范围是3a ≤−．19．解析：（1）设0x >，则0x −<，所以2()21f x x x −=−+，又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x −=−． 所以2()21(0)f x x x x =−+−>．当0x =时，(0)0f =所以2221,0()0,021,0x x x f x x x x x ⎧++<⎪==⎨⎪−+−>⎩．（2）()f x 的图象如图所示：（3）递增区间是()1,0−，()0,1，递减区间是(,1)−∞−，(1,)+∞．20．解析：（1）由题意可知()()f x f x −=−，所以2211ax b ax bx x−++=−++， 所以0b =，所以2()1ax f x x=+， 因为1225f ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以1a =，所以2()1x f x x =+． （2）()f x 在()1,1−上递增，理由如下：设1211x x −<<<，则：()()()()()()1212122212111x x x x f x f x x x −−−=++，因为1211x x −<<<所以120x x −<，1210x x −>，2110x +>，2210x +>，所以()()()()121222121011x x x x x x −−<++， 所以()()120f x f x −<，即()()12f x f x <， 所以()f x 在()1,1−上是增函数．21．解析：（1）当040x <<时，()22()7001010025010600250W x x x x x x =−+−=−+−；当40x ≥时，1000010000()70070194502509200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=−+−−=−++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以210600250,040()100009200,40x x x W x x x x ⎧−+−<<⎪=⎨⎛⎫−++≥ ⎪⎪⎝⎭⎩． （2）若040x <<，2()10(30)8750W x x =−−+；当30x =时，max ()8750W x =万元； 若40x ≥，10000()920092009000W x x x ⎛⎫=−++≤−= ⎪⎝⎭， 当且仅当10000x x=，即100x =时，max ()9000W x =万元． 所以2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．22．解析：（1）2()3f x x x =−−，由23x x x −−=，解得3x =或1x =−，所以所求的不动点为1−或3． （2）令2(1)1ax b x b x +++−=，则210ax bx b ++−=①由题意，方程①恒有两个不等实根， 所以24(1)0b a b ∆=−−>， 即2440b ab a −+>恒成立， 则216160a a '∆=−<，故01a <<． （3）设()11,A x x ，()2212,B x x x x ≠，2()541ag x x a a =−+−+， 又AB 的中点在该直线上， 所以1212222541x x x x aa a ++=−+−+， ∴122541ax x a a +=−+，而1x 、2x 应是方程①的两个根， 所以12bx x a+=−，即2541b a a a a −=−+， ∴2222115411114521a b a a a a a =−=−=−−+⎛⎫⎛⎫⎛⎫−+−+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当1(0,1)2a =∈时，min 1b =−．中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷满分：150分 考试用时：120分钟一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −> 8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C . 2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>> 二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ． 14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ． 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=， (UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求A B ．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集．19．（本题12分） 已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.21．（本题12分）实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益．中山一中2020-2021学年度高一上学期第一次段考数学科试卷答案满分：150分 考试用时：120分钟第I 卷（选择题）一、单项选择题（本道题共8小题，每道题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知21{}|,M y y x x R =+∈＝，2|{1},N y y x x R =−+∈＝，则M N ＝（ A ）A . {1}B ．{0,1}C . {(0,1)}D . 1 2. 与||y x =为同一函数的是（ B ）A .2y = B．y =C . ,(0),(0)x x y x x >⎧=⎨−<⎩ D . y x =3.设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的（ D ）A . 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 若全集U R ＝，[1,3]A ＝，22{}|0B x x x −≤＝，则()UA B ＝（ D ）A . [1,2]B ． (－∞,0)∪(2,3]C . [0,1)D . (2,3] 5. 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41y+的最小值为（ C ） A . 5 B .143C . 92 D . 26. 设2|1|2,||1()1,||11x x f x x x−−≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩，则1[()]2f f ＝（ C ）A .12 B ． 95− C . 413 D . 2541 7. 设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ C ）A . 0x <B ．0x <或4x >C . |1|1x −>D . |2|3x −>8. 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ D ） A .(0)2a bab a b +≥>> B ．222(0)a b ab a b +≥>> C .2(0)abab a b a b≥>>+ D .22(0)22a b a b a b ++≤>>二、多项选择题（本大题共4小题，每道题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9. 已知x ∈{1，2，x 2}，则有（ BC ）A ．1x =B ．2x =C ．0x =D ．2x = 10. 如果a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列不等式中一定成立的是（ ABD ） A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0 C ．cb 2＜ab 2 D ．ac (a －c )＜0 11. 下列命题中，真命题为（ AC ）A ．空集是任何一个非空集合的真子集B ．∀x ∈R ，4x 2＞2x －1＋3x 2C ．∃x ∈{－2,－1,0,1,2}，|x －2|＜2D ．∀a ，b ∈R ，方程ax ＋b ＝0恰有一解 12. 已知a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，则（ AD ） A ．2212a b +≥B ．4ab a b ≥+ C ．14ab ≥ D ．2a b +≤ 第II 卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数1y x x =−+的定义域为 ．{x |0≤x ≤1}14．函数266y x x =−+，x ∈(－1,5]的值域为 ．{x |－3≤x ≤13}15．已知集合|||2{}A x x =＝，1{}|B x mx =−＝，若B ⊆A ，则m 值的集合为 ．{－12,0,12} 16．不等式22(23)(3)10m m x m x −−−−−<对任意x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围为 ．{x |－15≤m ≤3} 四、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本题10分）已知全集U ＝R ，2{|120}A x x px =++=，2{|50}B x x x q =−+=，(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}．求AB ．【解答】解：∵(UA )∩B ＝{2}，(U B )∩A ＝{4}，∴2∈B ，4∈A ，把x ＝4代入集合A 得，42＋4p ＋12＝0，解得p ＝－7， 把x ＝2代入集合B 得，22－5×2＋q ＝0，解得q ＝6， ∴A ＝2{|120}x x px ++=＝2{|7120}x x x −+=＝{3,4}， B ＝2{|50}x x x q −+=＝2{|560}x x x −+=＝{2,3}， ∴A ∪B ＝{2,3,4}．18.（本题12分）若不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，求不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集． 【解答】解：∵不等式ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为{|34}x x x ≤−≥或，∴03434a b a c a ⎧⎪<⎪⎪−+=−⎨⎪⎪−⨯=⎪⎩，解得：b ＝－a ，c ＝－12a ，或∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0即为－ax 2＋2ax ＋15a ≥0， ∵a ＜0，∴x 2－2x －15≥0，解得：x ≤－3或x ≥5， ∴不等式bx 2＋2ax －c －3b ≥0的解集为{x |x ≤－3或x ≥5}．已知集合A ＝{x |212xx <−}，集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}． （1）求集合A ，B ；（2）若B ⊆A ，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）集合A ＝{x |212xx <−}＝{x |－2＜x ＜2}， 集合B ＝{x |22(21)0x m x m m −+++<}＝{x |m ＜x ＜m ＋1}； （2）∵B ⊆A ， ∴212m m ≥−⎧⎨+≤⎩，解得21m m ≥−⎧⎨≤⎩，∴实数m 的取值范围是{m |－2≤m ≤1}．20．（本题12分）若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求： （1）3x ＋4y 的最小值； （2）求xy 的最小值.【解答】解：（1）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ， ∴1y ＋3x＝5，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )×5×15＝15(3x ＋4y )(1y ＋3x )＝15(13＋3x y＋12y x )≥15(13＋)＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号， ∴3x ＋4y 的最小值为5.（2）∵正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，∴5xy ＝x ＋3y ≥2xy ≥1225， 当且仅当x ＝3y ＝65时取等号， ∴xy 的最小值1225.实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0. 若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题，求实数c 的取值范围.【解答】解：∵实数a ，b 满足a 2＋b 2＋2a －4b ＋5＝0， ∴(a ＋1)2＋(b －2)2＝0，得a ＝－1，b ＝2， ∵不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为一切实数为真命题， ∴－x 2＋2x ＋c ＜0对一切实数恒成立， 等价于x 2－2x －c ＞0对一切实数恒成立， ∴△＝(－2)2＋4c ＜0，解得c ＜－1， ∴实数c 的取值范围为{c |c ＜－1}.22．（本题12分）某个体户计划经销A 、B 两种商品，据调查统计，当投资额为x （x ≥0）万元时，经销A 、B 商品中所获得的收益分别为f （x ）万元与g （x ）万元．其中f （x ）＝x ＋1；g （x ）＝2101(03)1912(35x x x x x x +⎧≤≤⎪+⎨⎪−+−<≤⎩）．如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其最大收益． 【考点】分段函数的应用． 【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件，表示为分段函数形式，利用基本不等式或者一元二次函数的最值，进行求解即可 【解答】解：设投入B 商品的资金为x 万元（0≤x ≤5），则投入A 商品的资金为5﹣x 万元，设收入为S （x ）万元，①当0≤x ≤3时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝1011x x ++， 则S （x ）＝6﹣x ＋1011x x ++＝17﹣[（x ＋1）＋91x +]≤17﹣＝17﹣6＝11，当且仅当x ＋1＝91x +，解得x ＝2时，取等号． ②当3＜x ≤5时，f （5﹣x ）＝6﹣x ，g （x ）＝﹣x 2＋9x ﹣12， 则S （x ）＝6﹣x ﹣x 2＋9x ﹣12＝﹣（x ﹣4）2＋10≤10，此时x ＝4．∵10＜11，∴最大收益为11万元，答：投入A商品的资金为3万元，投入B商品的资金为2万元，此时收益最大，为11万元．【点评】本题主要考查函数的应用问题，利用分段函数，分别求解，利用基本不等式和一元二次函数的最值是解决本题的关键．。
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析
广东省深圳市高级中学2020-2021学年高一数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A.1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C2. 已知扇形的周长是6cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（）Ａ．1 Ｂ．1或4 Ｃ．4 Ｄ．2或4参考答案：B3. 等差数列中，，那么的值是（）（A） 12 （B） 24 （C） 16 （D） 48参考答案：B略4. 若集合A={0,1,2,4}，B={1,2,3}，则A∩B=（）A. {0,1,2,3,4}B. {0,4}C. {1,2}D. {3}参考答案：C【详解】因为，所以选C.考点：本小题主要考查集合的基本运算，属容易题，熟练集合的基础知识是解答好集合题目的关键.5. 如图所示，在△ABC，已知，角C的平分线CD把三角形面积分为3:2两部分，则cos A等于（）A. B. C. D. 0参考答案：C【分析】由两个三角形的面积比，得到边，利用正弦定理求得的值. 【详解】角的平分线，，设，，设，在中，利用正弦定理，解得：.【点睛】本题考查三角形面积公式、正弦定理在平面几何中的综合应用.6. 已知集合，，则A∩B=（）A. B. C. D.参考答案：D，7. 定义在R上的偶函数满足，且在[-1，0]上单调递增，设，，，则大小关系是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 已知向量，，，则的取值范围是() A．[0，]B．[0，] C．[，] D．[，]参考答案：C略9. 平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），若∥，则x等于( )A．4B．﹣4C．﹣1D．2参考答案：A考点：平面向量的坐标运算；平行向量与共线向量．专题：计算题；平面向量及应用．分析：根据两向量平行的坐标表示，列出方程组，求出x的值即可．解答：解：∵平面向量=（1，﹣2），=（﹣2，x），且∥，∴1?x﹣（﹣2）?（﹣2）=0，解得x=4．故选：A．点评：本题考查了平面向量平行的坐标表示及其应用问题，是基础题目．10. 从某鱼池中捕得120条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后，再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有鱼的条数为A. 1000B. 1200C. 130D.1300参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数在和上均为单减，记，则M的取值范围是.参考答案：设，∵在和上均为单减，，，，M ，，在上递减，，，的取值范围是，故答案为.12. 设全集,则________________。
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年广东省深圳市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共36.0分） 1.已知集合A ={x|(x −1)2<3x +7,x ∈R}，B ={x|xx+1≤0}，则A ∩B =( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−1,0]D. [−1,0)2.已知函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，则f(f(−1)=( )A. −2B. 0C. 1D. −13.设角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12，则y 等于( )A. 2B. −2C. 12D. −124.已知偶函数f(x)在区间［0，+∞)单调增加，则满足f(2x −1)<f()的x 取值范围是( )A. ()B. ［)C. ()D. ［)5. 若变量满足约束条件的最大值和最小值分别为M 和m ，则M −m =A. 8B. 7C. 6D. 56.8.下列命题为真命题的是A. 已知，则“”是“”的充分不必要条件B. 已知数列为等比数列，则“”是“”的既不充分也不必要条件C. 已知两个平面，，若两条异面直线满足且//， //，则// D.，使成立7.已知函数f(x)=2|cosx|sinx +sin2x ，给出下列四个命题：①函数f(x)的图象关于直线x =π4对称； ②函数f(x)在区间[−π4,π4]上单调递增； ③函数f(x)的最小正周期为π；④函数f(x)的值域为[−2,2].其中真命题的个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个8.若一个函数y =f(x)的图象关于y 轴对称，则称这个函数为偶函数，设偶函数y =f(x)的定义域为[−5,5]，若当x ∈[0,5]时，函数y =f(x)的图象如下图，则f(x)<0解集是( )A. (−2,0)∪(2,5]B. (−5,−2)∪(2,5)C. [−2,0]∪(2，5]D. [−5,−2)∪(2,5]9.sin(−1080°)=( )A. −12B. 1C. 0D. −110. 函数f(x)=(12)x −15x 的零点位于区间( )A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数公理或定理都能通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC =a ，BC =b ，其中a >b >0，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a+b 2>√abB. a 2+b 2>2abC. 2aba+b <√abD. a+b 2<√a2+b 2212. 下列函数中，既是偶函数又在(0,+∞)上单调递增的函数是( )A. y =x 3B. y =−|x|C. y =−x 2+1D. y =2|x|二、单空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 不等式组{sinx ≥02cosx −1>0的解集为______ ．14. 已知tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=______． 15. 下列命题正确的是______ (写序号)①命题“∃x 0∈R ，x 02+1>3x 0”的否定是“∀x ∈R ，x 2+1≤3x ”： ②函数f(x)=cos 2ax −sin 2ax 的最小正周期为“π”是“a =1”的必要不充分条件； ③x 2+2x ≥ax 在x ∈[1,2]上恒成立⇔(x 2+2x)min ≥(ax)max 在x ∈[1,2]上恒成立； ④在△ABC 中，“A >B ”是“sinA >sinB ”的充要条件．16. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f(x)=2x 2−x +1，则当x >0，f(x)= ______ ． 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ (Ⅰ)求θ的取值范围；(Ⅱ)求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−cos(2θ+π6)的最大值及取得最大值时的θ值．18. (Ⅰ)设U =R ，A ={x|−2≤x <4}，B ={x|8−2x ≥3x −7}，求(∁U A)∩(∁U B)． (Ⅱ)已知集合A ={x|3x −4≤0}，B ={x|x −m <0}，且A ∩B =B ，求m 的取值范围．19. 已知函数f(x)=sin(ωx −π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π． (Ⅰ)求ω的值；(Ⅱ)求f(x)在区间[0,7π12]上的最大值和最小值．20. 已知函数f(x)=x 2+1x ．(1)判断f(x)的奇偶性并证明；(2)当x ∈(1,+∞)时，判断f(x)的单调性并证明；(3)在(2)的条件下，若实数m 满足f(3m)>f(5−2m)，求m 的取值范围．21. 在锐角△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c 且bcosC =√2acosB −ccosB ， (1)求角B 大小(2)设A =θ，求函数f(θ)=2sin 2(π4+θ)−√3cos2θ−2的值域．22. 已知函数f(x)=ax 2+bx −ln x(a,b ∈R)．(1)当a =8，b =−6时，求f(x)的零点的个数；(2)设a >0，且x =1是f(x)的极小值点，试比较ln a 与−2b 的大小．参考答案及解析1.答案：C解析：解：由A 中不等式变形得：x 2−5x −6<0，即(x −6)(x +1)<0， 解得：−1<x <6，即A =(−1,6)，由B 中不等式变形得：x(x +1)≤0，且x +1≠0， 解得：−1<x ≤0，即B =(−1,0]， 则A ∩B =(−1,0]． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，求出B 中不等式的解集确定出B ，求出两集合的交集即可． 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)={lgx,x >0x +11,x ≤0，∴f(−1)=−1+11=10， f(f(−1)=f(10)=lg10=1． 故选：C ．推导出f(−1)=−1+11=10，从而f(f(−1)=f(10)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：解：∵角α的终边经过点P(−1,y)，且tanα=12， ∴y−1=12， ∴y =−12， 故选：D ．由题设条件，根据三角函数终边上一点的定义即可求得正切．本题考查任意角三角函数的定义，求解的关键是熟练掌握定义中知道了终边上一点的坐标，求正切值的规律．4.答案：A解析：由题意需满足|2x−1|<，解得，故选A．5.答案：C解析：解：化目标函数z=2x+y为y=−2x+z，由图可知，当直线y=−2x+z过A(−1,−1)时目标函数有最小值为m=−3，当直线y=−2x+z过B(2,−1)时目标函数有最大值为M=2×2−1=3.∴M−m=6．故选：C．6.答案：C解析：故答案为C．7.答案：C解析：解：对于①，函数f(x)=2|cosx|sinx+sin2x，由于f(−π4)=−2，f(3π4)=0，∴f(−π4)≠f(3π4)，故f(x)的图象不关于直线x=π4对称，故①错误．对于②，区间[−π4,π4]上，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sin2x单调递增，故②正确．对于③，函数f(π3)=√3，f(4π3)=0，∴f(π3)≠f(4π3)，故函数f(x)的最小正周期不是π，故③错误．对于④，当cosx≥0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=2sinxcosx+sin2x=2sin2x，故它的最大值为2，最小值为−2；当cosx<0时，f(x)=2|cosx|sinx+sin2x=−2sinxcosx+sin2x=0，综合可得，函数f(x)的最大值为2，最小值为−2，故④正确．故选：C．利用三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．本题主要考查三角函数的周期性、单调性、值域以及它的图象的对称性，属于中档题．8.答案：D解析：解：∵函数y=f(x)的图象关于y轴对称，当x∈[0,5]时，若函数y=f(x)<0，则x∈(2,5]，故当x∈[−5,0]时，若函数y=f(x)<0，则x∈[−5,−2)，综上f(x)<0的解集是[−5,−2)∪(2,5]，故选：D由当x∈[0,5]时，函数y=f(x)的图象，先求出当x∈[0,5]时，f(x)<0的解集，再根据函数图象的对称性，求出当x∈[−5,0]时，f(x)<0的解集，综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是奇偶函数图象的对称性，难度不大，属于基础题．9.答案：C解析：本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．利用诱导公式即可求解．解：sin(−1080°)=−sin(3×360°+0°)=0．故选：C．10.答案：B解析：本题考查函数零点存在性定理的运用，属于基础题．由f(1)⋅f(2)<0结合零点存在性定理即可得解．解：函数f(x)在R上为减函数，其图象为一条不间断的曲线，又f(1)=12−15=310>0,f(2)=14−25=−320<0，∴f(1)⋅f(2)<0，由零点存在性定理可知，函数f(x)的零点位于区间(1,2)．故选：B．11.答案：D解析：解：由图形可知，OF=a+b2，OC=AC−OA=a−a+b2=a−b2，(a>b>0)，所以CF=√OF2+OC2=√(a+b2)2−(a−b2)2=√a2+b22，Rt△ACF中，由OF<CF可得，a+b2<√a2+b22．故选：D．计算出CF，OF，由OF<CF即可求解．本题主要考查利用几何关系得出不等式，考查推理能力，属于基础题．12.答案：D解析：解：对于A，函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，是奇函数，不满足条件；对于B，函数y=−|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于C，函数y=−x2+1是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减，不满足条件；对于D，函数y=2|x|是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增，满足条件．故选：D．根据基本初等函数的单调性奇偶性，分析选项中四个函数在(0,+∞)上的单调性和奇偶性，即可得出答案．本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，熟练掌握常见的基本初等函数的性质是解题的关键．13.答案：{x|2kπ≤x ≤2kπ+π3,k ∈Z}解析：解：因为{sinx ≥02cosx −1>0，可得{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合， 如图所示， 由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集恰好为图中阴影重叠的部分，故原不等式的解集为{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.故答案为：{x|2kπ≤x <2kπ+π3,k ∈Z}.原不等式组可化为{sinx ≥0cosx >12，在单位圆中分别表示出满足以上不等式的角的集合，由三角函数线，可得{2kπ≤x ≤2kπ+π, k ∈Z,2kπ−π3<x <2kπ+π3,k ∈Z,解集为图中阴影重叠的部分，即可得解原不等式的解集．本题主要考查了不等式组的解法，考查了正弦函数，余弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想，属于基础题．14.答案：−3解析：解：tanα=2，则cos2α(sinα−cosα)2=cos 2α−sin 2αsin 2α+cos 2α −2sinαcosα=1−tan 2αtan 2α+1 −2tanα=1−44+1−4=−3． 故答案为：−3．利用二倍角的余弦函数化简所求表达式，弦切互化，得到正切函数的形式，求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力．15.答案：①②④解析：解：对于①：先将量词变为∀x ∈R ，结论x 02+1>3x 0变成x 2+1≤3x ，可见①为真命题；对于②：f(x)=cos2ax，其最小正周期的计算方法是2π|ω|，故本题最小正周期为π时，a=±1，此时不一定有a=1成立，而反之，a=1必有a=≠±1成立，故前者是后者的必要而不充分条件，故②为真命题．对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立⇔x2+2x−ax≥0在[1,2]上恒成立，所以③为假命题；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB=2R，∵sinA>sinB，∴a>b，∴A>B．反之，∵A>B，∴a>b，∵a=2RsinA，b=2RsinB，∴sinA>sinB，故④是真命题．故答案为：①②④．对于①：根据特称命题的否定方法判断；对于②：先将f(x)=cos2ax−sin2ax化成：f(x)=cos2ax，再结合周期计算公式进行判断；对于③：x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立，前后是同一个变量，因此应作差后，再将差函数的最值求出来即可；对于④：由正弦定理知asinA =bsinB，由sinA>sinB，知a>b，所以A>B，反之亦然，故可得结论．本题中的②是容易出错的，学生往往记成T=2πω，而忽视了绝对值，对于第四个，属于常考的易错题，需引起重视．16.答案：−2x2−x−1解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，x<0时，f(x)=2x2−x+1，∴x>0时，−x<0；∴f(−x)=2(−x)2−(−x)+1=2x2+x+1，又f(−x)=−f(x)，∴f(x)=−f(−x)=−(2x2+x+1)=−2x2−x−1；故答案为：−2x2−x−1由x<0时f(x)的解析式，结合函数的奇偶性求出x>0时f(x)的解析式．本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，难度不大，属于基础题．17.答案：解：(Ⅰ)设△ABC中角A、B、C的对边分别为a、b、c，∵△ABC 的面积为1，且满足0<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ≤2，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ， ∴12bcsinθ=1，即bc =2sinθ，0<bccosθ≤2， ∴0<2tanθ≤2，即tanθ≥1，∵θ∈(0,π)，∴θ∈[π4,π2)；(Ⅱ)f(θ)=[1−cos(π2+2θ)]−[√32cos2θ−12sin2θ] =1+sin2θ−√32cos2θ+12sin2θ=√3sin(2θ−π6)+1， ∵θ∈[π4,π2)，2θ−π6∈[π3,5π6) ∴当θ=π3时，f(θ)max =√3+1．解析：(Ⅰ)设△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ，利用三角形的面积公式表示出面积，令面积为1列出关系式12bcsinθ=1，表示出bc ，且得到bccosθ的范围，将表示出的bc 代入求出的范围中，利用同角三角函数间的基本关系化简，整理后求出tanθ的范围，由θ∈(0,π)，利用正切函数的图象与性质即可求出θ的范围；(Ⅱ)将函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理后，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由第一问求出的θ的范围，求出这个角的范围，利用正弦函数的定义域与值域即可求出函数的最大值及取得最大值时的θ值． 此题考查了三角函数的恒等变换及化简求值，以及平面向量的数量积运算，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，正切函数的图象与性质，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键． 18.答案：解：(Ⅰ)B ={x|8−2x ≥3x −7}={x|x ≤3}，则∁U B ={x|x >3}．∵A ={x|−2≤x <4}，∴∁U A ={x|x <−2或x ≥4}．∴(∁U A)∩(∁U B)={x|x ≥4}；(Ⅱ)A ={x|x ≤43},B ={x|x <m}，∵A ∩B =B ，∴B ⊆A ，∴m ≤43．解析：(Ⅰ)求解一次不等式化简集合B，然后分别求出∁U A和∁U B，取交集得答案；(Ⅱ)分别求解一元一次不等式化简两集合，由A∩B=B得B⊆A，再结合两集合端点值间的关系得答案．本题考查交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系的判断与运用，是基础题．19.答案：解：(Ⅰ)∵函数f(x)=sin(ωx−π3)(ω>0)图象中相邻两个最高点的距离是π，∴T=2πω=2，即ω=2，(Ⅱ)∵0≤x7π12，∴−π3≤2x−π3≤5π6，当2x−π3=−π3，即x=0时，f(x)有最小值−√32，当2x−π3=π2，即x=5π12时，f(x)有最小值1．解析：(Ⅰ)根据图象中相邻两个最高点的距离是π，利用T=2πω=2；即可求出(Ⅱ)根据三角函数的单调性即可求出函数的最值．本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．20.答案：证明：(1)f(x)=x2+1x为奇函数，利用如下：f(−x)=(−x)2+1−x =−1+x2x=−f(x)，故f(x)为奇函数，(2)x∈(1,+∞)时，f(x)的单调性递增，利用如下：设1<x1<x2，f(x)=x+1x，则f(x1)−f(x2)=x1+1x1−x2−1x2=(x1−x2)+x2−x1x1x2，=(x1−x2)(1−1x1x2)<0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1,+∞)上单调递增，(3)解：由f(3m)>f(5−2m)可得3m>5−2m>1，解得，1<m<2．故m的范围(1,2)解析：(1)检验f(−x)与f(x)的关系即可判断，(2)先设1<x1<x2，然后利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．本题主要考查了函数单调性及奇偶性的判断及利用单调性及奇偶性求解不等式，属于中档试题．21.答案：解：(1)∵bcosC=√2acosB−ccosB，∴由正弦定理得，sinBcosC=√2sinAcosB−sinCcosB，则sin(B+C)=√2sinAcosB，又sin(B+C)=sinA≠0，∴cosB=√22，由0<B<π得，B=π4；(2)由(1)得，C=π−A−B=3π4−θ，∵△ABC是锐角三角形，∴{0<3π4−θ<π20<θ<π2，解得π4<θ<π2，∵f(θ)=2sin2(π4+θ)−√3cos2θ−2=1−cos(π2+2θ)−√3cos2θ−2=sin2θ−√3cos2θ−1=2sin(2θ−π3)−1，由π4<θ<π2得，π6<2θ−π3<2π3，∴12<sin(2θ−π3)≤1，则0<2sin(2θ−π3)−1≤1，即函数f(x)的值域是(0,1]．解析：(1)由正弦定理化简已知的式子，由两角和的正弦公式、诱导公式化简后求出cosB的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；(2)由(1)和内角和定理求出C，根据△ABC是锐角三角形列出不等式求出θ的范围，由二倍角公式及变形、两角差的正弦公式化简后，由正弦函数的性质求出函数的值域．本题考查了正弦定理，两角和(差)的正弦公式、诱导公式，三角形的面积公式，以及正弦函数的性质的综合应用，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)∵a=8，b=−6，∴f ′(x)=(2x −1)(8x +1)x (x >0) 当0<x <12时，f′(x)<0，当x >12时，f′(x)>0，故f(x)在(0,12)递减，在(12,+∞)递增，故f(x)的极小值是f(12)，又∵f(12)=−1+ln2<0，∴f(x)有两个零点；(Ⅱ)依题有f′(1)=0，∴2a +b =1即b =1−2a ，∴lna −(−2b)=lna +2−4a ，令g(a)=lna +2−4a ，(a >0)则g′(a)=1a −4=1−4a a ， 当0<a <14时，g′(a)>0，g(a)单调递增；当a >14时，g′(a)<0，g(a)单调递减．因此g(a)<g(14)=1−ln4<0，故lna <−2b ．解析：(Ⅰ)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到函数的极小值小于0，从而判断出函数的零点个数；(Ⅱ)求出b =1−2a ，作差lna −(−2b)=lna +2−4a ，根据函数的单调性求出g(a)的最大值，从而判断出lna 和−2b 的大小即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道偏难题．。
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一(上)期末数学试卷(学生版+解析版)
2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−455．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．1167．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P 会按确定的比率衰减（称为衰减率），P 与死亡年数t 之间的函数关系式为P =(12)ta （其中a 为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（ ） 参考数据：log 20.75≈﹣0.4 参考时间轴：A ．宋B ．唐C ．汉D ．战国二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. （多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（ ）A ．若函数f （x ）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f （x ）是增函数B ．y ＝x +1和y =√(1+x)2表示同一函数C ．函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 ．14．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ ．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= ． 16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ ． 四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg 2•lg 50+lg 5•lg 20﹣lg 100•lg 5•lg 2．18．（12分）已知α为第三象限角，且f （α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f （α）；（2）若α=−323π，求f （α）的值． （3）若f （α）=2√65，求cos （π+α）的值．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx −sinx)sinx ，x ∈R ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f （x ）在[0，π4]上的最大值与最小值．20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a的取值范围；（3）若函数h（x）={f(x)，−1＜x＜1k|x|+1，x≤−1或x≥1，讨论函数y＝h（h（x））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）．2021-2022学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．（5分）已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，2）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．[﹣1，2）【解答】解：集合U ＝R ，A ＝{x |x 2﹣2x ＜0}＝{x |0＜x ＜2}， B ＝{x |y ＝lg （x ﹣1）}＝{x |x ＞1}， ∴A ∩B ＝{x |1＜x ＜2}． 故选：C ．2．（5分）若命题“∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0”是假命题，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） B ．（﹣∞，﹣2]C ．[2，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：∵∀x ∈R ，x 2+ax +1≥0是假命题， ∴Δ＝a 2﹣4＞0 ∴a ＞2或a ＜﹣2，∴实数a 的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）， 故选：A ．3．（5分）设条件p ：a ＞0，条件q ：a 2+a ＞0；那么p 就是q 的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由a 2+a ＞0；解得：a ＞0或a ＜﹣1， 故p 是q 的充分不必要条件， 故选：C ．4．（5分）已知函数y ＝a x +4+2（a ＞0，且a ＞1）的图象恒过点P ，若角α的终边经过点P ，则sin α＝（ ） A ．35B ．−35C ．45D ．−45【解答】解：由x +4＝0得x ＝﹣4，此时y ＝a 0+2＝1+2＝3，即定点P （﹣4，3）， 则|OP |＝5，则sin α=35，故选：A ．5．（5分）设a ＝tan92°，b =(1π)2，c ＝log π92，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c ＞a ＞bB ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【解答】解：因为92°是第二象限角， 所以a ＝tan92°＜0，因为指数函数y ＝（1π）x 在R 上为减函数，且0＜2＜3，所以0＜（1π）3＜（1π）2＜（1π）0＝1，所以0＜b ＜l ，因为y ＝log πx 为（0，+∞）上的增函数，π＜92， 所以c ＝log π92＞1， 所以c ＞b ＞a ． 故选：B ．6．（5分）若实数x ，y 满足2x +y ＝1，则x •y 的最大值为（ ） A ．1B ．14C ．18D ．116【解答】解：∵实数x ，y 满足2x +y ＝1， ∴y ＝1﹣2x ，∴xy ＝x （1﹣2x ）＝﹣2x 2+x ＝﹣2（x −14）2+18≤18， 当x =14，y =12时取等号， 故选：C ．7．（5分）函数f （x ）=ln|x−3|(x−3)3的部分图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵g（x）=ln|x|x3为定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴其图象关于原点成中心对称，又f（x）=ln|x−3|(x−3)3=g（x﹣3），∴f（x）的图象关于（3，0）成中心对称，可排除A与B；又当x→3+时，f（x）→﹣∞，当x→+∞时，f（x）→0，故可排除D，故选：C．8．（5分）生物体死亡后，它机体内原有的碳14含量P会按确定的比率衰减（称为衰减率），P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)ta（其中a为常数），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若2021年某遗址文物出土时碳14的残余量约占原始含量的75%，则可推断该文物属于（）参考数据：log20.75≈﹣0.4参考时间轴：A．宋B．唐C．汉D．战国【解答】解：∵每经过5730年衰减为原来的一半，∴P与死亡年数t之间的函数关系式为P=(12)t5730(t＞0)，由题意可得，(12)t5730=0.75，即t5730=−log20.75≈0.4，解得t≈2292，由2021﹣2292＝﹣271，可判断该文物属于战国．故选：D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.（多选）9．（5分）下列四个命题，其中为假命题的是（）A．若函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，则f（x）是增函数B．y＝x+1和y=√(1+x)2表示同一函数C．函数y=log13(−x2−2x+3)的单调递增区间是[1，3）D ．若函数f （x ）＝x 2+4ax +2a 的值域是[0，+∞），则实数a ＝0或12【解答】解：函数y =−1x在（0，+∞）上是增函数，在（﹣∞，0）上也是增函数，但f （x ）在定义域内不是增函数，故A 为假命题；函数y =√(1+x)2=|x +1|，与函数y ＝x +1的解析式不同，不是同一函数，故B 为假命题； 函数y =log 13t 为减函数，而t ＝﹣x 2﹣2x +3在（﹣1，1）上是减函数，∴函数y =log 13(−x 2−2x +3)的单调递增区间是（﹣1，1），故C 为假命题；函数f （x ）＝x 2+4ax +2a ＝（x +2a ）2﹣4a 2+2a 的值域是[0，+∞），可得﹣4a 2+2a ＝0，解得a ＝0或12，故D 为真命题．故选：ABC ．（多选）10．（5分）函数s ＝f （t ）的图像如图所示（图像与t 正半轴无限接近，但永不相交），则下列说法正确的是（ ）A ．函数s ＝f （t ）的定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞）B ．函数s ＝f （t ）的值域为（0，5]C ．当s ∈[2，4]时，有三个不同的t 值与之对应D ．当t 1，t 2∈（0，1）（t 1≠t 2）时，f(t 1)−f(t 2)t 1−t 2＞0【解答】解：由s ＝f （t ）的图象可得定义域为[﹣3，﹣1]∪[0，+∞），故A 正确； 由s ＝f （t ）的图象可得图象在x 轴上方，且最大值为5，则值域为（0，5]，故B 正确； 当s ＝2和s ＝4时，分别有三个或两个不同的t 值与之对应，故C 错误； 当t ∈（0，1）时，s ＝f （t ）为递增函数，故D 正确． 故选：ABD ．（多选）11．（5分）设函数f （x ）＝4sin （2x +1）﹣x ，则在下列区间中函数f （x ）存在零点的是（ ） A ．[﹣4，﹣2]B ．[﹣2，0]C ．[0，2]D ．[2，4]【解答】解：在同一坐标系中画出g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象 如下图示：由图可知g （x ）＝4sin （2x +1）与h （x ）＝x 的图象在区间[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]上有交点，函数f （x ）在[﹣2，0]，[0，2]，[2，4]存在零点， 故选：BCD ．（多选）12．（5分）已知函数f(x)=sin(3x −π4)，则下列说法正确的是（ ） A ．函数f(x −π12)为偶函数 B ．f(π)=−√22C ．若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值为π3D ．函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝﹣cos3x 的图象【解答】解：对于函数f(x)=sin(3x −π4)，由于满足f （x −π12）＝sin （3x −π2）＝﹣cos3x ，故函数f(x −π12)为偶函数，故A 正确； 由于f （π）＝sin （3π−π4）＝sin （π−π4）＝sinπ4=√22，故B 错误； 若|f （x 1）﹣f （x 2）|＝2，则|x 1﹣x 2|的最小值半个周期π3，故C 正确；把函数f （x ）的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin （3x ﹣π）＝﹣sin3x 的图象，故D 错误， 故选：AC ．三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分） 13．（5分）tan300°的值是 −√3 ．【解答】解：tan300°＝tan （360°﹣60°）＝﹣tan60°=−√3． 故答案为：−√314．（5分）若函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x ，(x ≤0)，则f [f （2）]＝ 12．【解答】解：根据题意，函数f(x)={log 12x ，(x ＞0)2x，(x ≤0)，则f （2）=log 122＝﹣1，则f [f （2）]＝f （﹣1）=12；故答案为：12．15．（5分）已知sin(α+π12)=35，则sin(2α−π3)= −725 ． 【解答】解：∵sin(α+π12)=35，∴sin(2α−π3)=sin[2（α+π12）−π2]＝﹣cos2（α+π12） =2sin 2(α+π12)−1=2×(35)2−1=−725． 故答案为：−725．16．（5分）设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x ，x ∈R 取得最大值，则cos θ＝ 3√1010．【解答】解：设当x ＝θ时，函数f （x ）＝3cos x ﹣sin x =√10cos(x +θ)， 当x ＝﹣θ，即cos （﹣θ）＝cos θ=3√10=3√1010时函数取得最大值． 故答案为：3√1010．四、解答题：共70分，其中第17题10分，其余题目每题12分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）计算：（1）(214)12−(−9.6)0−(338)23+0.1−1；（2）lg2•lg50+lg5•lg20﹣lg100•lg5•lg2．【解答】解：（1）原式=(94)12−1−(278)23+(110)−1=32−1−94+10=334；（2）原式＝lg2lg50+lg5lg20﹣2lg5lg2＝（lg2lg50﹣lg5lg2）+（lg5lg20﹣lg5lg2）＝lg2（lg50﹣lg5）+lg5（lg20﹣lg2）＝lg2+lg5＝1．18．（12分）已知α为第三象限角，且f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π) sin(π2+α)tan(2π−α)．（1）化简f（α）；（2）若α=−323π，求f（α）的值．（3）若f（α）=2√65，求cos（π+α）的值．【解答】解：（1）f（α）=sin(3π2−α)cos(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)=(−cosα)⋅(sinα)⋅(−tanα)(cosα)⋅(−tanα)=−sinα；（2）f（α）＝f（−323π）＝﹣sin（−323π）＝sin323π＝sin2π3=√32；（3）∵f（α）＝﹣sinα=2√6 5，∴sinα=−2√6 5，又α为第三象限角，∴cosα=−√1−sin2α=−1−(−2√65)2=−15，∴cos（π+α）＝﹣cosα=1 5．19．（12分）已知函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[0，π4]上的最大值与最小值．【解答】解：函数f(x)=(√3cosx−sinx)sinx =√3sin x cos x﹣sin2x=√32sin2x−1−cos2x2＝sin （2x +π6）−12，x ∈R ； （Ⅰ）f （x ）的最小正周期为T =2π2=π， 令−π2++2kπ≤2x +π6≤π2+2kπ，k ∈Z ， 解得−π3+kπ≤x ≤π6+kπ， 所以函数f （x ）的单调增区间为[kπ−π3，kπ+π6]，k ∈Z ；﹣﹣﹣（6分） （Ⅱ）因为0≤x ≤π4， 所以π6≤2x +π6≤2π3，所以12≤sin(2x +π6)≤1，所以0≤f(x)≤12．当且仅当x ＝0时 f （x ）取最小值f （x ）min ＝f （0）＝0，当且仅当2x +π6=π2，即x =π6时f （x ）取得最大值f(x)max =f(π6)=12．﹣﹣﹣（12分） 20．（12分）第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展（国家展今年首次线上举办），来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专（业）精（品）尖（端）特（色）产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x 千台空调，需另投入资金R 万元，且R ={10x 2+ax ，0＜x ＜40901x 2−9450x+10000x，x ≥40，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金R ＝4000万元．现每台空调售价为0.9万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．（1）求2022年企业年利润W （万元）关于年产量x （千台）的函数关系式； （2）2022年产量为多少（千台）时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？ （注：利润＝销售额﹣成本．）【解答】解：（1）由题意知，当x ＝10时，R （x ）＝10×102+10a ＝4000，所以a ＝300，当0＜x ＜40时，W ＝900x ﹣（10x 2+300x ）﹣260＝﹣10x 2+600x ﹣260，当x ≥40时，W =900x −901x 2−9450x+10000x −260=−x 2+9190x−10000x，所以W ={−10x 2+600x −260，0＜x ＜40−x 2+9190x−10000x，x ≥40．（2）当0＜x ＜40时，W ＝﹣10（x ﹣30）2+8740， 所以当x ＝30时，W 有最大值，最大值为8740， 当x ≥40时，W =−(x +10000x)+9190≤−2√10000+9190=8990， 当且仅当x =10000x，即x ＝100时，W 有最大值，最大值为8990， 因为8740＜8990，所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元．21．（12分）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）+B （A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示．（1）求f （x ）的解析式及对称中心坐标：（2）先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，若当x ∈[−π4，π6]时，关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：{A +B =1−A +B =−3，可得{A =2B =−1，所以f （x ）＝2sin （ωx +φ）﹣1， 因为T2=7π12−π12=π2，所以T =π=2πω，可得ω＝2，所以，f （x ）＝2sin （2x +φ）﹣1．由2×π12+φ=π2+2kπ(k ∈Z)，可得φ=π3+2kπ(k ∈Z)，因为|φ|＜π2，所以k =0，φ=π3，所以f(x)=2sin(2x +π3)−1．令2x +π3=kπ(k ∈Z)，可得x =kπ2−π6(k ∈Z)，所以，对称中心为(kπ2−π6，−1)(k ∈Z)． （2）由于先把f （x ）的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数g （x ）的图象，故g(x)=2sin[2(x +π6)+π3]−1+1=2sin(2x +2π3)． 当x ∈[−π4，π6]时，2x +2π3∈[π6，π]，sin(2x +2π3)∈[0，1]，g(x)∈[0，2]， 若关于x 的方程g （x ）+2a ﹣1＝0有实数根，则1﹣2a ＝g （x ）有实根， 所以，0≤1﹣2a ≤2，可得：−12≤a ≤12． 所以，实数a 的取值范围为[−12，12]． 22．（12分）已知函数f （x ）＝lg1−x x+1．（1）求不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0的解集；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1），若存在x 1，x 2∈[0，1），使得f （x 1）＝g （x 2）成立，求实数a 的取值范围； （3）若函数h （x ）={f(x)，−1＜x ＜1k|x|+1，x ≤−1或x ≥1，讨论函数y ＝h （h （x ））﹣2的零点个数（直接写出答案，不要求写出解题过程）． 【解答】解：（1）函数f （x ）＝lg 1−x x+1，由1−x 1+x＞0，可得﹣1＜x ＜1， f （﹣x ）＝lg1+x 1−x=−f （x ），即f （x ）为奇函数，且0＜x ＜1时，f （x ）＝lg （﹣1+2x+1）递减， 可得f （x ）在（﹣1，1）递减， 且f （x ）的值域为R ，不等式f （f （x ））+f （lg 2）＞0，即为f （f （x ））＞﹣f （lg 2）＝f （﹣lg 2）， 则﹣1＜f （x ）＜﹣lg 2，即﹣1＜lg1−x 1+x＜lg 12，即为0.1＜1−x 1+x ＜12， 解得13＜x ＜911， 则原不等式的解集为（13，911）；（2）函数g （x ）＝2﹣a x （a ＞0，a ≠1）， 若存在x 1，x 2∈[0，1）， 使得f （x 1）＝g （x 2）成立， 当0≤x ＜1，f （x ）＝lg1−x x+1的值域为（﹣∞，0]，当a ＞1时，g （x ）在[0，1）递减，可得g （x ）的值域为（2﹣a ，1]， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域存在交集， 即有2﹣a ＜0，即a ＞2；若0＜a ＜1，则g （x ）在[0，1）递增，可得g （x ）的值域为[1，2﹣a ）， 由题意可得f （x ）和g （x ）的值域不存在交集， 综上可得a 的范围是（2，+∞）； （3）由y ＝h [h （x ）]﹣2 得h [h （x ）]＝2， 令t ＝h （x ）， 则h （t ）＝2， 作出图象， 当k ≤0时， 只有一个﹣1＜t ＜0， 对应1个零点， 当0＜k ≤1时， 1＜k +1≤2， 此时t 1＜﹣1， ﹣1＜t 2＜0，t 3=1k ≥1，由k +1−1k =k 2+k−1k =1k （k +1+√52）（k −√5−12），得在√5−12＜k ≤1，k +1＞1k ，三个t 分别对应一个零点，共3个， 在0＜k ≤√5−12时，k +1≤1k ，三个t 分别对应1个，1个，3个零点，共5个， 综上所述：当k ＞1或k ＝0时，y ＝h [h （x ）]﹣2只有1个零点， 当k ＜0或√5−12＜k ≤1时，y ＝h [h （x ）]﹣2有3个零点， 当0＜k ≤√5−12时，y ＝h [h （x ）]﹣2有5个零点．。
2020-2021学年广东省深圳市高一(上)期中数学试卷(学生版+解析版)
2020-2021学年广东省深圳市高一（上）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：1．（5分）已知全集U＝A∪B＝{x∈N|0≤x≤10}，A∩（∁U B）＝{1，3，5，7}，则集合B ＝（）A．{0，2，4，6，8，10}B．{0，2，4，6，8，9，10}C．{2，4，6，8，9，10}D．{2，4，6，8，10}2．（5分）下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A．y=1x B．y＝﹣x3C．y＝x2D．y＝|x+2|3．（5分）若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式中一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．a2＞b2C．1a ＜1bD．﹣2a＜﹣2b4．（5分）如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是（）A．B．C．D．5．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）是单调函数，且f（x）满足f(−1)=12，则（）A ．f(−12)＜f(2) B ．f(−12)＞f(2)C ．f(−12)=f(2)D ．f(12)=−16．（5分）设函数f(x)={12x −1(x ≥0)1x(x ＜0)，若f （a ）＝a ，则实数a 的值为（ ）A ．±1B ．﹣1C ．﹣2或﹣1D ．±1或﹣27．（5分）已知关于x 的一元二次不等式kx 2﹣x +1＜0的解集为（a ，b ），则2a +b 的最小值是（ ） A ．6B ．5+2√6C ．3+2√2D ．38．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．a+b 2≥√ab （a ＞0，b ＞0）B ．a 2+b 2≥2ab （a ＞0，b ＞0）C ．2ab a+b ≤√ab （a ＞0，b ＞0）D ．a+b 2≤√a 2+b 22（a ＞0，b ＞0）二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题含解析
2024届广东省深圳市高级中学高一数学第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知sin cos 1sin 2cos 2θθθθ+=-，则tan θ的值为（ ）A.-4B.14-C.14D.42．在空间直角坐标系O xyz -中，已知球A 的球心为()1,0,0，且点(B -在球A 的球面上，则球A 的半径为（） A.4 B.5 C.16D.253．铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm ．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为,,a b c （单位：cm ），这个规定用数学关系式表示为（） A.130a b c ++< B.130a b c ++> C.130a b c ++≤D.130a b c ++≥4．在ABC ∆中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于A.6πB.4π C.3π D.23π5． “2,3k k πθπ=+∈Z ”是 “sin 2θ=”的（ ） A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件6．已知0,0x y >> ，且11112x y +=+，则x y +的最小值为 A.3 B.5 C.7D.97．直线l ：mx y 10-+=与圆C ：22x (y 1)5+-=的位置关系是( )A.相切B.相离C.相交D.不确定8．已知定义在R 上的偶函数()f x ，在(,0]-∞上为减函数，且(3)0f =，则不等式(3)()0x f x +<的解集是（） A.(,3)(3,)-∞-⋃+∞ B.(,3)(0,3)-∞-C.(3,0)(0,3)-⋃D.(,3)(3,3)-∞--9．已知函数()cos()0,02f x A x b πωϕωϕ⎛⎫=++>-<<⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()f x 的解析式为（ ）A.()4cos 216f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭B.()4cos 213f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭C.()4cos 233f x x π⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭D.()4cos 236f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭10．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点P （-2，4），则下列不等关系正确的是（ ） A.()()12f f -< B.()()33f f -< C.()()45f f >-D.()()66f f >-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
广东省深圳市高级中学2020_2021学年高一数学上学期期末测试试题PDF202101300312
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 下列选项中，与 sin( 11 ) 的值相等的是（ ）.
6
A． 2sin15 sin 75
B． cos18 cos 42 sin18 sin 42
C． 2cos2 15 1
D．
1
tan 22.5 tan2 22.5
10. 关于函数 f (x) sin 2x cos 2x ，下列命题中为真命题的是( ).
（2）求 的值.
【答案】(1)
sin 4 3 7
, cos 1 7
(2) 3
【详解】
(1)由 0 ，则 sin 0 ， cos 0 2
由 tan 4
3
，即
sin cos
4
3,
即 sin 4
3 cos
由1
sin 2
cos2
49 cos2
，则 cos
1 7
，
所以 sin 4 3 cos 4 3 7
（2） sin(
)
33 14
,
0
2
.
所以 0 ，所以 cos( ) 1 sin2 ( ) 13 ,
2
14
cos cos cos cos sin sin
1 13 4 3 3 3 1 7 14 7 14 2
又 0 ，所以
v
0
1
2
3
Q
0
0.7
1.6
3.3
为描述该超级快艇每小时航行费用 Q 与速度 v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：
Q av3 bv2 cv ， Q 0.5v a ， Q k loga v b ．
（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式； （2）该超级快艇应以多大速度航行才能使 AB 段的航行费用最少？并求出最少航行费用．
广东省深圳中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题
广东省深圳中学2020-2021学年高一上学期期末数学试题一、单选题1．函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数D ．最小正周期为2π的偶函数2．cos17cos43sin17sin223+=（ ）A ．12-B ．C ．12D 3．容量为100的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：第3组的频数和频率分别是（ ）A ．0.14和14 B ．14和0.14C ．0.24和24D ．24和0.244．函数()ln 26f x x x =+-的零点的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．35．在某次测量中得到的A 样本数据如下：42,44,44,46,46,46,48,48,48,48.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则,A B 两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A ．众数B ．平均数C ．标准差D ．中位数6．四个函数：①sin y x x =；②cos y x x =；③cos y x x =；④2x y x =⋅的图象(部分)如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号安排正确的一组是（ ）A ．④①②③B ．①④②③C ．③④②①D ．①④③②7．若函数()()sin f x x πϖ=-+2x πϖ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()0ϖ> 满足()12,f x =-()20f x =且12x x -的最小值为4π，则函数()f x 的单调递增区间为 A ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．()52,21212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦8．已知函数()2221f x m x mx m =--在区间[]0,1上有且只有一个零点，则正实数m 的取值范围是（ ）A．(0,1])∞⋃+ B．[()3,∞⋃+C．[)∞⎡⋃+⎣D ．][()0,13,∞⋃+二、多选题9．已知函数()()1lg ,0e ,0x x xf x x -⎧-<=⎨⎩…，若()()213f f a +=，则a 的值可能为（ ）A ．1B ．1-C ．10D ．10-10．已知角α是第一象限角，则角3α可能在以下哪个象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限11．为了得到函数cos 24y x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数cos y x =的图象所有点（ ）A ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移4π个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再将所得图象向左平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度，再把所得图象各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）D ．向左平移8π个单位长度，再把所得图象各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）12．定义22⨯行列式12142334a a a a a a a a =-，若函数()22cos sin cos 22x x f x x π-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭述错误的是（ ）A ．()f x 的图象关于点(),0π中心对称B ．()f x 的图象关于直线2x π=对称C ．()f x 在区间,06π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．()f x 是最小正周期为π的奇函数三、填空题13．半径为2cm ，圆心角为23π的扇形面积为 . 14．数据1,5,9,12,13,19,21,23,28,36的第50百分位数是__________. 15．已知0,0a b >>，且21a b +=，若不等式21m a b+≥恒成立，则实数m 的最大值是__________.16．函数sin cos 2sin cos 2y x x x x =+++的值域是__________.四、解答题17．在平面直角坐标系中，已知角α的页点为原点，始边为x 轴的非负半轴，终边经过点43,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求()()sin 2sin 22cos ππααπα⎛⎫++- ⎪⎝⎭-的值；(2)求cos2α旳值.18．已知集合{}2560A x x x =--≤∣，集合{}26510B x x x =-+>∣，集合09x m C x x m -⎧⎫=≤⎨⎬--⎩⎭∣.(1)求A B ⋂；(2)若A C C =，求实数m 的值取范围.19．从某小学随机抽取100多学生，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成频率分布直方图（如图）.(1)求直方图中a 的值；(2)试估计该小学学生的平均身高；(3)若要从身高在[)[)[)120,130,130,140,140,150三组内的学生中，用分层抽样的方法选取24人参加一项活动，则从身高在[]140,150内的学生中选取的人数应为多少人？ 20．已知函数()()()sin f x a x b x ωθ=+-∈R 的部分图象如图所示，其中0,0,,22a ππωθ⎡⎤>>∈-⎢⎥⎣⎦.(1)求,,,a b ωθ的值；(2)若角C 是ABC 的一个内角，且cos 12C C f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求sin C 的值.21．设函数()()4cos sin cos 26f x x x x πωωωπ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，其中0ω>.(1)求函数()y f x =的值域；(2)若1ω=，讨论()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调性；(3)若()f x 在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.22．已知函数()()2221f x ax a x =+-+，其中a ∈R .(1)若对任意实数[]12,2,4∈x x ，恒有()129sin2f x x …，求a 的取值范围； (2)是否存在实数0x ，使得00ax <且()0022f x x a =-+？若存在，则求0x 的取值范围；若不存在，则加以证明.参考答案：1．A【分析】由题可得cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，根据正弦函数的性质即得.【详解】∵函数cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，∴函数cos 2sin 22y x x π⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭为最小正周期为π的奇函数.故选：A. 2．C【分析】由两角和的正弦公式和诱导公式，即可求出结果.【详解】cos17cos43sin17sin223+=()cos17cos43sin17sin 180+43+=()cos17cos43sin17sin43cos17cos43sin17sin43--+=，由两角和的正弦公式，可知()cos17cos43sin17sin43cos 1743=cos 1=+=260-故答案为：C 3．B【分析】根据样本容量和其它各组的频数，即可求得答案.【详解】由题意可得：第3组的频数为100101314151312914-------= ， 故第3组的频率为140.14100= ， 故选：B 4．B【分析】利用函数的单调性及零点存在性定理即得.【详解】由于函数()f x 在()0,∞+上是增函数，且()()140,3ln 30f f =-<=>， 故函数在()1,3上有唯一零点，也即在()0,∞+上有唯一零点. 故选：B. 5．C【分析】分别求两个样本的数字特征，再判断选项. 【详解】A 样本数据是：42,44,44,46,46,46,48,48,48,48，B 样本数据是：44,46,46,48,48,48,50,50,50,50，A 样本的众数是48，B 样本的众数是50，故A 错；A 样本的平均数是424444464646484848484610+++++++++= ，B 样本的平均数是46248+=，故B 错；A 样本的标准差12s ==B 样本的标准差22s =， 12s s = ，故C 正确；A 样本的中位数是4646462+=，B 样本的中位数是4848482+=，故D 错. 故选：C 6．B【解析】根据各个函数的奇偶性、函数值的符号，判断函数的图象特征，即可得到． 【详解】解：①sin y x x =⋅为偶函数，它的图象关于y 轴对称，故第一个图象即是； ②cos y x x =⋅为奇函数，它的图象关于原点对称，它在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的值为正数，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的值为负数，故第三个图象满足； ③cos y x x =⋅为奇函数，当0x >时，()0f x ≥，故第四个图象满足； ④2x y x =⋅，为非奇非偶函数，故它的图象没有对称性，故第二个图象满足， 故选：B ．【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 7．D【详解】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得ω的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：()sin()sin()2f x x x ππωω=-+sin 2sin()3x x x πωωω==+，根据题中条件满足()12,f x =- ()20f x =且12x x -的最小值为4π，所以有44T π=，所以,2T πω==，从而有()2sin(2)3f x x π=+， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，整理得51212k x k ππππ-≤≤+， 从而求得函数的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈，故选D. 点睛：该题考查的是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确. 8．D【分析】将零点个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题，通过对参数讨论作图可解.【详解】()f x 在区间[]0,1上有且只有一个零点⇔22210m x mx m --=在区间[]0,1上有且只有一个解，即2221m x mx m --=在区间[]0,1上有且只有一个解令222()m x mx m h x -=-，()1g x =， 当11m≥，即01m <≤时，因为()h x 在[0,1]上单调递减，()g x 在[0,1]上单调递增 且()()223901,13024h m h m m m ⎛⎫=-≥-=-=--< ⎪⎝⎭，(0)1,(1)0g g =-=，由图1知，此时函数()h x 与()g x 在[0,1]上只有一个交点； 当11m<，即1m >时，因为1m -<-，所以要使函数()h x 与()g x 在[0,1]上有且只有一个交点，由图2知(1)(1)h g ≥，即230m m -≥，解得3m ≥或0m ≤（舍去）. 综上，m 的取值范围为][()0,13,∞⋃+. 故选：D9．AD【分析】首先求得()1f a =，再讨论a 的取值，解方程即可求解.【详解】()01e 1f ==，因为()()213f f a +=，所以()1f a =，当a<0时，()()lg 1f a a =-=，解得：10a =-，当0a >时，()1e 1af a -==，解得：1a =，故选：AD 10．ABC【分析】由α所在的象限求出α的范围，再求出3α的范围，最后对k 分类讨论，即可判断；【详解】解：因为角α是第一象限角，所以222k k ππαπ<<+，Z k ∈，所以223363k k παππ<<+，Z k ∈， 当3k t =，t Z ∈时，2236t t απππ<<+，t Z ∈，3α位于第一象限，当31k t =+，t Z∈时，2522336t t παπππ+<<+，t Z ∈，3α位于第二象限，当32k t =+，t Z ∈时，4322332t t παπππ+<<+，t Z ∈，3α位于第三象限，综上可得3α位于第一、二、三象限；故选：ABC 11．BC【分析】利用三角函数图象变化规律，即可判断选项.【详解】cos y x =的图象，首先横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得cos 2y x =， 再将所得图象向左平移8π个单位长度，得cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；cos y x =的图象，首先向左平移4π个单位长度，得cos 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变，得cos 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象.故选：BC 12．ABD【分析】首先化简函数()f x ，再根据三角函数的性质，判断选项. 【详解】由题中所给定义可知22()cos sin )cos 222f x x x x x x π=-+=2cos(2)3x π=-，A.()2cos103f ππ==≠，故A 错误；B.2cos 1223f ππ⎛⎫=-=-≠± ⎪⎝⎭，故B 错误；C.,06x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，此时函数单调递增，故C 正确； D.22T ππ==，但()00f ≠，所以函数不是奇函数，故D 错误. 故选：ABD 13．243cm π【分析】求出扇形的弧长,利用扇形面积公式求解即可. 【详解】因为半径为2cm ,圆心角为23π的扇形,弧长为43π, 所以扇形面积为:221442233cm cm ππ⨯⨯= 故答案为243cm π. 【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用,考查计算能力，属于基础题. 14．16【分析】第50百分位数为数据的中位数,即得.【详解】数据1,5,9,12,13,19,21,23,28,36的第50百分位数，即为数据的中位数为13+19162=. 故答案为：16. 15．9【分析】利用()2121=2a b a b a b ⎛⎫++⋅+ ⎪⎝⎭求21a b+的最小值即可.【详解】()212122=2559b a a b a b a b a b ⎛⎫++⋅+=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当a ＝b ＝13时取等号， 不等式21m a b+≥恒成立，则m ≤9，故m 的最大值为9. 故答案为：9.16．3,34⎡⎢⎣【分析】首先换元sin cos x x t +=，再利用三角变换，将函数转化为关于t 的二次函数，再求值域.【详解】设sin cos x x t +=，因为4t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以t ⎡∈⎣， 则22sin cos 1x x t =-，2221312124y t t t t t ⎛⎫=+-+=++=++ ⎪⎝⎭，当12t =-时，函数取得最小值34，当t =时，函数取得最大值3所以函数的值域是3,34⎡⎢⎣故答案为：3,34⎡+⎢⎣17．(1)58-(2)725【分析】（1）根据三角函数的定义可求得sin ,cos ,tan ααα的值，再利用诱导公式结合同角的三角函数关系化简可得结果；（2）利用二倍角的余弦公式可直接求得答案. (1)由角α的终边经过点43,55P ⎛⎫⎪⎝⎭，可得34||1,sin ,cos 55OP αα=== ，3tan 4α= ，故()()sin 2sin sin 2cos 11352tan 1=12cos 2cos 2248ππαααααπαα⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭==-⨯-=---；(2)2167cos22cos 1212525αα=-=⨯-=. 18．(1)1|13x x ⎧-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭；(2)(]3,1--.【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合A 、B ，即可求出A B ⋂； （2）由A C C =，可知A C ⊆，得到不等式组，即得. （1）∵{}2560A xx x =--≤∣，{}26510B x x x =-+>∣， {|16}A x x ∴=-≤≤，1|3B x x ⎧=<⎨⎩或12x ⎫>⎬⎭，∴1|13A B x x ⎧⋂=-≤<⎨⎩或162x ⎫<≤⎬⎭；（2）∵{|16}A x x =-≤≤，0{|9}9x m C xx m x m x m -⎧⎫=≤=≤<+⎨⎬--⎩⎭∣， 由A C C =，得A C ⊆，961m m +>⎧∴⎨≤-⎩，解得31m -<≤-， ∴实数m 的值取范围为(]3,1--. 19．(1)0.03 (2)124.5cm (3)4人【分析】（1）根据频率和为1，求出a 的值； （2）根据频率分布直方图，计算平均数即可．（3）根据分层抽样方法特点，计算出总人数以及应抽取的人数比即可； （1）解：因为直方图中的各个矩形的面积之和为1， 所以有10(0.0050.0350.0200.010)1a ⨯++++=， 解得0.030a =； （2）解：根据频率分布直方图，计算平均数为()m 1050.0051150.0351250.031350.021450.011012.5c 4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（3）解：由直方图知，三个区域内的学生总数为10010(0.0300.0200.010)60⨯⨯++=人， 其中身高在[]140,150内的学生人数为100100.01010创=人， 所以从身高在[]140,150范围内抽取的学生人数为2410460⨯=人；20．(1)2ω=，4πθ=-，a =1b =【分析】（1）根据图象的特征，列式确定,,,a b ωθ的值；（2）根据（1）的结果，代入解析式，得sin 2cos C C =，结合同角三角函数基本关系式，即可求解. (1)由图象可知，11a b a b ⎧-⎪⎨--=⎪⎩ ，解得：a 1b =， 2132882ππππω⎛⎫⨯=--= ⎪⎝⎭，解得：2ω=， 当38x π=时，32282k ππθπ⨯+=+，得2,4k k Z πθπ=-+∈， 因为,22ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以4πθ=-，综上可知，a =1b =，2ω=，4πθ=-；(2)由（1）可知()214f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，cos sin cos 4C C C C π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即sin 2cos C C =,因为22sin cos 1C C +=，解得：sin C =21．(1)1⎡⎣(2)在区间,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减(3)16【分析】（1）首先化简函数()f x ，再求函数的值域；（2）利用代入法，求2x 的范围，再结合函数的性质，即可求解函数的单调性；（3）由（1）可知，()21f x x ω=+，首先求2x ω的范围，再根据函数的单调区间，求ω的最大值.（1）()14cos sin sin cos 22f x x x x x ωωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 2sin cos 2x x x x ωωωω=++21cos 2cos 2x x x ωωω+-+21x ω+，所以函数的值域是1⎡⎣； （2）1ω=时，()21f x x =+，当263x ππ≤≤，4233x ππ≤≤， 当232x ππ≤≤，即64x ππ≤≤时，函数单调递增，当4223x ππ≤≤，即243x ππ≤≤时，函数单调递减，所以函数的单调递增区间是,64ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，函数的单调递减区间是2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）()21f x x ω+若3,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则[]23,x ωωπωπ∈-，0ω>若函数在区间3,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为增函数，则322πωππωπ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得：16ω≤，所以ω的最大值是16.22．(1)[)2,+∞；(2)存在，011,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.【分析】(1)首先求出29sin2x 在[]22,4x ∈上的最大值，问题转化为()[]max 29sin2f x x …对任意[]2,4x ∈成立，然后化简不等式，参变分离构造max4a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦…即可.(2)分a ＞0和a ＜0两种情况讨论，去掉绝对值符号，转化为解不等式的问题.【详解】（1）[]22,4x ∈，[]224,8x ∈，[]2sin 21,1x ∈-，∴[][]x 22ma max 9s 91i ,n2sin2x x ==，∴原问题()9f x ⇔…对任意[]2,4x ∈成立， 即()22219ax a x +-+≥对任意[]2,4x ∈成立，即4a x …对任意[]2,4x ∈成立，∴max 42a x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦….故a 的范围是：[)2,+∞.（2）①0000,0,0,20,a ax x x a ><∴<∴-<()()2000002222122f x x a ax a x a x ∴=-+⇔+-+=-+020021021x a x x +⇔=>+-， ()()())()20000002121021110x x x x x x ⎡⎤⎡⎤⇒++->⇒+-->⎣⎦⎣⎦，∵00x <，∴)010x -<，∴不等式变为()()002110x x ⎡⎤+-<⎣⎦，∴011,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭；(2)0000,0,0,20a ax x x a <<∴>∴->，()()2000002222122f x x a ax a x x a ∴=-+⇔+-+=-+2000024122ax ax x a x ⇔+-++=+()20002161a x x x ⇔++=+0002006110610216x a x x x x +⇔=<⇒+<⇒<-++， ∵00x >，∴此时无解.综上所述，存在011,2x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足题意.。
2020-2021深圳盐港中学高一数学上期末一模试题(含答案)
2020-2021深圳盐港中学高一数学上期末一模试题(含答案)一、选择题1．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12．已知二次函数()f x 的二次项系数为a ，且不等式()2f x x >-的解集为()1,3，若方程()60f x a +=，有两个相等的根，则实数a =（ ）A ．－15B ．1C ．1或－15D ．1-或－153．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1B ．3C ．5D ．74．若函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞B ．（1,8）C ．（4,8）D ．[4,8)5．函数()2sin f x x x =的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．6．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．47．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%.已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0ktP P e -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）.若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80%，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，则正整数n 的最小值为（ ）（参考数据：取5log 20.43=） A ．8B ．9C ．10D ．148．已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（ ） A ．(1)(2)(0)f f f -<< B ．(1)(0)(2)f f f -<< C ．(0)(1)(2)f f f <-<D ．(2)(1)(0)f f f <-<9．若二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，则实数a 的取值范围为（ ）A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭10．已知()y f x =是以π为周期的偶函数，且0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()1sin f x x =-，则当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x =（ ） A ．1sin x +B ．1sin x -C ．1sin x --D ．1sin x -+11．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫⎪⎝⎭12．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xx x f x x ⎛⎫∈- ⎪=⎝⎭∈，则f (log 43)＝( ) A ．13B ．14C ．3D ．4二、填空题13．已知函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），若()35f -=，则()3f 的值为______14．函数y =________15．若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，则实数m 的取值范围是______；16．如图，矩形ABCD 的三个顶点,,A B C分别在函数y x=，12y x =，2xy ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为______.17．设定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，若()()1f m f m -<，则实数m 的取值范围是________． 18．若函数()242xx f x aa =+-（0a >，1a ≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a =______.19．若集合{}{}2|560|20A x x x B x ax a Z =-+≤=-=∈，，，且B A ⊆，则实数a =_____.20．若函数()22xf x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.三、解答题21．已知函数f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数2()(8)f x ax b x a ab =+--- 的零点是-3和2 (1)求函数()f x 的解析式.(2)当函数()f x 的定义域是[]0,1时求函数()f x 的值域. 23．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数； （2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.24．已知函数2()log (421)x xf x a a =+⋅++，x ∈R ．（Ⅰ）若1a =，求方程()3f x =的解集；（Ⅱ）若方程()f x x =有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围． 25．已知1()f x ax b x=++是定义在{|0}x x ∈≠R 上的奇函数,且(1)5f =. （1）求()f x 的解析式； （2）判断()f x 在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上的单调性,并用定义加以证明.26．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】令()3g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．【详解】令3()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．2．A解析：A 【解析】 【分析】设()2f x ax bx c =++，可知1、3为方程()20f x x +=的两根，且0a <，利用韦达定理可将b 、c 用a 表示，再由方程()60f x a +=有两个相等的根，由0∆=求出实数a 的值. 【详解】由于不等式()2f x x >-的解集为()1,3，即关于x 的二次不等式()220ax b x c +++>的解集为()1,3，则0a <.由题意可知，1、3为关于x 的二次方程()220ax b x c +++=的两根，由韦达定理得2134b a +-=+=，133ca=⨯=，42b a ∴=--，3c a =，()()2423f x ax a x a ∴=-++，由题意知，关于x 的二次方程()60f x a +=有两相等的根， 即关于x 的二次方程()24290ax a x a -++=有两相等的根，则()()()224236102220a a a a ∆=+-=+-=，0a <Q ，解得15a =-，故选：A. 【点睛】本题考查二次不等式、二次方程相关知识，考查二次不等式解集与方程之间的关系，解题的关键就是将问题中涉及的知识点进行等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车， 所以()3002%1.x-<，0.70.2x <，两边取对数得，lg 0.7lg 0.2x < ，lg 0.214lg 0.73x >= ，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据分段函数单调性列不等式，解得结果. 【详解】因为函数,1()42,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的单调递增函数， 所以140482422a a a aa ⎧⎪>⎪⎪->∴≤<⎨⎪⎪-+≤⎪⎩故选：D 【点睛】本题考查根据分段函数单调性求参数，考查基本分析判断能力，属中档题.5．C解析：C 【解析】 【分析】根据函数()2sin f x x x =是奇函数，且函数过点[],0π，从而得出结论．【详解】由于函数()2sin f x x x =是奇函数，故它的图象关于原点轴对称，可以排除B 和D ；又函数过点(),0π，可以排除A ，所以只有C 符合． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查奇函数的图象和性质，正弦函数与x 轴的交点，属于基础题．6．B解析：B 【解析】 【分析】先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]0x . 【详解】由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点， 易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f <n 所以023x <<，结合[]x 的性质，可知[]02x =.故选B. 【点睛】本题考查了函数的零点问题，属于基础题．7．C解析：C 【解析】 【分析】根据已知条件得出415ke-=，可得出ln 54k =，然后解不等式1200kt e -≤，解出t 的取值范围，即可得出正整数n 的最小值. 【详解】由题意，前4个小时消除了80%的污染物，因为0ktP P e -=⋅，所以()400180%kP Pe --=，所以40.2k e -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =， 则由000.5%ktP P e -=，得ln 5ln 0.0054t =-， 所以()23554ln 2004log 2004log 52ln 5t ===⨯5812log 213.16=+=， 故正整数n 的最小值为14410-=.故选：C. 【点睛】本题考查指数函数模型的应用，涉及指数不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.8．C解析：C 【解析】 【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案 【详解】()2y f x =-Q 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数 ()y f x ∴=在[]20-，上是减函数Q 函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数 ()()11f f -=Q ,则()()()012f f f <-< 故选C 【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．9．A解析：A 【解析】 【分析】由已知可知，()f x 在()1，-+∞上单调递减，结合二次函数的开口方向及对称轴的位置即可求解． 【详解】∵二次函数()24f x ax x =-+对任意的()12,1,x x ∈-+∞，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-，∴()f x 在()1，-+∞上单调递减， ∵对称轴12x a=， ∴0112a a<⎧⎪⎨≤-⎪⎩，解可得102a -≤<，故选A ． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质及函数单调性的定义的简单应用，解题中要注意已知不等式与单调性相互关系的转化，属于中档题.10．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】因为()y f x =是以π为周期，所以当5,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()3πf x f x =-， 此时13,02x -π∈-π⎡⎤⎢⎥⎣⎦,又因为偶函数，所以有()()3π3πf x f x -=-, 3π0,2x π⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦,所以()()3π1sin 3π1sin f x x x -=--=-,故()1sin f x x =-，故选B.11．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．12．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题13．【解析】【分析】由求得进而求解的值得到答案【详解】由题意函数（为常数）且所以所以又由故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值的求解其中解答中根据函数的解析式准确运算是解答的关键着重考查了计算能力属于基 解析：1-【解析】 【分析】由()35f -=，求得1532723a b -⋅-+=，进而求解()3f 的值，得到答案. 【详解】由题意，函数()1352=++f x ax bx （a ，b 为常数），且()35f -=，所以()15332725f a b -=-⋅-+=，所以153273a b -⋅-=， 又由()1533272321f a b -=⋅++=-+=-. 故答案为：1-. 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中解答中根据函数的解析式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.14．【解析】【分析】先求得函数的定义域然后利用同增异减来求得复合函数的单调区间【详解】依题意即解得当时为减函数为减函数根据复合函数单调性同增异减可知函数的单调递增区间是【点睛】本小题主要考查复合函数的单 解析：[)1,0-【解析】 【分析】先求得函数的定义域，然后利用“同增异减”来求得复合函数的单调区间. 【详解】依题意220.50log 0x x ⎧>⎨≥⎩，即201x <≤，解得[)(]1,00,1x ∈-U .当[)1,0x ∈-时，2x 为减函数，0.5log x 为减函数，根据复合函数单调性“同增异减”可知，函数y =递增区间是[)1,0-. 【点睛】本小题主要考查复合函数的单调区间的求法，考查函数定义域的求法，属于基础题.15．【解析】【分析】根据条件可化为分段函数根据函数的单调性和函数值即可得到解不等式组即可【详解】当时当时且当时且当时且若函数在时取得最小值根据一次函数的单调性和函数值可得解得故实数的取值范围为故答案为： 解析：[)5,+∞【解析】 【分析】根据条件可化为分段函数，根据函数的单调性和函数值即可得到()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩解不等式组即可. 【详解】当1x <时，()()121861927f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 当12x ≤<时，()()121861725f x x m mx x m m x =-+-+-=+-+， 且()112f m =+，当23x ≤<时，()()121861725f x x mx m x m m x =-+-+-=-+-， 且()27f =，当3x ≥时，()()126181927f x x mx m x m m x =-+-+-=--++， 且()32f m =+，若函数() 1263f x x m x x =-+-+-在2x =时取得最小值，根据一次函数的单调性和函数值可得()()7050507027127m m m m m m ⎧-+≤⎪-+≤⎪⎪-≥⎪⎨+≥⎪⎪+≥⎪+≥⎪⎩，解得5m ≥，故实数m 的取值范围为[)5,+∞ 故答案为：[)5,+∞ 【点睛】本题考查了由分段函数的单调性和最值求参数的取值范围，考查了分类讨论的思想，属于中档题.16．【解析】【分析】先利用已知求出的值再求点D 的坐标【详解】由图像可知点在函数的图像上所以即因为点在函数的图像上所以因为点在函数的图像上所以又因为所以点的坐标为故答案为【点睛】本题主要考查指数对数和幂函解析：11,24⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】先利用已知求出,A B C x x y ，的值，再求点D 的坐标. 【详解】由图像可知，点(),2A A x在函数y x=的图像上，所以2Ax =，即212A x ==⎝⎭.因为点(),2B B x 在函数12y x =的图像上，所以122Bx =，4B x =.因为点()4,C C y在函数x y =⎝⎭的图像上，所以414C y ==⎝⎭. 又因为12D A x x ==，14D C y y ==， 所以点D 的坐标为11,24⎛⎫⎪⎝⎭.故答案为11,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查指数、对数和幂函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.17．【解析】【分析】由题意知函数在上是减函数在上是增函数其规律是自变量的绝对值越小其函数值越大由此可直接将转化成一般不等式再结合其定义域可以解出的取值范围【详解】解：函数是偶函数定义在上的偶函数在区间上解析：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】由题意知函数在[]0,2上是减函数，在[]2,0-上是增函数，其规律是自变量的绝对值越小，其函数值越大，由此可直接将(1)()f m f m -<转化成一般不等式，再结合其定义域可以解出m 的取值范围 【详解】解：Q 函数是偶函数， (1)(|1|)f m f m ∴-=-，()(||)f m f m =， Q 定义在[]22-,上的偶函数()f x 在区间[]0,2上单调递减，(1)()f m f m -<，0|||1|2m m ∴<-剟，得112m -<…． 故答案为：11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查利用抽象函数的单调性解抽象不等式，解决此类题的关键是将函数的性质进行正确的转化，将抽象不等式转化为一般不等式求解．本题在求解中有一点易疏漏，即忘记根据定义域为[]22-,来限制参数的范围．做题一定要严谨，转化要注意验证是否等价．18．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】 将函数化为()2()26xf x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242xxf x a a =+-()226xa =+-,11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.19．或【解析】【分析】先解二次不等式可得再由讨论参数两种情况再结合求解即可【详解】解：解不等式得即①当时满足②当时又则解得又则综上可得或故答案为：或【点睛】本题考查了二次不等式的解法空集的定义及集合的包解析：0或1 【解析】 【分析】先解二次不等式可得{}|23A x x =≤≤，再由B A ⊆，讨论参数0a =，0a ≠两种情况，再结合a Z ∈求解即可. 【详解】解：解不等式2560x x -+≤，得23x ≤≤，即{}|23A x x =≤≤， ①当0a =时，B φ=，满足B A ⊆，②当0a ≠时，2B a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，又B A ⊆，则223a ≤≤，解得213a ≤≤，又a Z ∈，则1a =，综上可得0a =或1a =， 故答案为：0或1. 【点睛】本题考查了二次不等式的解法、空集的定义及集合的包含关系，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么 解析：02b <<【解析】 【分析】 【详解】函数()22xf x b =--有两个零点，和的图象有两个交点，画出和的图象，如图，要有两个交点，那么三、解答题21．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， 因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4； 当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．（1）2()3318f x x x =--+（2）[12,18] 【解析】 【分析】 【详解】 （1）832,323,5b a aba b a a----+=--⨯=∴=-=Q ,()23318f x x x =--+ （2）因为()23318f x x x =--+开口向下，对称轴12x =- ,在[]0,1单调递减，所以()()max min 0,18,1,12x f x x f x ====当当 所以函数()f x 的值域为[12,18] 【点睛】本题将函数的零点、解析式、最大小值等有关知识与性质有机整合在一起，旨在考查函数的表示、零点、最大小值等基础知识及综合运用．求解时先依据函数零点与方程的根之间的关系，求出函数解析式中的参数的值；解答第二问时，借助二次函数的图像和性质，运用数形结合的数学思想求出最大小值从而使得问题获解． 23．（1）证明见解析（2）0m =或2m = 【解析】 【分析】（1）对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据奇函数得到()()0f x f x -+=，代入化简得到()22211x m x --=-，计算得到答案. 【详解】（1）当1m =时，()221log 1log 11x f x x x ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 对于1x ∀，()21,x ∈+∞，且12x x <，()()12122212log log 11x x f x f x x x -=---1212122121221log log 1x x x x x x x x x x ⎛⎫--=⋅= ⎪--⎝⎭因为12x x <，所以12x x ->-，所以121122x x x x x x ->-， 又因1x ，()21,x ∈+∞，且12x x <，所以()1222110x x x x x -=->， 即1211221x x x x x x ->-，所以1212122log 0x x x x x x ⎛⎫-> ⎪-⎝⎭，()()120f x f x ->.所以函数()f x 在()1,+∞上为减函数.（2）()221log 1log 11m x m f x x x +-⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()0f x f x -+=. 所以211log log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭211log 11x m x m x x -+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭2(1)1log 11x m x m x x --+-⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭2222(1)log 01x m x ⎛⎫--== ⎪-⎝⎭， 所以()22211x m x --=-，所以()211m -=，0m =或2m =. 【点睛】本题考查了单调性的证明，根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 24．（Ⅰ）{}1（Ⅱ）13a -<<-【解析】 【分析】（Ⅰ）将1a =代入直接求解即可；（Ⅱ）设2x t =，得到()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，利用二次函数的性质列不等式组求解即可. 【详解】（Ⅰ）当1a =时，()()2log 4223xxf x =++=，所以34222x x ++=， 所以4260x x +-=，因此()()23220xx+-=，得22x = 解得1x =， 所以解集为{}1．（Ⅱ）因为方程()2log 421x xa a x +⋅++=有两个不同的实数根， 即4212x x x a a +⋅++=，设2x t =，()()2110t a t a +-++=在()0,+∞有两个不同的解，令()()()211f t t a t a =+-++，由已知可得()()()2001021410f a a a ⎧>⎪-⎪->⎨⎪⎪=--+>⎩n解得13a -<<- 【点睛】本题主要考查了对数函数与指数函数的复合函数的处理方式，考查了函数与方程的思想，属于中档题. 25．(1) 1()4(0)f x x x x =+≠ (2) ()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增.见解析 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质以及()15f =，列式求得,a b 的值，进而求得函数解析式.（2）利用单调性的定义，通过计算()()120f x f x -<，证得()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增. 【详解】（1）∵()f x 为奇函数,∴()()0f x f x -+=,∴0b =. 由(1)5f =,得4a =, ∴1()4(0)f x x x x=+≠. （2）()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 证明如下:设1212x x <<,则()()()121212114f x f x x x x x -=-+- ()12121241x x x x x x -=- ∵1212x x <<,∴120x x -<,12410x x ->,∴()121212410x x x x x x --<, ∴()()120f x f x -<,∴()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数，考查利用函数单调性的定义证明函数的单调性，属于基础题.26．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A ={x|y =√−x +3}，集合B ＝{y |y ＝e x }，则A ∩B ＝（ ） A ．（0，+∞）B ．（0，3]C ．（﹣∞，3]D ．（﹣∞，3）2．设a ＝π0.2，b ＝0.2π，c ＝log π0.2，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a3．“x ＞1”是“1x＜1”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．函数f(x)=2x1+x 2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(12)a ＞(12)bB ．lna ＞lnbC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 36．函数f （x ）＝2x +x ﹣4的一个零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（3，4）7．计算：sin20°sin80°+cos20°sin170°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√328．定义在R 上的偶函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （﹣2）＝0，则不等式xf （x +2）≥0的解集是（ ） A ．[﹣4，+∞） B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪（﹣2，0]二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a ，b 都是正实数，且a +b ＝4．则下列不等式成立的有（ ） A ．ab ≤4 B ．1a +2b≥3+2√2C ．√a +√b ≤2D ．a 2+b 2≥810．若角α的终边经过点P （t ，﹣2t ）（t ＜0），则下列结论正确的是（ ） A ．α是钝角 B ．α是第二象限角C ．tan α＝﹣2D ．点（cos α，sin α）在第四象限11．下列等式成立的是（ ） A ．cos15°=√6+√24B ．cos 415°−sin 415°=√32C ．tanπ81+tan 2π8=12D ．2cos π18−sinπ9cosπ9=√312．已知函数f(x)=lg(√1+x 2−x)+1，则（ ） A ．f （x ）的定义域为R B ．f(ln2)+f(ln 12)=2C ．当x ＞0时，f （x ）∈（0，1]D ．对定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则tan α＝ ．14．已知α∈(0，π2)，sin2α＝cos2α+1，则sin α＝ ．15．函数f(x)=log 0.5(x 2−1)的减区间是 ．16．若f(x)={log a (x −1)，x ＞2(2a −3)x −9，x ≤2，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ={x|14＜(12)x ≤16}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m +3}．（1）若m ＝1，求∁B A ；（2）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知sinα=35，且α为第二象限角．（1）求cos α，tan α的值；（2）求sin(2π−α)+cos(3π+α)sin(π2−α)−sin(π−α)的值． 19．（12分）已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x ≤3时，f （x ）＝x 2+x +1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （a +1）+f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围．20．（12分）（1）若ax 2+2ax ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求关于x 的不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集． 21．（12分）已知sin(π4−α)=35，0＜α＜π，（1）求sin2α的值； （2）若sin(3π4+β)=513，0＜β＜π4，求sin （α+β）的值． 22．（12分）我们知道，指数函数f （x ）＝a x （a ＞0，且a ≠1）与对数函数g （x ）＝log a x （a ＞0，且a ≠1）互为反函数．已知函数f （x ）＝2x ，其反函数为g （x ）． （1）求函数F （x ）＝[g （x ）]2﹣2tg （x ）+3，x ∈[2，8]的最小值；（2）对于函数φ（x ），若定义域内存在实数x 0，满足φ（﹣x 0）＝﹣φ（x 0），则称φ（x ）为“L 函数”．已知函数h （x ）＝[f （x ）]2﹣2mf （x ）﹣3，x ∈[﹣1，1]为其定义域上的“L 函数”，求实数m 的取值范围．2023-2024学年广东省深圳市盐田高级中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|y=√−x+3}，集合B＝{y|y＝e x}，则A∩B＝（）A．（0，+∞）B．（0，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）解：由题意A={x|y=√−x+3}={x|x≤3}，B＝{y|y＝e x}＝{y|y＞0}，所以A∩B＝（0，3]．故选：B．2．设a＝π0.2，b＝0.2π，c＝logπ0.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜b＜a解：因为a＝π0.2＞π0＝1，0＜b＝0.2π＜0.20＝1，c＝logπ0.2＜logπ1＝0，所以c＜b＜a．故选：D．3．“x＞1”是“1x＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：因为1x＜1，所以1−xx＜0，∴x（1﹣x）＜0，∴x（x﹣1）＞0，∴x＜0或x＞1，当x＞1时，x＜0或x＞1一定成立，所以“x＞1”是“1x＜1”的充分条件；当x＜0或x＞1时，x＞1不一定成立，所以“x＞1”是“1x＜1”的不必要条件．所以“x＞1”是“1x＜1”的充分不必要条件．故选：A．4．函数f(x)=2x1+x2的图象大致是（）A．B．C．D．解：函数f(x)=2x1+x 2是奇函数，排除C 、D ， 当x ＞0时，f （x ）＞0，判断A ． 故选：B ．5．已知实数a ，b ，若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．(12)a ＞(12)bB ．lna ＞lnbC ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3解：对于A ，因为y =(12)x 在R 上单调递减，a ＞b ，所以(12)a ＜(12)b ，故A 错误；对于B ，因为y ＝lnx 的定义域为（0，+∞），所以只有当a ＞b ＞0时lna ＞lnb ，故B 错误；对于C ，a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ），因为不能确定a +b 的符号，故不能确定a 2﹣b 2与0的大小关系，故C 错误；对于D ，因为y ＝x 3在R 上单调递增，a ＞b ，所以a 3＞b 3，故D 正确． 故选：D ．6．函数f （x ）＝2x +x ﹣4的一个零点所在区间为（ ） A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（3，4）解：由题意知，f （0）＝20+0﹣4＝﹣3＜0，f （1）＝21+1﹣4＝﹣1＜0，f （2）＝22+2﹣4＝2＞0，f （3）＝23+3﹣4＝7＞0，f （4）＝24+4﹣4＝16＞0，因为f （1）•f （2）＜0，所以（1，2）是函数f （x ）的零点所在的一个区间． 故选：C ．7．计算：sin20°sin80°+cos20°sin170°＝（ ） A ．12B ．−12C ．√32D ．−√32解：sin20°sin80°+cos20°sin170°＝sin20°sin80°+cos20°cos80°=cos(80°−20°)=12．故选：A ．8．定义在R 上的偶函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增，且f （﹣2）＝0，则不等式xf （x +2）≥0的解集是（ ） A ．[﹣4，+∞） B ．（﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）C ．（﹣2，+∞）D ．（﹣∞，﹣4]∪（﹣2，0]解：∵偶函数f （x ）在（0，+∞）上为增函数，且f （﹣2）＝f （2）＝0， 作出函数f （x ）的草图：则不等式等价于{x ≥0f(x +2)≥0或{x ≤0f(x +2)≤0，即{x≥0x+2≥2或x+2≤−2或{x≤0−2≤x+2≤2，解得x≥0或﹣4≤x≤0，即x≥﹣4．故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知a，b都是正实数，且a+b＝4．则下列不等式成立的有（）A．ab≤4B．1a+2b≥3+2√2C．√a+√b≤2D．a2+b2≥8解：根据题意，可知a，b都是正实数，且a+b＝4，对于A，由基本不等式ab≤(a+b2)2=4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，可知A项正确；对于B，1a+2b=14(1a+2b)(a+b)=14(2ab+ba+3)≥2√2+34，当且仅当2ab=ba，即a=4√2−4，b=8−4√2时等号成立，故B项错误；对于C，因为a＝b＝2时，√a+√b=2√2＞2，所以√a+√b≤2不成立，故C项错误；对于D，a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝16﹣2ab≥8，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故D正确．故选：AD．10．若角α的终边经过点P（t，﹣2t）（t＜0），则下列结论正确的是（）A．α是钝角B．α是第二象限角C．tanα＝﹣2D．点（cosα，sinα）在第四象限解：由点P（t，﹣2t）（t＜0）在第二象限，可得α是第二象限角，但不一定是钝角，B正确，A错误；tanα=−2tt=−2，C正确；由sinα＞0，cosα＜0，则点（cosα，sinα）在第二象限，D错误．故选：BC．11．下列等式成立的是（）A．cos15°=√6+√24B．cos415°−sin415°=√32C．tanπ81+tan2π8=12D．2cosπ18−sinπ9cosπ9=√3解：因为cos15°＝cos（45°﹣30°）＝cos45°cos30°+sin45°sin30°=√6+√24，A项正确；cos415°−sin415°=(cos215°−sin215°)(cos215°+sin215°)=cos30°=√32，B项正确；tanπ81+tan2π8=tanπ8cos2π8cos2π8+sin2π8=sinπ8⋅cos2π8cosπ8=sinπ8⋅cosπ8=12×2sinπ8cosπ8=12sinπ4=√24，C项错误；2cosπ18−sinπ9cosπ9=2cos(π6−π9)−sinπ9cosπ9=√3cosπ9cosπ9=√3，D项正确．故选：ABD．12．已知函数f(x)=lg(√1+x2−x)+1，则（）A．f（x）的定义域为RB．f(ln2)+f(ln12)=2C．当x＞0时，f（x）∈（0，1]D．对定义域内的任意两个不相等的实数x1，x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜0恒成立解：因为1+x2＞x2，所以√1+x2＞|x|≥x，即√1+x2−x＞0恒成立，所以函数f（x）的定义域为R，故选项A正确；f(x)+f(−x)=lg(√1+x2−x)+1+lg(√1+x2+x)+1=lg(1+x2−x2)+2=2，所以f(ln2)+f(ln 12)=f(ln2)+f(−ln2)=2，故选项B正确；因为f(x)=lg(√1+x2−x)+1=√1+x2+x1=−lg(√1+x2+x)+1，且函数y=√1+x2+x在（0，+∞）上单调递增，又有y＝﹣lgx+1在（0，+∞）上单调递减，所以f(x)=lg(√1+x2−x)+1在（0，+∞）上单调递减，所以f（x）＜f（0）＝1，且x无限趋向于正无穷大时，f（x）无限趋向于负无穷，所以f（x）∈（﹣∞，1），故选项C错误；记函数g(x)=f(x)−1=lg(√1+x2−x)，由选项A知g（x）的定义域为R，且g(x)+g(−x)=lg(√1+x2−x)+lg(√1+x2+x)=lg(1+x2−x2)=0，所以g（x）是奇函数，因为g(x)=1√1+x+x=−lg(√1+x2+x)，且函数y=√1+x2+x在[0，+∞）上单调递增，又有y＝﹣lgx在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）在[0，+∞）上单调递减，所以g（x）≤g（0）＝0，因为g （x ）是奇函数，所以g （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，所以g （x ）在R 上单调递减，且g （x ）＞g （0）＝0，所以f （x ）在R 上单调递减， 所以对定义域内的任意两个不相等的实数x 1，x 2，f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜0恒成立，故选项D 正确．故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则tan α＝ 13．解：由sinα+3cosα2cosα−sinα=tanα+32−tanα=2，解得tanα=13．故答案为：13．14．已知α∈(0，π2)，sin2α＝cos2α+1，则sin α＝ √22．解：∵sin2α＝cos2α+1，∴2sin α•cos α＝2cos 2α， ∵α∈(0，π2)，∴sin α＝cos α，即tan α＝1，∴α=π4，∴sinα=√22．故答案为：√22． 15．函数f(x)=log 0.5(x 2−1)的减区间是 （1，+∞） ． 解：由x 2﹣1＞0，解得x ＜﹣1或x ＞1，即函数f （x ）的定义域为（﹣∞﹣1）∪（1，+∞），当x ＞1时，函数y ＝x 2﹣1为单调递增函数，当x ＜1时，函数y ＝x 2﹣1为单调递减函数， 又由函数y ＝log 0.5x 为定义域上的单调递减函数，结合复合函数单调性的判定方法，可得函数f(x)=log 0.5(x 2−1)的递减区间为（1，+∞）． 故答案为：（1，+∞）．16．若f(x)={log a (x −1)，x ＞2(2a −3)x −9，x ≤2，满足对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，则a 的取值范围是（2，3] ．解：函数f （x ）的定义域为R ，∵对任意x 1≠x 2，都有f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＞0成立，∴则函数f （x ）是R 上的单调递增函数，∴{a ＞1，2a −3＞1，log a 1≥(2a −3)2−9，解得2＜a ≤3，∴a 的取值范围是（2，3]． 故答案为：（2，3]．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知集合A ={x|14＜(12)x ≤16}，B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m +3}．（1）若m ＝1，求∁B A ；（2）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围． 解：（1）若m ＝1，集合A ={x|14＜(12)x ≤16}={x |﹣4≤x ＜2}，即A ＝[﹣4，2），B ＝{x |m ﹣6≤x ≤2m +3}＝{x |﹣5≤x ≤5}，即B ＝[﹣5，5]， ∁B A ＝[﹣5，﹣4）∪[2，5]．（2）命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若p 是q 的充分不必要条件，则有集合A 是集合B 的真子集， 即{2m +3≥2m −6≤−4（等号不同时取）．求得−12≤m ≤2，可得m ∈[−12，2]．18．（12分）已知sinα=35，且α为第二象限角．（1）求cos α，tan α的值；（2）求sin(2π−α)+cos(3π+α)sin(π2−α)−sin(π−α)的值． 解：（1）因为sinα=35，且α为第二象限角，所以cosα=−√1−sin 2α=−45，tanα=sinαcosα=−34．（2）sin(2π−α)+cos(3π+α)sin(π2−α)−sin(π−α)=−sinα−cosαcosα−sinα=−35−(−45)−45−35=−17． 19．（12分）已知函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x ≤3时，f （x ）＝x 2+x +1． （1）求函数f （x ）的解析式；（2）若f （a +1）+f （2a ﹣1）＞0，求实数a 的取值范围．解：（1）函数f （x ）是定义在[﹣3，3]上的奇函数，当0＜x ＜3时，f （x ）＝x 2+x +1， 当﹣3≤x ＜0时，则0＜﹣x ≤3，则f （﹣x ）＝（﹣x ）2﹣x +1＝x 2﹣x +1＝﹣f （x ）， 则f （x ）＝﹣x 2+x ﹣1，又因为f （0）＝0，故f(x)={−x 2+x −1，−3≤x ＜00，x =0x 2+x +1，0＜x ≤3；（2）因为当0＜x ＜3时，f （x ）＝x 2+x +1＞0，且在[0，3]上为增函数， 故函数f （x ）在定义域[﹣3，3]上为增函数，由f （a +1）+f （2a ﹣1）＞0可得f （a +1）＞﹣f （2a ﹣1）＝f （1﹣2a ）， 所以，{a +1＞1−2a−3≤a +1≤3−3≤2a −1≤3，解得0＜a ≤2，故a 的范围为{a |0＜a ≤2}．20．（12分）（1）若ax 2+2ax ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求关于x 的不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集． 解：（1）若ax 2+2ax ﹣1＜0对一切x ∈R 恒成立， 当a ＝0时，则有﹣1＜0，满足题意；当a ≠0时，则有{a ＜0Δ=4a 2+4a ＜0，解得﹣1＜a ＜0．综上所述，实数a 的取值范围是（﹣1，0]； （2）对于不等式x 2+ax ﹣a ≥0，Δ＝a 2+4a ，当Δ≤0时，即当﹣4≤a ≤0时，不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集为R ； 当Δ＞0时，即当a ＜﹣4或a ＞0时，方程x 2+ax ﹣a ＝0的根为x =−a±√a 2+4a2，此时，不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集为{x|x ≤−a−√a 2+4a 2或x ≥−a+√a 2+4a2}；综上所述，当﹣4≤a ≤0时，不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集为R ；当a ＜﹣4或a ＞0时，不等式x 2+ax ﹣a ≥0的解集为{x|x ≤−a−√a 2+4a 2或x ≥−a+√a 2+4a2}．21．（12分）已知sin(π4−α)=35，0＜α＜π，（1）求sin2α的值； （2）若sin(3π4+β)=513，0＜β＜π4，求sin （α+β）的值． 解：（1）由sin(π4−α)=√22cosα−√22sinα=35，可得cosα−sinα=3√25，又由(cosα−sinα)2=1−2sinαcosα=1−sin2α=(3√25)2，可得sin2α=7 25．（2）因为0＜α＜π，所以−3π4＜π4−α＜π4，且sin(π4−α)=35＞0，所以0＜π4−α＜π4，所以cos(π4−α)=√1−sin2(π4−α)=45，因为0＜β＜π4，可得3π4＜3π4+β＜π，所以cos(3π4+β)=−√1−(513)2=−1213，所以sin(α+β)=sin[(3π4+β)−(π4−α)−π2]=−cos[(3π4+β)−(π4−α)]=−cos(3π4+β)cos(π4−α)−sin(3π4+β)sin(π4−α)=−[(−1213)×45+513×35]=3365．22．（12分）我们知道，指数函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠1）与对数函数g（x）＝log a x（a＞0，且a≠1）互为反函数．已知函数f（x）＝2x，其反函数为g（x）．（1）求函数F（x）＝[g（x）]2﹣2tg（x）+3，x∈[2，8]的最小值；（2）对于函数φ（x），若定义域内存在实数x0，满足φ（﹣x0）＝﹣φ（x0），则称φ（x）为“L函数”．已知函数h（x）＝[f（x）]2﹣2mf（x）﹣3，x∈[﹣1，1]为其定义域上的“L函数”，求实数m的取值范围．解：（1）由题意得g（x）＝log2x，所以F(x)=[g(x)]2−2tg(x)+3=(log2x)2−2tlog2x+3，x∈[2，8]，令p＝log2x，p∈[1，3]，设M（p）＝p2﹣2tp+3，p∈[1，3]，则M（p）为开口向上，对称轴为p＝t的抛物线，当t≤1时，M（p）在[1，3]上为单调递增函数，所以M（p）的最小值为M（1）＝4﹣2t；当1＜t＜3时，M（p）在（1，t）上单调递减，在（t，3）上单调递增，所以M（p）的最小值为M（t）＝3﹣t2；当t≥3时，M（p）在[1，3]上为单调递减函数，所以M（p）的最小值为M（3）＝12﹣6t；综上，可得F(x)min ={4−2t ，t ≤13−t 2，1＜t ＜312−6t ，t ≥3．（2）依题意，ℎ(x)=4x 0−m ⋅2x 0+1−3，x ∈[−1，1]， 则在[﹣1，1]上存在x 0，满足h （﹣x 0）＝﹣h （x 0），即h （﹣x 0）+h （x 0）＝0， 则4x 0−m ⋅2x 0+1−3+4−x 0−m ⋅2−x 0+1−3=0， 即(2x 0+2−x 0)2−2m ⋅(2x 0+2−x 0)−8=0， 令k =2x 0+2−x 0，则上式化为k 2﹣2m •k ﹣8＝0，即m =k 2−82k =k 2−4k ， 因为k ≥2√2x 0⋅2−x 0=2，当且仅当x 0＝0时取等号，又x 0∈[﹣1，1]，结合函数k =2x 0+2−x 0的单调性可得k ≤21+2−1=52，即k ∈[2，52]， 因为m =k 2−82k =k 2−4k 在k ∈[2，52]上是增函数， 当k ＝2时，k 2−4k =−1；当k =52时，k 2−4k =−720； 所以m ∈[−1，−720]．。
2020-2020学年深圳市高一(上)期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．22．（5分）下列方程表示的直线倾斜角为135°的是（）A．y=x﹣1 B．y﹣1=（x+2）C．+=1 D．x+2y=03．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个4．（5分）以下四个命题中，正确命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面5．（5分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）7．（5分）已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A．4 B．3 C．2 D．18．（5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm29．（5分）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．y=ax2+bx+c B．y=ae x+b C．y=a ax+b D．y=alnx+b10．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．811．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AD的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线MN与BD所成角的大小是．14．（5分）已知A（3，2），B（﹣4，1），C（0，﹣1），点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是．15．（5分）边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的体积是．16．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．18．（12分）已知集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，集合B=．（1）求集合A，B；（2）设集合，求函数f（x）=x﹣在A∩C上的值域．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．（1）求证：AD⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．21．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；（II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．22．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．2020-2020学年广东省深圳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．（5分）函数的零点为1，则实数a的值为（）A．﹣2 B．C．D．2【解答】解：∵函数的零点为1，即解得a=﹣，故选B．2．（5分）下列方程表示的直线倾斜角为135°的是（）A．y=x﹣1 B．y﹣1=（x+2）C．+=1 D．x+2y=0【解答】解：根据题意，若直线倾斜角为135°，则其斜率k=tan135°=﹣1，依次分析选项：对于A、其斜率k=1，不合题意，对于B、其斜率k=，不合题意，对于C、将+=1变形可得y=﹣x+5，其斜率k=﹣1，符合题意，对于D、将x+2y=0变形可得y=﹣x，其斜率k=﹣，不合题意，故选：C．3．（5分）设a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题①若a⊥b，a⊥α，则b∥α②若a∥α，α⊥β，则a⊥β③a⊥β，α⊥β，则a∥α④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β其中正确的命题的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：①可能b∈α，命题错误②若α⊥β，只有a与α，β的交线垂直，才能够推出a⊥β，命题错误③a可能在平面α内，命题错误④命题正确．故选B．4．（5分）以下四个命题中，正确命题是（）A．不共面的四点中，其中任意三点不共线B．若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面C．若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面D．依次首尾相接的四条线段必共面【解答】解：不共面的四点中，其中任意三点不共线，故A为真命题；若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E可能不共面，故B为假命题；若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c可能不共面，故C为假命题；依次首尾相接的四条线段可能不共面，故D为假命题；故选：A5．（5分）如图Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′=2，则这个平面图形的面积是（）A．B．1 C．D．【解答】解：∵Rt△O'A'B'是一平面图形的直观图，斜边O'B'=2，∴直角三角形的直角边长是，∴直角三角形的面积是，∴原平面图形的面积是1×2=2故选D．6．（5分）下列函数f（x）中，满足“对任意x1，x2∈（﹣∞，0），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2）”的函数是（）A．f（x）=﹣x+1 B．f（x）=x2﹣1 C．f（x）=2x D．f（x）=ln（﹣x）【解答】解：根据已知条件知f（x）需在（﹣∞，0）上为增函数；一次函数f（x）=﹣x+1在（﹣∞，0）上为减函数；二次函数f（x）=x2﹣1在（﹣∞，0）上为减函数；指数函数f（x）=2x在（﹣∞，0）上为增函数；根据减函数的定义及对数函数的单调性，f（x）=ln（﹣x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴C正确．故选C．7．（5分）已知三棱锥的四个面中，最多共有（）个直角三角形？A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：如果一个三棱锥V﹣ABC中，侧棱VA⊥底面ABC，并且△ABC中∠B是直角．因为BC垂直于VA的射影AB，所以VA垂直于平面ABC的斜线VB，所以∠VBC是直角．由VA⊥底面ABC，所以∠VAB，∠VAC都是直角．因此三棱锥的四个面中∠ABC；∠VAB；∠VAC；∠VBC都是直角．所以三棱锥最多四个面都是直角三角形．故选：A8．（5分）一个体积为8cm3的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）A．8πcm2B．12πcm2C．16πcm2D．20πcm2【解答】解：正方体体积为8，可知其边长为2，体对角线为=2，即为球的直径，所以半径为，表面积为4π2=12π．故选B．9．（5分）2001年至2013年北京市电影放映场次的情况如图所示．下列函数模型中，最不合适近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（）A．y=ax2+bx+c B．y=ae x+b C．y=a ax+b D．y=alnx+b【解答】解：根据图象得出单调性的规律，单调递增，速度越来越快，y=ax2+bx+c，单调递增，速度越来越快，y=ae x+b，指数型函数增大很快，y=e ax+b，指数型函数增大很快，y=alnx+b，对数型函数增大速度越来越慢，所以A，B，C都有可能，D不可能．故选：D．10．（5分）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4 B．2 C．D．8【解答】解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．11．（5分）函数f（x）=ln，则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，+∞）上单调递减B．奇函数，且在（0，+∞）上单凋递增C．偶函数，且在（0，+∞）上单调递减D．偶函数，且在（0，+∞）上单凋递增【解答】解：由x（e x﹣e﹣x）＞0，得f（x）的定义域是（﹣∞，0）∪（0，+∞），而f（﹣x）=ln=ln=f（x），∴f（x）是偶函数，x＞0时，y=x（e x﹣e﹣x）递增，故f（x）在（0，+∞）递增，故选：D．12．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（）A．有无数条B．有2条C．有1条D．不存在【解答】解：由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1，由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共线l，在平面ADD1A1内与l平行的线有无数条，且它们都不在平面D1EF内，由线面平行的判定定理知它们都与面D1EF平行；故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若AD的中点为M，DD1的中点为N，则异面直线MN与BD所成角的大小是60°．【解答】解：如图，连接BC1，DC1，则：MN∥BC1，且△BDC1为等边三角形；∴MN与BD所成角等于BC1与BD所成角的大小；又∠DBC1=60°；∴异面直线MN与BD所成角的大小是60°．故答案为：60°．14．（5分）已知A（3，2），B（﹣4，1），C（0，﹣1），点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是．【解答】解：k CA==1，k CB==．∵点Q线段AB上的点，则直线CQ的斜率取值范围是：．故答案为：．15．（5分）边长为2的两个等边△ABD，△CBD所在的平面互相垂直，则四面体ABCD的体积是1．【解答】解：如图，取DB中点O，连结AO，CO，∵△ABD，△CBD边长为2的两个等边△‘∴AO⊥BD，CO⊥BD，又∵面ABD⊥面BDC；∴AO⊥面BCD，AO=，四面体ABCD的体积v=，故答案为：1．16．（5分）在函数①y=2x；②y=2﹣2x；③f（x）=x+x﹣1；④f（x）=x﹣x﹣3中，存在零点且为奇函数的序号是④．【解答】解：函数①y=2x不存在零点且为非奇非偶函数，故不满足条件；函数②y=2﹣2x存在零点1，但为非奇非偶函数，故不满足条件；函数③f（x）=x+x﹣1不存在零点，为奇函数，故不满足条件；函数④f（x）=x﹣x﹣3存在零点1且为奇函数，故满足条件；故答案为：④．三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（10分）已知A（5，﹣1），B（m，m），C（2，3）三点．（1）若AB⊥BC，求m的值；（2）求线段AC的中垂线方程．【解答】解：（1），…（2分）…（5分）（2）…（6分）中垂线的斜率…（7分）AC的中点是（）…（8分）中垂线的方徎是化为6x﹣8y﹣13=0…（10分）18．（12分）已知集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，集合B=．（1）求集合A，B；（2）设集合，求函数f（x）=x﹣在A∩C上的值域．【解答】解：（1）∵集合A={a|一次函数y=（4a﹣1）x+b在R上是增函数}，∴4a﹣1＞0，解得：a＞，故…（1分），由得：当0＜a＜1时，log a＜1=log a a，解得：0＜a＜，当a＞1时，log a＜1=log a a，解得：a＞，而a＞1，故a＞1，∴…（6分）（2）…（7分）∵函数y=x在（0，+∞）是增函数，在（0，+∞）上是减函数，∴在（0，+∞）是增函数…（9分）所以当时…（12分）有…（11分）即函数的值域是…（12分）19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的正视图1是一个底边长为4、腰长为3的等腰三角形，图2、图53分别是四棱锥P﹣ABCD的侧视图和俯视图．（1）求证：AD⊥PC；（2）求四棱锥P﹣ABCD的侧面积．【解答】（1）证明：依题意，可知点P在平面ABCD上的正射影是线段CD的中点E，连接PE，则PE⊥平面ABCD．…（1分）∵AD⊂平面ABCD，∴AD⊥PE．…（2分）∵AD⊥CD，CD∩PE=E，CD⊂平面PCD，PE⊂平面PCD，∴AD⊥平面PCD．…（4分）∵PC⊂平面PCD，∴AD⊥PC．…（5分）（2）解：依题意，在等腰三角形PCD中，PC=PD=3，DE=EC=2，在Rt△PED中，，…（6分）过E作EF⊥AB，垂足为F，连接PF，∵PE⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴AB⊥PE．∵EF⊂平面PEF，PE⊂平面PEF，EF∩PE=E，∴AB⊥平面PEF．∵PF⊂平面PEF，∴AB⊥PF．依题意得EF=AD=2．在Rt△PEF中，，…（9分）∴四棱锥P﹣ABCD的侧面积．…（12分）20．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，侧面PAD是正三角形，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，设平面PAD∩平面PBC=l．（Ⅰ）求证：l∥平面ABCD；（Ⅱ）求证：PB⊥BC．【解答】（本题满分为12分）证明：（Ⅰ）∵BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，AD∥BC，∴BC∥平面PAD…（2分）又BC⊂平面PBC，平面PAD∩平面PBC=l，∴BC∥l．…（4分）又∵l⊄平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴l∥平面ABCD．…（6分）（Ⅱ）取AD中点O，连OP、OB，由已知得：OP⊥AD，OB⊥AD，又∵OP∩OB=O，∴AD⊥平面POB，…（10分）∵BC∥AD，∴BC⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴BC⊥PB．…（12分）21．（12分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．（I）求证：平面PAC⊥平面PBC；（II）若AC=1，PA=1，求圆心O到平面PBC的距离．【解答】解：（1）证明：由AB是圆的直径得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC∴BC⊥平面PAC，…（4分）又∴BC⊂平面PBC，所以平面PAC⊥平面PBC…（6分）（2）过A点作AD⊥PC于点D，则由（1）知AD⊥平面PBC，…（8分）连BD，取BD的中点E，连OE，则OE∥AD，又AD⊥平面PBCOE⊥平面PBC，所以OE长就是O到平面PBC的距离．…（10分）由中位线定理得…（12分）22．（12分）已知函数f（x）=lg（a＞0）为奇函数，函数g（x）=+b（b ∈R）．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）若b＞1，讨论方徎g（x）=ln|x|实数根的个数；（Ⅲ）当x∈[，]时，关于x的不等式f（1﹣x）≤lgg（x）有解，求b的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由为奇函数得：f（﹣x）+f（x）=0，即，（2分）所以，解得a=1，（4分）（Ⅱ）当b＞1时，设，则h（x）是偶函数且在（0，+∞）上递减又所以h（x）在（0，+∞）上有惟一的零点，方徎g（x）=ln|x|有2个实数根．…（8分）（Ⅲ）不等式f（1﹣x）≤lgg（x）等价于，即在有解，故只需，（10分）因为，所以，函数，所以，所以b≥﹣13，所以b的取值范围是[﹣13，+∞）．（12分）。