高中数学第2章第8节课时分层训练_1
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分层训练(十一) 函数与方程
A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f (x )＝ax ＋b 有一个零点是2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( )
导学号：66482079
A ．0,2
B ．0，1
2 C ．0，－1
2
D ．2，－1
2
C [由题意知2a ＋b ＝0，即b ＝－2a . 令g (x )＝bx 2
－ax ＝0，得x ＝0或x ＝a b ＝－1
2.]
2．函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的区间为( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)
D ．(1,2)
C [因为f (0)＝e 0＋0－2＝－1＜0，f (1)＝e 1＋1－2＝e －1＞0，故f (0)·f (1)＜0，故选C.]
3．函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
B [由指数函数、幂函数的性质可知，f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内递增，且f (0)＝－1＜0，f (2)＝10＞0，所以f (0)·f (2)＜0，即函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
0，x ≤0，e x ，x ＞0，
则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数
m 的取值范围是( )
A ．[0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，1]∪(2，＋∞)
D ．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D [函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ，x ≤0，
e x ＋x ，x ＞0
的大致图像(图略)．
观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m ＞1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点．]
5．(2016·湖北七校2月联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( )
导学号：66482080
A.1
4 B ．18 C ．－7
8
D ．－38
C [令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－7
8.故选C.]
二、填空题
6．已知关于x 的方程x 2＋mx －6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m 的取值范围是________．
(－∞，1) [设函数f (x )＝x 2＋mx －6，则根据条件有f (2)＜0，即4＋2m －6＜0，解得m ＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.
－2 1 [∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1，
∴f (x)－f (a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得
⎩⎪
⎨
⎪⎧2a＋b＝－3，①
a2＋2ab＝0，②
a3＋3a2＝a2b.③
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.]
8．(2015·湖南高考)若函数f (x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．
(0,2)[由f (x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图像，如图所示，
则当0 三、解答题 9．已知函数f (x)＝x3－x2＋ x 2＋ 1 4.证明：存在x0∈⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 0， 1 2，使f (x0)＝x0. [证明]令g(x)＝f (x)－x. 2分 ∵g(0)＝1 4 ，g ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫1 2 ＝f ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫1 2 －1 2 ＝－1 8 ， ∴g(0)·g ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫1 2 ＜0. 7分 又函数g(x)在 ⎣ ⎢ ⎡ ⎦ ⎥ ⎤ 0， 1 2 上连续， ∴存在x0∈ ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ 0， 1 2 ，使g(x0)＝0，