高考数学复习、高中数学 空间几何体及结构特征附答案解析

第1节空间几何体及结构特征

课标要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.

知识梳理

1.空间几何体及结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

图形

底面互相多边形互相

侧棱相交于，但不

一定相等

延长线交于

侧面形状

(2)

名称圆柱圆锥圆台球图形

母线互相平行且相等，

于底面

相交于延长线交于

轴截面全等的全等的全等的等腰梯形圆侧面展开图

2.直观图

空间几何体的直观图常用画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为(或)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的.

[微点提醒]

两个重要概念

(1)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形．

(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．

基础自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.()

(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()

(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的截面与底面之间的部分．()

(4)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.()

2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()

A.棱台

B.四棱柱

C.五棱柱

D.六棱柱

3.(必修2P21A4改编)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为()

A.1

2 B.

2

2 C.

2

3 D.

2

4

4. (2018·上海)《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设

1

AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，

以

1

AA为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）

A1

A

A．4 B．8 C．12 D．16

5. (2019·衡水金卷)用一个平面去截正方体，则截面不可能是()

A．直角三角形B．等边三角形

C．正方形D．正六边形

6.(2019·全国卷II)中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有

________个面，其棱长为_________．

考点一空间几何体的结构特征

【例1】(1)给出下列命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.

其中正确命题的个数是()

A.0

B.1

C.2

D.3

(2)给出下列命题：

①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；

②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；

③存在每个面都是直角三角形的四面体；

④棱台的侧棱延长后交于一点.

其中正确命题的序号是________.

规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念，要善于通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举一个反例.

2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中各元素的关系.

3.既然棱(圆)台是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台为锥”的解题策略.

【训练1】下列命题正确的是()

A.两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B.两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C.以直角梯形的一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

【训练2】给出下面四种说法：

(1)有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；

(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；

(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；

(4)棱台各侧棱的延长线交于一点．

其中说法错误的序号为________．

考点二空间几何体的直观图

【例2】已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()

A.

3

4a

2 B.

3

8a

2 C.

6

8a

2 D.

6

16a

2

【例3】已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A B C D

''''的面积为________．