全国100所名校单元测试示范卷数学(二十)算法初步、推理与证明、复数(理科)
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全国 100 所名校单元测试示范卷数学（二十）算法初步、推理与
证明、复数（理科）
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5 分）设 a，b∈R，（a+bi）（1﹣i）＝3+5i（i 为虚数单位），则 a+b 的值为（ ）
A．﹣2i
B．3﹣i
C．1+2i
D．﹣1﹣2i
11．（5 分）我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平
行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的 k
第 2页（共 16页）
倍．可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是 + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 与 x2+y2 ＝ a2 ， 运 用 上 面 的 原 理 ， 图 ③ 中 椭 圆 的 面 积 为 （ ）
第 1页（共 16页）
A．1
B．2
6．（5 分）执行如图的程序输出的结果是（
C．3 ）
D．4
A．3
B．7
C．15
D．17
7．（5 分）观察下列各数：1，2，2，4，8，32…，则该数列的第 8 项可能等于（ ）
A．256
B．1024
C．4128
D．8192
8．（5 分）已知 i 为虚数单位，若函数 f（x）＝
第 4页（共 16页）
22．（12 分）设函数
．
（Ⅰ）试确定 f3（x）和 f4（x）的单调区间及相应区间上的单调性； （Ⅱ）说明方程 f4（x）＝0 是否有解，并且对正整数 n，给出关于 x 的方程 fn（x）＝0 的解的一个一般结论，并加以证明．
第 5页（共 16页）
全国 100 所名校单元测试示范卷数学（二十）算法初步、推理与
若要用上述条件说明命题（f n）对一切不小于 n0的正整数 n 均成立，则 m 的最大值为（ ）
Hale Waihona Puke Baidu
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13．（5 分）复数
的共轭复数是
．
14．（5 分）按下列程序框图来计算：
如果输入的 x＝5，应该运算 15．（5 分）观察如图：则第
得 a+bi＝
＝
＝﹣1+4i，
所以 a＝﹣1，b＝4，则 a+b＝3． 故选：D． 2．（5 分）一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）
A．求 a，b，c 三数中的最大数 B．求 a，b，c 三数中的最小数 C．将 a，b，c 按从小到大排列 D．将 a，b，c 按从大到小排列 【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能， 第一个条件结构是比较 a，b 的大小， 并将 a，b 中的较小值保存在变量 a 中，
20．（12 分）已知复数 z＝ sin +icos 的模|z|＝ ，且 A≠ π，B≠ π，m，n∈Z．求 tanAtanB 的值．
21．（12 分）已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若 k＝5，k＝10 时，分别有 和 （1）试求数列{an}的通项； （2）令 bn＝2an，求 b1+b2+…+bm 的值．
A．πb2
B．
C．π（a2﹣b2）
D．πab
12．（5 分）设 f（n）是关于正整数 n 的命题．已知：
①命题 f（n0），f（n0+1），f（n0+2）均成立，其中 n0 为正整数； ②对任意的 k∈N+且 k≥n0，在假设 f（k）成立的前提下，f（k+m）也成立，其中 m 为某 个固定的正整数．
18．（12 分）如图所示的程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值． （1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构； （2）若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则输入 x 的值的集合为多少？
19．（12 分）设函数 fn（x）＝anx2+bnx+nc（ab≠0，n∈N+）． （1）若 a，b，c 均为整数，且 f1（0），f1（1）均为奇数，求证：f1（x）＝0 没有整数根． （2）若 a，b 为两不相等的实数，求证：数列{fn（1）﹣nc}不是等比数列．
证明、复数（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5 分）设 a，b∈R，（a+bi）（1﹣i）＝3+5i（i 为虚数单位），则 a+b 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：由（a+bi）（1﹣i）＝3+5i，
的图象是一条连续不断
的曲线，则实数 a 的值为（ ）
A．4
B．2
C．0
D．﹣4
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 10，则判断框内 m 的取值范围是
（）
A．（56，72]
B．（72，90]
10．（5 分）已知复数 z 的共轭复数是
C．（90，110]
D．（56，90）
，则复数 z2+ +3 等于（ ）
原因是（ ）
A．推理的形式不符合三段论的要求
B．大前提错误
C．小前提错误
D．推理的结果错误
4．（5 分）若复数 z 满足（1﹣i）z＝4i，则复数 z 对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（5 分）用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
次才停止． 行的各数之和等于 20132．
16．（5 分）对于任意实数 x，符号[x]表示不超过 x 的最大整数．在方向向右的实数轴上[x]
是在点 x 左侧的第一个整点，当 x 是整数时[x]就是 x．函数 f（x）＝[x]叫做“高斯函数
或取整函数”．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log32013]＝
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（5 分）一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）
A．求 a，b，c 三数中的最大数
B．求 a，b，c 三数中的最小数
C．将 a，b，c 按从小到大排列
D．将 a，b，c 按从大到小排列 3．（5 分）在“由于任何数的平方都是非负数，所以（2i）2≥0”这一推理中，产生错误的
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
第 3页（共 16页）
17．（10 分）设复数 z＝（a2﹣4sin2θ）+（1+2cosθ）i，其中 i 为虚数单位，a 为实数，θ∈（0， π）．若 z 是方程 x2﹣2x+5＝0 的一个根，且 z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与 a 的值．
证明、复数（理科）
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5 分）设 a，b∈R，（a+bi）（1﹣i）＝3+5i（i 为虚数单位），则 a+b 的值为（ ）
A．﹣2i
B．3﹣i
C．1+2i
D．﹣1﹣2i
11．（5 分）我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平
行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为 k，那么甲的面积是乙的面积的 k
第 2页（共 16页）
倍．可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的曲线分别是 + ＝ 1 （ a ＞ b ＞ 0 ） 与 x2+y2 ＝ a2 ， 运 用 上 面 的 原 理 ， 图 ③ 中 椭 圆 的 面 积 为 （ ）
第 1页（共 16页）
A．1
B．2
6．（5 分）执行如图的程序输出的结果是（
C．3 ）
D．4
A．3
B．7
C．15
D．17
7．（5 分）观察下列各数：1，2，2，4，8，32…，则该数列的第 8 项可能等于（ ）
A．256
B．1024
C．4128
D．8192
8．（5 分）已知 i 为虚数单位，若函数 f（x）＝
第 4页（共 16页）
22．（12 分）设函数
．
（Ⅰ）试确定 f3（x）和 f4（x）的单调区间及相应区间上的单调性； （Ⅱ）说明方程 f4（x）＝0 是否有解，并且对正整数 n，给出关于 x 的方程 fn（x）＝0 的解的一个一般结论，并加以证明．
第 5页（共 16页）
全国 100 所名校单元测试示范卷数学（二十）算法初步、推理与
若要用上述条件说明命题（f n）对一切不小于 n0的正整数 n 均成立，则 m 的最大值为（ ）
Hale Waihona Puke Baidu
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填在题中的横线上.
13．（5 分）复数
的共轭复数是
．
14．（5 分）按下列程序框图来计算：
如果输入的 x＝5，应该运算 15．（5 分）观察如图：则第
得 a+bi＝
＝
＝﹣1+4i，
所以 a＝﹣1，b＝4，则 a+b＝3． 故选：D． 2．（5 分）一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）
A．求 a，b，c 三数中的最大数 B．求 a，b，c 三数中的最小数 C．将 a，b，c 按从小到大排列 D．将 a，b，c 按从大到小排列 【解答】解：逐步分析框图中的各框语句的功能， 第一个条件结构是比较 a，b 的大小， 并将 a，b 中的较小值保存在变量 a 中，
20．（12 分）已知复数 z＝ sin +icos 的模|z|＝ ，且 A≠ π，B≠ π，m，n∈Z．求 tanAtanB 的值．
21．（12 分）已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若 k＝5，k＝10 时，分别有 和 （1）试求数列{an}的通项； （2）令 bn＝2an，求 b1+b2+…+bm 的值．
A．πb2
B．
C．π（a2﹣b2）
D．πab
12．（5 分）设 f（n）是关于正整数 n 的命题．已知：
①命题 f（n0），f（n0+1），f（n0+2）均成立，其中 n0 为正整数； ②对任意的 k∈N+且 k≥n0，在假设 f（k）成立的前提下，f（k+m）也成立，其中 m 为某 个固定的正整数．
18．（12 分）如图所示的程序框图，其作用是输入 x 的值，输出相应的 y 的值． （1）请指出该程序框图所使用的逻辑结构； （2）若要使输入的 x 的值与输出的 y 的值相等，则输入 x 的值的集合为多少？
19．（12 分）设函数 fn（x）＝anx2+bnx+nc（ab≠0，n∈N+）． （1）若 a，b，c 均为整数，且 f1（0），f1（1）均为奇数，求证：f1（x）＝0 没有整数根． （2）若 a，b 为两不相等的实数，求证：数列{fn（1）﹣nc}不是等比数列．
证明、复数（理科）
参考答案与试题解析
一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．（5 分）设 a，b∈R，（a+bi）（1﹣i）＝3+5i（i 为虚数单位），则 a+b 的值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【解答】解：由（a+bi）（1﹣i）＝3+5i，
的图象是一条连续不断
的曲线，则实数 a 的值为（ ）
A．4
B．2
C．0
D．﹣4
9．（5 分）执行如图所示的程序框图，若输出的结果是 10，则判断框内 m 的取值范围是
（）
A．（56，72]
B．（72，90]
10．（5 分）已知复数 z 的共轭复数是
C．（90，110]
D．（56，90）
，则复数 z2+ +3 等于（ ）
原因是（ ）
A．推理的形式不符合三段论的要求
B．大前提错误
C．小前提错误
D．推理的结果错误
4．（5 分）若复数 z 满足（1﹣i）z＝4i，则复数 z 对应的点在复平面的（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
5．（5 分）用辗转相除法求 294 和 84 的最大公约数时，需要做除法的次数是（ ）
次才停止． 行的各数之和等于 20132．
16．（5 分）对于任意实数 x，符号[x]表示不超过 x 的最大整数．在方向向右的实数轴上[x]
是在点 x 左侧的第一个整点，当 x 是整数时[x]就是 x．函数 f（x）＝[x]叫做“高斯函数
或取整函数”．那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log32013]＝
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（5 分）一个算法的程序框图如图所示，该程序框图的功能是（ ）
A．求 a，b，c 三数中的最大数
B．求 a，b，c 三数中的最小数
C．将 a，b，c 按从小到大排列
D．将 a，b，c 按从大到小排列 3．（5 分）在“由于任何数的平方都是非负数，所以（2i）2≥0”这一推理中，产生错误的
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
第 3页（共 16页）
17．（10 分）设复数 z＝（a2﹣4sin2θ）+（1+2cosθ）i，其中 i 为虚数单位，a 为实数，θ∈（0， π）．若 z 是方程 x2﹣2x+5＝0 的一个根，且 z 在复平面内所对应的点在第一象限，求θ与 a 的值．