全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师8(文)
全国百所名校高三数学初考试示范卷 文
数学（文）试题考试时间：120分钟 满分： 150分一、选择题（本题共12个小题，每题5分，共60分，四个选项中只有一个正确） 1．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ⊕==+∈∈．设集合},{10=A ，},{32=B ，则集合B A ⊕的所有元素之和为（ ） A ．0 B ．6C ．12D ．182．若函数)(),(x g x f 的定义域都是R ，则)()()(R x x g x f ∈>成立的充要条件是（ ）A ．有一个R x ∈，使)()(x g x f >B ．有无数多个R x ∈，使)()(x g x f >C ．对R 中任意的x ，使1+>)()(x g x fD ．在R 中不存在x ，使)()(x g x f ≤3．设复数θθsin cos i z +=，],[πθ0∈，i +-=1ω，则||ω-z 的最大值是（ ）A ．12+B ．5C ．2D ．12-4．已知,是非零向量且满足⊥-)(2，⊥-)(2，则与的夹角是（ ）A ．6πB ．3πC ．32πD ．65π5．右面程序框图表示的算法的运行结果是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．86等腰直角三角形，且直角边长为1为 （ ） A ．1 B ．21 C ．31D ．617．若函数R x x x x f ∈+=,cos sin )(ωω3，又02=-=)(,)(βαf f ，且βα-的最小值为43π，则正数ω的值是（ ）A ．31B ．32C ．34D ．23 8．如图，已知抛物线)(022>=p px y 的焦点F 恰好是双曲线12222=-b y a x 的右焦点，且两条曲线的交点的连线过F ，则该双曲线的离心率是 （ ）A ．2B ．2C ．12+D ．12-9．为了了解某市高三毕业生升学考试数学成绩情况，从参加考试的学生中随机地抽查了1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是 （ ）A ．总体指的是该市参加升学考试的全体学生；B ．个体是指1000名学生中的每一名学生；C ．样本容量指的是1000名学生；D ．样本指的是1000名学生升学考试的数学成绩10．抛物线2240,,y px ax y A B =+-=与直线交于两点其中A 点的坐标是（1，2），该抛物线的焦点为F ，则||||FA FB +=（ ）A ．7B ．C ．6D ．511．知数列54321,,,,a a a a a 的各项均不等于0和1，此数列前n 项的和为n S ，且满足)51(22≤≤-=n a a S n n n ，则满足条件的数列共有（ ）A ． 2个B ． 6个C ． 8个D ． 16个12．已知()x f 为定义在),(+∞-∞上的可导函数，且)()('x f x f <对于任意R x ∈恒成立，则（ ） A ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅>B ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅>⋅<C ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅>D ．)0()2010(),0()2(20102f e f f e f ⋅<⋅<二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．数列{}n a 中，)2,(122,511≥∈-+==*-n N n a a a n n n ，若存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n a 2λ为等差数列，则λ= 14．已知定义域为R 的函数)(x f 为奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，当]1,0[∈x 时，12)(-=x x f ，则)24(log 21f =15．已知关于X 的实系数方程220x ax b ++=的一根在（0，1）内， 另一根在（1，2）内，求点（a ，b ）所在区域的面积为 。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(四)第四单元导数及其应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知f(x)=cos x,则f'()等于A. B.- C. D.-解析:f'()=-sin=-.答案:D2.已知点A是曲线y=ln x(x≥1)上的动点,在点A处的切线倾斜角为θ,则θ的取值范围是A.[0,]B.[0,]C.(0,]D.[,)解析:y'=,∵x≥1,∴y'∈(0,],由导数的几何意义及直线倾斜角的定义知0<tanθ≤,∴0<θ≤.答案:C3.已知函数f(x)=x3-的导函数为f'(x),则f'(x)的最小值为A.1B.2C.4D.8解析:f'(x)=4x2+≥4.答案:C4.若函数f(x)=x3-3x+m恰有2个不同的零点,则实数m的值为A.±2B.±1C.-2或1D.-1或2解析:f'(x)=3(x2-1),所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上都递增,在[-1,1]上递减,因此要使f(x)恰有2个零点,则只需f(-1)=0或f(1)=0,由此得m=±2.答案:A5.函数f(x)=x+2cos x在[0,]上取得最大值时,x的值为A.0B.C.D.解析:f(x)=(x+2cos x)'=1-2sin x,令1-2sin x=0,且x∈[0,]时,x=,当x∈[0,)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈[,]时,f'(x)≤0,函数f(x)单调递减.∴f(x)max=f().答案:B6.若a>3,则方程x3-ax2+1=0在(0,2)上恰有A.0个根B.1个根C.2个根D.3个根解析:令f(x)=x3-ax2+1,则f'(x)=3x2-2ax=3x(x-a).由f'(x)=0,得x=0或x=a(∵a>3,∴a>2),∴当0<x<2时,f'(x)<0,即f(x)在(0,2)上单调递减.又f(0)·f(2)=8-4a+1=9-4a<0,∴f(x)在(0,2)上有一个零点,即方程在(0,2)上有一实根.答案:B7.如图是二次函数f(x)=x2-bx+c的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是A.(,)B.(,1)C.(1,2)D.(2,3)解析:由图可知,0<b<1,0<c<1,b-c=,∴<b<1,g(x)=ln x+x-b为增函数,g(1)=1-b>0,g()=-ln2+-b<0,故零点所在的区间为(,1).答案:B8.已知函数y=f(x)(x∈R)的图象如图所示,则不等式xf'(x)<0的解集为A.(-∞,0)∪(,2)B.(-∞,)∪(,2)C.(-∞,)∪(,+∞)D.(-∞,)∪(2,+∞)解析:由f(x)图象的单调性可得f'(x)在(-∞,)和(2,+∞)上大于0,在(,2)上小于0,∴xf'(x)<0的解集为(-∞,0)∪(,2).答案:A9.已知函数f(x)=ax2+bx+c的图象在点x=1处的切线l为直线3x-y-1=0,T n=f(n)为等差数列{a n}的前n项和,若数列{}的前n项和为S n,则S2013的值为A. B. C. D.解析:∵T n=f(n)=an2+bn+c为等差数列{a n}的前n项和,∴c=0,f(x)=ax2+bx,由题意可得∴a=1,b=1,==-,S n=(1-)+(-)+…+(-)=,∴S2013=.答案:D10.已知f(x)=-x3-ax在(-∞,-1]上递减,且g(x)=2x-在区间(1,2]上既有最大值又有最小值,则a的取值范围是A.a>-2B.a≥-3C.-3≤a<-2D.-3≤a≤-2解析:由f'(x)=-3x2-a≤0对于一切x∈(-∞,-1]恒成立,得-3x2≤a,∴a≥-3.又由g(x)在(1,2]上有最大最小值知-4≤a<-2,∴-3≤a<-2.答案:C11.偶函数f(x)在(-∞,+∞)内可导,对任意x都有f(x)=-f(-x+2),且函数f(x)在x=1处的切线与抛物线y2=4x在点(4,4)处的切线恰好垂直,则曲线y=f(x)在点(-9,f(-9))处切线的斜率为A.2B.-2C.D.-解析:由f(x)为偶函数及f(x)=-f(-x+2)知,f(x)是一个周期为4的周期函数.所以y=f(x)在x=-9处的切线与x=-1处的切线斜率相等,又根据图象对称性知x=-1处的切线斜率与x=1处的切线斜率互为相反数,求得y2=4x在点(4,4)处的切线斜率为,所以y=f(x)在x=1处的切线斜率为-2,即在x=-9处的切线斜率为2.答案:A12.为处理含有某种杂质的污水,要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱(如图),污水从A孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为a米,高度为b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比,现有制箱材料60平方米,当a、b各为()米时,经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A、B孔的面积忽略不计)?A.a=2,b=9B.a=9,b=2C.a=3,b=6D.a=6,b=3解析:经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y=(k>0为比例系数),要求y的最小值,只需求ab的最大值.-.其中a、b满足2a+4b+2ab=60,b=-(0<a<30).记u=ab=-,令u'=0得a=6.由u'=且当0<a<6时,u'>0,当6<a<30时u'<0,∴u=-在a=6时取最大值,此时b=3.从而当且仅当a=6,b=3时,y=取最小值.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=(x>0)的单调增区间为.->0得x>1,解析:由f'(x)=即函数f(x)的单调增区间为(1,+∞).答案:(1,+∞)14.已知二次函数f(x)=af'(1)x2+2f'(0)x,则a=.解析:因为f'(x)=2af'(1)x+2f'(0),由f'(0)=2f'(0),知f'(0)=0,所以f'(1)=2af'(1),且f(x)为二次函数知f'(1)≠0,所以a=.答案:15.已知函数f(x)=x3-3x+1,则过点(1,-1)的切线方程为.解析:设切点为(a,a3-3a+1),则斜率k=3a2-3,切线方程为y-(a3-3a+1)=(3a2-3)(x-a).又切线过点(1,-1),所以有2a3-3a2+1=0,解得a=1或a=-,所以切线方程为y=-1或9x+4y-5=0.答案:y=-1或9x+4y-5=016.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=0,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf'(x)<0成立(其中f'(x)是f(x)的导函数),则不等式xf(x)>0的解集是.解析:当x<0时,f(x)+xf'(x)<0,即(xf(x))'<0,令y=xf(x),则函数y=xf(x)在区间(-∞,0)上为减函数,又f(x)在定义域上是偶函数,∴函数y=xf(x)在定义域上是奇函数,且2f(-2)=2f(2)=0,则xf(x)>0在(-∞,0)上的解集是(-∞,-2),∴xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2).答案:(-∞,-2)∪(0,2)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知a>0,函数f(x)=ln x-a2x2-ax,1≤x≤e,f'(2)=0,求函数f(x)的最小值.-,∴f'(2)=--=0,又∵a>0,解析:∵f'(x)=-∴4a-1=0,a=,∴f(x)=ln x-x2-x,f'(x)=--,1≤x≤e,4分∴1≤x≤2时,f'(x)>0;2≤x≤e时,f'(x)<0,f(x)在区间[1,2]上是增函数,在区间(2,e]上是减函数,∴f(x)min={f(1),f(e)}min.8分∵f(1)-f(e)=-+-=-<-=0,∴f(x)min=f(1)=-.10分18.(本小题满分12分)设f(x)=e x(ax2+3),其中a为实数.(1)当a=-1时,求f(x)的极值;(2)若f(x)为[1,2]上的单调函数,求a的取值范围.解析:(1)当a=-1时,有f(x)=e x(-x2+3),f'(x)=e x(-x2-2x+3)=-e x(x+3)(x-1),由f'(x)>0知f(x)在(-3,1)上递增,由f'(x)<0知f(x)在(-∞,-3)和(1,+∞)上都递减,所以f(x)极小值=f(-3)=-6e-3,f(x)极大值=f(1)=2e.5分(2)要使f(x)在[1,2]上递增,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≥0恒成立,即ax2+2ax+3≥0恒成立,a≥(-)max=-;要使f(x)在[1,2]上递减,则f'(x)=e x(ax2+2ax+3)≤0恒成立,即ax2+2ax+3≤0恒成立,a≤(-)min=-1.综上,f(x)在[1,2]上单调,则a≤-1或a≥-.12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2-2ln x.(1)求函数f(x)的单调区间;(2)对于函数图象上的不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),如果在函数图象上存在点P(x0,y0)(其中x0在x1与x2之间),使得点P处的切线l平行于直线AB,则称AB存在“伴随切线”,当x0=时,又称AB存在“中值伴随切线”.试判断函数f(x)的图象上是否存在“中值伴随切线”,若存在,请求出“中值伴随切线”.解析:(1)f'(x)=-,由f'(x)>0知递增区间为(1,+∞),由f'(x)<0知递减区间为(0,1].3分(2)假设存在不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨设0<x1<x2),使得AB存在“中值伴随切线”,则--=f'(),化简得:=--,即·-=ln.设函数g(x)=ln x--,则g'(x)=-=-,当x∈(0,1)时,g'(x)>0,即g(x)在(0,1]上是增函数.又0<<1,所以g()<g(1)=0,即·->ln,与上面结论矛盾,所以在函数f的图象上是不存在不同两点A,B,使得AB存在“中值伴随切线”.12分20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x+b(a,b∈R).(1)若y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程为x+y-3=0,求f(x)在区间[-2,4]上的最大值;(2)当a≠0时,若f(x)在区间(-1,1)上不单调,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=x2-2ax+a2-1.∵(1,f(1))在x+y-3=0上,∴f(1)=2,∵(1,2)在y=f(x)的图象上,∴2=-a+a2-1+b,又f'(1)=-1,∴1-2a+a2-1=-1,∴a2-2a+1=0,解得a=1,b=,∴f(x)=x3-x2+,f'(x)=x2-2x.5分由f'(x)=0可知x=0和x=2是f(x)的极值点.∵f(0)=,f(2)=,f(-2)=-4,f(4)=8,∴f(x)在区间[-2,4]上的最大值为8.7分(2)因为函数f(x)在区间(-1,1)上不单调,所以函数f'(x)在(-1,1)上存在零点.而f'(x)=0的两根为a-1,a+1,a+1-(a-1)=2,∴在区间(-1,1)上不可能有2个零点.∴f'(-1)f'(1)<0,即a2(a+2)(a-2)<0.10分∵a2>0,∴(a+2)(a-2)<0,∴-2<a<2.又∵a≠0,∴a∈(-2,0)∪(0,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数y=f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(1)当a>0时,若f(x)满足y极小值=1,y极大值=,试求f(x)的解析式;(2)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上的任意一点处的切线斜率k满足|k|≤1,求a的取值范围.解析:(1)f'(x)=-3x2+2ax=0,得x=0或x=a.2分a>0时,x所以f(0)=b=1,f(a)=-a3+a·a2+1=,4分即a=1,b=1.故f(x)=-x3+x2+1.6分(2)由题设x∈[0,1]时,恒有|k|=|f'(x)|≤1,即-1≤-3x2+2ax≤1在x∈[0,1]上恒成立.8分当x=0时,a∈R;当x∈(0,1]时,由-3x2+2ax≥-1恒成立,即2ax≥3x2-1,a≥(3x-),所以a≥1(函数(3x-)在(0,1]上为增函数).10分另一方面,由-3x2+2ax≤1恒成立,得a≤(3x+),所以a≤(当且仅当x=时,取最值).综上所述:1≤a≤.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax2-ln x.(1)求函数的单调区间与最值;(2)当a=1时,函数g(x)=1-,求证:++…+<.(其中e为自然对数的底数)-(x>0),解析:(1)因为f'(x)=所以①当a≤0时,f'(x)<0恒成立,故递减区间为(0,+∞),无最值;②当a>0时,递增区间为[,+∞),递减区间为(0,),所以有最小值f()=[1+ln(2a)].5分(2)当a=1时,函数g(x)=(x>0),g'(x)=-,函数g(x)在(,+∞)上单调递减,在(0,)上单调递增,所以有g(x)=≤g()=,≤·,且有<·<·(--),取x=2,3,…,则++…+<·[(1-)+(-)+…+(--)],所以++…+<·(1-)<.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(五)第五单元函数的综合应用(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.a、b为实数,集合M={,1},N={a,0},f:x→2x表示把集合M中的元素x,映射到集合N 中为2x,则a+b等于A.-2B.0C.2D.±2解析:由于M中元素1能对应a,能对应0,所以=0,a=2,所以b=0,a=2,因此a+b=2.答案:C2.已知函数f(x)=--则f[f(-1)]等于A.B.2 C.1 D.-1解析:f[f(-1)]=f(1)=2.答案:B3.函数y=(a>1)的图象大致形状是解析:当x>0时,y=a x,因为a>1,所以是增函数,排除C、D,当x<0时,y=-a x,是减函数,所以排除A.答案:B4.设函数f(x)为定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=2x-2x+m(m为常数),则f(-2)等于A.-B.-1C.1D.3解析:因为函数f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,即20+m=0,所以m=-1,所以当x≥0时,函数f(x)=2x-2x-1,所以f(-2)=-f(2)=-(4-4-1)=1.答案:C5.记min{a,b}为a,b两个数的较小者,max{a,b}为a,b两个数的较大者,f(x)=-则--·-的值为A.min{a,b}B.max{a,b}C.bD.a--=b.解析:(1)若a>b,则a-b>0,∴f(a-b)=1.∴原式=(2)若a<b,a-b<0,∴f(a-b)=-1.∴原式==a.--·-=min{a,b}.所以答案:A6.已知f(x+199)=4x2+4x+3(x∈R),那么函数f(x)的最小值为A.1B.2C.3D.5解析:求f(x)的解析式运算量较大,但这里我们注意到,y=f(x+199)与y=f(x),其图象仅是左右平移关系,它们取得的最大值和最小值是相同的,由y=4x2+4x+3=4(x+)2+2,所以f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.答案:B7.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数.若f(x)在[-1,0]上是减函数,那么f(x)在[2,3]上是A.增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数解析:∵f(x)为[-1,0]上的减函数,且f(x)为R上的偶函数,∴f(x)在[0,1]上是增函数,又f(x)是以2为周期的函数,∴f(x)在[2,3]上的单调性与[0,1]上相同,即递增.答案:A8.已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域均为[-π,π],且它们在x∈[0,π]上的图象如图所示,则不等式<0的解集为A.(-,)B.(,π)C.(-,)∪(,π)D.(-,0)∪(,π)解析:<0⇒f(x)与g(x)在同一区间内符号相反,由图可知当x∈(0,π)时,两者异号的区间为(,π),又f(x)为偶函数,g(x)为奇函数,∴它们在[-π,0]上的图象大致为如图所示,可知其异号的区间为(-,0),∴<0的解集为(-,0)∪(,π).答案:D9.已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(-1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行,若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,则实数t的取值范围是A.[-2,-1]B.(-2,-1)C.(-2,0)D.(-1,1)解析:由题可知---即---得∴f'(x)=3x2+6x,令f'(x)≤0,得-2≤x≤0,∵f(x)在区间[t,t+1]上递减,∴-得-2≤t≤-1.答案:A10.已知函数f(x)满足:①定义域为R;②对任意x∈R,有f(x+2)=2f(x);③当x∈[-1,1]时,f(x)=-|x|+1.则方程f(x)=log4|x|在区间[-4,4]内的解的个数是A.9B.6C.5D.4解析:∵f(x+2)=2f(x),∴f(4)=2f(2)=4f(0)=4,又log44<2,∴当0≤x≤4时,作出草图可知f(x)=log4|x|有3个解,又f(-2)=f(0)==log4|-2|,∴作出草图可知当-4≤x<0时,f(x)=log4|x|有2个解,∴在[-4,4]内解的个数是5个.答案:C11.2011年3月发生在日本的9级大地震虽然过去多年了,但它对日本的核电站的破坏却是持续的,其中有一种放射性元素铯137在其衰变过程中,假设近似满足:其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系:M(t)=M0-,其中M0为t=0时铯137的含量.已知t=30时,铯137含量的变化率是-10ln2(太贝克/年),则M(60)等于A.5太贝克B.72ln2太贝克C.150ln2太贝克D.150太贝克解析:因为铯137含量的变化率为M'(t)=-M0-ln2,所以当t=30时,M'(30)=-M0-ln2=-ln2=-10ln2,所以M0=600,可解得M(60)=150.答案:D12.已知函数f(x)=ln x++ax,x∈(0,+∞)(a为实常数).若f(x)在[2,+∞)上是单调函数,则a的取值范围是A.(-∞,-]B.(-∞,-]∪[0,+∞)C.(-∞,0)∪[,+∞]D.(-∞,0)∪(,+∞)-,解析:f'(x)=-+a=当a≥0时,ax2+x-1在[2,+∞)上恒大于零,即f'(x)>0,符合要求.当a<0时,令g(x)=ax2+x-1,g(x)在[2,+∞)上只能恒小于零,解得a≤-,故Δ=1+4a≤0或-∴a的取值范围是(-∞,-]∪[0,+∞).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数f(x)=log0.1|x-1|的定义域是.解析:∵|x-1|>0,∴x∈R且x≠1.答案:{x|x∈R且x≠1}14.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f(2)=1且对任意x∈R都有f(x+3)=f(x),则f(2014)=.解析:由f(x+3)=f(x)知,f(x)是以周期为3的周期函数.所以f(2014)=f(671×3+1)=f(1)=f(3-2)=f(-2)=f(2)=1.答案:115.若lg x+lg y=0,则2x·2y的最小值是.解析:lg xy=0,xy=1,x+y≥2=2,2x·2y=2x+y≥22=4.答案:416.抛物线y2=3x与圆x2+y2=4围成的封闭图形的面积是.解析:得或-如图,则抛物线y2=3x与AB围成的图形面积是S=2dx=2×=因为A的坐标是A(1,),所以∠AOx=,劣弧AB与弦AB围成的面积是π·22-×2=π-,所以抛物线与圆围成的封闭图形面积是+π-=π+.答案:π+三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)(1)已知f(+1)=x+2,求f(x),f(x+1),f(x2);(2)已知2f(x)+f()=10x,求f(x).解析:(1)设t=+1≥1,则=t-1(t≥1),x=(t-1)2,∴f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1),∴f(x)=x2-1(x≥1),∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x≥0),∴f(x2)=x4-1(x≤-1或x≥1).5分(2)由2f(x)+f()=10x,用代换x,则2f()+f(x)=1,两式联立消去f()得f(x)=×10x-×1.10分18.(本小题满分12分)某段高速公路全长240公里,两端收费站已建好,余下工程只需要在该段两端已建好的收费站之间修路面和等距离修建安全出口,经预算,修建一个安全出口的工程费用为400万元,铺设距离为x公里的相邻两安全出口之间道路费用为x2+x万元.设余下工程的总费用为y万元.(1)试将y表示成关于x的函数;(2)需要修建多少个安全出口才能使y最小,其最小值为多少万元?解析:(1)设需要修建k个安全出口,则(k+1)x=240,即k=-1.所以y=400k+(k+1)(x2+x)=400×(-1)+(x2+x)=+240x-160.因为x表示相邻两安全出口之间的距离,则0<x≤240.故y与x的函数关系是y=+240x-160(0<x≤240).6分(2)y=+240x-160≥2-160=9440.当且仅当=240x即x=20时取等号,此时k=-1=-1=11.故需要修建11个安全出口才能使y最小,最小值为9440万元.12分19.(本小题满分12分)设函数y=f(x)的定义域为R,并且满足f(x+y)=f(x)+f(y),f()=1,且当x>0时,f(x)>0.(1)求f(0)的值;(2)判断函数的奇偶性;(3)如果f(x)+f(2+x)<2,求x的取值范围.解析:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.3分(2)令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(-x)=-f(x),故函数是奇函数.6分(3)任取x1,x2∈R,x1<x2,则x2-x1>0,∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)>0f(x1)<f(x2).故f(x)是R上的增函数.∵f()=1,∴f()=f(+)=f()+f()=2,∴f(x)+f(2+x)=f[x+(2+x)]=f(2x+2)<f(),又由y=f(x)是定义在R上的增函数,得2x+2<,解之得x<-.故x∈(-∞,-).12分20.(本小题满分12分)函数f(x)的图象是[-2,2]上连续不断的曲线,且满足2014f(-x)=,且在[0,2]上是增函数,若f(log2m)<f[log4(m+2)]成立,求实数m的取值范围.解析:∵2014f(-x)=,即201-=2014-f(x),可得f(-x)=-f(x).又因为函数的定义域[-2,2]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数.由奇函数的性质可知,函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的,而已知函数f(x)在[0,2]上是单调递增的,所以函数f(x)在[-2,0]上也是单调递增的.故由f(log2m)<f[log4(m+2)],可得--6分由-2≤log2m≤2,解得≤m≤4.由-2≤log4(m+2)≤2,解得≤m+2≤16,即-≤m≤14.由log2m<log4(m+2),得log4m2<log4(m+2),故有解得0<m<2.综上所述,m的取值范围为[,2).12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=(a+)ln x+-x(a>1).(1)试讨论f(x)在区间(0,1)上的单调性;(2)当a∈[3,+∞)时,曲线y=f(x)总存在相异两点P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线y=f(x)在点P、Q处的切线互相平行,求证x1+x2>.解析:(1)由已知x>0,f'(x)=--1=--=---.由f'(x)=0,得x1=,x2=a.因为a>1,所以0<<1,且a>.所以在区间(0,)上,f'(x)<0;在区间(,1)上,f'(x)>0.故f(x)在(0,)上单调递减,在(,1)上单调递增.6分(2)由题意可得,当a∈[3,+∞)时,f'(x1)=f'(x2)(x1,x2>0且x1≠x2).即--1=--1,所以a+=+=,a∈[3,+∞).因为x1,x2>0且x1≠x2,所以x1x2<()2恒成立,所以>,又x1+x2>0,所以a+=>,整理得x1+x2>.令g(a)=,因为a∈[3,+∞),所以g(a)在[3,+∞)上单调递减,所以g(a)=在[3,+∞)上的最大值为g(3)=,所以x1+x2>.12分22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x-ax(a∈R).(1)求f(x)的极值;(2)若f(x)≥x+b恒成立,求(a+1)b的最大值.解析:(1)f'(x)=e x-a,显然,当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)不存在极值.当a>0时,由f'(x)>0,得x>ln a,当x∈(ln a,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增,当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,所以x=ln a时,函数f(x)取得极小值,f(ln a)=a-aln a.4分(2)f(x)≥x+b恒成立,即e x-ax≥x+b,得e x-(a+1)x≥b.(i)若a+1<0,对任意实数b,x<0时,因为e x<1,-,所以e x-(a+1)x<1-(a+1)x,令1-(a+1)x<b,得x<因此,a+1<0,f(x)≥x+b不恒成立.(ii)若a+1=0,则(a+1)b=0.(iii)若a+1>0,设g(x)=e x-(a+1)x,则g'(x)=e x-(a+1),当x∈(-∞,ln(a+1))时,g'(x)<0,当x∈(ln(a+1),+∞)时,g'(x)>0,从而g(x)在(-∞,ln(a+1))上单调递减,在(ln(a+1),+∞)上单调递增,故g(x)有最小值,g(ln(a+1))=a+1-(a+1)ln(a+1),所以f(x)≥x+b恒成立等价于b≤a+1-(a+1)ln(a+1),因此(a+1)b≤(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),10分设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h'(a)=(a+1)(1-2ln(a+1)),所以h(a)在(-1,-1)上单调递增,在(-1,+∞)上单调递减,故h(a)在a=-1处取得最大值h(-1)=,从而h(a)≤,即(a+1)b≤,所以(a+1)b的最大值是.12分。
全国100所名校单元测试示范卷高三数学
全国100所名校单元测试示范卷高三数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 下列函数中，不是周期函数的是：A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = tan(x)D. y = e^x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，求A∪B：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 4}3. 若f(x) = 2x - 1，求f(3)：A. 5B. 4C. 3D. 24. 已知a > 0，b > 0，且a + b = 1，求ab的最大值：A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/65. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (-1, 0)B. (3/2, 0)C. (0, 3)D. (1, 0)6. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值：A. 0B. -4C. -3D. 47. 根据题目所给的三角函数关系，求cos(α + β)的值：A. cosαcosβB. sinαsinβC. cosαsinβ - sinαcosβD. sinαcosβ + cosαsinβ8. 若a, b, c ∈ R，且a^2 + b^2 + c^2 = 1，求(a + b + c)^2的最大值：A. 1B. 3/2C. 2D. 9/49. 已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10：A. 29B. 32C. 35D. 3810. 已知函数f(x) = |x - 1| + |x - 3|，求f(2)：A. 0B. 1C. 2D. 4二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值。
答案：__________12. 若sinθ = 1/3，且θ为锐角，求cosθ的值。
答案：__________13. 已知等比数列{bn}的首项b1=8，公比q=1/2，求第5项b5。
全国100所名校届高三数学模拟示范卷(文科)(八)含解析
2016年全国100所名校高考数学模拟示范卷（文科）（八）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}，B={x|﹣3≤x＜1}，则A∩B等于（）A．[﹣3，1）B．[﹣3，﹣2）C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，2）2．复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设函数f（x）=，若f（m）=7，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．34．已知向量=（1，0），=（2，2），且+λ与垂直，则实数λ等于（）A．﹣1 B．C．﹣D．15．若函数y=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（）A． B． C．D．6．若a为实数，命题“任意x∈[0，4]，x2﹣2a﹣8≤0”为真命题的充要条件是（）A．a≥8 B．a＜8 C．a≥4 D．a＜47．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=08．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足a3=a1+2a2，则等于（）A．2+3B．2+2C．3﹣2D．3+29．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．10．执行如图所示的程序框图，如果输入a=，b=1，那么输出的b值为（）A．3 B．4 C．5 D．611．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形，三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该棱柱的外接球与内切球的半径之比为（）A．：B．：1 C．：D．：112．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=（x ﹣1）2﹣1，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）A．（﹣，4﹣）B．（8﹣2，4﹣）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某市在某次高一数学竞赛中，对800名参赛学生的成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这800名学生在该次数学竞赛中成绩不低于80分的学生人数是．14．已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=，a n=﹣2S n S n﹣1（n≥2），则S200=．16．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•=﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|=．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，且cosA=．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若b=2，△ABC的面积S=4，求a．18．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次“”“”（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为梯形，AB∥DC，平面PAD⊥平面ABCD，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2，点M在PC上，PM=mMC．（1）求证：平面PAD⊥平面MBD；（2）试确定m的值，使三棱锥P﹣ABD体积为三棱锥P﹣MBD体积的3倍．20．已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k的直线交椭圆C于点M，N两点（异于A点），且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2，且当x∈（，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m﹣3e恒成立，求实数m的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．2016年全国100所名校高考数学模拟示范卷（文科）（八）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}，B={x|﹣3≤x＜1}，则A∩B等于（）A．[﹣3，1）B．[﹣3，﹣2）C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，2）【考点】交集及其运算．【分析】化简集合A，根据交集的定义求出A∩B即可．【解答】解：集合A={x|（x﹣4）（x+2）＞0}={x|x＜﹣2或x＞4}，B={x|﹣3≤x＜1}，所以A∩B={x|﹣3≤x＜﹣2}=[﹣3，﹣2）．故选：B．2．复数z满足z=（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出复数z在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：z==，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第一象限．故选：A．3．设函数f（x）=，若f（m）=7，则实数m的值为（）A．0 B．1 C．﹣3 D．3【考点】函数的值．【分析】根据解析式对m进行分类讨论，分别代入解析式化简f（m）=7，求出实数m的值．【解答】解：①当m≥2时，f（m）=7为：m2﹣2=7，解得m=3或m=﹣3（舍去），则m=3；②当m＜2时，f（m）=7为：=7，解得m=27＞2，舍去，综上可得，实数m的值是3，故选：D．4．已知向量=（1，0），=（2，2），且+λ与垂直，则实数λ等于（）A ．﹣1B ．C ．﹣D ．1【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量垂直，数量积为0，得到关于λ的方程解之．【解答】解：因为向量=（1，0），=（2，2），所以+λ=（1+2λ，2λ），且+λ与垂直，所以（+λ）•=0即1+2λ=0，解得；故选：C ．5．若函数y=sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则φ的值为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据函数y=sin （2x +φ）的图象关于直线x=对称，求出φ=﹣+k π，k ∈Z ；再结合0＜φ＜π得出φ的值．【解答】解：函数y=sin （2x +φ）（0＜φ＜π）的图象关于直线x=对称，则2×+φ=+k π，k ∈Z ，解得φ=﹣+k π，k ∈Z ；又0＜φ＜π，所以当k=1时，φ=．故选：A ．6．若a 为实数，命题“任意x ∈[0，4]，x 2﹣2a ﹣8≤0”为真命题的充要条件是（ ） A ．a ≥8 B ．a ＜8 C ．a ≥4 D ．a ＜4【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】利用参数分离法进行转化，求出函数的最值即可得到结论． 【解答】解：若“任意x ∈[0，4]，x 2﹣2a ﹣8≤0”，则等价为x 2≤2a +8， ∵x ∈[0，4]， ∴x 2∈[0，16]， ∴x 2的最大值为16， 即16≤2a +8，则2a ≥8，得a ≥4，即，命题“任意x ∈[0，4]，x 2﹣2a ﹣8≤0”为真命题的充要条件是a ≥4， 故选：C ．7．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．4x±3y=0 D．3x±4y=0【考点】双曲线的简单性质．【分析】可用筛选，由4x±3y=0得y=±x，取a=3，b=4，则c=5，满足a+c=2b．【解答】解：双曲线的右焦点到左顶点的距离为a+c，右焦点到渐近线y=±x距离为d==b，所以有：a+c=2b，取a=3，b=4，得4x±3y=0，整理得y=±x，则c=5，满足a+c=2b．故选：C．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足a3=a1+2a2，则等于（）A．2+3B．2+2C．3﹣2D．3+2【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据a3=a1+2a2列方程解出公比q，代入式子化简计算即可．【解答】解：设{a n}的公比为q，∵a3=a1+2a2，∴a1q2=a1+2a1q，即q2﹣2q﹣1=0，解得q=1+或q=1﹣．∵{a n}的各项均为正数，∴q=1+．∴==q2=3+2．故选：D．9．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A． B．C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由俯视图与左视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故选：D．10．执行如图所示的程序框图，如果输入a=，b=1，那么输出的b值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，依次运行，直到满足条件即可得到结论．【解答】解：输入a=，则log3a=log3＞10不成立，b=b+1=2；a==3，则log3a=log33＞10不成立，b=b+1=3；a=33=27，则log3a=log327＞10不成立，b=b+1=4；a=274=312，则log3a=log3312＞10成立，输出b=4，结束程序．故选：B．11．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形，三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该棱柱的外接球与内切球的半径之比为（）A．：B．：1 C．：D．：1【考点】球内接多面体．【分析】利用底面是边长为2的正三角形，可得正三角形的内切圆的半径为=1，外接圆的半径为2，进而得出内切球的半径、三棱柱的高，求出棱柱的外接球的半径，即可得出棱柱的外接球与内切球的半径之比．【解答】解：∵底面是边长为2的正三角形，∴正三角形的内切圆的半径为=1，外接圆的半径为2，∴内切球的半径=1，∴三棱柱的高为2，∴棱柱的外接球的半径为=，∴该棱柱的外接球与内切球的半径之比为：1，故选：B．12．设f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，当x∈[0，2]时，f（x）=（x ﹣1）2﹣1，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，则正实数k的取值范围为（）A．（﹣，4﹣）B．（8﹣2，4﹣）C．（5﹣2，4﹣2）D．（8﹣2，4﹣2）【考点】根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用．【分析】根据函数奇偶性和对称性求出函数的周期，以及函数的解析式，利用函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）与y=k（x﹣1）有三个不同的交点，利用数形结合，以及直线和抛物线相切的等价条件，利用判别式△=0，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）+f（2+x）=0，∴f（2+x）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（2+x）=f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，若x∈[﹣2，0]时，则﹣x∈[0，2]时，此时f（﹣x）=（﹣x﹣1）2﹣1=（x+1）2﹣1=﹣f（x），即f（x）=﹣（x+1）2+1，x∈[﹣2，0]，若关于x的方程f（x）﹣k（x﹣1）=0恰有三个不同的实数解，等价为f（x）=k（x﹣1）恰有三个不同的实数解，即函数f（x）与y=k（x﹣1）有三个不同的交点，作出函数f（x）和y=k（x﹣1）的图象如图：当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，则f（x）=f（x﹣4）=﹣（x﹣4+1）2+1=﹣（x﹣3）2+1，由f（x）=1﹣（x﹣3）2=k（x﹣1），得x2+（k﹣6）x+8﹣k=0，此时对称轴x=﹣∈（2，4），得﹣2＜k＜2，∵k＞0，∴0＜k＜2，由判别式△=（k﹣6）2﹣4（8﹣k）=0得k2﹣8k+4=0得k=4﹣2，或k=4+2，（舍）则k=4﹣2，此时两个函数有2个交点．当x∈[﹣4，﹣2]时，x+4∈[0，2]，则f（x）=f（x+4）=（x+4﹣1）2﹣1=（x+3）2﹣1，x∈[﹣4，﹣2]，此时当f（x）与y=k（x﹣1）相切时，即（x+3）2﹣1=k（x﹣1），即x2+（6﹣k）x+8﹣k=0，此时对称轴x=∈（﹣4，﹣2），得﹣2＜k＜2，∵k＞0，∴0＜k＜2，判别式△=（6﹣k）2﹣4×（8+k）=0得k2﹣16k+4=0得k=8﹣2，或k=8+2（舍），即k=8﹣2，此时两个函数有4个交点．故若关于x的方程f（x）﹣kx=0恰有三个不同的实数解，则正实数k满足8﹣2＜k＜4﹣2，故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．某市在某次高一数学竞赛中，对800名参赛学生的成绩进行统计，得到样本频率分布直方图（如图），则这800名学生在该次数学竞赛中成绩不低于80分的学生人数是200．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，求出得分不低于80分的频率，再求得分不低于80分的人数．【解答】解：由频率分布直方图知，得分不低于80分的频率为（0.015+0.010）×10=0.25，∴得分不低于80分的人数为800×0.25=200．故答案为：200．14．已知变量x，y满足，则z=2x+y的最大值是6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=2x+y，则y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，且A（2，2），此时z=2×2+2=6；故答案为：6．15．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=，a n=﹣2S n S n﹣1（n≥2），则S200=．【考点】数列递推式．【分析】a n=﹣2S n S n﹣1化简可得﹣=2，且=2，从而可判断数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，从而求得．【解答】解：∵a n=﹣2S n S n﹣1，∴S n﹣S n﹣1=﹣2S n S n﹣1，∴﹣=﹣2，即﹣=2，且=2，故数列{}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴=2+2（n﹣1）=2n，故S n=，故S200=，故答案为：．16．已知过点M（，0）的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）交于A，B两点，O为坐标原点，且满足•=﹣3，则当|AM|+4|BM|最小时，|AB|=．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】根据•=﹣3，首先可以由韦达定理，得出抛物线的方程，然后，利用抛物线的定义，将|AM|与4|BM|进行表示，利用基本不等式，由取等的条件，求得点A，B的坐标，由两点间的距离公式即可求得答案．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线l的方程为：x=my+，将直线l的方程代入抛物线方程y2=2px，消去x，得，y2﹣2pmy﹣p2=0，∴y1+y2=2pm，y1y2=﹣p2，∵•=﹣3，即x1x2+y1y2=﹣3，x1x2=•=，∴有﹣p2=﹣3，解得，p=2；（舍去负值），∴x1x2==1，由抛物线的定义，可得，|AM|=x1+1，|BM|=x2+1，则|AM|+4|BM|=x1+4x2+5≥2+5=9，当且仅当x1=4x2时取得等号．由于x1x2=1，可以解得，x2=2（舍去负值），∴x1=，代入抛物线方程y2=4x，解得，y1=，y2=±2，即有A（，±）B（2，±2），∴|AB|===．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边长，且cosA=．（1）求sin2+cos2A的值；（2）若b=2，△ABC的面积S=4，求a．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）利用倍角公式、诱导公式化简即可得出．（2）sinA=，由S=，解得c．再利用余弦定理可得：a2=22+c2﹣2×2×ccosA．【解答】解：（1）∵cosA=，∴sin2+cos2A=+cos2A=+2cos2A﹣1=+﹣1=．（2）∵cosA=，∴sinA==．由S==×，解得c=5．∴a2=22+c2﹣2×2×ccosA=4+52﹣=17，解得a=．18．十八届五中全会公报指出：努力促进人口均衡发展，坚持计划生育的基本政策，完善人口发展战略，全面实施一对夫妇可生育两个孩子的政策．一时间“放开生育二胎”的消息引起社会的广泛关注．为了解某地区社会人士对“放开生育二胎政策”的看法，某计生局在该地区选择了4000 人进行调查（若所选择的已婚的人数低于被调查总人数的78%，则认为本次（1）现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取400人进行深入访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？（2）已知y≥710，z≥78，求本次调查“失效”的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（1）先持抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，由已知条件求出x，再求出持“无所谓”态度的人数，由此利用抽样比能求出应在“无所谓”态度抽取的人数．（2）由y+z=800，y≥710，z≥78，用列举法求得满足条件的（y，z）有13种，若调查失效，则2200+200+y＜4000×0.78，解得y＜720，列举求得调查失效的情况共10种，由此求得调查失效的概率．【解答】解：（1）∵抽到持“不放开”态度的人的概率为0.08，∴=0.08，解得x=120．∴持“无所谓”态度的人数共有4000﹣2200﹣680﹣200﹣120=800．∴应在“无所谓”态度抽取800×=80人．（2）∵y +z=800，y ≥710，z ≥78，故满足条件的（y ，z ）有：，，，，，，，，，，，，，共13种．记本次调查“失效”为事件A ，若调查失效，则2200+200+y ＜4000×0.78，解得y ＜720． ∴事件A 包含，，，，，，，，，共10种．∴P （A ）=19．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为梯形，AB ∥DC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，已知BD=2AD=4，AB=2DC=2，点M 在PC 上，PM=mMC ．（1）求证：平面PAD ⊥平面MBD ；（2）试确定m 的值，使三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）欲证平面MBD ⊥平面PAD ，根据面面垂直的判定定理可知在平面MBD 内一直线与平面PAD 垂直，而根据平面PAD 与平面ABCD 垂直的性质定理可知BD ⊥平面PAD ；（2）由PM=mMC ，可得三棱锥P ﹣MBD 体积=×三棱锥P ﹣BCD 体积，三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍，可得三棱锥P ﹣MBD 体积=V P ﹣BCD ，即可求出m 的值．【解答】（1）证明：在△ABD 中，由于AD=2，BD=4，AB=2，所以AD 2+BD 2=AB 2．故AD ⊥BD ．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面MBD ，故平面MBD ⊥平面PAD ．（2）解：∵PM=mMC ，∴三棱锥P ﹣MBD 体积=×三棱锥P ﹣BCD 体积，∵AB=2DC=2，∴S △ABD =2S △BCD ，∴V P ﹣ABD =2V P ﹣BCD ，∵三棱锥P ﹣ABD 体积为三棱锥P ﹣MBD 体积的3倍，∴三棱锥P ﹣MBD 体积=V P ﹣BCD ，∴=，∴m=2．20．已知离心率为的椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，A是椭圆C的左顶点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若斜率为k的直线交椭圆C于点M，N两点（异于A点），且满足AM⊥AN，问直线MN是否恒过定点？说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用椭圆的定义可得a=2，离心率为，c=1，求出b，即可求椭圆C的标准方程；（2）联立方程组得到（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，利用AM⊥AN，结合韦达定理得到7m2+16km+4k2=0，7m=﹣2k，m=﹣2k，代入求解即可得出定点．【解答】解：（1）由椭圆的定义可得，|AF1|+|AF2|=2a=4，解得a=2，∵离心率为，∴c=1，∴=，∴椭圆C的标准方程为=1；（2）设直线l：y=kx+m，M（x1，y1）N（x2，y2），A（2，0），代入=1，可得（3+4k2）x2+8km+4m2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，即4k2＞m2﹣3∵AM⊥AN，∴（x1﹣2，y1）•（x2﹣2，y2）=0，∴（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，∴（k2+1）x1x2+（mk﹣2）（x1+x2）+m2+4=0，∴（k2+1）•+（mk﹣2）（﹣）+m2+4=0，∴7m2+16km+4k2=0，∴7m=﹣2k，m=﹣2k，当7m=﹣2k时，y=kx+m=﹣mx+m=m（﹣x+1）（k≠0）直线l过定点（，0）当m=﹣2k时，y=kx﹣2k=k（x﹣2），直线l过定点（2，0）∵右顶点为A（2，0）∴直线l过定点（2，0）不符合题意，根据以上可得：直线l过定点（，0）．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2（a∈R）在点（1，f（1））处的切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直．（1）求实数a的值；（2）若g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2，且当x∈（，e]（e为自然对数的底数）时，g（x）≤2m﹣3e恒成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得在x=1处切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的值；（2）求得g（x）的表达式，求得导数，以及单调区间，可得最大值，由题意可得g（x）max≤2m﹣3e，解不等式可得m的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2的导数为f′（x）=（2x﹣2）lnx+x﹣2+2ax，可得在点（1，f（1））处的切线斜率为2a﹣1，由切线与直线x﹣3y﹣1=0垂直，可得2a﹣1=﹣3，解得a=﹣1；（2）g（x）=f（x）+2x2﹣x﹣2=（x2﹣2x）lnx﹣x2+2+2x2﹣x﹣2=（x2﹣2x）lnx+x2﹣x，可得g′（x）=（2x﹣2）lnx+3x﹣3=（x﹣1）（2lnx+3），当x∈（e﹣2，e）时，g′（x）＞0，g（x）递增；x∈（1，e）时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x∈（e，1）时，g′（x）＜0，g（x）递减．由g（e）=2e2﹣3e＞g（e）=2e﹣e﹣3，可得2e2﹣3e≤2m﹣3e，解得m≥e2．即有m的范围是[e2，+∞）．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]22．已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：（1）PA•PD=PE•PC；（2）AD=AE．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△APD∽△BPE，可得AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，两式相除，即可证明PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，证明A，D，B，E四点共圆且AB为直径，即可得出AD=AE．【解答】证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以△APD∽△BPE，所以，所以AP•PE=PD•PB，因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，所以PA2=PB•PC，所以=，所以PA•PD=PE•PC；（2）连接AC，DE，因为BC为圆O的直径，所以∠BAC=90°，所以AB⊥AC．因为=，所以AC∥DE，所以AB⊥DE，因为AD⊥BP，BE⊥AP，所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，因为AB⊥DE，所以AD=AE．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C 的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．【解答】解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣[选修4-5：不等式选讲]．24．已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+1|（Ⅰ）解关于x的不等式f（x）≥4﹣x；（Ⅱ）a，b∈{y|y=f（x）}，试比较2（a+b）与ab+4的大小．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）对x讨论，当x＜﹣1时，当﹣1≤x≤2时，当x＞2时，去掉绝对值，解不等式，即可得到解集；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，作差比较，注意分解因式，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）当x＜﹣1时，f（x）=1﹣2x，f（x）≥4﹣x即为1﹣2x≥4﹣x，解得x ≤﹣3，即为x≤﹣3；当﹣1≤x≤2时，f（x）=3，f（x）≥4﹣x即为3≥4﹣x，解得x≥1，即为1≤x≤2；当x＞2时，f（x）=2x﹣1，f（x）≥4﹣x即为2x﹣1≥4﹣x，解得x≥，即为x＞2．综上可得，x≥1或x≤﹣3．则解集为（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）；（Ⅱ）由于f（x）≥3，则a≥3，b≥3，2（a+b）﹣（ab+4）=2a﹣ab+2b﹣4=（a﹣2）（2﹣b），由于a≥3，b≥3，则a﹣2＞0，2﹣b＜0，即有（a﹣2）（2﹣b）＜0，则2（a+b）＜ab+4．2016年7月29日。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师13(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十三)第十三单元立体几何初步(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案:A2.如果有底的圆柱底面直径和高都等于球的直径,则圆柱与球的表面积之比为A.3∶2B.3∶1C.2∶1D.2∶1解析:设球的半径为r,则S圆柱∶S球=(2πr2+(2r)·2πr)∶4πr2=3∶2.答案:A3.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥βB.a⊂α,a⊥βC.a⊂α,b⊂β,a⊥bD.a⊂α,b⊥α,b∥β解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.答案:B4.设平面α∥平面β,A∈α,B∈β,C是AB的中点,当A、B分别在α、β内运动时,那么所有的动点CA.不共面B.当且仅当A、B在两条相交直线上移动时才共面C.当且仅当A、B在两条给定的平行直线上移动时才共面D.不论A、B如何移动都共面解析:根据平行平面的性质,不论A、B如何运动,动点C均在过C且与α,β都平行的平面上.答案:D5.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是解析:依次还原几何体,可以得出A,B,C中的三视图是同一个三棱锥,摆放的位置不同而已,而D和它们表示的不是同一个三棱锥.答案:D6.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为A.B.1C.2D.4解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=×1×2×1=1.答案:B7.如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F是AB的三等分点,G、H是CD的三等分点,M、N分别是BC、EH的中点,则四棱锥A1—FMGN的侧视图为解析:侧视图即为光线自物体的左侧向右侧投影所得的投影图,点A1、F、M、N的投影分别为点D1、G、C、H,故该物体的侧视图为选项C所示.答案:C8.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则A.a不和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥bD.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D9.设有一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.4+B.4+C.4+D.4+π解析:该三视图的实物图有三部分组成,上半部分为底面半径为1高为2的圆柱,下半部分由底面半径为1高为1的圆柱的一半及边长为2、2、1的长方体组合而成,故其体积为4+.答案:C10.设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为a,顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.πa2B.πa2C.πa2D.5πa2解析:由题设条件可知三棱柱是棱长都为a的正三棱柱,根据对称性可知,外接球的球心为上、下两底中心O1、O2连线的中点O,如图所示.在Rt△AO1O中,AO1=×=,OO1=,OA2=R2=()2+()2=,S球=4πR2=4π×=.答案:B11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,2)C.(2,+∞)D.[2,4]解析:如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以>1,即a>2.答案:C12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四点不可能共面C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.一个棱台被平行于底面的平面所截,若上底底面面积、截面面积与下底底面面积之比为4∶9∶16,则此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为.解析:根据还台于锥的办法可得,此棱台的侧棱被分成上下两部分之比为1∶1.答案:1∶114.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有(填序号).解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.答案:③15.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论:①PR与BQ是异面直线;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为的等边三角形.以上结论中正确的是.(写出所有正确结论的序号)解析:据图可知③④正确.答案:③④16.如图所示,在直角梯形ABCD中,AD⊥AB且AB=7,AD=3,CD=4,DE=3,若沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE,则四棱锥D—ABCE的外接球的体积为.解析:因为平面ADE⊥平面ABCE且△ADE为直角三角形,所以四边形ABCE的外接圆的圆心即为四棱锥D—ABCE的外接球的球心,在△ABC中,AB=7,BC=3,AC=5,∠ABC=,由正弦定理得四边形ABCE的外接圆的直径为∠=∠=5,即得四棱锥D—ABCE的外接球的半径为,其体积为π.答案:π三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,在三棱柱ABC—A1B1C1中,侧面ABB1A1,ACC1A1均为正方形,∠BAC=90°,AB=2,点D1、D分别是棱B1C1、BC的中点.(1)求证:A1D1⊥平面BB1C1C;(2)求证:AB1∥平面CA1D1.解析:(1)由已知得AA1⊥平面A1B1C1,∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1,又A1B1=A1C1,∴A1D1⊥B1C1,∴A1D1⊥平面BB1C1C,5分(2)∵D1、D分别是棱B1C1、BC的中点,∴B1D∥CD1,∴CD1∥平面AB1D.又ADD1A1为矩形,∴A1D1∥AD,∴A1D1∥平面AB1D.∵AD∩DB1=D,∴平面CA1D1∥平面ADB1.又AB1⊂平面AB1D,∴AB1∥平面CA1D1.10分18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P—EFG的体积.解析:(1)∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵ABCD为正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1,EF=CD=1,∴S△PEF=EF×PF=.∵GC=BC=1,∴V P—EFG=V G—PEF=S△PEF·GC=××1=.12分19.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解析:(1)∵多面体ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B⊂平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.以下证明之:易知EF∥C1,且EF=C1D,设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=C1D,所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE,OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小题满分12分)一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF 上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在边AD上是否存在一点P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接DB.可知B,N,D共线,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)当FG=GD时,在边AD上存在一点P,使得GP∥平面FMC,此时A,P重合.证明如下:取DC中点S,连接AS,GS,GA.因为G是DF的中点,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小题满分12分)如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,AC=2a,D、E分别为AC、AB的中点,沿DE将△ADE折起,得到如图所示的四棱锥A'—BCDE.(1)在棱A'B上找一点F,使EF∥平面A'CD;(2)求四棱锥A'—BCDE体积的最大值.解析:(1)F为棱A'B的中点.证明如下:取A'C的中点G,连结DG,EF,GF,则由中位线定理得DE∥BC,DE=BC,且GF∥BC,GF=BC,所以DE∥GF,DE=GF,从而四边形DEFG是平行四边形,EF∥DG.又EF⊄平面A'CD,DG⊂平面A'CD,故F为棱A'B的中点时,EF∥平面A'CD.6分(2)在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H,⇒DE⊥平面A'CD⇒A'H⊥DE.又DE∩CD=D,∴A'H⊥底面BCDE,即A'H就是四棱锥A'—BCDE的高.由A'H≤AD知,点H和D重合时,四棱锥A'—BCDE的体积取最大值.此时V四棱锥A'—BCDE=S梯形BCDE·AD=×(a+2a)a·a=a3,故四棱锥A'—BCDE体积的最大值为a3.12分22.(本小题满分12分)一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.(1)求证:GH∥平面ACF;(2)当平面ACE⊥平面ACF时,求DE的长.解析:(1)如图,连结AC.在△ACE中,∵G,H分别为AE,CE中点,∴GH∥AC,又AC⊂平面ACF,且GH⊄平面ACF.所以GH∥平面ACF.5分(2)如图,连结DB,交AC于O,连结EO,FO,∵ABCD是正方形,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,∴Rt△ADE≌Rt△CDE,得AE=CE,EO⊥AC,∵EO⊂平面ACE,AC⊂平面ACF,AC∩OF=O,∴只要EO⊥FO,就有平面ACE⊥平面ACF,设DE的长为x,在Rt△ODE中,OE2=x2+a2,在Rt△OBF中,OF2=a2+a2=a2,EF2=2a2+(a-x)2,EF2=OE2+OF2,解得x=a,即平面ACE⊥平面ACF时,DE的长为a.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师16（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师16（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼗六)第⼗六单元圆锥曲线⽅程(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p>0)的准线相切,则p的值为A.1B.2C.3D.4解析:圆的⽅程可化为(x-3)2+y2=16,由条件可得+3=4,所以p=2.答案:B2.若椭圆+y2=1(a>1)的离⼼率为,则该椭圆的长轴长为A. B. C. D.或解析:由题意可得-=,解之得a=,则椭圆的长轴长为.答案:A3.已知直线y=k(x-1)与抛物线y2=4x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),且x1+x2=4,则|AB|等于A.4B.6C.8D.10解析:由条件易知直线过抛物线的焦点F(1,0),则|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=6.答案:B4.已知P是椭圆+=1(a>b>0)上⼀点,F1、F2分别是椭圆的左、右焦点,若△PF1F2的周长为6,且椭圆的离⼼率为,则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为A.B.1 C. D.2解析:设椭圆的焦距为2c,由条件可得则则椭圆上的点到椭圆焦点的最⼩距离为a-c=2-1=1.答案:B5.已知抛物线x2=ay(a≠0)在x=1处的切线的倾斜⾓为45°,则该抛物线的焦点坐标为A.(0,1)B.(0,)C.(0,-1)D.(0,-)解析:由x2=ay可得y=x2,求导可得y'=x,故切线斜率为=1,故a=2,抛物线⽅程为x2=2y,焦点坐标为(0,).答案:B6.已知点P是双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线上⼀点,F是双曲线的右焦点,若|PF|的最⼩值为a,则该双曲线的离⼼率为A. B. C. D.解析:双曲线的渐近线⽅程为y=±x,即bx±ay=0,|PF|的最⼩值即为焦点F(c,0)到渐近线的距离,故=a,即a=2b,∴a2=4b2=4(c2-a2),e==.答案:C7.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作直线AB垂直于x轴,与抛物线交于点A、B,O是坐标原点,若·=-,则△AOB的⾯积为A.4B.2C.1D.解析:直线AB的⽅程为x=,代⼊抛物线⽅程可得y=±p,则A(,p),B(,-p),则·=-p2=-,故p=1,则△AOB的⾯积为··2p==.答案:D8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)左⽀上⼀点P到左焦点的距离为4,到右焦点的距离为8,且双曲线⼀条渐近线的倾斜⾓为60°,则该双曲线的⽅程为A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=1解析:由条件可得2a=8-4=4,故a=2,再由渐近线的倾斜⾓为60°可知⼀条渐近线的斜率为=,故b=2,双曲线的⽅程为-=1.答案:D9.在直⾓坐标系中,把双曲线C1:-y2=1绕原点逆时针旋转90°得到双曲线C2,给出下列说法:①C1与C2的离⼼率相同;②C1与C2的焦点坐标相同;③C1与C2的渐近线⽅程相同;④C1与C2的实轴长相等.其中正确的说法有A.①②B.②③C.①④D.③④解析:旋转后,双曲线C2的的实轴在y轴上,焦点也在y轴上,⽅程为-x2=1,渐近线⽅程为y=±x,与C1的渐近线⽅程不同,显然正确的选项只有①④.答案:C10.如图,已知椭圆+=1内有⼀点B(2,2),F1、F2是其左、右焦点,M为椭圆上的动点,则||+||的最⼩值为A.4B.6C.4D.6解析:||+||=2a-(||-||)≥2a-||=8-2=6,当且仅当M,F2,B共线时取得最⼩值6.答案:B11.已知F1,F2分别是双曲线-y2=1(a>0)的两个焦点,点P是双曲线上的⼀点,且满⾜∠F1PF2=90°,则△PF1F2的⾯积为A.4B.3C.2D.1解析:由条件可得-=2a,由题意可知△F1PF2为直⾓三⾓形,设双曲线的焦距为2c,则|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2,b2=1,故(|PF1|-|PF2|)2+2|PF1|·|PF2|=|F1F2|2=4c2,即4a2+2|PF1|·|PF2|=4c2,故|PF1|·|PF2|=2c2-2a2=2b2=2,故△PF1F2的⾯积为|PF1|·|PF2|=b2=1.答案:D12.已知抛物线y2=2px(p>0)上⼀点P到焦点F的距离为p,到x轴的距离为1,过F作倾斜⾓为45°的直线l与抛物线的准线交于点A,则·等于A.-B.-C.D.解析:不妨设点P(x0,1),根据定义可知点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离,故x0+=p,故x0=,把点P坐标代⼊抛物线⽅程可得1=2p·,故p=1,焦点坐标(,0),故直线l的⽅程为y=x-,则直线l与抛物线的准线x=-的交点为A(-,-1),则·=(-,-1)·(,0)=-.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.若直线l的⽅程为kx-y+1-k=0(k∈R),则直线l与椭圆+=1的交点个数为.解析:由题意得直线l的⽅程为k(x-1)=y-1,恒过定点(1,1),⼜+<1,∴点(1,1)在椭圆+=1的内部,故所求交点个数是2个.答案:214.2013年国家加⼤了对环境污染监测⼒度,为此某市环保部门在市⾥的⼀条污⽔河的桥孔处进⾏了隔离封闭改造,桥孔的横断⾯为抛物线形(如下图所⽰),已知⽔⾯在l时,拱顶离⽔⾯2⽶,⽔⾯宽4⽶,则⽔上升0.5⽶后,⽔⾯宽变为⽶.解析:建⽴如图所⽰的直⾓坐标系,则抛物线⽅程为x2=-2y,当y=-1.5时,x=±,所以⽔⾯宽度为2⽶.答案:215.已知双曲线C的两个焦点坐标为F1(0,-3),F2(0,3),且⼀个焦点到其中⼀条渐近线的距离为,则双曲线C的离⼼率为.解析:由条件可得双曲线的焦距2c=6,故c=3,设双曲线⽅程为-=1(a>0,b>0),则渐近线⽅程为y=±x,即ax±by=0,则=,故a2=b2,⽽a2+b2=c2=9,故c=3,a=,双曲线的离⼼率为.答案:16.已知直线x=2与椭圆C:+=1交于两点E1,E2,任取椭圆C上的点P,若=a+b(a,b∈R),则ab的最⼤值是.解析:联⽴x=2与+=1,解得E1(2,),E2(2,-),∴=a+b=(2a+2b,a-b),∴P(2a+2b,a-b),∵点P在椭圆C上,∴+-=1,∴a2+b2-ab=1,∴a2+b2=ab+1≥2ab,∴ab≤1,即ab的最⼤值是1.答案:1三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)椭圆的中⼼在原点,对称轴为坐标轴,焦点在x轴上,以椭圆的短轴的⼀个端点B与两个焦点F1、F2为顶点的三⾓形的周长是8+4,且∠BF1F2=.(1)求椭圆的标准⽅程;(2)若直线y=x+1与椭圆交于点M、N,求线段|MN|的长.解析:(1)设椭圆+=1(a>b>0),焦距为2c,由条件可得2a+2c=8+4,所以a+c=4+2.⼜∠BF1F2=,所以=,故所以b=2,所以椭圆⽅程为+=1.5分(2)由可得5x2+8x-12=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,|MN|=|x1-x2|=·-=.10分18.(本⼩题满分12分)为了研究探照灯的结构特征,在坐标轴中画出了探照灯的轴截⾯,如图.已知探照灯的轴截⾯图是抛物线y2=2px(p>0)的⼀部分,若该抛物线的焦点恰好在直线x+y-1=0上.(1)求该抛物线的⽅程;(2)若⼀束平⾏于x轴的直线⼊射到抛物线的P点,经过抛物线焦点F后,由点Q反射出平⾏光线,试确定点P的位置使得从⼊射点P到反射点Q的路程最短.解析:(1)直线x+y-1=0与x轴的交点为(1,0),故抛物线焦点F(1,0),抛物线⽅程为y2=4x.5分(x-1).(2)设点P坐标为(,a)(a≠0),⼜PQ过焦点可得PQ的⽅程为y=解得y=a或y=-,故点Q(,-),则|PQ|=|PF|+|QF|=++2≥2+2=4,当且仅当a=±2时,取等号,故当点P的坐标为(1,2)或(1,-2)时,从⼊射点P到反射点Q的路程最短为4.12分19.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离⼼率为,椭圆上的点到焦点的最近距离为,其左、右焦点分别为F1、F2,抛物线y2=2px(p>0)的焦点与F2重合.(1)求椭圆及抛物线的⽅程;(2)过F1作抛物线的两条切线,求切线⽅程.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由椭圆的离⼼率可得=-=,故a=2c,b2=a2.⼜由条件可知a-c=,故a=2,c=,b2=×12=9,故椭圆的⽅程为+=1.则F1(-,0),F2(,0),由条件可知抛物线的焦点坐标为F2(,0),即=,故抛物线的⽅程为y2=4x.6分(2)设过F1的切线⽅程为y=k(x+),由可得k2x2+(2k2-4)x+3k2=0,则Δ=(2k2-4)2-12k4=0,解得k=1或-1,故抛物线的两条切线的⽅程分别为y=x+与y=-x-.12分20.(本⼩题满分12分)平⾯直⾓坐标系中,O为坐标原点,给定两点A(1,0),B(0,-2),点C满⾜=α+β,其中α、β∈R,且α-2β=1.(1)求点C的轨迹⽅程;(2)设点C的轨迹与双曲线-=1(a>0,b>0)交于两点M,N,且以MN为直径的圆过原点,求-的值.解析:(1)设C(x,y),因为=α+β,则(x,y)=α(1,0)+β(0,-2),∴-∵α-2β=1,∴x+y=1,即点C的轨迹⽅程是x+y=1.6分(2)由-得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0,由题意得b2-a2≠0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=--,x1x2=--.∵以MN为直径的圆过原点,∴·=0,即x1x2+y1y2=0.∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=1-(x1+x2)+2x1x2=1+--∴b2-a2-2a2b2=0,∴-=2.12分21.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,点P是椭圆上任意⼀点,|PF1|·|PF2|的最⼤值为4,且椭圆C的离⼼率是双曲线-=1的离⼼率的倒数.(1)求椭圆C的标准⽅程;(2)若O为坐标原点,B为椭圆C的右顶点,A,M为椭圆C上任意两点,且四边形OABM 为菱形,求此菱形⾯积.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则|PF1|·|PF2|≤()2=()2=a2,当且仅当|PF1|=|PF2|时,|PF1|·|PF2|取得最⼤值a2,故a2=4,则a=2.⽽双曲线-=1的离⼼率为=,故椭圆的离⼼率为,即=,故c=,所以b=1,所以椭圆的标准⽅程为+y2=1.6分(2)椭圆C的右顶点B的坐标为(2,0).因为四边形OABM为菱形,所以AM与OB相互垂直且平分,所以可设A(1,m),代⼊椭圆⽅程得+m2=1,即m=±,所以菱形OABM⾯积为|OB||AM|=×2×=.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)短轴端点和两个焦点的连线构成正⽅形,且该正⽅形的内切圆⽅程为x2+y2=2.(1)求椭圆C的⽅程;(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的⼀个焦点F重合,直线l:y=x+m与抛物线E交于两点A,B,且0≤m≤1,求△FAB的⾯积的最⼤值.解析:(1)设椭圆的焦距为2c,则由条件可得b=c.连接⼀个短轴端点与⼀个焦点的直线⽅程可以是+=1,即x+y-b=0.由直线与圆相切可得=,故b=2,则c=2,a2=b2+c2=8,故椭圆C的⽅程为+=1.6分(2)抛物线E的焦点在x轴的正半轴上,故F(2,0),故p=4,抛物线E的⽅程为y2=8x.由可得x2+(2m-8)x+m2=0,由直线l与抛物线E有两个不同交点可得Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0在0≤m≤1时恒成⽴.设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8-2m,x1x2=m2.则|AB|=-=--=8-.⼜点F(2,0)到直线l:y=x+m的距离为d=,故△FAB的⾯积为S=d·|AB|=2--.令f(m)=-m3-2m2+4m+8,则f'(m)=-3m2-4m+4.令f'(m)=0可得m=-2或,故f(m)在[0,]上单调递增,在[,1]上单调递减,故m=时,f(m)取最⼤值,则△FAB的⾯积的最⼤值为.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十一)第二十一单元高中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0<x<2},则M∩N等于A.{x|1<x<2}B.{x|1<x<3}C.{x|0<x<3}D.{x|0<x<2}解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1<x<3},N={x|0<x<2},那么M∩N={x|1<x<3}∩{x|0<x<2}={x|1<x<2}.答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<a<c解析:a<0,b>1,0<c<1,故选B.答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒一粒豆子,则豆子落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所示,阴影部分为正方形,面积为4,而圆C的面积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的一条对称轴方程为x=,则以a=(m,n)为方向向量的直线的倾斜角为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜角α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满足a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0<a<1,且a12=17-24a>a13=1,所以<a<.答案:C8.如图是一个几何体的三视图,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底面是一个等腰直角三角形,高为2的三棱锥,可求得球半径R=,表面积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:∀x∈R,x+≥2,q:∃x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos A<cos B”的充要条件C.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成立解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三角形大角对大边,所以a>b⇔A>B⇔cos A<cos B,故B正确;对于C项,p:存在x∈R,使x2-x+1≤0,故C错;对于D项,sin x+cos x=sin(x+)∈[-,],而∈[-,],故D错.答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三角形,只要∠AF2B为钝角即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满足-,则的最大值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求目标函数z=2x+y的最大值,作出x,y的可行域,可得当x=3,y=10时,z有最大值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F⊆G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的一个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为自然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为自然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平行线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线方程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所示的程序框图,若输入的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m<ln-.答案:(-∞,ln-)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本小题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最大值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最大值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,又bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本小题满分12分)某校高三(1)班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班人数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进行试卷分析,求这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班人数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法一)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法二)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好一份分数在[80,90)之间,另一份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本小题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三角形,且平面PAD⊥底面ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥面ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三角形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,又PQ∩BQ=Q⇒AD⊥面PQB.又PB⊂面PQB,∴PB⊥AD.又PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,又AM∩AD=A,∴PB⊥面ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.又BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共面,又CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使方程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成立,则g(x0)的值必须包含[0,].又g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本小题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离心率为,且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4.(1)求椭圆M的方程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC 面积的最大值.解析:(1)因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,又椭圆的离心率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的方程为+y2=1.4分(2)(法一)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的方程y=n(x-3)(n>0),则AC的方程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC面积的最大值为.12分(法二)显然直线l与x轴不平行,不妨设直线l的方程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代入上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代入上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0<t≤,则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最大值.12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师3(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(三)第三单元指数函数、对数函数、幂函数(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列函数中,既是单调函数,又是奇函数的是A.y=x5B.y=5xC.y=log2xD.y=x-1解析:B、C不具有奇偶性,D不具有单调性.答案:A2.设函数f(x)=则f(f(16))的值是A.9B.C.81D.解析:因为f(16)=lo16=-4,所以f(f(16))=f(-4)=3-4=.答案:D3.已知幂函数y=f(x)的图象过点(,),则log3f()的值为A.B.- C.2 D.-2解析:设幂函数为y=xα,则=()α,所以α=,所以y=,所以log3(=log33-2=-2.答案:D4.函数y=(-的值域为A.(-∞,27]B.(0,27]C.[27,+∞)D.(-27,27)解析:令u=x2-4x+1=(x-2)2-3≥-3,因为y=()x是减函数,所以0<y≤27.答案:B5.设a=lo6,b=()0.2,c=,则A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c解析:由指、对函数的性质可知:a=lo6<lo1=0,0<b=()0.2<1,c=>50=1,所以a<b<c.答案:A6.函数f(x)=|lo(3-x)|的单调递减区间是A.(-∞,2]B.(2,3)C.(-∞,3)D.[3,+∞)解析:因为f(x)=---而f(x)=-lo(3-x)在(-∞,2]上单调递减.答案:A7.设函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象过点(2,10),其反函数的图象过点(4,1),则a-b等于A.5B.3C.2D.-1解析:由题意知解得a=3或a=-2(舍),b=1,所以a-b=2.答案:C8.由于盐碱化严重,某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律,设2012年的耕地面积为m,则2017年的耕地面积为A.(1-0.1250)mB.0.mC.0.9250mD.(1-0.)m解析:设每年耕地减少的百分率为a,则有(1-a)50=1-10%,所以a=1-0.,则从2012年起,过x年后耕地面积y与x的函数关系是y=m(1-a)x=0.m.当x=5时,y=0.m.答案:B9.已知函数f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=ln-,则函数f(x)的大致图象为解析:当x>0时,-x<0,所以f(-x)=ln=-ln(1+x),所以f(x)=ln(1+x),其图象是将f(x)=ln x的图象向左平移一个单位,由于f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故选D.答案:D10.已知函数f(x)=()x-,那么函数f(x)零点所在的区间可以是A.(-1,0)B.(0,)C.(,)D.(,1)解析:因为f(-1)=()-1-(-1=4+1=5>0,f(0)=()0-=1>0,f(1)=-1<0,f()=(-(<0,f()=(-(>0,所以f()·f()<0,故选C.答案:C11.定义一种运算(a,b)*(c,d)=ac+bd,若函数f(x)=(1,log5x)*(()x,log2),x0是方程f(x)=0的解,且x1>x0,则f(x1)的值A.恒为正值B.等于零C.恒为负值D.不小于0解析:由定义f(x)=(1,log5x)*(()x,log2)=()x+log5x·log2=()x-log5x.因为函数f(x)是单调递减函数,所以f(x1)<f(x0)=0.答案:C12.若函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图象与函数g(x)=-的图象在(-12,12)内交点的个数为A.18B.20C.21D.22解析:因为f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期为2,x∈[-1,1]时,f(x)=x2,画出函数f(x)与g(x)=-在(-12,12)内的图象,发现f(x)=x2在x轴右侧的图象与g(x)=lg x有9个交点,f(x)=x2在x轴左侧的图象与g(x)=-在(-12,0)内有11个交点,一共有20个交点.答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.函数y=-的定义域是.解析:要使函数有意义,必须满足--即0<1-x≤1,所以0≤x<1.答案:[0,1)14.log2+lg20+lg5++(-7.6)0=.解析:原式=log2+lg(20×5)+2+1=+2+3=.答案:15.定义区间[x1,x2](x1<x2)的长度为x2-x1.已知函数y=3|x|的定义域为[a,b],值域为[3,9],则区间[a,b]的长度为.解析:因为满足值域为[3,9]的定义域为[-2,-1]或[1,2],所以区间[a,b]长度为1.答案:116.已知函数f(x)=且关于x的方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,则实数a 的取值范围是.解析:因为方程f(x)+x+3a=0有两个实数根,所以f(x)的图象与函数y=-x-3a的图象有两个交点,如图所示,可知-3a≤1,所以a≥-.答案:[-,+∞)三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设函数f(x)=ln(x2-ax+2)的定义域为A.(1)若2∈A,-2∉A,求实数a的范围;(2)若函数y=f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.-,所以a≤-3.解析:(1)由题意,得故实数a的范围为(-∞,-3].5分(2)由题意,得x2-ax+2>0在R上恒成立,则Δ=a2-8<0,解得-2<a<2.故实数a的范围为(-2,2).10分18.(本小题满分12分)点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)与g(x)的解析式;(2)当x为何值时,有f(x)>g(x).解析:(1)设f(x)=xα,则由题意得2=()α,∴α=2,即f(x)=x2,再设g(x)=xβ,则由题意得=(-2)β,β=-2,即g(x)=x-2.6分(2)在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象,如图所示.f(x)与g(x)交于(-1,1)点和(1,1)点,由图象可知:当x>1或x<-1时,f(x)>g(x).12分19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=3+log2x,x∈[1,16],若函数g(x)=[f(x)]2+2f(x2).(1)求函数g(x)的定义域;(2)求函数g(x)的最值.解析:(1)函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)满足解得1≤x≤4,即函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的定义域为[1,4].5分(2)因为x∈[1,4],所以log2x∈[0,2].g(x)=[f(x)]2+2f(x2)=(3+log2x)2+6+2log2x2=lo x+10log2x+15=(log2x+5)2-10,当log2x=0时,g(x)min=15,当log2x=2时,g(x)max=39,即函数g(x)的最大值为39,最小值为15.12分20.(本小题满分12分)若已知某火箭的起飞重量M是箭体(包括搭载的飞行器)的重量m和燃料重量x之和,在不考虑空气阻力的条件下,假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2(其中k≠0).当燃料重量为(-1)m吨(e为自然对数的底数,e≈2.72)时,该火箭的最大速度为5千米/秒.(1)求火箭的最大速度y(千米/秒)与燃料重量x(吨)之间的关系式y=f(x);(2)已知该火箭的起飞重量是816吨,则应装载多少吨燃料,才能使该火箭的最大飞行速度达到10千米/秒,顺利地把卫星发送到预定的轨道?解析:(1)依题意,把x=(-1)m,y=5代入函数关系y=k[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2,解得k=10.所以所求的函数关系式为y=10[ln(m+x)-ln(m)]+5ln2=ln()10.6分(2)设应装载x吨燃料方能满足题意,此时m=816-x,y=10,代入函数关系式y=ln()10,得ln-=1,解得x≈516吨,应装载516吨燃料方能顺利地把飞船发送到预定的轨道.12分21.(本小题满分12分)对定义在[0,1]上,并且同时满足以下两个条件的函数f(x)称为不等函数.①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,总有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立.已知函数g(x)=x3与h(x)=2x-a是定义在[0,1]上的函数.(1)试问函数g(x)是否为不等函数?并说明理由;(2)若函数h(x)是不等函数,求实数a组成的集合.解析:(1)当x∈[0,1]时,总有g(x)=x3≥0,满足①;当x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1时,g(x1+x2)=(x1+x2)3=++3·x2+3x1·≥+=g(x1)+g(x2),满足②,所以函数g(x)是不等函数.5分(2)h(x)=2x-a(x∈[0,1])为增函数,h(x)≥h(0)=1-a≥0,所以a≤1.由h(x1+x2)≥h(x1)+h(x2),得-a≥-a+-a,即a≥+-=1-(-1)(-1).因为x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,所以0≤-1≤1,0≤-1≤1,x1与x2不同时等于1,所以0≤(-1)(-1)<1,所以0<1-(-1)(-1)≤1.当x1=x2=0时,[1-(-1)(-1)]max=1,所以a≥1.综合上述,a∈{1}.12分22.(本小题满分12分)已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,且当x∈(-1,0)时, f(x)=-.(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性;(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解?解析:(1)因为f(x)是x∈R上的奇函数,所以f(0)=0.设x∈(0,1)时,-x∈(-1,0),所以f(-x)=---=-=-f(x),所以f(x)=,所以f(x)=-∈-∈4分(2)设0<x1<x2<1,f(x1)-f(x2)=--=--,因为0<x1<x2<1,所以<,>30=1,所以f(x1)-f(x2)>0,所以f(x)在(0,1)上为减函数.8分(3)因为f(x)在(0,1)上为减函数,所以<f(x)<,即f(x)∈(,).同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈(-,-).又f(0)=0,当λ∈(-,-)∪(,)或λ=0时,方程f(x)=λ在x∈(-1,1)上有实数解. 12分。
全国100所名校单元测试示范卷
全国100所名校单元测试示范卷一、语文（满分100分）I. 选择题（每题2分，共30分）1. 下列词语中，加点字的注音全都正确的一项是（）A. 璀璨（cuǐ càn）沙砾（shā lì）瑕疵（xī cī）B. 氛围（fēn wéi）感慨（gǎn kǎi）竣工（jùn gōng）C. 惬意（qiè yì）憧憬（chōng jǐng）涵养（hán yǎng）D. 沉湎（chén miǎn）沙滩（shā tān）沮丧（jǔ sàng）2. 下列句子中，加点成语使用不正确的一项是（）A. 这部电影情节跌宕起伏，引人入胜，让人拍案叫绝。
B. 老师在课堂上耐心讲解，同学们洗耳恭听，收获颇丰。
C. 比赛过程中，他发挥失常，最终名落孙山。
D. 在艰苦的环境中，他们齐心协力，共度难关。
3. 下列句子中，没有语病的一项是（）A. 为了提高同学们的语文素养，老师要求大家平时多读、多写、多思考。
B. 通过这次活动，使同学们更加深刻地认识到团队合作的重要性。
C. 在这条街道上，沿途可以看到许多风格各异的建筑。
D. 老师告诉我们，在学习过程中要善于发现问题、分析问题、解决问题。
……II. 填空题（每题2分，共20分）4. 古诗文名句默写（1）山重水复疑无路，______。
（陆游《游山西村》）（2）不畏浮云遮望眼，______。
（王安石《登飞来峰》）（3）______，思君不见下渝州。
（李白《夜发清溪向三峡》）（4）庭下如积水空明，______。
（苏轼《记承天寺夜游》）（5）______，随君直到夜郎西。
（李白《闻王昌龄左迁龙标遥有此寄》）……III. 阅读理解（共30分）（一）文言文阅读（共15分）阅读下面的文言文，完成10～15题。
【甲】孙权劝学初，权谓吕蒙曰：“卿今当涂掌事，不可不学！”蒙辞以军中多务。
权曰：“孤岂欲卿治经为博士邪！但当涉猎，见往事耳。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：数学14数学全国教师21（文）
全国100所名校单元测试⽰范卷（⾼三）：数学14数学全国教师21（⽂）全国100所名校单元测试⽰范卷·⾼三·数学卷(⼆⼗⼀)第⼆⼗⼀单元⾼中数学综合测试(120分钟150分)第Ⅰ卷⼀、选择题:本⼤题共12⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中,只有⼀项是符合题⽬要求的.1.已知复数(2-i)z=1+2i,是z的共轭复数,则等于A.1B.iC.-1D.-i==i,所以=-i,故选D.解析:z=-答案:D2.若集合M={x|log2(x-1)<1},N={x|0A.{x|1B.{x|1C.{x|0D.{x|0解析:由于M={x|log2(x-1)<1}={x|1M∩N={x|1答案:A3.抛物线y=-x2的焦点坐标是A.(-,0)B.(0,-)C.(0,-)D.(0,-)解析:x2=-2y,故焦点为(0,-).答案:B4.设a=loπ,b=()-0.8,c=lgπ,则A.aB.aC.cD.b解析:a<0,b>1,0答案:B5.如图,在圆C:x2+y2=10内随机撒⼀粒⾖⼦,则⾖⼦落在阴影部分的概率是A.1-B.C.D.解析:如图所⽰,阴影部分为正⽅形,⾯积为4,⽽圆C的⾯积为10π,∴所求概率为P==.答案:D6.函数f(x)=mcos x+nsin x(mn≠0)的⼀条对称轴⽅程为x=,则以a=(m,n)为⽅向向量的直线的倾斜⾓为A.45°B.60°C.120°D.135°解析:由题可得f()=f(),即m+n=n,所以=,直线的斜率k==,倾斜⾓α=60°.答案:B7.已知函数f(x)=-,若数列{a n}满⾜a n=f(n)(n∈N*),且{a n}是递减数-列,则实数a的取值范围是A.(,1)B.(,)C.(,)D.(,1)解析:由已知可知1-2a<0,0a13=1,所以答案:C8.如图是⼀个⼏何体的三视图,其顶点都在⼀个球⾯上,则该球的表⾯积为A.12πB.8πC.16πD.8π解析:由三视图可知,底⾯是⼀个等腰直⾓三⾓形,⾼为2的三棱锥,可求得球半径R=,表⾯积S=12π.答案:A9.下列命题正确的是A.p:?x∈R,x+≥2,q:?x∈R,x2+x+1≤0,p∨q是真命题B.在△ABC中,⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“a>b”是“cos AC.若p:对任意x∈R,都有x2-x+1>0,则p:对任意x∈R,都有x2-x+1≤0D.不存在x∈R,使得sin x+cos x=成⽴解析:对于A项,p假q假,p∨q为假,A错;对于B项,根据三⾓形⼤⾓对⼤边,所以a>b?A>B?cos A答案:B10.已知点F1、F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点,若△ABF2是钝⾓三⾓形,则该双曲线离⼼率的取值范围是A.(-1,+∞)B.(+1,+∞)C.(1+,+∞)D.(1,1+)解析:由题设条件可知△ABF2为等腰三⾓形,只要∠AF2B为钝⾓即可,所以有>2c,即b2>2ac,所以c2-a2>2ac,解得e>1+,选C.答案:C11.已知a,b,c都为正数,且满⾜-,则的最⼤值为A.16B.17C.18D.19解析:由题可得·-,令x=,y=,问题转化为在-内,求⽬标函数z=2x+y的最⼤值,作出x,y的可⾏域,可得当x=3,y=10时,z有最⼤值16.答案:A12.设函数f(x)、g(x)的定义域分别为F、G,且F?G.若对任意的x∈F,都有f(x)=g(x),则称g(x)为f(x)在G上的⼀个“延拓函数”.已知f(x)=e x(x≥0)(e为⾃然对数的底数),若g(x)为f(x)在R上的⼀个延拓函数,则下列可作为g(x)的解析式的个数为①y=ln|x|;②y=e|x|;③y=-ln|x|;④y=-;⑤y=-x2+1;⑥y=()|x|.A.2B.3C.4D.5解析:因为f(x)的定义域为[0,+∞),值域为[1,+∞),由延拓函数定义可知,(1)延拓函数g(x)的定义域包含了f(x)定义域,①③两个函数的定义域都不含0,所以不符合;(2)延拓函数g(x)的值域也包含f(x)的值域,故⑤⑥不符合,②④符合.所以选A.答案:A第Ⅱ卷⼆、填空题:本⼤题共4⼩题,每⼩题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线y=ln x上的点到直线y=ex-2(e为⾃然对数底数)的最短距离为.解析:作y=ex-2的平⾏线,使其与曲线y=ln x相切,则k=(ln x)'==e,得切点(,-1),所以切线⽅程为ex-y-2=0,即直线y=ex-2恰为切线,最短距离为0.答案:014.--=.解析:原式=----=--=-=.答案:15.阅读如图所⽰的程序框图,若输⼊的n是30,则输出的变量S的值是.解析:框图运算结果为S=30+29+…+3+2=464.答案:46416.已知函数f(x)=2x2+m的图象与函数g(x)=ln|x|的图象有四个交点,则实数m的取值范围为.解析:考虑2x2+m=ln|x|有四个不同的根,即两正、两负根,当x>0时,设函数h(x)=2x2-ln x+m,则h'(x)=4x-=-,则h()=-ln+m<0,即m答案:(-∞,ln-)三、解答题:本⼤题共6⼩题,共70分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程及演算步骤.17.(本⼩题满分10分)在等差数列{a n}中,a2+a3=-2,a4+a5+a6=12,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项a n及S n;(2)设{b n-a n}是⾸项为1,公⽐为3的等⽐数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解析:(1)设数列{a n}的公差为d,由题可得2a1+3d=-2,3a1+12d=12,解得a1=-4,d=2.所以a n=2n-6,S n=--·n=n2-5n.5分(2)由(1)可知b n-a n=3n-1,所以b n=2n-6+3n-1,T n=n2-5n+--=n2-5n+-.10分18.(本⼩题满分12分)已知△ABC中,A,B,C所对的边分别为a,b,c.·=m(m为正常数),∠BAC=θ,且a=2.(1)若bc有最⼤值4,求m的值及θ的取值范围;(2)在(1)的条件下,求函数f(θ)=2cos2(θ+)+2sin2θ-的最⼤值及相应的θ的值.解析:(1)由余弦定理可得b2+c2-2bccosθ=4,即b2+c2-2m=4,⼜bc≤(b2+c2)=m+2=4,所以m=2.所以有bccosθ=2,cosθ=≥,所以θ∈(0,].5分(2)因为f(θ)=1+cos(2θ+)+(1-cos2θ)-=-sin2θ-cos2θ+1=-2sin(2θ+)+1.由(1)可知θ∈(0,],所以2θ+∈(,π],sin(2θ+)∈[0,1],故f(θ)max=1,此时θ=.12分19.(本⼩题满分12分)某校⾼三(1)班的⼀次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直⽅图都受到不同程度的破坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:(1)求全班⼈数及分数在[80,90)之间的频数;(2)估计该班的平均分数,并计算频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼;(3)若要从分数在[80,100]之间的所有试卷中抽样2份试卷来进⾏试卷分析,求这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的概率.解析:(1)由茎叶图知,分数在[50,60)之间的频数为2,频率为0.008×10=0.08,全班⼈数为=25,所以分数在[80,90)之间的频数为25-2-7-10-2=4.3分(2)(法⼀)分数在[50,60)之间的总分为56+58=114,分数在[60,70)之间的总分为60×7+2+3+3+5+6+8+9=456,分数在[70,80)之间的总分为70×10+1+2+2+3+4+5+6+7+8+9=747,分数在[80,90)之间的总分约为85×4=340,分数在[90,100]之间的总分数为95+98=193,所以,该班的平均分数约为=74.6分(法⼆)分数在[50,60)之间的频率为=0.08,分数在[60,70)之间的频率为=0.28,分数在[70,80)之间的频率为=0.40,分数在[80,90)之间的频率为=0.16,分数在[90,100]之间的频率为=0.08,所以,该班的平均分约为55×0.08+65×0.28+75×0.40+85×0.16+95×0.08=73.8,6分频率分布直⽅图中[80,90)间的矩形的⾼为÷10=0.016.8分(3)分数在[80,90)之间的频数为4,分别设为a,b,c,d,分数在[90,100]之间的频数为2,分别设为A,B,要从分数在[80,100]之间的试卷中抽样2份试卷共有15种不同抽法:(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d),(A,B),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(c,A),(c,B),(d,A),(d,B),其中这两份试卷恰好⼀份分数在[80,90)之间,另⼀份分数在[90,100]之间的有8种,所求概率为.12分20.(本⼩题满分12分)如图,已知△PAD是边长为2的等边三⾓形,且平⾯PAD⊥底⾯ABCD,其中四边形ABCD为菱形,且∠DAB=60°,点M为PB中点,N点在PC上,且CN=3PN.(1)求证:PB⊥⾯ADM;(2)求三棱锥N—ADM的体积.解析:(1)取AD中点为Q,连结PQ,BQ.由已知可得△PAD与△BAD都是边长为2的等边三⾓形,所以有AD⊥PQ,AD⊥BQ,⼜PQ∩BQ=Q?AD⊥⾯PQB.⼜PB?⾯PQB,∴PB⊥AD.⼜PA=AB,PM=BM,所以有PB⊥AM,⼜AM∩AD=A,∴PB⊥⾯ADM.6分(2)取PC中点为E,连结ME,则ME∥BC.⼜BC∥AD,所以ME∥AD,故A,D,E,M四点共⾯,⼜CN=3PN,所以N为PE中点,∴V N-ADM=V P-ADM=V M-PAD=V B-PAD=×××4×=.12分21.(本⼩题满分12分)已知函数f(x)=,x∈[0,2].(1)求使⽅程f(x)-k=0(k∈R)存在两个不同实数解时k的取值范围;(2)设函数g(x)=ln x+x2-2x-m(x∈[1,3]),若对任意x1∈[0,2],总存在x0∈[1,3],使f(x1)-g(x0)=0,求实数m的取值范围.解析:(1)f'(x)=-,所以f(x)在区间[0,1]上递增,在[1,2]递减.且f(0)=0,f(1)=,f(2)=,所以≤k<.4分(2)由(1)可知f(x1)∈[0,],要使f(x1)-g(x0)=0成⽴,则g(x0)的值必须包含[0,].⼜g'(x)=+x-2=-=-≥0,所以函数g(x)=ln x+x2-2x-m在上单调递增,g(1)=--m,g(3)=ln3--m,由g(1)=--m≤0,g(3)=ln3--m≥,得-≤m≤ln3-.12分22.(本⼩题满分12分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的离⼼率为,且椭圆上⼀点与椭圆的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4.(1)求椭圆M的⽅程;(2)设直线l与椭圆M交于A,B两点,且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C,求△ABC ⾯积的最⼤值.解析:(1)因为椭圆M上⼀点和它的两个焦点构成的三⾓形周长为6+4,所以2a+2c=6+4,⼜椭圆的离⼼率为,即=,所以c=a,所以a=3,c=2,所以b=1,椭圆M的⽅程为+y2=1.4分(2)(法⼀)由(1)得,C(3,0),不妨设BC的⽅程y=n(x-3)(n>0),则AC的⽅程为y=-(x-3),由-得(+n2)x2-6n2x+9n2-1=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为3x2=-,所以x2=-,同理可得x1=-,所以|BC|=,|AC|=,S△ABC=|BC||AC|=,设t=n+≥2,则S==≤,当且仅当t=时取等号,所以△ABC⾯积的最⼤值为.12分(法⼆)显然直线l与x轴不平⾏,不妨设直线l的⽅程为x=ky+m,由消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有y1+y2=-,y1y2=-,①因为以AB为直径的圆过点C,所以·=0,由=(x1-3,y1),=(x2-3,y2),得(x1-3)(x2-3)+y1y2=0,将x1=ky1+m,x2=ky2+m代⼊上式,得(k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0,将①代⼊上式,解得m=或m=3(舍),所以m=,此时直线AB经过定点D(,0),与椭圆有两个交点,所以S△ABC=|DC||y1-y2|=×-=-,设t=,0则S△ABC=-,所以当t=∈(0,)时,S△ABC取得最⼤值.12分。
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全国100所名校2025届数学高三第一学期期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C 相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．32 B ．33 C ．12 D ．222．下列与函数1y x=定义域和单调性都相同的函数是（ ） A ．2log 2x y = B ．21log 2x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭ C ．21log y x = D ．14y x = 3．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）A ．54B ．58C ．516D ．5324．网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）A ．1B ．43C ．3D ．45．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足2MA MO = ，则·OM ON 的取值范围是（ ）A ．[]0,2B ．0,22⎡⎤⎣⎦C ．[]22-,D ．22,22-⎡⎤⎣⎦ 6．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ） A ． B ． C ． D ．7．己知四棱锥-S ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，120BAD ︒∠=，ΔSAD 是等边三角形，且23SA AB ==；若点P 在四棱锥-S ABCD 的外接球面上运动，记点P 到平面ABCD 的距离为d ，若平面SAD ⊥平面ABCD ，则d 的最大值为（ ）A ．131+B ．132+C ．151+D ．152+ 8．函数sin ln ||2y x x π⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭图像可能是（ ） A ． B ． C ．D ．9．已知集合2{|1}A x x =<,2{|log 1}B x x =<，则A ．{|02}AB x x ⋂=<<B ．{|2}A B x x ⋂=<C ．{|2}A B x x ⋃=<D ．{|12}A B x x =-<<10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”11．若i 为虚数单位，网格纸上小正方形的边长为1，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数2i z 的点是（ ）A ．EB ．FC ．GD ．H12．如图，圆O 是边长为23的等边三角形ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，BM xBA yBD =+(,)x y ∈R ，则2x y +的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师20(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(二十)第二十单元算法初步、推理与证明、复数(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设a,b∈R,(a+bi)(1-i)=3+5i(i为虚数单位),则a+b的值为A.0B.1C.2D.3=-=-1+4i,所以a=-1,b=4,则a+b=3.解析:由(a+bi)(1-i)=3+5i,得a+bi=-答案:D2.一个算法流程图如图所示,该算法流程图的功能是A.求a、b、c三个数中最大的数B.求a、b、c三个数中最小的数C.将a、b、c按从小到大排列D.将a、b、c按从大到小排列解析:根据流程图可知当a>b时取a,当a>c时取a,故该算法流程图的功能是求三个数中最大的数.答案:A3.在“由于任何数的平方都是非负数,所以(2i)2≥0”这一推理中,产生错误的原因是A.推理的形式不符合三段论的要求B.大前提错误C.小前提错误D.推理的结果错误解析:在“由于任何数的平方都是非负数,所以(2i)2≥0”这一推理,写成三段论的形式应是:任何数的平方都是非负数(大前提),2i是数(小前提),所以(2i)2≥0(结论).由于(2i)2=-4<0,所以结论错误,原因是大前提“任何数的平方都是非负数”错误,事实上,只有在实数范围内“任何数的平方都是非负数”才正确.答案:B4.若复数z满足(1-i)z=4i,则复数z对应的点在复平面的A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由于(1-i)z=4i,所以z=-=-2+2i,因此复数z对应的点在复平面的第二象限.答案:B5.用“辗转相除法”求294和84的最大公约数时,需要做除法的次数是A.2B.1C.3D.4解析:294=84×3+42,84=42×2,∴需要除法2次.答案:A6.执行如图的程序输出的结果是A.3B.7C.15D.17解析:i=1时,s=1;i=2时,s=2×1+1=3;i=3时,s=2×3+1=7;i=4时,s=2×7+1=15.答案:C7.观察下列各数:1,2,2,4,8,32…,则该数列的第8项可能等于A.256B.1024C.4128D.8192解析:观察知,各式的值构成数列1,2,2,4,8,…,其规律为:从第三项起,每一项都等于其前相邻两项的积,继续写出此数列为1,2,2,4,8,32,256,8192,…,第八项为8192.答案:D8.已知i为虚数单位,若函数f(x)=--的图象是一条连续不断的曲线,则实数a的值为A.4B.2C.0D.-4解析:由f(x)=--知,当x≤0时,f(x)=(1-i)2i=2,当x<0时,f(x)=a-2cos x,因为函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,所以当x=0时,有2=a-2cos0,得a=4.答案:A9.执行如图所示的程序框图,若输出的结果是10,则判断框内m的取值范围是A.(56,72]B.(72,90]C.(90,110]D.(56,90)解析:由于程序的运行结果是10,所以可得解得72<m≤90.答案:B10.已知复数z的共轭复数是-,则复数z2++3等于A.-2iB.3-iC.1+2iD.-1-2i解析:=-=--=(1-i)2=-2i,∴z=2i,∴z2++3=-4-2i+3=-1-2i.答案:D11.我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题:如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得线段的比都为k,那么甲的面积是乙的面积的k倍.可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理.现在图③中的曲线分别是+=1(a>b>0)与x2+y2=a2,运用上面的原理,图③中椭圆的面积为A.πb2B.C.π(a2-b2)D.πab解析:用平行于y轴的直线x=t截图形,截得的椭圆弦长为-,截得圆的弦长为2-,它们的比为,∵圆的面积为πa2,∴椭圆的面积为πab.答案:D12.设f(n)是关于正整数n的命题.已知:①命题f(n0),f(n0+1),f(n0+2)均成立,其中n0为正整数;②对任意的k∈N+且k≥n0,在假设f(k)成立的前提下,f(k+m)也成立,其中m为某个固定的正整数.若要用上述条件说明命题f(n)对一切不小于n0的正整数n均成立,则m的最大值为A.1B.2C.3D.4解析:由①可知,命题f(n)对n=n0,n0+1,n0+2都成立,由②可知,在假设f(k)成立的前提下,f(k+m)也成立,若要用上述条件说明命题f(n)对一切不小于n0的正整数n均成立,则有数学归纳法知m的最大值为3,否则,比如当m=4时,n0+m≥n0+4,这时就无法说明命题f(n0+3)是否成立.故选C.答案:C第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.复数z=-的共轭复数是.解析:z=-=-=+i,∴=-i.答案:-i14.按下列程序框图来计算:如果x=5,应该运算次才停止.解析:x n+1=3x n-2,x1=5,x2=13,x3=37,x4=109,x5=327>200,所以运行4次.答案:415.观察下图:12343456745678910…………则第行的各数之和等于20132.解析:观察知,图中的第n行各数构成一个首项为n,公差为1,共2n-1项的等差数列,其各项和为S n=(2n-1)n+--=(2n-1)n+(2n-1)(n-1)=(2n-1)2,令(2n-1)2=20132,得2n-1=2013,所以n=1007.答案:100716.对于任意实数x,符号[x]表示不超过x的最大整数.在方向向右的实数轴上[x]是在点x 左侧的第一个整点,当x是整数时[x]就是x.函数f(x)=[x]叫做“高斯函数或取整函数”.那么[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log32013]=.解析:当3k≤n<3k+1(k,n∈N+)时,有k≤log3n<k+1,则由题意知[log3n]=k.所以[log31]+[log32]=0;[log33]+[log34]+…+[log38]=1×(32-3);[log39]+[log310]+…+[log326]=2×(33-32);[log327]+[log328]+…+[log380]=3×(34-33);…,[log3729]+[log3730]+…+[log32013]=6×(2014-36),所以[log31]+[log32]+[log33]+[log34]+…+[log32013]=6×2014-(3+32+33+34+35+36)=10992.答案:10992三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)设复数z=(a2-4sin2θ)+(1+2cosθ)i,其中i为虚数单位,a为实数,θ∈(0,π).若z是方程x2-2x+5=0的一个根,且z在复平面内所对应的点在第一象限,求θ与a的值.解析:方程x2-2x+5=0的根为x=1±2i,因为z在复平面内所对应的点在第一象限,所以z=1+2i,4分所以-解得cosθ=,因为θ∈(0,π),所以θ=.所以a2=1+4sin2θ=1+4·=4,a=±2.所以θ=,a=±2.10分18.(本小题满分12分)如图所示的程序框图,其作用是输入x的值,输出相应的y的值.(1)请指出该程序框图所使用的逻辑结构;(2)若要使输入的x的值与输出的y的值相等,则输入x的值的集合为多少?解析:(1)程序框图所使用的逻辑结构是条件结构和顺序结构.6分(2)依题意得或-或解得x=0或x=1或x=3,故所求x的集合为{0,1,3}.12分19.(本小题满分12分)设函数f n(x)=a n x2+b n x+nc(ab≠0,n∈N+).(1)若a,b,c均为整数,且f1(0),f1(1)均为奇数,求证:f1(x)=0没有整数根.(2)若a,b为两不相等的实数,求证:数列{f n(1)-nc}不是等比数列.解析:(1)假设f1(x)=0有整数根n(n∈Z),则an2+bn+c=0.由题设f1(0),f1(1)均为奇数,知c为奇数,a+b为偶数,a与b的奇偶性相同.当n为奇数时,an2+bn 为偶数;当n为偶数时,an2+bn也为偶数,所以an2+bn+c为奇数,这与an2+bn+c=0矛盾.故假设错误,即f1(x)=0无整数根.6分(2)由题设知f n(1)-nc=a n+b n,假设数列{a n+b n}为等比数列,取该数列的前三项a+b,a2+b2,a3+b3,则有(a2+b2)2=(a+b)(a3+b3),即2ab=a2+b2,得(a-b)2=0,即a=b,这与已知a,b为两不相等的实数矛盾.所以数列{f n(1)-nc}不是等比数列.12分20.(本小题满分12分)已知复数z=sin+icos-的模|z|=,且A≠π,B≠π,m,n∈Z.求tan Atan B的值.解析:由z=sin+icos -及|z|=,得-=,即3sin2+cos2-=2,所以3×-+-=2,6分即3cos(A+B)=cos(A-B),得3(cos Acos B-sin Asin B)=cos Acos B+sin Asin B,所以2sin Asin B=cos Acos B,又由A≠π,B≠π,m,n∈Z知cos Acos B≠0,得2=1,即tan Atan B=.12分21.(本小题满分12分)已知数列{a n}的各项均为正数,观察程序框图,若k=5,k=10时,分别有S=和S=.(1)试求数列{a n}的通项;(2)令b n=,求b1+b2+…+b m的值.解析:由框图可知S=++…+.∵{a n}是等差数列,设公差为d,则有=(-).∴S=(-+-+…+-)=(-).4分(1)由题意可知,k=5时,S=;k=10时,S=.∴--可得或--(舍去),故a n=a1+(n-1)d=2n-1.8分(2)由(1)可得:b n==22n-1.∴b1+b2+…+b m=21+23+…+22m-1=--=(4m-1).12分22.(本小题满分12分)设函数f n(x)=1-x+-+…+(-1)n,n∈N+.(1)试确定f3(x)和f4(x)的单调区间及相应区间上的单调性;(2)说明方程f4(x)=0是否有解;(3)对于自然数n,试给出关于x的方程f n(x)=0解的情况的一个一般性结论,并加以说明.解析:(1)f3(x)=1-x+-,f'3(x)=-1+x-x2=-(x-)2-<0,所以f3(x)在(-∞,+∞)上是减函数.f4(x)=1-x+-+,f'4(x)=-1+x-x2+x3=(x-1)(x2+1),当x<1时,f'4(x)<0,当x>1时,f'4(x)>0,所以在(-∞,1)上f4(x)是减函数,在(1,+∞)上f4(x)是增函数.4分(2)由(1)可知[f4(x)]min=f4(1)=>0,所以f4(x)=0无解.7分(3)猜想当n为偶数,关于x的方程f n(x)=0无解;当n为奇数时,关于x的方程f n(x)=0有且仅有一解.下面证明:①若n为偶数时,f'n(x)=-1+x-x2+x3-…-x n-2+x n-1=(x-1)(1+x2+x4+…+x n-2),当x<1时,f'n(x)<0,当x>1时f'n(x)>0,所以在(-∞,1)上f n(x)为减函数,在(1,+∞)上f n(x)为增函数.令n=2k,k∈N+,[f n(x)]min=f n(1)=1-1+-+…+(-1)2k=(-)+(-)+…+(---)+>0,所以方程f n(x)=0无解.②若n为奇数时,f'n(x)=-1+x-x2+x3-…+x n-2-x n-1,当x≠-1时,f'n(x)=-<0,当x=-1时,f'n(-1)=-1-1-1-1-…-1-1=-n<0,所以当x∈R时,f'n(x)<0,f n(x)在R上是减函数.而f n(0)=1>0,f1(1)=1-1=0,当n为大于1的奇数时,f n(n)=1-n+n2(-)+n4(-)+…+n n-1(--)<0.综上,当n为不小于1的奇数时,f n(n)≤0,关于x的方程f n(x)=0有且仅有一解.12分。
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：语文新课标版语文新课标全国14教师
全国100所名校单元测试示范卷（高三）：语文新课标版语文新课标全国14教师全国100所名校单元测试示范卷·高三·语文卷(十四)论述类文章阅读(二)一、阅读下面的文字,完成1~3题。
春节民俗艺术对年味的强化吕品田感人的艺术氛围和铭心的审美经验,强化着国人对春节这一“文化空间”的审美期待。
这种普遍而持久的社会心理,使“春节”成为中华民族共有精神家园的重要构成。
在春节这个狂欢时节,民俗艺术的文化功能、社会功能和教育功能得到了最大程度的发挥,民族文化的凝聚力也得到了最大程度的体现。
春节习俗促进了民间艺术的发展,而各具地域特色的节俗艺术也在生活中发挥着比审美欣赏更为广泛的社会作用。
比如南方许多地区都有耍“板凳龙”的习俗,其每一节“龙身”由每家每户来制作,当龙灯耍到家门前时,这家人便将自己制作的一节“龙身”接上,龙灯如此越接越长,越耍越威风。
这种全民参与的“行为艺术”既调动了人们过春节的积极性,也增进了村社邻里间的和睦与团结。
民间艺术特别能反映中国人的审美意识,其创作构思充满想象,极富浪漫色彩。
比如人们把“鲇鱼”与富裕之意联系在一起,以之寄托“年年有余”的美好理想。
民间艺术的造型无意模仿客观事物的自然特征,而强调物象所承载的人文观念,以至其表现形式自由而奔放,具有强烈的主观色彩,将中国“写意”艺术精神作了极致的发挥。
民间艺术的整体格调清新质朴、刚健明朗,凸显着乐观主义的精神品格和美学气质,不像现在一些极端个人主义的艺术创作,极力表现焦虑、寂郁或惆怅等消极情绪。
有人说现在“年味淡了”,的确是这样。
以前过年,人们会自己写春联、剪剪纸、扎灯彩、塑面花,自发而热情地参与节俗艺术创作。
如今,这种审美兴趣和相关的习俗观念已越来越淡化,年节的文化空间已为批量化生产的“民艺商品”所充斥。
现在的春节不如以前热闹了,真正的民间创作也随节俗的淡化而日益缺乏,现代人尤其是年轻一代已越来越不屑于民间艺术。
现在的生活节奏加快了,社会格局、经济格局、家庭格局以及价值观、审美观也和以往大有不同,许多有特色的节俗活动和相关的艺术形式要在城市里展开确有一定的难度。
全国百所名校但愿检测示范卷 高三文科 数学卷 简易答案
参考答案 (文科)单元检测卷(一)1．B 2.C 3.B 4.B 5.B 6.D 7.B 8.A 9.D 10.C 11.B 12．A13．100 14.－1 15.(1,2)16．(－∞，－3)∪⎣⎡⎦⎤12，1∪(3，＋∞) 17．∴∁U B ＝(－∞，－5]∪{0}∪[5，＋∞)， A ∩B ＝(－2,0)∪(0,3)，A ∪B ＝(－5,5)，A ∪(∁UB )＝(－∞，－5]∪(－2,3)∪[5，＋∞)，A ∩(∁U B )＝{0}， ∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁ U B )＝(－∞，－5]∪[5，＋∞)．18．(1)否命题：若m ≤0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根；(假命题) 命题的否定：若m ＞0，则关于x 的方程x 2＋x －m ＝0无实数根．(假命题) (2)否命题：若x 、y 不都是奇数，则x ＋y 不是奇数；(假命题) 命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是奇数．(真命题) (3)否命题：若abc ≠0，则a 、b 、c 全不为0；(真命题) 命题的否定：若abc ＝0，则a 、b 、c 全不为0.(假命题) 19.⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，－13. 20．(1)A ＝(－∞，－1)∪[1，＋∞)． (2)(－∞，－2]∪⎣⎡⎭⎫12，1. 21．－23≤a <0，或a ≤－4.22．(1)集合B 不是“好集”．理由是：假设集合B 是“好集”． 因为－1∈B,1∈B ，所以－1－1＝－2∈B .这与－2∉B 矛盾． 有理数集Q 是“好集”．理由是：因为0∈Q,1∈Q ， 对任意的x ，y ∈Q ，有x －y ∈Q ，且x ≠0时，1x ∈Q .所以有理数集Q 是“好集”． (2)证明：因为集合A 是“好集”，所以0∈A .若x ，y ∈A ，则0－y ∈A ，即－y ∈A . 所以x －(－y )∈A ，即x ＋y ∈A . (3)命题p ，q 均为真命题．理由如下： 对任意一个“好集”A ，任取x ，y ∈A ， 若x ，y 中有0或1时，显然xy ∈A .下设x ，y 均不为0,1.由定义可知：x －1，1x －1，1x ∈A .所以1x －1－1x ∈A ，即1x (x －1)∈A .所以x (x －1)∈A .由(2)可得x (x －1)＋x ∈A ，即x 2∈A ，同理可得y 2∈A ， 若x ＋y ＝0或x ＋y ＝1，则显然(x ＋y )2∈A ，若x ＋y ≠0且x ＋y ≠1，则(x ＋y )2∈A .所以2xy ＝(x ＋y )2－x 2－y 2∈A .所以12xy ∈A .由(2)可得1xy ＝12xy ＋12xy ∈A ，所以xy ∈A .综上可知，xy ∈A ，即命题p 为真命题．若x ，y ∈A ，且x ≠0，则1x ∈A .所以y x ＝y 1x∈A ，即命题q 为真命题．单元检测卷(二)1．D 2.B 3.B 4.A 5.A 6.D 7.A 8.C 9.B 10.C 11．C 12.B13．2 14.⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 15.f (x )＝3x ＋23 16．f (x )＝－(x －2)2(不唯一)17．(1)(－∞，－2)∪(－2，－1]∪[1,2)∪(2，＋∞)． (2)⎣⎡⎭⎫－5，－3π2∪⎝⎛⎭⎫－π2，π2∪⎝⎛⎦⎤3π2，5. 18．(1)(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(x －1)2－2(x ≥0)，－2(x ＋1)2＋2(x ＜0). 19．(1)f (x )max ＝f (－1)＝21，f (x )min ＝f (1)＝－11.(2)存在常数q ＝9，使得当x ∈[q,10]时，f (x )的最小值为－51. 20．(1)f (4)＝2，f (8)＝3 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2<x <167.21．(1)y ＝－2x 2＋40x －98(x ∈N *)． (2)从第三年起(3)①∵y x ＝－2x ＋40－98x ＝40－⎝⎛⎭⎫2x ＋98x ≤40－22×98＝12， 当且仅当2x ＝98x，即x ＝7时，等号成立．∴到2019年，年平均盈利额达到最大值，机床厂可获利12×7＋30＝114万元． ②y ＝－2x 2＋40x －98＝－2(x －10)2＋102， 当x ＝10时，y max ＝102.故到2022年，盈利额达到最大值，机床厂可获利102＋12＝114万元．因为两种方案机床厂获利总额相同，而方案①所用时间较短，故方案①比较合理． 22．(1)奇函数(2)设x 1＜x 2，由f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，知f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)，∵x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0.又当x ＞0时，f (x )＜0，∴f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＜0，∴f (x 2)＜f (x 1)，即f (x 1)＞f (x 2)，∴函数f (x )是定义域上的减函数． (3)当x ＝－3时，函数有最大值6；当x ＝3时，函数有最小值－6.单元检测卷(三)1．B 2.A 3.D 4.B 5.D 6.D 7.C 8.D 9.A 10.D 11．C 12.C13．(1,2) 14.⎣⎡⎭⎫17，13 15.1 16.(－∞，0) 17．(1)100 (2)12.5 18．(1)(0，＋∞)． (2)(0,1) 19．(1)(2)4.820．x ＝22时，y min ＝－14；x ＝1时，y max ＝2.21．(1)证明：设任意x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝4x 12＋4x 1－4x 22＋4x 2＝2(4x 1－4x 2)(2＋4x 1)(2＋4x 2)， 则因为x 1＜x 2，所以4x 1＜4x 2，所以4x 1－4x 2＜0. 又2＋4x 1＞0,2＋4x 2＞0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在R 上是增函数．(2)证明：对任意t ，f (t )＋f (1－t )＝4t 2＋4t ＋41－t 2＋41－t ＝4t 2＋4t ＋42·4t ＋4＝1. 所以对于任意t ，f (t )＋f (1－t )＝1.(3)1 00622．(1)f (1)＝0，f (xy )＝f (x )＋f (y )(x ＞0，y ＞0)． (2)证明：令y ＝1x ，则有f (1)＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x . 又f (1)＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )． ∴f ⎝⎛⎭⎫x y ＝f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1y ＝f (x )－f (y )． (3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫13＜x ＜1. 单元检测卷(四)1．C 2.C 3.A 4.A 5.C 6.C 7.D 8.B 9.C 10.B 11．A 12.C13．－4 14.(－∞，－1)，(－1，＋∞) 15.3(2＋2)V 16.①② 17．(1)极小值f (1)＝1，f (x )无极大值(2)当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a 2，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2a 2，＋∞ 18．(1)a ＝－1，b ＝3(2)证明：f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)知 f (x )＝x －x 2＋3ln x .设g (x )＝f (x )－(2x －2)＝2－x －x 2＋3ln x ，则g ′(x )＝－1－2x ＋3x ＝－(x －1)(2x ＋3)x .当0<x <1时，g ′(x )>0；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 而g (1)＝0，故当x >0时， g (x )≤0，即12f (x )≤x －1.19．(1)当a >0时，k 的最大值为2a －1；a >0时，k 的最大值为－2a －1. (2)⎣⎡⎭⎫－22，0∪⎝⎛⎦⎤0，22 . 20．(1)证明：f ′(x )＝－a (x －a )2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝(x 2－ax －a )e x (x －a )2，f ′(0)＝－1a ， g ′(0)＝－1a. 又 f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－xa .(2)存在整数m ，且m 的最小值为1.21．(1)①f (x )是增函数；②f (x )≤9恒成立；③f (x )≤x5恒成立．(2)①函数模型不符合公司要求． ②函数模型符合公司要求． 22．(1)e 2－4ln 2 (2)(－∞，0]单元检测卷(五)1．C 2.C 3.B 4.B 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.C 11．A 12.C13．1,3 14.1438015.⎝⎛⎭⎫13，1 16．答案不唯一，可填⎝⎛⎭⎫0，12ln 2，⎝⎛⎦⎤1ln 2，3等 17．(1)(2) 3(3)设2≤x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2x 1－2x 2＝2(x 1－x 2)，∵x 1＜x 2，∴x 1－x 2＜0，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在[2，＋∞)上单调递增．18．(1)单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)． (2)b ≤0 19．(1)证明：先将f (x )变形：f (x )＝log 3⎣⎡⎦⎤(x －2m )2＋m ＋1m －1，当m ∈M 时，m >1，∴(x－2m )2＋m ＋1m －1>0恒成立，故f (x )的定义域为R . 反之，若f (x )对所有实数x 都有意义，则只需x 2－4mx ＋4m 2＋m ＋1m －1>0，令Δ＜0，即16m 2－4⎝⎛⎭⎫4m 2＋m ＋1m －1＜0，解得m >1，故m ∈M .(2)log 3⎝⎛⎭⎫m ＋1m －1为最小值．20．(1)3e －1.(2)(－∞，－e 2＋3e ＋1)．21．(1)当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，－a 6和⎣⎡⎭⎫ a 6，＋∞，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－ a6， a 6.(2)证明：由于0≤x ≤1，故当a ≤2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3－2ax ＋2≥4x 3－4x ＋2. 当a >2时，f (x )＋|2－a |＝4x 3＋2a (1－x )－2≥4x 3－4x ＋2＝2(2x 2－2x ＋1)． 设g (x )＝2x 3－2x ＋1， 则g ′(x )＝6x 2－2＝6⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33， 于是g ′(x )，g (x )随x 的变化情况如下表：所以，g (x )min ＝g ⎝⎛⎭⎫33＝1－439>0.所以，当0≤x ≤1时，2x 3－2x ＋1>0. 故f (x )＋|2－a |≥4x 3－4x ＋2>0.22．(1)a ＝0时，f (x )既没有增区间也没有减区间； a <0时，单调减区间为(0，＋∞)；a >0时，单调减区间为(0，a )，单调增区间为(a ，＋∞)． (2)⎣⎡⎭⎫4e 2＋12e ，＋∞. 单元检测卷(六)1．B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.C 7.D 8.C 9.D 10.B 11.A 12．B13．2 14.1 15.[2，4] 16.b ≤3，a ＝c ＝0 17．(1)A ∪B ＝{x |2<x <8}． (∁R A )∩B ＝{x |2＜x ＜3}． (2)(－∞，3]18．(1)f (x )＋g (x )为偶函数，证明如下：要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＞0，x ＋1＞0，解得－1＜x ＜1.所以函数f (x )＋g (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}，此函数的定义域关于原点对称．设F (x )＝f (x )＋g (x )，即F (x )＝log a (1－x )＋log a (x ＋1)．又因为F (－x )＝log a (1＋x )＋log a (1－x )＝F (x )，所以函数f (x )＋g (x )是偶函数． (2)(1,22]19．(1)m ＝4，n ＝30 (2)f (log 34)＜f (log 330)．20．(1)L (x )＝20＋4(x －20)(x －50)2，(20<x <50)． (2)30元21．(1)当a ＝－1时，f (x )＝1＋x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋54， 所以f (x )在x ∈(－∞，0)上单调递增，所以f (x )＜f (0)＝－⎝⎛⎭⎫0－122＋54＝1， 于是函数f (x )在(－∞，0)上的值域为(－∞，1)．又因为f (x )＜1，所以|f (x )|∈[0，＋∞)，所以不存在常数M ＞0，使|f (x )|≤M 都成立． 故函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)⎣⎡⎦⎤－12，－18. 22．(1)f (x )＝13x 3－x ＋2.(2)m >5－e 2.单元检测卷(七)1．C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.D 9.A 10.B 11.A 12.D 13. 314．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6 15.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ) 16．①③17．(1)⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，0(k ∈Z )． (2)18．(1)最小正周期为π.单调递增区间⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )． (2)x ＝π3时，f (x )有最大值12；x ＝0时，f (x )有最小值－1.19．(1)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，且x ≠－π3－2k π，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为T ＝2π.(2)4465. 20．(1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋1. (2)13. 21．(1)A 、B 的值分别为4、2或－4、2.(2)g (x )＝⎩⎨⎧4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0，－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2.22．(1)a ＝6，b ＝19，φ＝5π6，f (x )＝6sin ⎝⎛⎭⎫π72x ＋5π6＋19. (2)152(天)单元检测卷(八)1．A 2.B 3.D 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.B 11．A 12.D13．1 14.⎣⎡⎦⎤0，π4，⎣⎡⎦⎤π2，3π4 15.4 16.①②⑤ 17．(1)－3＋226(2)⎣⎡⎦⎤－2，98 18．(1)⎝⎛⎭⎫－2425，725 (2)－2 19．(1)－13≤m ≤0 (2)－42920．(1)17 (2)3π421．(1)±3或0(2)单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )． 22．(1)⎝⎛⎭⎫－3，－52 (2)34单元检测卷(九)1．A 2.C 3.A 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.D 10.C 11．A 12.A13.π3 14.15 15.1 2 16.112 17．(1)53 (2)41318．(1)3 (2)钝角三角形19．(1)A ＝π6或A ＝π2. (2)2＋ 320．(1)π3 (2)⎝⎛⎦⎤12，2 21．(1)CD ＝23sin ⎝⎛⎭⎫π3－α，α∈⎝⎛⎭⎫0，π3 (2)⎝⎛⎦⎤1，π6＋33. 22．(1)⎝⎛⎦⎤－32，3. (2)方案一：选择①②，可确定△ABC ，S △ABC ＝3＋14. 方案二：选择①③，可确定△ABC ，S △ABC ＝3＋14. 单元检测卷(十)1．B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.C 7.D 8.B 9.B 10.A 11．B 12.D13．2 14.π3 15.⎣⎡⎦⎤－1－22，1＋22 16.①②③17．(1)－92 (2)－3573818．(1)k ＝4919(2)⎝⎛⎭⎫4919，＋∞ 19．(1)AB ―→＝12(EB ―→＋EC ―→)． (2)－75220．(1)7 (2)132≤m ≤2＋3221．(1)证明：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则m a ＋n b ＝m (x 1，y 1)＋n (x 2，y 2)＝(mx 1＋nx 2，my 1＋ny 2)，所以f (m a ＋n b )＝(my 1＋ny 2,2my 1＋2ny 2－mx 1－nx 2)．又因为f (a )＝(y 1,2y 1－x 1)，f (b )＝(y 2,2y 2－x 2)，故mf (a )＋nf (b )＝m (y 1,2y 1－x 1)＋n (y 2,2y 2－x 2)＝(my 1＋ny 2,2my 1＋2ny 2－mx 1－nx 2)，即f (m a ＋n b )＝mf (a )＋nf (b )． (2)α＋β＝k π，k ∈Z . 22．(1)y 2＝4ax .(2)证明：由题意知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝k (x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4ax ，y ＝k (x －a )，消去x 得y 2－4a k y －4a 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－4a 2，KA ―→＝(x 1＋a ，y 1)，KB ―→＝(x 2＋a ，y 2)，KA ―→·KB ―→＝(x 1＋a ，y 1)·(x 2＋a ，y 2)＝x 1x 2＋a (x 1＋x 2)＋a 2－4a 2＝y 21y 22(4a )2＋a ⎝⎛⎭⎫y 21＋y 224a －3a 2＝a 2＋14(y 21＋y 22)－3a 2＝14(y 21＋y 22)－2a 2＞14(2|y 1y 2|)－2a 2＝14×8a 2－2a 2＝0， 又KA ―→与KB ―→不共线，所以0＜θ＜π2.单元检测卷(十一)1．D 2.C 3.B 4.B 5.A 6.C 7.D 8.D 9.C 10.A 11．D 12.C13．0 14.15 15.1p (1＋p )7－1p ＋2 100p16．1 553 17．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1. (2)S n ＝32⎝⎛⎭⎫1－13n . 18．(1)a n ＝2n . (2)n ＝10.19．(1)当n ＝1时，数列{a n }的最大值为a 1＝3 (2)4 20．3·21 008－3 02721．(1)证明：易知a n －1≠0，所以a n ＝2－1a n －1，当n ≥2时，1a n －1－1a n －1－1＝1⎝⎛⎭⎫2－1an －1－1－1a n －1－1＝11－1a n －1－1a n －1－1＝a n －1a n －1－1－1a n －1－1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1为首项，以1为公差的等差数列．(2)b n ＝12－n 或b n ＝13－n 22．(1)a n ＝e 2n ＋1，b n ＝2n(2)T n ＝e 6－e 4n ＋61－e 4＋ln 1n ＋1＋n 2＋2n . 单元检测卷(十二)1．A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.B 7.C 8.B 9.A 10.A 11．B 12.B13．16 14.2n －12n －115.13(3n ＋1－1) 16.4 02717．(1)a n ＝2n －5，b n ＝3n －1(2)S n ＝n 2－4n ＋3n －1218．(1)a n ＝6n －3(2)存在，当n ＞10时，T n ＞1021. 19．(1)由条件知a n ＋1＝f (a n )＝3a n －22a n －1， 所以1a n ＋1－1－1a n －1＝13a n －22a n －1－1－1a n －1＝2a n －1a n －1－1a n －1＝2(a n －1)a n －1＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以1a 1－1＝1为首项，以2为公差的等差数列．(2)3 (3)6 039220．(1)A n ＝40n ； B n ＝2n 2＋2n ； C n ＝12(2n －1)．(2)当销售产品数量小于10时，应该选用第一种方案；当销售产品的数量大于等于10时，应选用第三种方案．21．(1)a n ＝⎝⎛⎭⎫14n ，b n ＝2n －3 (2)S n ＝－19－⎝⎛⎭⎫2n 3－19⎝⎛⎭⎫14n22．(1)S n ＝(4＋22)[(2)n －1] (2)证明：由(1)知a n ＝log 2T n ＝n ＋22，所以tan a 2n ·tan a 2(n ＋1)＝tan(n ＋1)·tan(n ＋2)． 因为tan 1＝tan[(n ＋2)－(n ＋1)]＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)1＋tan (n ＋2)·tan (n ＋1)，所以tan(n ＋2)·tan(n ＋1)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1，即tan a 2n ·tan a 2(n ＋1)＝tan (n ＋2)－tan (n ＋1)tan 1－1.(3)P n ＝tan (n ＋2)－tan 2tan 1－n .单元检测卷(十三)1．A 2.D 3.B 4.A 5.C 6.C 7.C 8.D 9.D 10.C 11.C 12.D 13．1 14.4 15.(4，＋∞) 16.①③17．证明：(1)因为a ＋b ＝1，且a ＋b ≥2ab ，所以ab ≤12，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，1a ＋1b≥21ab ＝2ab ≥212＝4，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即1a ＋1b ≥4. (2)因为a ＋b ＝1，且a ＋b ≥2ab ，故ab ≤12，即ab ≤14，所以⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ＝1＋2ab ≥1＋214＝9， 当且仅当a ＝b ＝12时等号成立．18．当a ＞1时，不等式的解集为{x |x ＞a 2或x ＜a }；当0＜a ＜1时，不等式的解集为{x |a 2＜x ＜a }．19．(1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－54＜x ＜34.(2)λ≤－120．当x ＝2＋26时，物体离开初始位置的距离对x ＝2的平均定向增长率的最小值为46＋621．电子产品A 的月产量为4，产品B 的月产量为9时，可获得最大利润为96百元． 22．安排20名员工分流．单元检测卷(十四)1．D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11．A 12.B13．2 14.⎝⎛⎭⎫32n 2－12n ，－n 15.y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 16．①③ 17．(1，＋∞)18．(1)x ＝2k π＋π3，k ∈Z 时，函数f (x )取最大值为1. (2)C ＝π619．(1)a n ＝3n －1，b n ＝2·3n －1 (2)S n ＝⎝⎛⎭⎫3n －52·3n ＋52 20．(1)43万元 (2)应生产A 产品12吨，才可使平均成本最低，为7万元．21．(1)y ＝0 (2)当a ≤0时，g (x )的单调递减区间为(0，＋∞)，当a <0时，g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，2a22．(1)b ＝－4a －15 ①当a ＜－8时，单调递增区间是(－∞，3)和(－a －5，＋∞)，单调递减区间是(3，－a －5)；②当a ＞－8时，单调递增区间是(－∞，－a －5)和(3，＋∞)，单调递减区间是(－a －5,3)． (2)⎝⎛⎭⎫0，32 单元检测卷(十五)1．C 2.C 3.B 4.C 5.C 6.A 7.B 8.D 9.D 10.A 11．A 12.D 13.3 14.616a 215.3∶1 16．点N 在线段EG 上 点N 在线段EH 上 17．S 表面＝(60＋42)π V ＝1483π18．证明：(1)据已知连接OH ，GO ，易知GO ∥BE ∥CD ，即直线GO ∥平面ACD ， 同理可证OH ∥平面ACD ，又GO ∩OH ＝O ，故平面ACD ∥平面GHO ， 又GH ⊂平面GHO ，故GH ∥平面ACD .(2)∵DC ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴DC ⊥BC .∵AB 是圆O 的直径，∴BC ⊥AC . 又DC ∩AC ＝C ，∴ BC ⊥平面ADC .∵四边形DCBE 为平行四边形，∴DE ∥BC .∴DE ⊥平面ADC . ∵DE ⊂平面ADE ，∴平面ACD ⊥平面ADE . 19.(1)证明：∵连接SO ，底面ABCD 是菱形，O 为中心， ∴ AC ⊥BD .又SA ＝SC ，∴AC ⊥SO .而SO ∩BD ＝O ，∴AC ⊥平面SBD . (2)取棱SC 中点M ，CD 中点N ，连接MN ， 则动点P 的轨迹即是线段MN . 证明：连接EM 、EN ，∵E 是BC 的中点，M 是SC 的中点，∴EM ∥SB .同理，EN ∥BD ，∴平面EMN ∥平面SBD ， ∵AC ⊥平面SBD ，∴AC ⊥平面EMN .因此，当点P 在线段MN 上运动时，总有AC ⊥EP ； 侧面△SCD 中P 点不在线段MN 上时，不可能有AC ⊥EP .20．(1)当PC ＝3时，CP ⊥平面ABP ，证明：若CP ＝3，则BP ＝4，而BC ＝5，所以三角形PBC 为直角三角形，且CP ⊥PB .又平面ABC ⊥平面α，AB ⊥BC ，所以AB ⊥平面α， 于是CP ⊥AB ，又因为PB ∩AB ＝B ，所以CP ⊥平面ABP . (2)20414121．(1)直观图如图所示，S ＝18＋2 3 (2)证明：连接B 1C 交BC 1于E 点，则E 为B 1C 、BC 1的中点，连接DE . ∵AD ＝A 1D ，AB ＝A 1C 1，∠BAD ＝∠DA 1C 1＝90°， ∴△ABD ≌△A 1C 1D ，∴BD ＝C 1D ，∴DE ⊥BC 1. 同理，DE ⊥B 1C .又∵B 1C ∩BC 1＝E ，∴DE ⊥平面BB 1C 1C .又∵DE ⊂平面BDC 1，∴平面BB 1C 1C ⊥平面BDC 1.(3)取BC 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接AP ，AQ ，PQ ，则平面APQ ∥平面BDC 1. 证明：连接PE ，则PE ∥AD ，且PE ＝AD ， 故四边形APED 为平行四边形．∴AP ∥DE .又DE ⊂平面BDC 1，AP ⊄平面BDC 1， ∴AP ∥平面BDC 1.由PQ 为△BCC 1的中位线，得PQ //BC 1.∵BC 1⊂平面BDC 1，PQ ⊄平面BDC 1，∴PQ ∥平面BDC 1. 又∵AP ∩PQ ＝P ， ∴平面APQ ∥平面BDC 1. 22．(1)233(2)证明：如图，设F 为A ′B 的中点，连接PF ，FE ，则有EF ∥BC ，PD ∥BC ，且EF ＝12BC ，PD ＝12BC .所以DE ∥PF ，又A ′P ＝PB . 所以PF ⊥A ′B . 故DE ⊥A ′B .单元检测卷(十六)1．D 2.B 3.A 4.A 5.A 6.C 7.B 8.D 9.D 10.D 11.B 12.D 13．2或72 14.(x －1)2＋(y －1)2＝2 15.x ＋2y －3＝0 16.±217．(1)3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0 (2){a |a ≤－1} 18．(x －2)2＋(y －2)2＝5或⎝⎛⎭⎫x ＋122＋⎝⎛⎭⎫y ＋122＝54 19．(1)3x ＋y ＋2＝0 (2)(x －2)2＋y 2＝820．(1)3x ＋4y －20＝0或x ＝－4 (2)△OAB 的最大面积为8，此时直线AB 的斜率为±2 2 21．(1)x 2－y 23＝1(x ＞1) (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋⎝⎛⎭⎫y ±1522＝1 22．(1)⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73 (2)证明：设过点A (0,1)的圆C 的一条切线为AT ，T 为切点．因为圆C 的圆心C (2,3)，半径r ＝1，则|AC |＝22，所以|AT |2＝|AC |2－r 2＝7.∴AM ―→·AN ―→＝|AM ―→||AN ―→| cos 0°＝AT 2＝7，∴AM ―→·AN ―→为定值． (3)k ＝1单元检测卷(十七)1．A 2.C 3.C 4.D 5.A 6.A 7.C 8.B 9.A 10.C 11．C 12.D13．y ＝12 14.x 22＋y 2＝1 15.16x 2a 2－16y 23a 2＝1(x >0，y ≠0) 16.1＋5217.x 24－y 2＝1或y 24－x 216＝1 18．(1)钝角三角形 (2)12 319．(1)y 2＝8x (2)证明：①若直线l 斜率存在，设直线l ：y ＝kx ＋b 与抛物线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋b ，y 2＝8x ⇒ky 2－8y ＋8b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，64－32kb >0， ∴y 1y 2＝8b k ，x 1x 2＝y 21y 2264＝b 2k 2，由OA ⊥OB 得x 1x 2＋y 1y 2＝0，即bk＝－8，b ＝－8k ，直线为y ＝k (x －8)，所以直线l 过定点(8,0)．②若直线l 与x 轴垂直，则直线OA (或直线OB )的斜率为1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y 2＝8x ，得x ＝8，所以l 过定点(8,0)．由①②得，直线l 恒过定点(8,0)． 20．(1)4029(2)6x －5y －28＝021．(1)x 23－y 2＝1 (2)⎝⎛⎭⎫－1，－33∪⎝⎛⎭⎫33，122．(1)抛物线方程为y 2＝2x ，N 点坐标为(2,2) (2)由题意知直线的斜率不为 0，设直线l 的方程为x ＝ty ＋b (t ∈R )，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，x ＝ty ＋b ，得y 2－2ty －2b ＝0.设两个交点 A ⎝⎛⎭⎫y 212，y 1，B ⎝⎛⎭⎫y 222，y 2(y 1≠±2，y 2≠±2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4t 2＋8b ＞0，y 1＋y 2＝2t ，y 1y 2＝－2b ，故k NA ·k NB＝y 1－2y 212－2·y 2－2y 222－2＝4(y 1＋2)(y 2＋2)＝－2，整理得b ＝2t ＋3， 此时Δ＝4(t 2＋4t ＋6)＞0恒成立，直线l 的方程可化为x －3＝t (y ＋2)，从而直线l 过定点E (3，－2)．因为点M 坐标为(2，－2)，所以M 、E 所在直线平行x 轴， △MAB 面积S ＝12|ME ||y 1－y 2|＝t 2＋4t ＋6，所以当t ＝－2时，S 有最小值为2，此时直线l ′的方程为x ＋2y ＋1＝0.单元检测卷(十八)1．A 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.B 13.⎝⎛⎭⎫0，18 14.(x －5)2＋y 2＝16 15.22 16.7 17．3x ＋4y －75＝018．直线AB 的方程为y ＝－x ＋3，椭圆方程为x 216＋y 28＝1.19．(1)x 2－y 2＝6(2)证明：因为点M (3，m )在双曲线上，所以32－m 2＝6，所以m 2＝3. 又双曲线x 2－y 2＝6的焦点为F 1(－23，0)，F 2(23，0)，所以MF 1―→·MF 2―→＝(－23－3，－m )·(23－3，－m )＝(－3)2－(23)2＋m 2＝9－12＋3＝0，所以MF 1⊥MF 2, 所以点M 在以F 1F 2为直径的圆上．20．(1)证明：由题意，得x 20＋2y 20＝8，即2y 20＝8－x 20，①由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝8，x 0x 8＋y 0y 4＝1，得(2y 20＋x 20)x 2－16x 0x ＋64－16y 20＝0，代入①式，得x 2－2x 0x ＋x 20＝0，则Δ＝0，∴直线x 0x 8＋y 0y4＝1为椭圆的切线．(2)121．证明：(1)由题意设l ：y ＝kx ＋m (k 为该直线的斜率)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝kx ＋m ，消去y ，可得x 2＝4kx ＋4m ， ∴x 1x 2＝－4m .(2)由题意知AP ―→＝λPB ―→，即x 1x 2＝－λ.又∵Q (0，－m )，QA ―→＝(x 1，y 1＋m )，QB ―→＝(x 2，y 2＋m )， QA ―→－μQB ―→＝(x 1－μx 2，y 1－μy 2＋(1－μ)m )， 又∵QP ―→＝(0,2m )，QP ―→⊥(QA ―→－μQB ―→)， ∴2m [y 1－μy 2＋(1－μ)m ]＝0， 从而x 214－μx 224＋(1－μ)m ＝0，即x 21－μx 22＋4(1－μ)m ＝0. 由(1)知x 21－μx 22－(1－μ)x 1x 2＝0，∴⎝⎛⎭⎫x 1x 22－(1－μ)x 1x 2－μ＝0， ∴λ2＋(1－μ)λ－μ＝0，∴λ＝－1或λ＝μ，而由题可知λ>0，所以λ＝μ. 22．(1)x 22＋y 2＝1(2)(－2,2)单元检测卷(十九)1．C 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.D 8.B 9.B 10.D 11．B 12.A13．x －2y －1＝0 14.6 15.2 16.4∶3 17．(1)⎣⎡⎦⎤－12，12 (2)x －2y －4＝0或x ＋2y －4＝018．(1)证明：如图，连接AC 1, 易知A 1B 1BA 是平行四边形．M 是AB 1与A 1B 的交点，∴M 是AB 1的中点． 又N 是B 1C 1的中点， ∴MN ∥AC 1.又MN ⊄平面ACC 1A 1， ∴MN ∥平面ACC 1A 1. (2)4319．(1)椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1，圆O 的方程为x 2＋y 2＝116(2)当x 0＝0，y 0＝±4时，直线l 与圆O 相切；当x 0≠0时，线l 与圆O 相交 20．(1)证明：∵PE ⊥EF ，PE ⊥AE ，EF ∩AE ＝E ， ∴PE ⊥平面ACFE . 又∵PE ⊂平面PEA ， ∴平面PEA ⊥平面ACFE . 平面APE ∩平面ACFE ＝AE ， ∴CD ⊥平面APE .(2)延长CF ，AE 相交于点M ，连接PM .∵DG ∥PM ，DG ⊄平面PCM ，PM ⊂平面PCM ， ∴DG ∥平面PCM .即DG ∥平面PCF . (3)x ＝6时，V (x )max ＝V (6)＝2 621．(1)x ＋y －1＝0(2)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2a 2－y 2b 2＝1，得(b 2－a 2)x 2＋2a 2x －a 2－a 2b 2＝0，由题意得b 2－a 2≠0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2a 2b 2－a 2，x 1x 2＝－a 2＋a 2b 2b 2－a2.因为以MN 为直径的圆过原点，所以OM ―→,·ON ―→,＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以x 1x 2＋(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋2x 1x 2＝1＋2a 2b 2－a 2－2(a 2＋a 2b 2)b 2－a 2＝0，即b 2－a 2－2a 2b 2＝0，所以1a 2－1b 2＝2为定值．22．(1)x 24＋y 23＝1(2)377单元检测卷(二十)1．D 2.D 3.B 4.B 5.C 6.B 7.D 8.A 9.D 10.B 11．C 12.C13．40 14.14 15.33.57 16.60%17．(1)(2)14 18．(1)m ＝8(2)由茎叶图可知，选手乙得分的平均数为x 乙＝17(79＋84＋84＋86＋84＋86＋92)＝85，选手甲得分的方差为s 2甲＝17[(77－85)2＋(81－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(84－85)2＋(85－85)2＋(98－85)2]＝2507，选手乙得分的方差为s 2乙＝17[(79－85)2＋(84－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(84－85)2＋(86－85)2＋(92－85)2]＝907，因为x 甲＝x 乙，而s 2甲>s 2乙，这说明选手甲和乙的平均水平相当，但选手乙的水平发挥较为稳定，所以应该选派选手乙．19．(1)y ^＝6.5x ＋3.2 (2)42.2万元 20．(1)79 (2)2321．(1)a ＝16，b ＝0.04，x ＝0.032，y ＝0.004 (2)①35 ②71522．(1)甲、乙、丙三所学校名额分别为：1,2,3 (2)12 (3)815单元检测卷(二十一)1．C 2.A 3.C 4.A 5.B 6.B 7.A 8.B 9.D 10.B 11．D 12.A13．(－2，2) 14.－12 15.8 16.－3017．(1)z 2＝1＋2i ，|z 2|＝ 5 (2)θ＝π3，a ＝±218．(1)(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥n 2 (2)证明：对于任意不为零的实数a 1，a 2，…，a n ，易知不等式⎝⎛⎭⎫a 1x ＋1a 12＋⎝⎛⎭⎫a 2x ＋1a 22＋…＋⎝⎛⎭⎫a n x ＋1a n 2≥0恒成立， 即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )x 2＋2nx ＋⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a22＋…＋1a 2n≥0恒成立， 所以Δ＝4n 2－4(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≤0， 即(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝⎛⎭⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n≥n 219．(1)a n ＝2n ＋1(2)证明：若{b n }是等差数列，设首项为b 1，公差为d ，由b n ＝S n n 可得S nn ＝b 1＋(n －1)d ，于是S n ＝nb 1＋n (n －1)d ，①当n ∈N *，n ≥2时，有S n －1＝(n －1)b 1＋(n －1)(n －2)d ，②由①②两式相减可得：a n ＝b 1＋(n －1)·2d ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝b 1，也可用a n ＝b 1＋(n －1)·2d 表示，所以对任意的n ∈N *都有：a n ＝b 1＋(n －1)·2d ，而a n －a n －1＝2d (n ∈N *，n ≥2)，由等差数列的定义知：{a n }也是等差数列．20．证明：(1)假设存在x 0<0，满足f (x 0)＋2x 0－2＝0即(x 0＋1)e x 0＋x 0－2＝0，则e x 0＝－x 0－2x 0＋1，因为0<e x 0<1，所以0<－x 0－2x 0＋1<1，解得12<x 0<2，这与假设x 0<0矛盾，故方程f (x )＋2x －2＝0没有负数根．(2)由f (x )＝(x ＋1)e x －x 得f ′(x )＝e x ＋(x ＋1)e x －1＝(x ＋2)e x －1，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝(x ＋1)e x －x 在(0，＋∞)上单调递增，所以对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (x )≥f (0)＝1>0，即e x >x x ＋1， 两边取以e 为底的对数，得x >ln x x ＋1，① 在①式中，令x ＝1，得1>ln 12， 令x ＝2，得2>ln 23， 令x ＝3，得3>ln 34， …令x ＝n ，得n >ln n n ＋1， 以上各不等式相加，得1＋2＋…＋n >ln 12＋ln 23＋…＋ln n n ＋1， 即12n (n ＋1)>ln ⎝⎛⎭⎫12×23×…×n n ＋1＝ln 1n ＋1，所以n 2＋n >2ln 1n ＋1. 21．(1)x 22＋y 2＝1 (2)证明：由于F 1(－1,0)，F 2(1,0)，直线PF 1，PF 2的斜率分别为k 1，k 2，且点P 在直线l ：x ＋y ＝2上且不在x 轴上，所以k 1≠k 2，k 1≠0，k 2≠0，又直线PF 1，PF 2的方程分别为y ＝k 1(x ＋1)，y ＝k 2(x －1)，联立方程解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝k 1＋k 2k 2－k 1，y ＝2k 1k 2k 2－k 1，所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 1＋k 2k 2－k 1，2k 1k 2k 2－k 1，由于点P 在直线l ：x ＋y ＝2上， 所以k 1＋k 2k 2－k 1＋2k 1k 2k 2－k 1＝2，因此2k 1k 2＋3k 1－k 2＝0，即1k 1－3k 2＝2. 22．(1)x k ＝2k －1(k ∈N *，k ≤2 007)y k ＝3k －1(k ∈N *，k ≤2 007)(2)T k ＝(k －1)·3k ＋1－k 2＋3单元检测卷(二十二)1．A 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.D 8.B 9.C10．C 11.D 12.D13．1 220 14.22 15.3n x 1＋(3n －1)|x |16.4 17．(1)π (2)a ＝1，b ＝218．(1)12 (2)71619．证明：(1)由已知得，DM 是△APB 的中位线，所以DM ∥AP ，因为DM ⊄平面APC ，AP ⊂平面APC ，所以DM ∥平面APC .(2)因为△PMB 是正三角形，D 为PB 的中点，所以DM ⊥PB ，所以AP ⊥PB ，又因为AP ⊥PC ，PB ∩PC ＝P ，所以AP ⊥平面PBC ，因为BC ⊂平面PBC ，所以AP ⊥BC ，又因为AC ⊥BC ，AP ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面APC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面APC .20．(1)a 22＝1＋d ＋qa 32＝2＋3d ＋qa n 2＝d 2n 2＋2－d 2n ＋q －1 (2)2(3)S n ＝(2n －3)·2n ＋1＋6 21．(1)x 29＋y 22＝1 (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x 29＋y 22＝1，x ＝my ＋1，得(2m 2＋9)y 2＋4my －16＝0， 设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－4m 2m 2＋9，y 1y 2＝－162m 2＋9， x 1＝my 1＋1，x 2＝my 2＋1.又直线AE 的方程为y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝y 1x 1＋3(x ＋3)，x ＝3，解得M ⎝⎛⎭⎫3，6y 1x 1＋3， 同理可得N ⎝⎛⎭⎫3，6y 2x 2＋3，所以BM ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 1x 1＋3，BN ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 2x 2＋3， 又因为BM ―→·BN ―→＝⎝⎛⎭⎫2，6y 1x 1＋3·⎝⎛⎭⎫2，6y 2x 2＋3＝4＋36y 1y 2(x 1＋3)(x 2＋3)＝4＋36y 1y 2(my 1＋4)(my 2＋4) ＝4(my 1＋4)(my 2＋4)＋36y 1y 2m 2y 1y 2＋4m (y 1＋y 2)＋16＝－16(4m 2＋36)－16×4m 2＋16×4(2m 2＋9)－32m 2＋16(2m 2＋9)＝－64m 2－576－64m 2＋128m 2＋576144＝0， 即BM ―→⊥BN ―→，所以以MN 为直径的圆经过点B .22．(1)y ＝x －1(2)a ≥12(3)⎣⎡⎭⎫2e e 2－1，＋∞。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师17(理)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十七)第十七单元 平面解析几何综合测试(120分钟 150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.抛物线y 2=-16x 的焦点坐标为A.(0,-4)B.(4,0)C.(0,4)D.(-4,0)解析:抛物线y 2=-16x 的焦点在x 轴的负半轴上,其坐标为(-164,0),即(-4,0). 答案:D2.已知圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的周长被双曲线E:x 2a 2-y 2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平分,则双曲线E 的离心率为A.√2B.√3C.√52D.2√5解析:圆C:(x-2)2+(y-1)2=4的圆心为(2,1),根据题意可知,双曲线的一条渐近线通过圆心,即(2,1)在直线y=b ax 上,即a=2b,此时c=√a 2+a 24=√52a,则e=√52. 答案:C3.已知曲线x 28-λ+y 24-λ=1(4<λ<8),则此曲线的焦点坐标为 A.(±2,0) B.(±2√3,0)C.(0,±2)D.(±√12-2λ,0)解析:因为4<λ<8,则x 28-λ+y 24-λ=1可整理为x 28-λ-y 2λ-4=1,则c 2=8-λ+λ-4=4,故焦点坐标为(±2,0). 答案:A4.若圆O:x 2+y 2=4与圆C:x 2+y 2+4x-4y+4=0关于直线l 对称,则直线l 的方程是A.x+y=0B.x-y=0C.x-y+2=0D.x+y+2=0解析:圆x 2+y 2+4x-4y+4=0即(x+2)2+(y-2)2=4,则圆心C 坐标为(-2,2),∵直线l 过OC 的中点(-1,1)且垂直于OC,k OC =-1,故直线l 的斜率为1,直线l 的方程为y-1=x+1,即x-y+2=0.故选C.答案:C5.若两个椭圆的离心率相同,则称此两个椭圆相似.已知椭圆的焦点在x 轴上,与x 24+y 23=1相似且过点(2,3),则此椭圆的长轴长为A.4B.6C.8D.16解析:椭圆x 24+y 23=1的离心率为12,设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),则c a =12, 且4a2+9b2=1,又c 2=a 2-b 2,解得a 2=16,b 2=12,故2a=8.答案:C6.已知圆C:(x-1)2+(y-√3)2=2与直线l:x+√3y-6=0相交于A,B 两点,O 为坐标原点,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为A.60°B.90°C.120°D.150°解析:∵k OC =√3,k AB =-√33,∴k OC ·k AB =-1,∴OC ⊥AB,直线OA 与直线OB 关于直线OC 对称,则直线OA 与直线OB 的倾斜角之和为直线OC 倾斜角的两倍,即60°×2=120°.答案:C7.若椭圆的中心为坐标原点,过其焦点且垂直于长轴的直线与椭圆的交点围成一个正方形,则此类椭圆称为“漂亮椭圆”.类比“漂亮椭圆”,可推出“漂亮双曲线”的离心率为A.√2B.√5+12C.√5D.√5+32解析:b 2a =c,则b 2=ac,c 2-a 2=ac,e 2-e-1=0,故e=1+√52. 答案:B8.已知O 是坐标原点,A,B 是直线l:x-y+t=0与圆C:x 2+y 2=4的两个不同交点,若|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则实数t 的取值范围是 A.(-2√2,-2]B.[2,2√2)C.(-2√2,-2]∪[2,2√2)D.[-2√2,-2]∪[2,2√2]解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,两边同时平方整理得OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ≥0,则∠AOB ≤90°,又直线l:x-y+t=0的斜率为1,经过(-2,0),(0,2)或(0,-2),(2,0)时恰好满足∠AOB=90°,此时t=2或-2;当l:x-y+t=0与圆相切时是一种临界状态,此时t=2√2或t=-2√2,数形结合可知,t ∈(-2√2,-2]∪[2,2√2).答案:C9.已知定点M(-1,0),N(1,0),P是椭圆x 24+y 23=1上动点,则1|PM |+4|PN |的最小值为A.2B.94C.3D.3+2√2解析:因为M(-1,0),N(1,0)是椭圆的焦点,则有|PM |+|PN |=2a=4, 则1|PM |+4|PN |=14(1|PM |+4|PN |)(|PM |+|PN |)=14(5+|PN ||PM |+4|PM ||PN |)≥14(5+4)=94. 答案:B10.已知线段AB=4,其中点A,B 分别在x 轴与y 轴正半轴上移动,若点A 从(2√3,0)移动到(2,0),则AB 中点D 经过的路程为A.4B.8-4√3C.π3D.π2解析:点D 在圆x 2+y 2=4上,其中点D 沿圆周从(√3,1)移动到(1,√3),此时转过的圆心角为π3-π6=π6,故D 经过的路程为弧长π6×2=π3.答案:C11.函数f(x)=(x+2013)(x-2014)的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点,有一个圆恰经过这三个点,则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是A.(0,12)B.(0,1)C.(0,√20132014)D.(0,√20142013)解析:函数f(x)的图象与坐标轴的交点分别是A(-2013,0)、B(2014,0)、C(0,-2013×2014),经过这三点的圆与y 轴的另一个交点必在y 轴的正半轴上,设其坐标D(0,m),则根据相交弦定理可得|OA|×|OB|=|OC|×|OD|,即2013×2014=(2013×2014)×m,解得m=1,故另一个交点的坐标为(0,1).答案:B12.已知椭圆C:x 216+y 24=1的内接平行四边形的一组对边分别经过其两个焦点(如图),则这个平行四边形面积的最大值为A.8B.8√3C.16D.16√3解析:先求弦AB 长,再求高,即点F 2到直线AB 的距离.因为x 216+y 24=1,所以a 2=16,b 2=4,c 2=12,F 1(-2√3,0). 若直线AB 的斜率不存在时,即x=-2√3,此时A(-2√3,1),B(-2√3,-1),故S ▱ABCD =2×4√3=8√3;若直线AB 的斜率存在且设为k,即y=k(x+2√3),与x 216+y 24=1联立方程组整理得: (1+4k 2)x 2+16√3k 2x+48k 2-16=0,有x 1+x 2=-16√3k 21+4k 2,x 1x 2=48k 2-161+4k 2,则|AB |=√1+k 2|x 1-x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=8√1+k 2√1+k2(1+4k 2)2.AB 边上高,即点F 2(2√3,0)到直线y=k(x+2√3)的距离为√3k √1+k,则S ▱ABCD =|8√3k|√16+16k 2(1+4k 2)2=8√3√16k 2+16k 4(1+4k 2)2=8√3√1+8k 2-11+8k 2+16k 4.令8k 2-1=t,t ≥-1,则8k 2=1+t,则8k 2-11+8k 2+16k4=4tt 2+6t+9,当t=0时,4tt 2+6t+9=0,S ▱ABCD =8√3.若t ≠0,4tt 2+6t+9=4t+9t +6,则当t=3时,4t t 2+6t+9取得最大值13,此时S ▱ABCD =8√3·√43=16.综上,S ▱ABCDmax =16.答案:C第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上. 13.若y=x 是双曲线x 2+y 2m =1的一条渐近线,则实数m= .解析:标准方程为x 2-y 2-m=1,则-m=1,即m=-1.答案:-114.已知过点(1,1)且与2x+y+1=0平行的直线经过抛物线y 2=mx 的焦点,则m= .解析:2x+y+c=0过点(1,1),则c=-3,即2x+y-3=0,令y=0得x=32, 即焦点为(32,0),故m=4×32=6. 答案:615.过已知圆x 2+y 2-x+2y+1=0的圆心,且与直线x+y+1=0垂直的直线的一般方程为 .解析:已知圆的圆心坐标为(12,-1),所以经过已知圆的圆心,斜率为1的直线方程为y+1=x-12,即x-y-32=0. 答案:x-y-32=016.已知F 1,F 2是椭圆x 24+y 2=1的两个焦点,P 是椭圆上在第一象限内的点,当△F 1PF 2的面积为√32,则PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .解析:由题知|PF 1|+|PF 2|=4,|F 1F 2|=2√3,则12×2√3|y P |=√32,则y P =12,则P(√3,12),F 1(-√3,0),F 2(√3,0),PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√3,-12)·(0,-12)=14.答案:14三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知圆C 的方程为x 2+y 2-2x+4y=0,直线l:2x-y+t=0. (1)若直线l 与圆C 相切,求实数t 的取值;(2)若直线l 与圆C 相交于M,N 两点,且|MN |=√15,求实数t 的取值.解析:圆C 的方程配方,得(x-1)2+(y+2)2=5,故圆心为C(1,-2),其半径r=√5. (1)因为直线l 与圆C 相切,所以圆心C 到直线l 的距离等于圆的半径, 即√2+(-1)=√5,整理得|4+t|=5,解得t=1或t=-9.5分(2)由(1)知,圆心到直线l 的距离d=√5,又|MN |=√15,所以d=√r 2-(|MN|2)2=(√5)2-(√152)2=√52, 故√5=√52,整理得|4+t|=52,解得t=-32或t=-132.10分 18.(本小题满分12分)已知焦距为4的椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),F 2为椭圆C 的右焦点,A,B 是椭圆C 上关于原点对称的两点,M,N 分别是AF 2,BF 2的中点,以线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0). (1)证明:点A 在定圆上;(2)若直线AB 的倾斜角为30°,求椭圆C 的离心率.解析:(1)因为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的焦距为4,所以右焦点F 2(2,0).设A(x 0,y 0),则B(-x 0,-y 0),M(x 0+22,y 02),N(2-x 02,-y 02).因为线段MN 为直径的圆经过原点O(0,0),所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以4-x 024-y 024=0,即x 02+y 02=4,故点A 在以原点O(0,0)为圆心,半径为2的圆上.6分(2)因为直线AB 的倾斜角为300,所以直线AB 的斜率为√33,即直线AB 的方程为y=√33x.因为A(x 0,y 0),所以有y 0=√33x 0,又由(1)知x 02+y 02=4,解得x 02=3,y 02=1.又点A(x 0,y 0)在椭圆C 上,则x 02a 2+y 02b 2=1,即3a 2+1b 2=1,又a 2-b 2=4,解得a 2=6,a=√6,故椭圆离心率e=c a =√6=√63.12分 19.(本小题满分12分)已知圆M 的方程为x 2+y 2-2x-2y-6=0,以坐标原点为圆心的圆N 内切于圆M. (1)求圆N 的方程;(2)圆N 与x 轴交于E 、F 两点,圆内的动点D 使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,求DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围.解析:圆M 的方程可整理为(x-1)2+(y-1)2=8,故M(1,1),R=2√2. (1)圆N 的圆心为(0,0),设其半径为r,故|MN|=√12+12=√2,因为圆N 内切于圆M,所以有|MN|=R-r,即√2=2√2-r,解得r=√2.所以圆N 的方程为x 2+y 2=2.6分 (2)不妨设E(m,0),F(n,0),且m<n.由{x 2+y 2=2,y =0,解得{x =√2,y =0,{x =-√2,y =0,故E(-√2,0),F(√2,0). 设D(x,y),由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列,得|DO|2=|DE|×|DF|, 即√(x +√2)2+y 2×√(x -√2)2+y 2=x 2+y 2, 整理得x 2-y 2=1.由于点D 在圆N 内,故有{x 2+y 2<2,x 2-y 2=1,由此得y 2<12.而DE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x,-y),DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2-x,-y),DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2-x)(√2-x)+(-y)(-y)=x 2+y 2-2=2y 2-1, 所以DE⃗⃗⃗⃗⃗ ·DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ∈[-1,0).12分 20.(本小题满分12分)已知点F 为抛物线y 2=4x 的焦点,圆C 以点F 为圆心,且经过原点O(0,0). (1)求圆C 的方程;(2)过点P(-1,0)作圆C 的两条切线,与抛物线y 2=4x 分别交于点A,B 和C,D,求经过A,B,C,D 四点的圆C'的面积.解析:(1)由题知抛物线y 2=4x 的焦点为F(1,0),则设圆C 的方程为(x-1)2+y 2=r 2,又圆C 经过原点O(0,0),则1=r 2,故圆C 的方程为(x-1)2+y 2=1.5分(2)根据题意可知,圆C 与抛物线y 2=4x 都关于x 轴对称,且P(-1,0)在x 轴上,则A,B 与C,D 分别关于x 轴对称,且圆C'的圆心在x 轴上.设过点P(-1,0)与圆C 相切,且斜率为正的一条切线AB 的方程为y=k(x+1)(k>0),即kx-y+k=0,则有√k +1=1,则k=√33,即AB 方程为y=√33(x+1),代入y 2=4x 整理得x 2-10x+1=0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=10,x 1x 2=1,|AB |=√(y 2-y 1)2+(x 2-x 1)2=√13(x 2-x 1)2+(x 2-x 1)2 =√43(x 2+x 1)2-163x 1x 2=8√2. 又y 1+y 2=√33(x 1+x 2)+2√33=4√3,即AB 的中点为(5,2√3),则线段AB 的中垂线方程为y-2√3=-√3(x-5),令y=0得x=7,即圆C'的圆心C'(7,0).则圆心C'(7,0)到直线AB 的距离d=|7×√33-0+√33|(√33)+1=4,故圆C'的半径R 2=(4√2)2+42=48,故圆C'的面积为48π.12分21.(本小题满分12分)已知A(-1,0)、B(1,0)为双曲线的左、右顶点,F(2,0)是其右焦点. (1)求双曲线的标准方程;(2)过点A 的直线l 与双曲线右支交于另一个点P(不同于B 点),且与在点B 处x 轴的垂线交于点D,求证:以BD 为直径的圆与直线PF 相切.解析:(1)由题知a=1,c=2,则b 2=22-12=3,故双曲线的标准方程为x 2-y 23=1.5分 (2)设P(m,n),则直线AP 的方程为y=n m+1(x+1),令x=1得D(1,2nm+1),则以线段BD 为直径的圆的圆心为M(1,n m+1),半径为|nm+1|. ①当m=2时,直线PF ⊥x 轴,此时圆心到直线PF 的距离为1,而圆的半径为|n3|.又点P(2,n)在椭圆上,则有4-n 23=1,则n 2=9,n=±3,则圆的半径|n3|=1,则以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切; ②当m ≠2时,则直线PF 的方程为y=nm -2(x-2),即nx+(2-m)y-2n=0,则圆心M 到直线PF 的距离为d=|n+(2-m)nm+1-2n|√n 2+(2-m)=|(2-m)nm+1-n|√n 2+(2-m)=|1-2m|√n 2+(2-m)|nm+1|, 又P(m,n)在椭圆上,则有m 2-n 23=1,即n 2=3(m 2-1),则√n 2+(2-m)2=√3(m 2-1)+4-4m +m 2=√(2m -1)2=|2m -1|, 则d=|1-2m ||2m -1|·|n m+1|=|n m+1|,故以线段BD 为直径的圆与直线PF 相切. 综上,线段BD 为直径的圆与直线PF 相切.12分22.(本小题满分12分)已知一动圆与直线x=-2相切,且经过椭圆x 29+y 25=1的右焦点F. (1)求动圆的圆心轨迹C 的方程;(2)经过点F 作两条互相垂直的直线分别交曲线C 及椭圆x 29+y 25=1于M,N,P,Q 四点,其中M,N 在曲线C 上,P,Q 在椭圆上,求四边形PMQN 的最小值.解析:(1)由椭圆x 29+y 25=1可知c 2=9-5=4,则椭圆的右焦点为F(2,0).由抛物线的定义可知,动圆的圆心轨迹为以F(2,0)为焦点,直线x=-2为准线的抛物线,故轨迹C 的方程为y 2=8x.4分(2)当直线MN 的斜率不存在时,|MN |=8.此时PQ 的长为椭圆的长轴长,PQ=6,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12×8×6=24.当直线MN 的斜率存在时,且设为k(k ≠0),则直线MN 的方程为y=k(x-2),则直线PQ 的方程为y=-1k(x-2).设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),P(x 3,y 3),Q(x 4,y 4).由{y =k(x -2),y 2=8x消去y 整理得k 2x 2-(4k 2+8)x+4k 2=0,由抛物线定义可知|MN |=|MF |+|NF |=x 1+2+x 2+2=x 1+x 2+4=4k 2+8k2+4=8+8k2,由{y =-1k (x -2),x 29+y 25=1消去y 整理得(5k 2+9)x 2-36x+36-45k 2=0, |PQ |=√1+(-1k)2√(x 3+x 4)2-4x 3x 4=√1+1k2√(365k 2+9)2-436-45k 25k 2+9=30(1+k 2)5k 2+9,则S PMQN =12|MN |·|PQ |=12·8(1+k 2)k 2·30(1+k 2)5k 2+9=120(1+k 2)25k 4+9k 2, 令1+k 2=t,t>1,则S PMQN =120t 25t 2-t -4=1205-1t -4t 2, 而5-1t -4t2∈(0,5),则S PMQN ∈(24,+∞). 综上,四边形PMQN 的最小值为24.12分。
全国100所名校单元测试示范卷(高三)：数学 14数学全国教师14(文)
全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(十四)第十四单元空间点、线、面的位置关系(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件解析:若两直线为异面直线,则两直线无公共点,反之不一定成立.答案:A2.已知直线a∥平面α,则下列命题是假命题的是A.a与α内的无数条直线平行B.a与α内的所有直线都平行C.a与α内的无数条直线垂直D.a与α无公共点解析:a还可能与α内的直线垂直,异面,故B错误.答案:B3.给定下列四个命题:①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线;②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直;③垂直于同一直线的两条直线相互平行;④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其中为真命题的是A.①②B.②③C.②④D.③④解析:①错,这两条直线可能相交;②正确;③错,这两条直线也可能相交或异面;④正确.答案:C4.α、β是两个不重合的平面,a、b是两条不同直线,在下列条件下,可判定α⊥β的是A.a⊥α,a⊥βB.a⊂α,a⊥βC.a⊂α,b⊂β,a⊥bD.a⊂α,b⊥α,b∥β解析:根据面面垂直的判定可知,B项可以推出α⊥β.答案:B5.已知m,n,l为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,给出下列4个命题:①由α∥β,m⊂α,n⊂β,得m与n平行;②由m∥n,m⊥α,n⊥l,得l∥α;③由m⊥n,m∥α,得n⊥α;④由m⊥α,n⊥β,α⊥β,l⊥m,得l∥n.则正确命题的个数是A.0B.1C.2D.3解析:①中m与n还可能异面,故①错误;对于②,还有可能l⊂α,故②错误;③中还可能n∥α,或n与α相交但不垂直,故③错误;对于④,l与n还可能异面或相交,故④错误.答案:A6.已知六棱锥P—ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析:∵CD∥AF,∴CD∥平面PAF,选项A对;∵DF⊥AF,DF⊥PA,∴DF⊥平面PAF,选项B对;易得CF∥AB,则CF∥平面PAB,选项C正确;选项D错误.答案:D7.已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题.如果把α,β,γ中的任意一个换成直线,另两个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有A.0个B.1个C.2个D.3个解析:由题可得(1)已知平面α,β,直线l,如果α∥β,l⊥α,则l⊥β,为真命题;(2)已知平面α,γ,直线l,若l∥α,α⊥γ,则l⊥γ,是假命题,因为此时直线l与平面γ可以相交,平行,也可以在平面γ内;(3)已知平面β,γ,直线l,若有l∥β,l⊥γ,则有β⊥γ,为真命题,因为一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面相互垂直.从而有两个真命题,故选C.答案:C8.如图,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为A.B.1C.2D.4解析:连结A1C,∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C,∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1,即四边形AA1C1C是正方形,∴AA1=AC=1,则该三棱柱的体积V=×1×2×1=1.答案:B9.在直二面角α—l—β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则A.a不和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不和b平行,但可能a⊥bD.a不和b垂直,也不和b平行解析:若a∥b,则a∥β,于是a∥l与已知矛盾;若a⊥b,在β内做直线m⊥l,则m⊥α,于是a⊥m,b,m不平行,所以a⊥β,则a⊥l与已知矛盾,故a不平行b也不垂直b.答案:D10.在正方体ABCD—A'B'C'D'中,棱AB、BB'、B'C'、C'D'的中点分别是E,F,G,H,如图所示,则下列说法中正确的有:①点A,D',H,F共面;②直线EG与直线HF是异面直线;③A'C⊥平面EFG;④D'G∥平面A'DF.A.①②B.②③C.②④D.③④解析:若A,D',H,F四点共面,利用线面平行的性质得AF∥D'H,矛盾,故①错;连结EH,则EH∥FG,即E、F、G、H四点共面,故②错;易知A'C⊥AB'、A'C⊥AD',又EF∥AB',FG∥AD',∴A'C⊥EF、A'C⊥FG,即A'C⊥平面EFG,故③正确;取A'D的中点为O,连结FO,易证FO∥D'G,则D'G∥平面A'DF,故④正确.答案:D11.在矩形ABCD中,AB=1,BC=a(a>0),PA⊥平面AC,且PA=1.若BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ.则a的取值范围是A.(1,+∞)B.[1,2)C.(2,+∞)D.[2,4]解析:如图所示,若PQ⊥DQ,则有DQ⊥平面PAQ,所以AQ⊥DQ,则“BC边上存在两个点Q使得PQ⊥DQ”就转化为“BC边上存在两个点Q使得AQ⊥DQ”,即以AD为直径的圆与边BC有两个交点,所以>1,即a>2.答案:C12.如图所示,在直角梯形BCEF中,∠CBF=∠BCE=90°,A、D分别是BF、CE上的点,AD∥BC,且AB=DE=2BC=2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起,连结BE、BF、CE(如图2).在折起的过程中,下列说法中错误的是A.AC∥平面BEFB.B、C、E、F四点不可能共面C.若EF⊥CF,则平面ADEF⊥平面ABCDD.平面BCE与平面BEF可能垂直解析:在图2中取AC的中点为O,取BE的中点为M,连结MO,易证得四边形AOMF为平行四边形,即AC∥FM,∴AC∥平面BEF,故A正确;∵直线BF与CE为异面直线,∴B、C、E、F四点不可能共面,故B正确;在梯形ADEF中,易得EF⊥FD,又EF⊥CF,∴EF⊥平面CDF,即有CD⊥EF,∴CD⊥平面ADEF,则平面ADEF⊥平面ABCD,故C正确;延长AF至G使得AF=FG,连结BG、EG,易得平面BCE⊥平面ABF,过F作FN⊥BG于N,则FN⊥平面BCE.若平面BCE⊥平面BEF,则过F作直线与平面BCE垂直,其垂足在BE上,矛盾,故D错误.答案:D第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.在四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是正方形,E是PA的中点,在平面PAD内过点E且与平面PBC平行的直线的条数是.解析:∵平面PAD与平面PBC相交,∴在平面PAD内过点E有且只有1条直线与平面PBC平行.答案:114.已知α、β是两个不同的平面,m、n是平面α及平面β之外的两条不同直线,给出四个论断:①m∥n,②α∥β,③m⊥α,④n⊥β.以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题:.解析:同垂直于一个平面的两条直线互相平行,同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行.答案:②③④⇒①(答案不唯一)15.已知m,n为不同的直线,α,β为不同的平面,若①m∥n,n∥α;②m⊥n,n⊥α;③m⊄α,m∥β,α∥β;④m⊥β,α⊥β,则其中能使m∥α成立的充分条件有.解析:①m∥n,n∥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;②m⊥n,n⊥α,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内;③m⊄α,m∥β,α∥β,能推得m∥α;④m⊥β,α⊥β,不能推得m∥α,这是因为m可能在平面α内.答案:③16.已知在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P、Q、R分别是表面A1B1C1D1、BCC1B1、ABB1A1的中心,给出下列四个结论:①PR与BQ是异面直线;②RQ⊥平面BCC1B1;③平面PQR∥平面D1AC;④过P、Q、R的平面截该正方体所得的截面是边长为的等边三角形.以上结论中正确的是.(写出所有正确结论的序号)解析:据图可知③④正确.答案:③④三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)如图所示,三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,∠ABC=90°,AB=BC=BB1,M,N分别是AB,A1C的中点.(1)求证:MN∥平面BCC1B1;(2)求证:MN⊥平面A1B1C.解析:(1)连结BC1,AC1,显然AC1过点N.∵M,N分别是AB,A1C的中点,∴MN∥BC1.又∵MN⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,∴MN∥平面BCC1B1.4分(2)∵三棱柱ABC—A1B1C1中,侧棱与底面垂直,BC=BB1,∴四边形BCC1B1是正方形,∴BC1⊥B1C,由(1)知MN∥BC1,∴MN⊥B1C.连结A1M,CM,∵AM=MB,BC=BB1=AA1.∠MBC=∠MAA1=90°,∴△AMA1≌△BMC.∴A1M=CM,又N是A1C的中点,∴MN⊥A1C.又B1C与A1C相交于点C,∴MN⊥平面A1B1C.10分18.(本小题满分12分)如图所示,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AB=2,E,F,G分别为PC、PD、BC的中点.(1)求证:PA∥平面EFG;(2)求三棱锥P—EFG的体积.解析:(1)∵E,F分别为PC,PD的中点,∴EF∥CD.∵ABCD为正方形,∴CD∥AB,∴EF∥AB,∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG∥PB,∴平面EFG∥平面PAB.∵PA⊂平面PAB,∴PA∥平面EFG.6分(2)∵PD⊥平面ABCD,GC⊂平面ABCD,∴GC⊥PD.∵ABCD为正方形,∴GC⊥CD.∵PD∩CD=D,∴GC⊥平面PCD.∵PF=PD=1,EF=CD=1,∴S△PEF=EF×PF=.∵GC=BC=1,∴V P—EFG=V G—PEF=S△PEF·GC=××1=.12分19.(本小题满分12分)如图所示,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.(1)证明:平面ADC1B1⊥平面A1BE.(2)在棱C1D1上是否存在一点F,使B1F∥平面A1BE?证明你的结论.解析:(1)∵多面体ABCD—A1B1C1D1为正方体,∴B1C1⊥平面ABB1A1;∵A1B⊂平面ABB1A1,∴B1C1⊥A1B.又∵A1B⊥AB1,B1C1∩AB1=B1,∴A1B⊥平面ADC1B1,∵A1B⊂平面A1BE,∴平面ADC1B1⊥平面A1BE.5分(2)当点F为C1D1中点时,可使B1F∥平面A1BE.以下证明之:易知EF∥C1,且EF=C1D,设AB1∩A1B=O,则B1O∥C1D且B1O=C1D,所以EF∥B1O且EF=B1O,所以四边形B1OEF为平行四边形.所以B1F∥OE.又因为B1F⊄平面A1BE,OE⊂平面A1BE.所以B1F∥平面A1BE.12分20.(本小题满分12分)一个多面体的三视图和直观图分别如图所示,其中M,N分别是AB,AC的中点,G是DF 上的一动点.(1)求证:GN⊥AC;(2)当FG=GD时,在边AD上是否存在一点P,使得GP∥平面FMC?解析:(1)如图所示,由三视图可得直观图为一个横放的侧棱垂直于底面的三棱柱,且在底面ADF 中,AD⊥DF,DF=AD=DC,连接DB.可知B,N,D共线,且AC⊥DN,又FD⊥AD,FD⊥CD,且AD∩CD=D,所以FD⊥平面ABCD,所以FD⊥AC.又FD∩DN=D,所以AC⊥平面FDN.所以GN⊥AC.6分(2)当FG=GD时,在边AD上存在一点P,使得GP∥平面FMC,此时A,P重合.证明如下:取DC中点S,连接AS,GS,GA.因为G是DF的中点,所以GS∥FC,AS∥CM.又GS∩AS=S,FC∩CM=C,所以平面GSA∥平面FMC.又GA⊂平面GSA,所以GA∥平面FMC,即GP∥平面FMC.12分21.(本小题满分12分)如图,在矩形ABCD中,AD=2,AB=4,E、F分别为边AB、AD的中点,现将△ADE沿DE 折起,得四棱锥A—BCDE.(1)求证:EF∥平面ABC;(2)若平面ADE⊥平面BCDE,求四面体FDCE的体积.解析:(1)取线段AC的中点M,连结MF,MB.因为F为AD的中点,所以MF∥CD,且MF=CD.2分在折叠前,四边形ABCD为矩形,E为AB的中点,所以BE∥CD,且BE=CD.所以MF∥BE,且MF=BE.4分所以四边形BEFM为平行四边形,故EF∥BM.又EF⊄平面ABC,BM⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.6分(2)在折叠前,四边形ABCD为矩形,AD=2,AB=4,E为AB的中点,所以△ADE、△CBE都是等腰直角三角形,且AD=AE=EB=BC=2.所以∠DEA=∠CEB=45°,且DE=EC=2.又∠DEA+∠DEC+∠CEB=180°,所以∠DEC=90°.又平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE,CE⊂平面BCDE,所以CE⊥平面ADE,即CE为三棱锥C—EFD的高.9分因为F为AD的中点,所以S△EFD=××AD·AE=×2×2=1.所以四面体FDCE的体积V=×S△EFD·CE=×1×2=.12分22.(本小题满分12分)一个多面体如图,ABCD是边长为a的正方形,AB=FB,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,G,H分别为AE,CE中点.(1)求证:GH∥平面ACF;(2)当平面ACE⊥平面ACF时,求DE的长.解析:(1)如图,连结AC.在△ACE中,∵G,H分别为AE,CE中点,∴GH∥AC,又AC⊂平面ACF,且GH⊄平面ACF.所以GH∥平面ACF.5分(2)如图,连结DB,交AC于O,连结EO,FO,∵ABCD是正方形,FB⊥平面ABCD,ED∥FB,∴Rt△ADE≌Rt△CDE,得AE=CE,EO⊥AC,∵EO⊂平面ACE,AC⊂平面ACF,AC∩OF=O,∴只要EO⊥FO,就有平面ACE⊥平面ACF,设DE的长为x,在Rt△ODE中,OE2=x2+a2,在Rt△OBF中,OF2=a2+a2=a2,EF2=2a2+(a-x)2,EF2=OE2+OF2,解得x=a,即平面ACE⊥平面ACF时,DE的长为a.12分。
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全国100所名校单元测试示范卷·高三·数学卷(八)第八单元平面向量与解三角形(120分钟150分)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列向量中与向量a=(2,3)垂直的是A.b=(-2,3)B.c=(2,-3)C.d=(3,-2)D.e=(-3,-2)解析:因为a·d=0,所以a⊥d.答案:C2.在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若b=7,c=3,cos C=,则B等于A.B. C. D.解析:∵cos C=,∴sin C=,又∵=,∴sin B===,又∵锐角△ABC,∴B=.答案:B3.已知两个平向量a、b的夹角为π,且|a|=|b|=1,则|a-b|等于A. B.1 C.2 D.2解析:|a-b|=-=-=.答案:A4.在△ABC中,边BC上的高AD=4,则(-)·的值等于A.0B.4C.8D.12解析:因为(-)·=·=0.答案:A5.已知向量a=(1,1),b=(-1,0),若向量k a+b与向量c=(2,1)共线,则k等于A.-1B.1C.-2D.2解析:因为k a+b=(k-1,k),又因为向量k a+b与向量c=(2,1)共线,所以(k-1)×1=k×2,所以k=-1.答案:A6.以3、4、5为边长的直角三角形,各边分别增加x(x>0)个单位,得到的三角形一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形解析:各边分别增加x个单位后的三边分别为x+3,x+4,x+5,其最长边所对角的余弦值为-=>0,所以得到的三角形的最大内角为锐角,所以得到的三角形为锐角三角形.答案:A7.某人向正东方向走了x km后,再向右转150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好km,那么x的值为A. B.或2C.或4D.2或4解析:设AB=x,BC=3,∠ABC=30°,AC=,则()2=x2+32-6xcos30°,∴x2-3x+6=0,∴x=或x=2.答案:B8.已知点A(1,5),B(3,9),O为坐标原点,若点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,则点C的轨迹方程为A.2x+y-7=0B.2x-y+3=0C.x-2y+9=0D.x+2y-11=0解析:因为点C满足=α+β,其中α,β∈R,且α+β=1,所以点C的轨迹是直线AB,又因为直线AB的方程为2x-y+3=0.答案:B9.在△ABC中,若cos C=2sin Asin B-1,sin2A+sin2B=1,则此三角形为A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形解析:∵C=π-(A+B),∴-cos(A+B)=2sin Asin B-1,∴-cos Acos B+sin Asin B=2sin Asin B-1,∴sin Asin B+cos Acos B=1,∴cos(A-B)=1,又∵A,B∈(0,π),∴A-B=0,∴A=B.又sin2A+sin2B=1,∴A=B=,∴C=,所以△ABC是等腰直角三角形.答案:D10.在△ABC中,角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,若sin(A+)=1且=,则∠C等于A. B. C.或 D.或解析:因为sin(A+)=1,所以A+=,所以A=,又因为=,所以=,所以sin B=,所以B=或,所以C=或.答案:D11.已知△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,若a2,b2,c2成等差数列,则角B的范围为A.(0,)B.(0,]C.[,)D.(,π)解析:若a2,b2,c2成等差,则b2=,∴cos B=-=-=≥=,当且仅当a=c时,“=”成立,又∵B∈(0,π),∴B∈(0,].答案:B12.已知O为坐标原点,平面向量=(1,3),=(3,5),=(1,2),且=k(k为实数).当·取得最小值时,点X的坐标是A.(4,2)B.(2,4)C.(6,3)D.(3,6)解析:设=(x,y),∵=k,∴=(k,2k),又=-,=(1,3),∴=(1-k,3-2k),同样=(3-k,5-2k).于是·=(1-k)(3-k)+(3-2k)(5-2k)=5k2-20k+18=5(k-2)2-2,由二次函数得知识可知:当k=2时,·有最小值-2,此时点X的坐标是(2,4).答案:B第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.13.海上有A、B、C三个小岛,在C岛上观测得A、B两岛相距2n mile,且∠BAC=60°,∠ABC=75°,则B、C间的距离是n mile.解析:由正弦定理知=--,解得BC=.答案:14.在△ABC中,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面积等于.解析:∵cos A=,∴sin A=,∴S△ABC=bcsin A=6.答案:615.设两个平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),定义运算“☉”为:a☉b=(x1x2+y1y2,x1y2-y1x2).若m=(1,2),m☉n=(11,-6),则n=.解析:设n=(x,y),则m☉n=(x+2y,y-2x)=(11,-6),,).所以--解得即n=(答案:(,)16.已知向量=α,=β,α、β的夹角为,|α+β|=1,则△AOB面积的最大值是.解析:∵|α+β|=1,∴|α|2+|β|2+2|α||β|cos=1,∴|α|2+|β|2-|α||β|=1≥2|α||β|-|α||β|,∴|α||β|≤1,∴S△AOB=|α||β|sin≤,∴当且仅当|α|=|β|时,△AOB取得最大面积.答案:三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.(本小题满分10分)已知平面向量a,b,c,其中a=(3,4).(1)若c为单位向量,且a∥c,求c的坐标;(2)若|b|=且a-2b与2a-b垂直,求向量a,b夹角的余弦值.解析:(1)设c=(x,y),由a∥c和|c|=1可得:-∴或--∴c=(,)或c=(-,-).5分(2)∵(a-2b)·(2a-b)=0,即2|a|2-5a·b+2|b|2=0,又|a|=5,|b|=,∴a·b=12,∴向量a,b夹角的余弦值cos<a,b>=·=.10分18.(本小题满分12分)已知向量a=(cos,sin),b=(cos,-sin),且x∈[0,].(1)求a·b及|a+b|;(2)若f(x)=a·b-2λ|a+b|(0≤λ≤1)的最小值是-,求λ的值.解析:(1)a·b=cos cos+sin(-sin)=cos2x,|a+b|=-==2|cos x|.∵x∈[0,],∴|a+b|=2cos x.6分(2)f(x)=cos2x-4λcos x=2cos2x-4λcos x-1=2(cos x-λ)2-2λ2-1,∵x∈[0,],∴cos x∈[0,1].9分∵λ∈[0,1],cos x=λ,f(x)min=-2λ2-1,∴-2λ2-1=-,∴λ=;∴λ=.12分19.(本小题满分12分)有一道题目由于纸张破损,有一条件看不清楚,具体如下:“在△ABC中,已知a=,,2cos2()=(-1)cos B,求角A.”经推断,破损处的条件为三角形一边的长度,该题的答案A=60°是唯一确定的,试将条件补充完整,并说明理由.解析:因为2cos2()=(-1)cos B,所以1+cos(A+C)=(-1)cos B,所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.3分对正弦值分以下两种情况对论.情况1:因为A=60°,且=,所以b=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且a>b,所以A=60°或者A=120°,这与已知角A的解为唯一解矛盾.8分情况2:因为B=,又A=60°,所以C=75°,=,所以c=,检验:=⇔=⇔sin A=,又A∈(0,π),且c>a,所以A=60°.11分综上所述,破损处应填c=.12分20.(本小题满分12分)已知向量a=(sin,cos),b=(cos,cos),函数f(x)=a·b.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac,且边b所对的角为x,试求x的范围及函数f(x)的值域.解析:(1)f(x)=a·b=sin cos+cos cos=sin+(1+cos)=sin+cos+=sin(+)+.3分令2kπ-≤+≤2kπ+,解得3kπ-≤x≤3kπ+(k∈Z).故函数f(x)的单调递增区间为[3kπ-,3kπ+](k∈Z).6分(2)∵b2=ac,cos x=-=-≥-=,8分∴≤cos x<1,0<x≤,∴<+≤,∴<sin(+)≤1,∴<sin(+)+≤1+即f(x)的值域为(,1+).综上所述,x∈(0,],f(x)的值域为(,1+].12分21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若∠C=π,a、b、c依次成等差数列,且公差为2.(1)求c;(2)如图,A',B'分别在射线CA,CB上运动,设∠A'B'C=θ,试用θ表示线段B'C的长,并求其范围.解析:(1)∵a、b、c成等差,且公差为2,∴a=c-4,b=c-2.1分又∵cos C=-,∴-=-,∴-----=-,4分∴c2-9c+14=0,解得c=7或c=2,又∵c>4,∴c=7.6分(2)△A'B'C中,∠=∠=∠,∴=-=,∴B'C=sin(-θ),7分又∵θ∈(0,),∴0<-θ<,0<sin(-θ)<,∴0<sin(-θ)<7,∴线段B'C的范围为(0,7).12分22.(本小题满分12分)如图,为测量某巨型雕像AB的高度及取景点C与F之间的距离(B、C、D、F在同一水平面上,雕像垂直该水平面于点B,且B、C、D三点共线),某校研究性学习小组同学在C、D、F三点处测得顶点A的仰角分别为45°、30°、30°.若∠FCB=60°,CD=16(-1)米.(1)求雕像AB的高度;(2)求取景点C与F之间的距离.解析:(1)(法一)设AB=x米,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x米,,在Rt△ADB中,∵∠ADB=30°,∴tan30°=-∴x=16.6分(法二)设AB=x,在Rt△ABC中,∵∠ACB=45°,∴CB=x,∴AC=x,在△ADC中,=-,∴=-,-∴x=16.6分(2)(法一)由(1)知BC=16米.在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,tan30°=,∴FB=16米.在△BCF中,设CF=y米,∵∠BCF=60°,∴由余弦定理BF2=BC2+FC2-2BC·FCcos60°,(16)2=162+y2-2×16·ycos60°,∴y2-16y-512=0.(y+16)(y-32)=0,∴y1=32,y2=-16(负数舍去).12分(法二)在Rt△AFB中,∵∠AFB=30°,∴tan30°=,∴FB=16米,在△BCF中,∠=∠,∴∠BFC=30°或150°(150°舍去),∴在△CBF中,CF2=CB2+FB2=162+(16)2,∴CF=32(米).12分。