高中数学北师大版选修21第三章4.1曲线与方程课件.ppt
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中小学精编教育课件
理解教材新知
§4
第 三
把握 4.1 热点考向
章
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨 迹方程中．
问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？ 提示：相等． 问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？ 提示：不一定． 问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y＝±x.
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)， (2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， 而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴2y＋x－112＝2＝0，0， ∴yx＝＝－1，1， ∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
[一点通] 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方 程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分 解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程， 在变形时，应保证变形过程的等价性．
3 4
×
－14
＝n2(n2－
1)，解得m＝±
2，n＝±12或±
3 2.
[一点通] (1)判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入 手． ①要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐 标是否满足方程即可； ②若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的 方程，由此可求点或方程中的参数． (2)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一 是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上．
3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是
()
解析：原方程可化为
x≥0，y≥0， x＋y＝1，
或xx≥ －0y＝，1y≤ ，0，
或
x≤0，y≤0， x＋y＝－1，
或x－≤x0＋，y＝y≥10. ，
作出其曲线为D.
答案：D
4．方程 1－|x|＝ 1－y表示的曲线为
()
A．两条线段
B．两条直线
C．两条射线
[例1] (1)判断点A(－4,3)，B(－3 2 ，－4)，C( 5 ， 2 5)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点 M(m， 2)与点N( 23，n)在曲线C上，求m，n的值．
[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐 标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而 若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲 线的方程．
解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3， ∴结论不正确． (2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2， ∴结论错误． (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y| ＝1，即xy＝±1， ∴结论错误． (4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0 (－3≤y≤0)， ∴结论错误.
[例2] (1)方程(x＋y－1) x－1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？ [思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似 于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点 入手分析．
[精解详析] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0可得：
x－1≥0， x＋y－1＝0，
[精解详析] (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25 中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2 ＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3 2 ，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3 2 )2 ＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示 的曲线上．
∴y20＝4x0，故为必要不充分条件．
答案：B
2．判断下列结论的正误，并说明理由． (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0； (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2； (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为 xy＝1； (4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为 BC中点，则中线AD的方程为x＝0.
把点C( 5，2 5)的坐标代入x2＋y2＝25，得( 5)2＋(2 5 )2 ＝25，满足方程，但因为横坐标 5不满足x≤0的条件，所以点 C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，
2
)，N
23，n
在曲线C上，所以它们的
坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，
的轨迹方程．
[思路点拨] 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后 uuur uuur uuur uuur 由QP ·QF ＝FP ·FQ 得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可
得P的轨迹方程．
uuur [精解详析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)， QP ＝(x＋
uuur
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.
∴有y＝|x|，|x|≤1.
∴曲线表示两条线段，故选A.
答案：A
[例3] 如图已知F(1,0)，直线l：x＝－
1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线， uuur uuur uuur uuur
垂足为Q，且 QP ·QF ＝ FP ·FQ ，求动点P
方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立 了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上 ，那么，这 条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是 检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝
－2 x”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y
2 0
＝
4x0，不能得出y0＝－2 x0 ；若点M(x0，y0)满足方程y＝
－2 x，则y0＝－2 x0，
理解教材新知
§4
第 三
把握 4.1 热点考向
章
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨 迹方程中．
问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？ 提示：相等． 问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？ 提示：不一定． 问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？ 提示：y＝±x.
或x－1＝0，
即x＋y－1＝0(x≥1)或x＝1，
∴方程表示直线x＝1和射线x＋y－1＝0(x≥1)， (2)方程的左边配方得2(x－1)2＋(y＋1)2＝0， 而2(x－1)2≥0，(y＋1)2≥0，
∴2y＋x－112＝2＝0，0， ∴yx＝＝－1，1， ∴方程表示的图形为点A(1，－1)．
[一点通] 曲线的方程是曲线的代数体现，判断方 程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分 解等方法对已知方程变形，转化为我们熟知的曲线方程， 在变形时，应保证变形过程的等价性．
3 4
×
－14
＝n2(n2－
1)，解得m＝±
2，n＝±12或±
3 2.
[一点通] (1)判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入 手． ①要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐 标是否满足方程即可； ②若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的 方程，由此可求点或方程中的参数． (2)判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一 是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上．
3．方程|x|＋|y|＝1表示的曲线是
()
解析：原方程可化为
x≥0，y≥0， x＋y＝1，
或xx≥ －0y＝，1y≤ ，0，
或
x≤0，y≤0， x＋y＝－1，
或x－≤x0＋，y＝y≥10. ，
作出其曲线为D.
答案：D
4．方程 1－|x|＝ 1－y表示的曲线为
()
A．两条线段
B．两条直线
C．两条射线
[例1] (1)判断点A(－4,3)，B(－3 2 ，－4)，C( 5 ， 2 5)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；
(2)方程x2(x2－1)＝y2(y2－1)所表示的曲线是C，若点 M(m， 2)与点N( 23，n)在曲线C上，求m，n的值．
[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点M的坐 标适合曲线的方程，则点M就在方程所表示的曲线上；而 若点M为曲线上的点，则点M的坐标(x0，y0)一定适合曲 线的方程．
解：(1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线方程为x＝3， ∴结论不正确． (2)∵到x轴距离为2的点的轨迹方程是y＝±2， ∴结论错误． (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x|·|y| ＝1，即xy＝±1， ∴结论错误． (4)中线AD是一条线段，而不是直线，应为x＝0 (－3≤y≤0)， ∴结论错误.
[例2] (1)方程(x＋y－1) x－1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x2＋y2－4x＋2y＋3＝0表示什么曲线？ [思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似 于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点 入手分析．
[精解详析] (1)由方程(x＋y－1) x－1＝0可得：
x－1≥0， x＋y－1＝0，
[精解详析] (1)把点A(－4,3)的坐标代入方程x2＋y2＝25 中，满足方程，且点A的横坐标满足x≤0，则点A在方程x2＋y2 ＝25(x≤0)所表示的曲线上；
把点B(－3 2 ，－4)的坐标代入x2＋y2＝25，因为(－3 2 )2 ＋(－4)2＝34≠25，所以点B不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示 的曲线上．
∴y20＝4x0，故为必要不充分条件．
答案：B
2．判断下列结论的正误，并说明理由． (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x＝0； (2)到x轴距离为2的点的轨迹方程为y＝－2； (3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为 xy＝1； (4)△ABC的顶点A(0，－3)，B(1,0)，C(－1,0)，D为 BC中点，则中线AD的方程为x＝0.
把点C( 5，2 5)的坐标代入x2＋y2＝25，得( 5)2＋(2 5 )2 ＝25，满足方程，但因为横坐标 5不满足x≤0的条件，所以点 C不在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上．
(2)因为点M(m，
2
)，N
23，n
在曲线C上，所以它们的
坐标都是方程的解，所以m2(m2－1)＝2×1，
的轨迹方程．
[思路点拨] 本题可设出P(x，y)，则Q(－1，y)．然后 uuur uuur uuur uuur 由QP ·QF ＝FP ·FQ 得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可
得P的轨迹方程．
uuur [精解详析] 设点P(x，y)，则Q(－1，y)， QP ＝(x＋
uuur
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D．一条射线和一条线段
解析：由已知得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.
∴有y＝|x|，|x|≤1.
∴曲线表示两条线段，故选A.
答案：A
[例3] 如图已知F(1,0)，直线l：x＝－
1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线， uuur uuur uuur uuur
垂足为Q，且 QP ·QF ＝ FP ·FQ ，求动点P
方程的曲线、曲线的方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条 件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立 了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是 这个方程的解 ； (2)以这个方程的解为坐标的点都在 曲线上 ，那么，这 条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．
判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是 检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐 标的点是否都在曲线上．
1．“点M在曲线y2＝4x上”是“点M的坐标满足方程y＝
－2 x”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：点M在曲线y2＝4x上，若点M(x0，y0)，则y
2 0
＝
4x0，不能得出y0＝－2 x0 ；若点M(x0，y0)满足方程y＝
－2 x，则y0＝－2 x0，