辽宁省凌源市第三中学2019-2020学年高二第二次月考数学试卷(含答案)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 x2 y2 1
8、已知三个数 1, a, 9 成等比数列，则圆锥曲线 a 2 的离心率为（ ）
3 A． 5 B． 3
10 C． 2
D． 3
x2 y2 1
9、双曲线
3 的一个焦点到它的渐近线的距离为（ ）
A． 1 B． 2
为定值。
参考答案
一、单项选择
1、D 2、D 3、D 4、D 5、A 6、B 7、A 8、BC 9、C 10、D 11、A 12、A
二、填空题
13、【答案】 (3 , 4) 14、【答案】 15、【答案】 85 16、【答案】2
55
6
三、解答题
17、【答案】（1） A
3
；（2）
S
ABC
3 2
（1）求数列{an}的通项公式；
1
（2）求数列
an
an1
的前
n
项和
Sn
.
20、甲、乙两人进行围棋比赛，记事件 A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件 B 为
“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知 P A 0.7, PB 0.4 .
(1)求甲获得比赛胜利的概率；
(2)求甲、乙两人获得平局的概率. 21、如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面 ABCD 为直角梯 形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA=AD=AB=2BC=2,过 AD 的平面分别交 PB,PC 于 M,N 两点.
则角 B= _________________, 15、已知数列{an}为等差数列， a9 5 ，则 S17 ________
16、抛物线 x2 4y 上的点 2，1 到准线的距离为__________．
三、解答题（17 题 10 分，其他每题 12 分，总 70 分）
17、在△ ABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，且 a cosC c cos A 2b cos A .
(2)①证明因为 M,N 分别为 PB,PC 的中点,PA=AB,所以 PB⊥MA.
因为∠BAD=90°,所以 DA⊥AB.
因为 PA⊥底面 ABCD,所以 DA⊥PA.
因为 PA∩AB=A,所以 DA⊥平面 PAB.
所以 PB⊥DA.
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因为 AM∩DA=A,所以 PB⊥平面 ADNM. 因为 DN 平面 ADNM,所以 PB⊥DN.
f
(x) 的取值范围为
1 2
,2
.
19、【答案】（1）
an
n
1 （2）
n 2n
4
（1）设等差数列an 的公差为 d d 0
a3 是 a1, a7 的等比中项a32 a1a7 ，又 a4 5
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a1
2d 2
a1 3d 5
a1
a1
6d
，解得：
ad1
2 1
an a1 n 1 d 2 n 1 n 1
平局”为事件 I1 、 I3 的和事件，“乙获得比赛的胜利或者平局”为 I2 、 I3 的和事件，
由互斥事件的和事件概率公式得：
P P
A B
P P
I1 I2
I3 I3
P I1 P I3 0.7 P I2 P I3 0.4
又 PI1 PI2 PI3 1
P I1 0.6 ， P I2 0.3 ， P I3 0.1
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所以 令 z=2,则 y=2,x=1. 所以 n=(1,2,2),
所以 cos<n, >=
.
所以二面角 P-DN-A 的余弦值为 .
【点睛】
(1)本题主要考查二面角的向量求法，考查空间线面位置关系的证明，意在考查学生对 该知识的掌握水平和空间想象分析推理转化能力.（2）二面角的求法方法一：（几何 法）找 作（定义法、三垂线法、垂面法） 证（定义） 指 求（解三角形）.方
（1）求角 A 的大小；（2）若 a 3, c 2 ，求△ ABC 的面积.
f (x) 3 sin x cos x sin2 x 1
18、已知函数
2.
（1）求函数
f
(x)
的单调递减区间；（2）若
x
0,
2
，求
f (x) 的取值范围.
19、已知公差不为 0 的等差数列{an}满足 a4 5 ，且 a3 是 a1 ， a7 的等比中项.
由于 0 A ，故 A ； 3
（2）由余弦定理得， ( 3)2 22 AC2 2 2 AC cos ，所以 AC 1 ， 3
故
S
ABC
1 21sin
2
3
3. 2
18、【答案】(1）函数 f (x) 的单调递减区间为 [k , k 5 ] ， k Z .
3
6
(2)
故甲获得比赛胜利的概率为 P I1 0.6 ；
甲、乙两人获得平局的概率为 P I3 0.1；
21、(1)证明因为底面 ABCD 为直角梯形,所以 BC∥AD.
因为 BC 平面ADNM, AD 平面ADNM ,
所以 BC∥平面 ADNM.
因为 BC 平面 PBC,平面 PBC∩平面 ADNM=MN,所以 MN∥BC.
②如图,以 A 为坐标原点,直线 AB 为 x 轴,直线 AD 为 y 轴,直线 AP 为 z 轴,建立空间直 角坐标系 A-xyz, 则 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2). 由①知,PB⊥平面 ADNM,所以平面 ADNM 的法向量为 =(-2,0,2). 设平面 PDN 的法向量为 n=(x,y,z), 因为 =(2,1,-2), =(0,2,-2),
法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量 ；再代入公式
（其中
分别是两个平面的法向量， 是二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大
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小选择“ ”号）.
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22、 (1)由焦点到准线的距离为 知 p＝ ，2p＝ ，抛物线的标准方程为 x2＝ y. (2)设直线 l 的方程为：y＝kx＋ ，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由 得：x2－ kx－ ＝0，∴x1x2＝－ ∴ · ＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋4(x1x2)2＝－ 为定值
x2 a2
y2 b2
1 （
a
0
，
b
0 ）的一条渐近线被圆
x
22
y2
4所
截得的弦长为 2，则 C 的离心率为 （
）
23 A.2 B. 3 C. 2 D. 3
二、填空题（每题 5 分，总 20 分）
r
uur
13、已知 n (3,4) ，则与它同向的单位向量 n0 ________（用坐标表示）
a2 c2 b2 14、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 ABC 的面积为 4 3 ，
3、已知函数 f x
2 cos 2x ，要得到 g x
2
cos
2x
4
的图象，
只需将 f x 的图象（ ）
A．向左平移 4 个单位长度 B．向右平移 8 个单位长度
C．向右平移 4 个单位长度 D．向左平移 8 个单位长度
sin( 3 ) 1
4、已知
4 ，且 为第二象限角，则 cos （ ）
(1)求证:MN∥BC; (2)若 M,N 分别为 PB,PC 的中点, ①求证:PB⊥DN; ②求二面角 P-DN-A 的余弦值. 22、设抛物线 C 的顶点在原点，焦点 F 在 y 轴上，开口向上，焦点到准线 的距离为 (1)求抛物线的标准方程； (2)已知抛物线 C 过焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A、B 两点，O 为坐标原点，求证：
（2）由（1）得：
1 an an 1
n
1
2n 1
1 n 1
1 n
2
Sn
1 2
1 3
1 3
1 4
1 n 1
n
1
2
1 2
n
1
2
n 2n
4
20、【答案】（1）0.6；(2)0.1.
甲、乙两人进行围棋比赛，所有的可能基本事件有：甲获得胜利、乙获得胜利、甲乙
平局，分别记做事件 I1 、 I2 、 I3 ，且 I1 、 I2 、 I3 为互斥，则“甲获得比赛胜利或者
C． 3 D． 2
10、准线方程为 y 2 的抛物线的标准方程是（ ）
A． x2 16y B． x2 8y C． x2 16y D． x2 = - 8y
11、一直三棱柱的每条棱长都是 3 ，且每个顶点都在球 O 的表面上，则球 O 的半径为
（）
21 A． 2
B． 6
C． 7 D． 3
12、若双曲线 C :
2 2 A. 3
22 B. 3
2 C. 4
15 D. 4
5、在等比数列
中，已知
a1
1 9
,a5
9
，则
a3
(
)
A.1 B.3 C. 1 D. 3
6、已知 a b ，则下列结论正确的是（ ）
A． a b B． a c b c
C． ac bc D． a2 b2
7、“|x﹣1| 3”是“x 4“的（ ）
高二数学试题
一、单项选择（每题 5 分，总 60 分）
1、满足条件1,3 A 1,3,5 的所有集合 A 的个数是 ( )
A.1 B. 2
C. 3
D.4
2、下列函数中，既是偶函数，又在区间 (, 0) 上为减函数的为（ ）
y1 A． x
B． y x2 C． y | x | D． y | x | 1
（1）因为 a cosC ccos A 2bcos A ，
由正弦定理可得： sin AcosC sin C cos A 2sin Bcos A ，
所以 sin(A C) 2sin B cos A，即 sin B 2sin Bcos A ，
由 sin B 0 ，则 cos A 1 ， 2