信号与噪声

H ( ω ) = ∫ h( t )e − jωt dt
−∞
∞
h( t ) =
1 2π
∫
∞
−∞
H ( ω )e jωt dω
⑴输入输出信号和噪声具有的特性和表示方式； ⑵系统中输入输出信号和噪声之间的关系。 (3)系统具有什么特性，信号的传输才处于最佳状态。
§2.1 确知信号分析
一.信号分析
1. 信号中所包含的信息总是寄寓在某种形式的变换波形之中。数学上，就可表示为 一个或多个变量的函数。 2. 不同的信号分类
确知信号/随机信号 周期信号/非周期信号 模拟信号/数字信号 能量信号/功率信号
3. 信号分析方法：以基本信号之和或积分表示各种复杂信号，以对其性质及其对系 统的作用进行分析研究。
频域分析法：正弦信号作为基本信号；
时域分析法：冲击函数 δ(t)作为基本信号。
二.离散频谱和连续频谱
1. 周期信号的傅里叶级数 傅里叶级数 其中离散频谱
第二章 信号与噪声
通信系统需要研究的三个主要问题: (1)信号的特性； (2)系统的特性； (3)信号通过系统传输时，影响信号的噪声特性。 ・系统：可看作产生信号变换的任何过程 ・系统传递函数 H(ω)和冲击响应 h(t) f(t),n(t) F(ω),N(ω)
H(ω) h(t)
fo(t),no(t) Fo(ω),No(ω)
随机过程：包括全部时间函数的总体，X(t)/{Xk(t)}。 随机变量：在随机过程中取某一特定时间 t1，得到的不含时间 t 变化的变量 X(t1)， 即随机变量。 分布函数：随机过程 X(t)，随机变量 X(t1) 一维分布函数 P1(x1，t1)=P[X(t1)≤x1] 二维分布 P2(x1,x2,t1 ,t2)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2] 概率密度函数：一维概率密度函数 p1( x1 ,t1 ) =
2
T/2
−∞
1 T/2 2 f ( t )dt T ∫−T / 2
1 T/2 2 1 P = lim { ∫ f ( t )dt } = − T / 2 2π T T →∞
功率谱密度 W ( ω ) = lim
T →∞
∫ lim
−∞ T →∞ 2
∞
FT ( ω ) dω T
2
FT ( ω ) T
瓦特/赫兹
p( t ) =
A
-τ/2≤t≤τ/2
0 其它
解：
P (ω ) =
∫
∞
−∞
p (t )e
p(t)
A
− jω t
dt =
∫τ
τ /2
− /2
Ae
Aτ
− jω t
dt = A τ Sa (
ωτ
2
)
P（ω）
0
t
0
ω
3.周期信号的傅里叶变换
F ( ω ) = 2π
k = −∞
∑ C δ ( ω − kω
k
2 2 2
§2.3 随机信号和随机噪声
一.随机过程的基本概念
1.随机过程
确定性过程:事物变化的过程可用一确定函数关系描述。 如:自由落体运动 s(t)=gt2/2。 随机过程:事物变化的过程不可用一确定函数关系描述。 样本函数：设随机试验 Sk，每一次试验可用一个自变量为时间 t 的函数 Xk(t)，即样 本函数。 样本空间：足够多的随机试验所构成的集合 S。
k = −∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e jkω0t dt
∑C C
k ∞ ∞
∞
* k
=
k = −∞ ∞
∑C
∞
2 k
由采样性质∫ f ( t )δ ( t − t0 ) = f ( t0 )
−∞
∴∫
−∞
k =−∞ ∞
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
2 ∞ 2 −∞ k = −∞
∂P 1( x1 ,t1 ) ∂x ∂2P 1( x1 , x2 ,t1 ,t 2 ) p ( x , x , t , t ) = 二维概率密度函数 1 1 2 1 2 ∂x1∂x2
平稳随机过程： pk ( x1 , x2 ,L , xk ; t1 ,t 2 ,L ,t k ) = pk ( x1 , x2 ,L , xk ; t1 + τ ,t 2 + τ ,L ,t k + τ ) 广义平稳随机过程：一维 p1(x1,t1)=p(x) 二维 p2(x1,x2,t1 ,t2)=p(x1,x2,τ)
|H(ω)| 0
H(ω ) = k
ϕ ( ω ) = −ωt0
2.理想低通滤波器
理想高通滤波器(High-pass Filter,HPF) 理想带通滤波器(Band-pass Filter,BPF) 理想低通滤波器(Low-pass Filter,LPF)
ω φ(ω)
H(ω ) = h( t ) = = 1 2π
LPF: B=fm
信号带宽
四.线性系统输出响应的谱密度
设输入 f(t)/F(ω)，输出 y(t)=f(t)*h(t)/Y(ω)=F(ω)H(ω)
1. 能量信号 Ei ( ω ) = F ( ω )
2 2 2 2 2 2
Eo ( ω ) = Y ( ω ) = F ( ω ) ⋅ H ( ω ) = F ( ω ) ⋅ H ( ω ) = H ( ω ) ⋅ Ei ( ω ) 2.功率信号 F (ω ) Wi ( ω ) = lim T T →∞ T lim yT ( t ) = h( t ) ∗ fT ( t )
h (t)
F F (ω ) H (ω )
= h( t ) ∗ f ( t ) = f ( t ) ∗ h( t )
Y(ω )
2.频域： y( t ) = f ( t ) ⋅ p( t )
f(t)
乘法器
y(t)
Y(ω ) =
1 [F ( ω ) ∗ P( ω )] 2π
p(t)
二. 无失真系统和理想低通滤波器
∞
1 f (t ) ⋅ 2π
∞ f (t )e jωt dt dω ( ) F ω ∫−∞ ∫−∞
∞
当 f(t)为实函数时
1 ∞ F ( ω ) ⋅ F ∗ ( ω )dω ∫ 2π −∞ 1 ∞ 2 = F ( ω ) dω ∫ 2π −∞ 能量谱密度 E(ω)=|F(ω)|2 焦耳/赫兹
f (t ) =
n =−∞
∑C e
n
∞
jnω 0t
n=0,±1,±2…
C ( nω 0 ) = C n =
1 T/2 f ( t )e − jnω0t dt ∫ T −T / 2
ω0=2π/T， Cn = Cn e jϕ ( ω )
|Cn|—幅度谱，φ(ω)—相位谱
例：
pT ( t ) =
A 0
nT-τ/2≤t≤nT+τ/2
∞ ∞ − jωτ −∞ −∞ ∞ ∞ − jωτ ∞ −∞ −∞ −∞
jωt
dt = F ( ω )F * ( ω ) = F ( ω ) = E( ω )
2
⑶信号的自相关函数在原点的值等于信号的能量/功率。
R( 0 ) = ∫ f 2 ( t )dt = E
−∞ ∞
R( 0 ) = lim
T →∞
双边功率谱密度 单边功率谱密度
定义在（-∞，+∞） 定义在（0，+∞）
例：试求功率信号为周期性信号时的功率谱密度 解：取截短周期 T=NT0
∞
用f ( t ) =
P = lim
k = −∞
∑C e
k
jkω0t
代入
1 T/2 2 f ( t )dt −T / 2 T →∞ T ∫ ∞ 1 1 T0 / 2 2 1 T0 / 2 ∞ = ∫ f ( t )dt = ∫ f ( t ) ∑ Ck e jkω0t dt = ∑ Ck T0 −T0 / 2 T0 −T0 / 2 k = −∞ k =−∞ T0 =
+∞
0
)
三. 能量谱密度和功率谱密度
1. 能量谱密度 信号波形的能量 E = ∫−∞ U ( t )i( t )dt
2 规一化能量:电阻值 1W E = ∫−∞ f ( t )dt ∞ ∞
能量信号：能量为有限值的信号
E=∫ =∫
∞ −∞ ∞ −∞
f 2 (t )dt 1 jω t dt = ∫−∞ F (ω )e dω 2π
k =−∞
∑C
∞
2 k
∴P = ∫
∑ Ck δ ( ω − kω 0 )dω =
k =−∞
1 2π
∫
∞
−∞
2π
k = −∞
∑C
∞
2 k
δ ( ω − kω 0 )dω
∴W ( ω ) = 2π
∑C
∞
2 k
δ ( ω − kω 0 )
四.自相关函数
1. 定义
表明一个信号与该信号延时后的相似程度。 能量信号 功率信号
其它
解： 1 T/2 PT ( ω ) = ∫ pT ( t )e − jnω0t dt 2 T / − T 1 τ/2 = ∫ Ae − jnω0t dt T −τ / 2 A e − jnω0t τ / 2 = ⋅ −τ / 2 T − jnω 0
p T (t)
A
-T
0
T
P T n （ω）
t
Aτ ⋅ nω τ T ( 0 ) 2 nω τ Aτ Sa( 0 ) = T 2 Aτ nπτ = ) Sa( T T =
k =−∞
∑C
2 k
e j 2 kπτ / T0
§2.2 确定信号通过线性系统
一.卷积定理
1.时域：
δ (t)
f(t)
∞ −∞
线性系统
h (t) y(t)
Y(ω)=H(ω)F(ω)
y( t ) = ∫ f ( τ )h( t − τ )dτ = ∫ h( τ ) f ( t − τ )dτ
−∞ ∞
−∞ ∞ x =t +τ
∫
∞
−∞
f ( x ) f ( x − τ )dx = R( −τ )
⑵信号的自相关函数与其能量谱密度/功率谱密度构成傅氏变换与反变换的关系。 证：
F {R(τ )} = ∫ [∫ f ( t ) f ( t + τ )dt ]e dτ = ∫ f ( t )[∫ f ( t + τ )e dτ ] dt = ∫ F ( ω ) f ( t )e 同理F {R(τ )} = W ( ω )
f ( t ) ∑ Ck e j 2 kπ ( t +τ ) / T0 dt
k = −∞ j 2 kπτ / T0
k =−∞ ∞
∑C e
k k
1 T 0
∫
T0 / 2
−T0 / 2
f ( t )e j 2 kπt / T0 dt
k =−∞ ∞
∑C C e
* k
j 2 kπτ / T0
上式
=
2. 功率谱密度 功率信号：信号在-∞＜t＜+∞内存在，具有无穷大能量，但平均功率为有限值。
截短函数
f(t) fT(t)=
0
-T/2<t<T/2
其它
0
f(t)
t
ET = ∫ PT =
T/2
−T / 2
f ( t )dt = ∫
2
∞
−∞
1 f ( t )dt = 2π
2 T
∫
∞
-T/2
FT ( ω ) dω
1 T/2 2 f ( t )dt = P T ∫−T / 2
⑷自相关函数的最大值出现在原点，即，R(τ)≤R(0) 例：求周期信号 f(t)的自相关函数 解： R( τ ) =
1 = T0 = = =
∞
1 T0
∫
T0 / 2
来自百度文库
−T0 / 2
f ( t ) f ( t + τ )dt
∞
∫
T0 / 2
−T0 / 2
sin(
nω 0τ ) 2
0 ω0
ω
周期性矩形脉冲序列信号及其频谱
2. 非周期信号的傅里叶变换 F ( ω ) = ∫ f ( t )e − jωt dt
−∞ ∞
1 ∞ F ( ω )e jωt dω ∫ 2π −∞ F ( ω ) = F ( ω ) ⋅ e jϕ ( ω ) f (t ) =
例：
T →∞ T →∞
2
∴ lim YT ( ω ) = H ( ω ) ⋅ FT ( ω )
Y (ω ) H ( ω )FT ( ω ) F (ω ) 2 2 = lim = H ( ω ) ⋅ lim T = H ( ω ) ⋅ Wi ( ω ) Wo ( ω ) = lim T T →∞ T →∞ T →∞ T T T
2. 性质
R( τ ) = ∫ f ( t ) f ( t + τ )dt
−∞
∞
R( τ ) = lim
T →∞
1 ∞ f ( t ) f ( t + τ )dt T ∫−∞
⑴实函数的自相关函数是实偶函数，即 R(-τ)=R(τ) 证： R( τ ) = ∫ f ( t ) f ( t + τ )dt =
1.无失真系统：y(t)=kf(t-t0)
Y ( ω ) = k ∫ f ( t − t0 )e − jωt dt = ke − jωt0 ∫ f ( x )e − jωx dx = k ⋅ e − jωt0 ⋅ F ( ω )
−∞ −∞
∞
x =t −t0
∞
传输函数H ( ω ) =
Y(ω ) = k ⋅ e − jωt0 F( ω )
k ⋅ e − jωt0 0
ω ≤ ωm
其它
H( ω ) K |H( ω )|
h (t)
∫
∞
−∞
H ( ω )e jωt dω
k ω m jω ( t −t0 ) e dω 2π ∫−ωm kω = m ⋅ Sa[ω m ( t − t 0 )]
- ωm
0
ωm
ω
0
t
π
3.系统带宽: 指一个系统的幅频特性|H(ω)|保持在给定数值范围内的那段正频率区间。