艾滋病疗法的评价及疗效的预测

艾滋病疗法的评价及疗效的预测摘要本文对艾滋病的不同疗法的相关数据进行分析，建立了对艾滋病疗法的疗效的评价分析模型．问题一的求解中，首先分别对所提供的ＣＤ４的浓度进行归一化处理，利用多项式函数对ＣＤ４浓度和ＨＩＶ浓度随时间变化的关系用cftool 工具进行线性拟合．但考虑到ＣＤ４和ＨＩＶ两者的浓度对艾滋病疗效的影响程度不同，我们利用熵值确定两类物质对疗效影响的权重，对权重和拟合所得到的多项式函数进行矩阵乘法，得到艾滋病疗效的综合测评指数Q ，根据Q 的算法，认为Q 越大，治疗效果会越好，我们选定的最佳治疗终止时间为Q 的极大值点附近．针对问题二，我们首先对数据进行整理，对年龄段和不同疗法均进行分类，在数据整理后用cftool 工具进行拟合，得到不同疗法对不同年龄段的患者在治疗过程中，体内)14log(+CD 的浓度和服药时间x 之间的关系，并画出直观图．（此题目中我们大致的可认为ＣＤ４增加时，)14log(+CD 的值也对应增加）．并定义疗效好的标准为：针对每个年龄段，不同的疗法第一次达到的极大值点与起始点连线的斜率来决定．连线的斜率越大，疗效越好．相反，疗效相对不好．经过对图象的分析，可知各种疗法对30—40岁的效果都比较好．针对问题三，我们引入了夹角α的概念，来作为评定医疗费用与疗效之间的关系。

若α越小，说明)(x f 增长的速率与)(x g 增长的速率相差小，可视为单位医疗费用所获得的疗效越好；若α越大，说明)(x f 医疗费用增长的速率远比)(x g 的增长速率快得多，即花费的医疗费远超出疗效，这种的疗法对于患者来说是不合算的。

关键词：归一化 权重 综合测评指标数1．问题的重述艾滋病，即获得性免疫缺陷综合症，其病原为人类免疫缺陷病毒，亦称艾滋病病毒。

目前，艾滋病不仅已成为严重威胁我国人民健康的公共卫生问题，且已影响到经济发展和社会稳定。

HIV能够破坏人的免疫系统，从而危害人的生命。

人类免疫系统的CD4细胞在抵御HIV的入侵中起着重要作用，当CD4被HIV感染而裂解时，其数量会急剧减少，HIV将迅速增加，导致AIDS发作。

在现阶段，艾滋病治疗的目的，是尽量减少人体内的HIV 的数量，同时产生更多的CD4，至少要有效地降低CD4减少的速度，以提高人体免疫能力。

现在得到了美国艾滋病医疗试验机构ACTG公布的两组数据。

ACTG320（见附件1）是同时服用zidovudine（齐多夫定），lamivudine（拉美夫定）和indinavir（茚地那韦）3种药物的300多名病人每隔几周测试的CD4和HIV的浓度（每毫升血液里的数量）。

193A（见附件2）是将1300多名病人随机地分为4组，每组按下述4种疗法中的一种服药，大约每隔8周测试的CD4浓度（这组数据缺HIV浓度，它的测试成本很高）。

4种疗法的日用药分别为：600mg zidovudine或400mg didanosine（去羟基苷），这两种药按月轮换使用；600 mg zidovudine加2.25 mg zalcitabine（扎西他滨）；600 mg zidovudine 加400 mg didanosine；600 mg zidovudine加400 mg didanosine，再加400 mg nevirapine （奈韦拉平）。

请你完成以下问题：（1）利用附件1的数据，预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间（继续治疗指在测试终止后继续服药，如果认为继续服药效果不好，则可选择提前终止治疗）。

（2）利用附件2的数据，评价4种疗法的优劣（仅以CD4为标准），并对较优的疗法预测继续治疗的效果，或者确定最佳治疗终止时间。

(3) 艾滋病药品的主要供给商对不发达国家提供的药品价格如下：600mg zidovudine 1.60美元，400mg didanosine 0.85美元，2.25 mg zalcitabine 1.85美元，400 mg nevirapine 1.20美元。

如果病人需要考虑4种疗法的费用，对（2）中的评价和预测（或者提前终止）有什么改变。

2.模型的假设1.在短时间内，体内ＣＤ４和ＨＩＶ不会有大的变化；2.２０岁以下或者６０岁以上的艾滋病患者人数极少，可忽略不计；3.服药后药效会马上产生；4.在轮换服药的时候，假定所服两种药的次数是相等的；3.问题的分析本题针对艾滋病的疗法，提出对疗效的预测问题。

我们认为对艾滋病的疗效的综合评价应该从HIV 和CD4对艾滋病的影响出发，从客观的大量实测数据出发，随机的抽取一部分数据，根据所得的数据算出每一时间的HIV 和CD4的平均值，再进行对它们分别进行多项式函数拟合。

但由于HIV 和CD4在治疗艾滋病中其疗效可能不同，再给定各类物质各一个权值反映其对艾滋病的疗效大小，来确定最佳治疗终止时间。

4.符号说明问题一的变量：抽取的样本的容量x 时间的变化值ik cd 4 第i 个人第k 次测试的CD4的浓度的实测数据ik hiv 第i 个人第k 次测试的HIV 的浓度的实测数据14i cd 第i 个人第k 次测试的CD4的浓度的实测数据()max 4i cd 第i 个人测试中的CD4的浓度最大值()min 4i cd 第i 个人测试中的CD4的浓度最小值ik lcd 4 第i 个人第k 次测试的CD4的浓度的归一化后的数据ij c 归一化矩阵元素ij x 实测值矩阵元素j H 第j 类物质评价指标的熵W 熵权矩阵j w 熵权矩阵元素Q 综合测评指数()x P CD4随时间x 的变化在体内的含量函数)(x Q HIV 随时间x 的变化在体内的含量函数问题二的变量:ijP 表示第i 种疗法对第j 个年龄段的函数（关于ＣＤ４）问题三的变量：)(x f i 第i 种疗法的医疗费用随时间x （以周为单位）的关系式)(x g ij 第i 种疗法对第j 个年龄段的函数，同上ij P)('x g ij ij P 在起始点处的切线)(x f i 与)('x g ij 在初始点处夹角5.模型的求解求解问题一（一）问题分析本题要求利用附件1的数据来预测继续治疗的效果．在附件1所提供的数据,有的数据与其它的数据相差较大,我们视为异常现象,称这些所对应的点为坏点,在模型的建立与求解过程中可认为它们类属于小概率事件,可忽略不计.附件1所给的三百多组患者数据，其中CD4的起始量相对较大,而且在每隔几周CD4浓度的测试中数据相差很大.针对在CD4在浓度测试中相差较大的情况,我们采用归一化的方法,使得数据在一定的范围之内波动,从而使cftool 拟合得到的曲线精确度提高.对于变量HIV,其起始量和每隔几周进行的测试中不同患者浓度变化很小,因此HIV 浓度与时间的拟合,我们不用归一化处理,而是直接采用原数据.通过多项式函数拟合或分别确定时间与ＨＩＶ和ＣＤ４的浓度的关系．但考虑在艾滋病疗法中所起的影响不一样(无法确定疗效好坏主要是以CD4的浓度或者HIV 的浓度来确定)，其中必有一者所占的地位更加重要.为此,我们定义这两类物质在艾滋病的治疗中所起的影响由权重来决定．（二）模型建立记14i cd 为第i 个患者在第一次测试时ＣＤ４浓度的．将患者的信息简单记为),4(ik ik hiv cd ，对数据进行归一化，计算出(min)(max)144444i i i ik ik cd cd cd cd lcd --=(归一化的过程能将数据压缩在一定的范围内,可以有效的减少测试中存在的误差,使拟合得的曲线更加平滑,更加逼近真实函数.)利用附表中所给的数据,将CD4的浓度和HIV 的浓度分别与时间x 进行多项式函数拟合出()x P ,)(x Q这里引用类比大学物理中的熵概念熵反映了事物无序化的程度，熵越小，其效用越大；熵越大，其效用越小。

通过度量评价指标的效用大小，从而获得对艾滋病疗效影响的权重。

而此权重来源于数据本身（ 即附表1 中数据的抽样，因此可以避免人为主观因素判断而形成的偏差，从而可以客观全面的从数据中得到对艾滋病疗效的预测。

（以下用 ｎ来记抽样的人数，ｍ 来描述疗效的指标数，ｎ=25,m=2）根据ｎ个抽样的人数，ｍ 个待测的指标，建立判断矩阵：()m n ij x ),2,1,25.....3,2,1(==j i根据评价指标的属性差异， 可将评价指标分为以下两种：（1）递增型（ 随评价指标值的递增,样本属性越优， 如CD4）;（2）递减型（ 随评价指标值的递减,样本属性越优， 如HIV ） 。

在计算各指标权重之前， 有必要先对每个采样样本进行归一化处理， 具体操作如下：将判断矩阵做归一化处理，得到归一化后的判断矩阵：min max min x x x x c ij ij --=上式中，在同种评价指标下： max x 表示不同方案中的最满意者；min x 表示不同方案中最不满意者。

例如:当考虑评价递增型指标CD4时, max x 为各样品中CD4的最大值, min x 为各样品中CD4的最小值;当考虑评价递减型指标HIV 时, max x 为各样品中HIV 的最小值, min x 为各样品中HIV 的最大值.根据熵的定义,n 个方案m 个评价指标,可以确定评价指标的熵为:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=ni ij ij j f f n H 1ln ln 1 ),2,1,25.....3,2,1(==j i在上式中,有∑==n i ijijij cc f 1 为使ij f ln 有意义,一般需要假定当ij f =0时, ij f ij f ln =0.但当ij f =1, ij f ij f ln 也等于零.这与熵的定义相悖,故需要对ij f 加以修正,将其定义为ij f ()∑=++=n i ijijc c 111矩阵元素的计算公式:∑=--=m j jjj H m H w 11评价指标熵权W 的矩阵公式如下:()m j w W ⨯=1熵权W 具有下列性质:得综合测评指数：()()()()x Q w x P w W x Q x P Q ⨯-⨯=⨯-=21)(,Q 是从两类物质所占权重与各自随时间变化的函数的角度全面的考虑艾滋病疗法的疗效, 当CD4浓度越大,HIV 浓度越小的时候Q 越大, 当CD4浓度越小,HIV 浓度越大的时候Q 越小,在此状态之间必存在一个最优值,最优值处所对应的为最佳治疗终止时间,此时对于艾滋病的疗效最好.在达到最优值之前,随着治疗时间的增加,疗效越来越好,在达到最优值以后,如果继续服药,可能会由于病毒产生抗药性而使药效降低。

(求Q 的程序见附录程序)（三）模型的应用与评价可以看出ＣＤ４浓度（归一化后）随服药的时间浓度变化比较平缓，上升趋势不明显，这与实测数据比较相符．（归一化后的）ＣＤ４浓度随时间变化的曲线图：11=∑=m j j w图表 1横坐标０代表服药０周时的药物浓度，１０代表服药１０周时的药物浓度，依次类推：纵坐标代表ＣＤ４浓度归一化后的值ＨＩＶ的浓度曲线波动较大，如下图：图表2横坐标０代表服药０周时的药物浓度，５代表服药５周时的药物浓度，依次类推：纵坐标代表ＨＩＶ浓度值经过运算得到的熵权矩阵)0012.0,9988.0(=W这与实际生活中的一般以ＣＤ４的浓度作为评测艾滋病疗效的临床经验十分稳合．()()()()x Q w x P w W x Q x P Q ⨯-⨯=⨯-=21)(,其图象如下：图表 3根据图象及求解，可判断出４4周左右为最佳治疗终止时间．在此时间附近ＣＤ４的浓度在整个曲线为最大，在此后的时间里面，虽然继续服药，但ＣＤ４的浓度却有所减少，故在44周左右为最佳治疗终止时间。