算法设计与分析-第8章-回溯法PPT课件
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回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
算法设计与分析-第8章-回溯法PPT课件
{ ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) }
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
1
1
0
2
1
0
6
9
1
0
10
13
不可行解
1
0
1
0
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11
12
14
15
不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
.
15
8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
∞3 6 7 C= 12 ∞ 2 8
.
21
8.1.3 回溯法的求解过程
简言之：
1) 逐级扩展解向量 x1 ，x2 ， … ， xi-1
xi
2) 动态测试部分解
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试， 判定路径 x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
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不可行解
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不可行解 价值=20 价值=55 价值=30 价值=25 价值=0
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8.1.2 回溯法的设计思想
TSP问题搜索解空间的方法---应用目标函数剪枝
再如，对于n=4的TSP问题，其代价矩阵如图所示，
∞3 6 7 C= 12 ∞ 2 8
.
21
8.1.3 回溯法的求解过程
简言之：
1) 逐级扩展解向量 x1 ，x2 ， … ， xi-1
xi
2) 动态测试部分解
用 Bi (x1 ， x2 ，… ，xi-1 ，xi) ---剪枝函数动态测试， 判定路径 x1 x2 … xi-1 xi 是否可行。
算法设计与分析王红梅第二版第8章_回溯法详解
2018/10/15
Chapter 8 Back Track Method
10
概述 -问题的解空间
可行解：满足约束条件的解，解空间中的一个子集
最优解：
使目标函数取极值(极大或极小)的可行解，一个或少数几个 例：货郎担问题，有nn种可能解。n!种可行解，只有一个或 几个是最优解。 例：背包问题，有2n种可能解，有些是可行解，只有一个或 几个是最优解 有些问题，只要可行解，不需要最优解： 例：八皇后问题和图的着色问题
7
概述 -问题的解空间
例：0/1背包问题中，xi 有0/1 两种取值，则S={0，1}， 当n=3时，0/1背包问题的解空间是：
{(0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)}
即：当输入规模为n 时，有2n 种可能的解。 例：货郎担问题，S={1,2,…,n}，当n=3时，S={1,2,3} 。 货郎担TSP问题的解空间中的可能解有27个，是：
0 3 0 15
对物品2的选择
对物品3的选择
2018/10/15
Chapter 8 Back Track Method
12
概述 -问题的解空间
例：对于n=4 的TSP 问题，图8.3是经压缩后的解空间树，树中的24 个叶子结 点分别代表该问题的24 个可能解，例如结点5 代表一个可能解，路径为 1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。
2018/10/15 Chapter 8 Back Track Method 2
学习目标
教学重点 教学难点 回溯法的设计思想，各种经典问题的回溯思想 批处理作业调度问题的回溯算法
最大团问题-回溯法ppt课件
G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。
下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
1
2
3
4
5
01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
8
07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
1
i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
1
i=2 cn=0 bestn=3
2
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i=3 cn=1 bestn=3
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i=5 cn=2 bestn=0
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下图G中，子集{1，2}是G的大小为2的完全子图。这
个完全子图不是团，因为它被G的更大的完全子图{1，2，
5}包含。{1，2，5}是G的最大团。{1，4，5}和{2，3，5}
也是G的最大团。
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01
问题描述
4
03 算法设计
无向图G的最大团问题可以看作是图G的顶点集V的子集选取问题。因此可 以用子集树表示问题的解空间。设当前扩展节点Z位于解空间树的第i层。在 进入左子树前，必须确认从顶点i到已入选的顶点集中每一个顶点都有边相连。 在进入右子树之前，必须确认还有足够多的可选择顶点使得算法有可能在右 子树中找到更大的团。
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07 改进
•选择合适的搜索顺序，可以使得上界函数更有效的发挥作用。 例如在搜索之前可以将顶点按度从小到大排序。这在某种意义上 相当于给回溯法加入了启发性。 •定义Si={vi,vi+1,...,vn}，依次求出Sn,Sn-1,...,S1的解。从 而得到一个更精确的上界函数，若cn+Si<=max则剪枝。同时注意 到：从Si+1到Si，如果找到一个更大的团，那么vi必然属于找到 的团，此时有Si=Si+1+1，否则Si=Si+1。因此只要max的值被更 新过，就可以确定已经找到最大值，不必再往下搜索了。
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i=3 cn=2 bestn=0 2
i=4 tn=3
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i=2 cn=0 bestn=3
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i=3 cn=1 bestn=3
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i=5 cn=2 bestn=0
4
4
回溯法ppt课件
1
x1=2
1
3
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x2=4 123
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23 4 1 2 3 4
x3=1
2
4
1 23 4
1 2 x4=3 1
3
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4 2
36
例1： n后问题
法2：4后问题的解空间（排历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int i) { if (i>n) output(x);
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
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20
4
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23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
个数的组合。
12 5
要求： 输入：m,n＝5 3 输出：
13 4 13 5 14 5 23 4
23 5
24 5
34 5
Total＝10种
24
例： 排列与组合
分析：
设（x1,x2, ……,xn）一组解 约束条件：
显约束：1≤xi≤m 隐约束：x1＜x2＜ ……＜xn
i≤ xi ≤m－n＋i
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
《算法8回溯法》课件
八皇后问题
使用回溯法找到八个皇后的摆 放位置，使得它们不会互相攻 击。
0/1背包问题
利用回溯法找到最优的物品选 择方案，使得总价值最大且不 超过背包容量。
八皇后问题
八皇后问题是一个经典的回溯法应用，要求在8x8的棋盘上放置8个皇后，使 得它们不会互相攻击。
解决方法是使用递归的回溯法，在每一行放置一个皇后，然后递归地处理下 一行。
回溯法和动态规划的比较
回溯法和动态规划都可以用来解决搜索问题，但它们在求解方式和效率上有 一些区别。
回溯法通过试错的方式搜索解空间，可能需要遍历大量的解空间；而动态规 划则通过状态的存储和复用来避免重复计算，提高效率。回溯法的优化1
剪枝
通过判断条件和提前终止搜索，剪掉不必要的分支。
2
双向搜索
从目标状态和初始状态同时进行搜索，减少搜索空间。
回溯法的代码实现
回溯法的实现可以使用伪代码或具体的编程语言。 以下是伪代码示例：
procedure backtrack(c) is if reject(P, c) then return if accept(P, c) then output(P, c) s <- first(P, c) while s != NULL do backtrack(s) s <- next(P, s)
欢迎通过示例代码进一步学习回溯法的实现细节。
总结
回溯法是一种强大的搜索算法，广泛应用于各种问题领域。 了解回溯法的应用场景和技巧，可以帮助我们解决更加复杂的问题。 在使用回溯法时，需要注意剪枝和双向搜索等优化方法，以提高求解效率。
《算法8回溯法》PPT课 件
探索回溯法的魅力，从算法基础到应用实例，让我们一起深入了解回溯法的 奥秘。
算法与结构课件-第8章回溯法
下图为n=3和m=3时，问题的解空间树。
在回溯算法Backtrack中，当i>n时，表示算法已搜索至一个 叶结点，得到一个新的m着色方案，因此当前已找到的可m着色 方案数sum增1。当i≤n时，当前扩展结点Z是解空间树中的一个 内部结点。该结点有x[i]=1,2,…,m。对当前扩展结点Z的每一个 儿子结点,由函数 Ok检查其可行性，并以深度优先的方式递归地 对可行子树进行搜索，或剪去不可行子树。
计算机算法设计与分析
Computer Algorithms Design & Analysis
第六章 回溯算法(Backtrack Algorithm)
★ 回溯法的算法框架 ★ 0/1背包问题 ★ 旅行售货员问题 ★ n后问题
问题的解空间
复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解 构成了问题的解空间。解空间也就是进行穷举的 搜索空间，所以，解空间中应该包括所有的可能 解。
E (10,20)
x3=1
x3= 0
J (10,20) K
F (5,15)
x3=1
x3=0 x3=1
(15,25)
L M (5,15)
N
G (0,0)
x3=0
O (0,0)
(15,35)
当前最优解 可行解
(15,35) (20,40)
中间计算结果
(20,40) (20,40)
(20,40)
旅行售货员问题
for (i=1; i<k; i++) if (x[k]= =x[i] | | abs(k-i)= =abs(x[k]-x[i])) return false; return true;
}
§5 图的着色问题
算法分析与设计回溯法ppt课件
上图显示了在4-皇后问题中求上述一个解的树的实际生成 部分。结点按它们生成的次序被编号。由限界函数所杀死 的结点则在其下方写上B。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法设计与分析》-回溯ppt课件
电路板陈列问题
其中两个能够的陈列如下图，那么该 电路板陈列的密度分别是2，3
左以下图中，跨越插槽2和3,4和5，以及 插槽5和6的连线数均为2。插槽6和7之间 无跨越连线。其他插槽之间只需1条跨越 连线。
算法分析
电路板陈列问题是NP难问题，因此
NP难 问题
不大能够找到解此问题的多项式时间
算法。思索采用回溯法系统的搜索问
陈列树 解空间大小: n!
满足约束条件的解，解 空间中的一个子集
可行解
最优解
使目的函数取极值〔极 大或极小〕的可行解， 一个或少数几个
可行解和 最优解
当前扩展结点成为死结点时，应往回挪动〔回溯〕至最近的 一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点
所搜索到的结 点不是叶结点， 且满足约束条 件和目的函数 的界，其儿子 结点还未全部 搜索终了
now[j]>0且now[j]！=total[j]。用
这个条件来计算插槽i和i+1间的连线
密度。
算法效率
在解空间陈列树的每个节点处，算法 Backtrack破费O(m)计算时间为每个儿 子节点计算密度。因此计算密度所耗费 的总计算时间为O(mn!)。另外，生成陈 列树需求O(n!)时间。每次更新当前最优 解至少使bestd减少1，而算法运转终了 时bestd>=0。因此最优解被更新的额次 数为O(m)。更新最优解需求O(mn)时间 。综上，解电路板陈列问题的回溯算法 Backtrack所需求的计算时间为O(mn!)
树的搜索， 否那么，进 逐层向其祖 入该子树， 先结点回溯 继续按深度
优先战略搜
4索
5
搜索方式
内留意：这棵解空间 树不是遍历前预先建 立的，而是隐含在遍 历过程中。 容
计算机算法回溯法课件
并行计算
利用并行计算技术，将问题分解为多个子问题，同时求解，提高计 算能力。
人工智能应用
结合人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对回溯法进行优化和 改进。
THANK YOU
VS
详细描述
回溯法在排列组合问题中的应用是通过递 归和剪枝实现的。首先，算法会生成一个 解，然后递归地生成下一个解。在生成过 程中，算法会检查当前解是否满足约束条 件，如果不满足则回溯到上一个状态重新 尝试。通过不断回溯和尝试，最终找到所 有合法的解。
05
回溯法的优化与改进
记忆化搜索技术的应用
总结词
特点
回溯法适用于解决组合优化问题，特 别是约束满足问题，它能够找到所有 可能的解，但可能存在解的质量和数 量的问题。
适用场景
约束满足问题
回溯法适用于解决约束满足问题，如旅行商问题、排班问题等。
组合优化问题
回溯法也适用于解决一些组合优化问题，如背包问题、图着色问题 等。
决策问题
回溯法还可以用于解决决策问题，如逻辑推理、游戏AI等。
在分析算法的效率时，需要考虑算法 的时间复杂度和空间复杂度。
通过分析算法的效率与复杂度，可以 评估回溯法在不同问题上的适用性和 性能表现。
04
回溯法的应用实例
N皇后问题
总结词
N皇后问题是一个经典的回溯法应用实例，通过在N×N棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一 行、同一列或同一对角线上。
通过记忆已搜索的节点，避免重复搜索，提高回溯法的效率 。
详细描述
在回溯法中，经常会在搜索树中重复搜索相同的节点。为了 解决这个问题，可以使用记忆化搜索技术，将已搜索的节点 存储在特定的数据结构中，以便在后续的搜索中快速跳过这 些节点，减少不必要的计算。
利用并行计算技术，将问题分解为多个子问题，同时求解，提高计 算能力。
人工智能应用
结合人工智能技术，如机器学习、深度学习等，对回溯法进行优化和 改进。
THANK YOU
VS
详细描述
回溯法在排列组合问题中的应用是通过递 归和剪枝实现的。首先，算法会生成一个 解，然后递归地生成下一个解。在生成过 程中，算法会检查当前解是否满足约束条 件，如果不满足则回溯到上一个状态重新 尝试。通过不断回溯和尝试，最终找到所 有合法的解。
05
回溯法的优化与改进
记忆化搜索技术的应用
总结词
特点
回溯法适用于解决组合优化问题，特 别是约束满足问题，它能够找到所有 可能的解，但可能存在解的质量和数 量的问题。
适用场景
约束满足问题
回溯法适用于解决约束满足问题，如旅行商问题、排班问题等。
组合优化问题
回溯法也适用于解决一些组合优化问题，如背包问题、图着色问题 等。
决策问题
回溯法还可以用于解决决策问题，如逻辑推理、游戏AI等。
在分析算法的效率时，需要考虑算法 的时间复杂度和空间复杂度。
通过分析算法的效率与复杂度，可以 评估回溯法在不同问题上的适用性和 性能表现。
04
回溯法的应用实例
N皇后问题
总结词
N皇后问题是一个经典的回溯法应用实例，通过在N×N棋盘上放置N个皇后，使得任意两个皇后都不能处于同一 行、同一列或同一对角线上。
通过记忆已搜索的节点，避免重复搜索，提高回溯法的效率 。
详细描述
在回溯法中，经常会在搜索树中重复搜索相同的节点。为了 解决这个问题，可以使用记忆化搜索技术，将已搜索的节点 存储在特定的数据结构中，以便在后续的搜索中快速跳过这 些节点，减少不必要的计算。
算法设计与分析课件--回溯法-算法框架
32
5.2 回溯法算法框架
解空间： • 对于待求解问题，满足约束的所有解构成了 该问题的一个解空间 (Solution Space)。 • 通常情况下，解空间越小，算法的搜索效率 越高。 • 为了方便搜索，一般用树或图的形式将问题 的解空间有效地组织起来。
• 解空间树： • 三种解空间树：子集树、排列树、满m叉树。
5.1 搜索概述
搜索法： • 假设问题的初始状态、目标状态和算法定义都已确定， 那么问题的解空间就是确定的。问题的求解就是指如 何有效地搜索这个确定的解空间，从中找出问题的真 正解。 • 包括穷举搜索、深度优先搜索、广度优先搜索等。
5
5.1 搜索概述-穷举法
穷举搜索思想：
• 针对问题的可能解是有限种的情况，逐一检查所有可 能的情况，从中找到问题真正的解。
19
5.2 回溯法算法框架
回溯法的搜索思想： • 搜索过程直到找到问题的解或根结点变成死结
点为止。 • 递归式搜索 或 迭代式搜索。
20
5.2 回溯法算法框架
• 举例：0-1背包问题: 1.A是活节点
• w = (16, 15, 15)，v = (45, 25, 25)，W = 30 2.选择B扩展后，B 变为当前扩展结点。 A和B都是活结点
34
5.2 回溯法算法框架
子集树：
• 初始状态（根）、中间状态（中间）、结束状态（叶子）。
• 树中从根到叶子的路径描述了一个n元0-1向量，该n元 0-1向量表示集合S的一个子集，这个子集由对应分量 为1的元素组成。如(1,0,1,1,0) 表示子集{x1,x3,x4}
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5.2 回溯法算法框架
17
5.2 回溯法算法框架
深度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成 死结点之前，它一直是扩展结点。
相关主题
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2021
9
8.1.1 问题的解空间
对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如图8.1.1-2所示，树中的 8个叶子结点分别代表该问题的8个可能解。
1 1
2
1
0
0
9
1
0
3
1
0
4
5
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1
0
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1
0
7
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11
12
图8.1.1-2
3
1
0
14 15
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对物品1的选择 对物品2的选择 对物品3的选择
10
8.1.1 问题的解空间
Q
？ 解空间大小： 88 8!
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8
8.1.1 问题的解空间
三、状态空间树：解空间的树结构
问题的解空间一般用解空间树（Solution Space Trees, 也称状态空间树）的方式组织，树的根结点位于第1层， 表示搜索的初始状态，第2层的结点表示对解向量的第一 个分量做出选择后到达的状态，第1层到第2层的边上标出 对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶 子结点的路径（也可能是根节点到任何一个树中结点，但 不含搜索失败的结点），就构成了解空间的一个可能解。
40
45
51
56
61
3 4 2 4 3 2 3 4 1 4 1 32 4 1 4 1 2 3 21 3 1 2
4 6 9 11 14 16 20 22 25 27 30 32 36 38 41 43 46 48 52 54 57 59 62 64
4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1
假设集合Si的大小是mi ，解空间的大小为m=m1m2…mn。
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6
8.1.1 问题的解空间
显式约束条件常见的例子是：
当 xi≥0
即 Si={所有非负实数}
当 xi=0或xi=1
即 Si={0，1}
当 li xi ui 即
Si {a : li a ui}
注意：“解空间”是指满足显式约束条件的元组，并非一般意 义上的解。
隐式约束：规定解空间中那些实际上满足目标约束的向量。
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7
8.1.1 问题的解空间
例 8皇后问题 。
12345678
1
解的表示：X=(x1,x2,…,x8)
2
Q Q
显式约束: xi∈Si ，1≤i≤8， Si={1,2,3,4,5,6,7,8}
3 4Q 5 6Q
Q Q
隐式约束：
7
Q
任何两个皇后不能相互攻击 8
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5
8.1.1 问题的解空间
二、显式约束与隐式约束
用回溯法求解，它的解一般要求满足一组综合约束条件，这些 约束条件分为以下两类：
显式约束：限定每个xi只从一个给定的集合Si上取值。 为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下， 将 其 可 能 解 表 示 为 满 足 某 个 约 束 条 件 的 等 长 向 量 X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n)的取值范围是某个有限集合 Si={ai1, ai2, …, aimi}，所有可能的解向量构成了问题的解空间。
第8章 回溯法
8.1 概 述 8.2 图问题中的回溯法 8.3 组合问题中的回溯法 8.4 实验项目——0/1背包问题
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1
8.1 概 述
8.1.1 问题的解空间 8.1.2 回溯法的设计思想 8.1.3 回溯法的求解过程 8.1.4 回溯法的算法描述 8.1.5 回溯法的时空性能
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8.1.1 问题的解空间
5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
图8.1.1-4 n=4的TSP问题的解空间树
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4 34 2 2 3 4 3 4 13 1 4 24 12 12 3 3 12 1 5 7 10 12 15 17 21 23 26 28 31 33 37 39 42 44 47 49 53 55 58 60 63 65
解向量：由根结点到叶结点的路径所定义
图8.1.1-3 n=4的八皇后问题解空间树
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8.1.1 问题的解空间
对于n=4的TSP问题，其解空间树如图8.1.1-4所示，树中 的24个叶子结点分别代表该问题的24个可能解，例如结点5代 表一个可能解，路径为1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。
1
1
4
2
3
2
18
34
50
Hale Waihona Puke 2 341 341 24
1 23
3
8
13
19 24
29 35
一、解空间概述 复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构成了
问题的解空间。
解空间也就是进行穷举的搜索空间，所以，解空间中 应该包括所有的可能解。
确定正确的解空间很重要，如果没有确定正确的解空 间就开始搜索，可能会增加搜索很多无用解，或者根本 就搜索不到正确的解。
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3
8.1.1 问题的解空间
例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4 个等边三角形。
{ ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) }
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包， 当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
图8.1.1-1 错误的解空间将不能搜索到正确答案
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8.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的解释隐 含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方 式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入背包 时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分量i，当n=3 时，其解空间是：
4皇后问题的解空间树
1
2
18
1
2
3
4 34
2 34
1 34
1 24
50 1 23
3
8
13
19
24
29 35
40
45
51
56
61
3 4 2 4 3 2 3 4 1 4 1 32 4 1 4 1 2 3 21 3 1 2
4 6 9 11 14 16 20 22 25 27 30 32 36 38 41 43 46 48 52 54 57 59 62 64