有关直线与圆的几个典型例题

有关直线与圆的几个典型例题

本节内容在高考题中通常是通过选择题、填空题进行考查，在解答题中往往是出现在第（1）小题中，考查的热点是求直线的方程，两直线平行、垂直的关系，关于直线的对称问题，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系等。要熟练掌握求直线方程的方法，注意根据已知条件灵活选择方程形式；在解决圆的有关问题时，要注意圆的几何性质的应用。

例1：在ΔABC中，已知顶点A(3,-1),过点B的内角平分线所在直线的方程为x-4y+10=0，过点C的中线所在直线的方程为

6x+10y-59=0，求顶点B的坐标及BC边的方程。

解：设B点坐标为(x,y),则AB的中点E的坐标为()，因E在直线6x+10y-59=0上，

∴6·+10·-59=0，整理得3x+5y-55=0。

又过点B的内角平分线所在直线方程为x-4y+10=0。

解方程组得

∴B点坐标为(10,5)。

设BC边所在直线斜率为k, AB边所在直线斜率k AB=，角B平分线的斜率为。

则，∴k=-。

∴BC边所在直线方程为2x+9y-65=0。

评注：本题是关于求直线方程的例题。

例2：已知过点A(1,1)，且斜率为-m(m>0)的直线l与x,y轴分别交于P、Q点，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足分别为R，S，

求四边形PRSQ的面积的最小值。

解：设直线l的方程为y-1=-m(x-1)，则P、Q的坐标分别为(1+,0), (0,1+m)。

∴PR所在直线方程为y=(x-), 即x-2y-=0，QS所在直线方程为y=x+m+1, 即x-2y+2(m+1)=0。

又|PR|=，|QS|=，

∴四边形PRSQ的面积为

∵m>0, ∴m+≥2,

∴当m=1时，S min=3.6。

故四边形PRSQ面积的最小值为3.6。

评注：本题是关于直线的平行、垂直问题的例题

例3：根据下列条件求圆的方程：

（1）圆心在直线l1：5x-3y=0上，并且圆与直线l2：x-6y-10=0

相切于点P(4,-1)；

（2）圆过点P(-2,4)，Q(3,-1)，并且在x轴上截得的弦长等于6；

（3）圆心在曲线y2=-18x上，并且既与y轴相切又与圆

(x+2)2+(y-3)2=1外切。

解：（1）设圆心为C(3t,5t),

∵PC⊥l2，∴k PC·=-1，即=-1，则t=1，

∴圆心C(3,5)，又圆半径r=|PC|=，

故所求圆的方程为(x-3)2+(y-5)2=37。

（2）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，

将P、Q的坐标分别代入，得

又令y=0，得x2+Dx+F=0。

由已知|x1-x2|=6 (x1, x2为方程两根)，

∴D2-4F=36 (3)

由(1),(2),(3)解得D=-2, E=-4, F=-8或D=-6, E=-8, F=0。

故所求圆的方程为：x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0。

（3）设圆心C(a,b)，由题意知r=|a|，且

显然a<0, 解得a=-, b=3或a=-2, b=6，

故所求圆的方程为：(x+)2+(y-3)2=或(x+2)2+(y-6)2=4。

评注：求圆的方程应注意依据所给条件，恰当选择方程形式，用待定系数法求解。

例4：已知圆C：x2+(y-1)2=5, 直线l：mx-y+1-m=0。

（1）求证：对m∈R,直线l与圆C总有两个不同的交点；

（2）设l与圆C交于A、B两点，若|AB|=，求l的倾斜角

大小；

（3）求弦AB的中点M的轨迹方程；

（4）若定点P(1,1)分弦AB为，求此时直线l的方程。

解：（1）证法1：由已知l：y-1=m(x-1),

∴直线l恒过定点P(1,1)，又圆C的圆心为(0,1),

∵(1-0)2+(1-1)2=1<5，

∴P在圆C内，则直线l与圆C总有二个不同交点。

证法2：圆心C(0,1)到直线l的距离d=<1<

对m∈R成立，

∴对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。

证法3：将y-1=m(x-1)代入圆C方程，消去y,得

(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0 (1)

Δ=16m2+20>0恒成立，

∴对m∈R，l与圆C总有二个不同的交点。

评注：判断直线与圆相交，一般有以下三种方法：

①直线过圆内一定点；

②圆心到直线的距离小于半径；

③直线与圆的方程组成的方程组有二个不等实根。

（2）解法1：设A(x1,y1), B(x2,y2), 则x1,x2为方程(1)的两实根，∴|AB|=|x1-x2|=·，

则·=，∴m=±，

∴l的倾斜角为α=或。

解法2：∵|AB|=2，∴=5-d2,

∴d2=, 则，∴m=±，

∴l的倾斜角为α=或。

评注：求圆的弦长一般有两种方法：

（1）用两点间距离公式求；

（2）利用圆中半径、弦心距、弦长间的关系求。即半径2=弦心距2+半弦2。

（3）∵CM⊥MP，∴M点轨迹是以CP为直径的圆，圆心为(,1)，

半径为r=,

∴M点轨迹方程为：(x-)2+(y-1)2=。

评注：求弦中点轨迹方法很多，本题是利用圆的几何性质求解，较为简单。

（4）∵，由定比分点公式，有1=，

∴x1+x2=, 同理有y1+y2=。

∴x1=-x2, y1=-y2,

∵A、B均在圆x2+(y-1)2=5上，

∴

消去y2, 得(3-x2)2-x22=15, ∴x2=-1, 则x1=2,

∴y2=3或-1，y1=0或2, ∴m=1或-1。

则直线l的方程为：x-y=0或x+y-2=0。

例5：设圆满足：(1)截y轴所得弦长为2；(2)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件(1), (2)的所有圆中，求圆心到直线l：x-2y=0的距离最小的圆的方程。

解：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|, |a|。

由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，则圆P被x 轴所截得的弦长为r，

故|b|=r，即r2=2b2。

又圆P截y轴所得弦长为2，所以a2+1=r2。