第四讲：不定积分定积分与广义积分

第四讲：不定积分定积分与广义积分

一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分）

1.若()f x 的导函数是sinx ，则()f x 的一个原函数为 （ B ） A ．1+sinx B ．1-sinx C ．1+cosx D ．1-cosx

()sin ()sin cos (cos )sin f x x

f x xdx x C

x C dx x Cx C '===-+'

-+=-++⎰⎰

对照答案，只有B 是符合的，此时0,1C C '==

2.设()()()

302lim

x

h f x h f x e f x h

-→--=是的一个原函数，则 （ A ） A ．-183x

e

- B ．183x

e

- C ．-33x

e

- D ．93x

e

-

()()()()333003()()3()922lim 2lim 22()18x x x

h h x

f x e e f x e f x h f x f x h f x h h f x e ---→→-'==-'=----=--'=-=-

3.设()f x 在[0，4]连续，且有

(

)()22

1

2x f t dt x f -==⎰

（ D ）

A ．-4

B ．4

C ．—

14 D ．14

(

)(2

21

22(2)1

x f t dt x xf x -''

⎛⎫= ⎪⎝⎭

-=⎰ 令2x =，得4(2)1f =，所以1(2)4

f =

注：这题给的条件是在[0，4]连续，所以不能取2x =-，因为它不在所给的范围内

4. ()()'2ln ,x

f x f x e dx x

-==⎰则 （ A ） A ．

21c x + B ．ln x c -+ C ．

2

1

c x -+ D ．ln x c +

()

()2

''2ln ln 2ln ln (ln )(ln )x x f x dx f x d x f x C

x

e C e C x C

---==+=+=+=+⎰

⎰ 5.设()sin x

f x x 是的一个原函数，则()'2

xf x dx ππ=⎰ （ C ） A ．

14π- B ．41π+ C ．41π- D ．14

π+ ()()()2

'2

2

2

2

2

2

2

sin cos sin ()[()]

()cos sin sin cos 2sin 4

1

x x x x

f x x x xf x dx xd f x xf x f x dx

x x x

x x

x

x x x

x ππ

π

ππ

ππππππππππ

-'==

==--=-

-==

-⎰⎰⎰

6.

2

2

(x --=⎰

（ B ）

A ．0

B ．6π-

C ．12π-

D ．6π

22

2

2

2

2

02

0(3616(2arc 1arcsin 22sin )622a x x x x C a

π

----=-=-=-=-+=⎰

⎰⎰

⎰ 6424二填空题 （本大题共小题，每小题分，满分分）

7⎰设sin2x 是f(x)的一个原函数，则xf(x)dx= C x x x ++2cos 2

1

2sin

()(sin 2)2cos 2()2cos 2[sin 2]sin 2sin 211sin 2sin 22sin 2cos 222

f x x x

xf x dx x xdx

xd x x x xdx

x x xd x x x x C '=====-=-

=++⎰⎰⎰⎰⎰

⎰=8 )1(2-x e x

t =

2

2'0

9()(1)(9)x f t dt x x f ⎰=+=若则

4

1

()

22

0222

2()(1)2()323

()1

23

2()2

x f t dt x x xf x x x f x x xf x ''⎡⎤⎰=+⎣⎦=+=+'=

令3x =，得36(9)2f '=

，所以1(9)4

f '= 注：本题积分上下限是在一个正数的范围内取值的2(0,)x ，所以不能取3x =-

12008

212

110.()1x x

ln f x dx x --==+⎰设f(x)则 0

提示：这里1()1x

g x ln

x

-=+实际上是一个奇函数，因为 1111()ln()ln ()111x x x

g x ln g x x x x

-+---===-=--++

1

11x xe dx +∞-=⎰

e

2

1

1

1

1

11()

()

1()12x

x x x x

x xe dx xd e xe

e dx e d x e e e e

+∞

+∞

--+∞

-+∞

-+∞--+∞=-=--=--=-=⎰

⎰

⎰⎰

注：由于是填空题，所以可以这样简单的计算，如果是计算题，这种格式是不正确的！