理论力学：动量矩定理

பைடு நூலகம்
y’
2020/12/9
Fe maA aA mg
B
A
FN 1
F1
FN 2
x’
F2
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理论力学
§6-2 动量矩定理
例：滑块A可在光滑水平面上滑动，为使AB杆以匀角速度 绕
铰链A转动，求作用在AB杆上的力偶M。设：m1 m2 m, AB L
y
FN
解：1、取滑块A和小球B为研究对象
2、受力分析与运动分析
m1 m2
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理论力学
§6-2 动量矩定理
y FAy
A
o
FAx aA xA x
3、研究AB杆和小球B，受力分析 4、应用相对动轴A的动量矩定理
dLrA
dt
n
M A (Fi(e) )
i1
rAC (maA )
A
M
杆相对A轴的动量矩
LrA m2L2
B m2xA 外力对A轴之矩
问题：若滑块不脱离地面，试确定AB杆的最大角速度。
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理论力学
§6-2 动量矩定理
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理论力学
§6-2 动量矩定理
思考题：图示系统中，系统结 构不同，求解方法是否相同？
m1 A
M
m1 A
M
m2
B
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m1 A
M
m2
R
m3 B
m2 B
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理论力学
§6-2 动量矩定理
mg
B
AB L
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§6-2 动量矩定理
L
3(g 2
aA ) sin
0
L 3g sin 0
2
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理论力学
§6-2 动量矩定理
如果框架的运动规律为：yA L sin t
L
3(g 2
aA ) sin
0
A
L 3 (g 2Lsin t)sin 0
2
C
aA mg
B
AB L
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理论力学
上节课的主要内容
质点系对O点的动量矩 平移刚体对O点的动量矩
n
LO (ri mivi )
i1
LO rC mv
质点系对惯性参考系中固定点O（或固定轴z）的动量矩定理
dLO
dt
n i1
MO (Fi(e) )
dLz
dt
n
M z (Fi(e) )
i1
质点系相对动点A的动量矩
n
LrA (ri 'mivir )
（3）质点系相对动点A的动量矩定理(公式)的讨论
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) ) rAC (ma A )
(1) : aA 0 (2) : rAC // aA (3) : rAC 0
（4）相对质心的动量矩定理
dLrC
dt
n i 1
MC (Fi(e) )
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) )
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理论力学
实验现象的定性分析
实验1: 手放开后飞机加速运动 实验2: 手放开后飞机减速运动
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理论力学
实验现象的定性分析
dLrAz'
dt
n
M A (Fi(e) )
i1
rA'C (Fe )
z'
mgxc' FN xB' Fe yC' 0;当（ mgxc' Fe yC'） 0
M A M m2 gLsin
m2 g
牵连惯性力对A轴之矩
M
I A
m2xAL cos
xA
m2L 2 sin
m1 m2
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0 M m2gLsin m2xAL cos
M M ( )
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理论力学
§6-2 动量矩定理
问题：如何求地面的约束力？设： m1 m2 m, AB L,
1、取滑块A和小球B为研究对象
y
FN
2、受力分析与运动分析
A
aA
x
n
m1aA m2aB Fi(e)
o
m1g aBr
M
aB aA aBr i1
m1aA m2 (aA aBr ) FN m1g m2 g
B
m2 g
y : m10 m2aBr cos FN (m1 m2 )g FN (m1 m2 )g m2L 2 cos
i1
对定点O与对动点C 动量矩的关系 LO rC mvC LrC
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理论力学
演示实验１
问题的引出
演示实验２
问题：如何分析模型飞机抬头的原因？
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理论力学
问题：机器人骑自行车 是如何维持平衡的？
问题的引出
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理论力学
§6-2 动量矩定理
（2）质点系相对运动点A的动量矩定理
dt
n i1
M A (Fi(e) ) rAC
(maA)
（1）
LrA : 质点系相对动点A的动量矩
n
M A (Fi(e) ) 作用于质点系上的外力对A点之矩的矢量和
i1
rAC (maA )
表示质点系的牵连惯性力（作用在质心C）对A点之矩
将方程（1）在过动点A的轴z上投影可得质点系相对动轴的动量矩定理
动系平移
dLrA n d(ri 'mivir ) ?
dt
i1
dt
•ri ' xi 'i ' yi ' j ' zi 'k '
Fei
z
mi air
F (e) Ri
F (i) Ri
Fei
F (e) Ri
: 作用在第i个质点上外力的合力
x
o
vri z'
mi
ri ' A
y'
x' aA
y
F (i) Ri
A
vA x
o
系统的动量： m1vA m2 (vA vBr )
m1g
不计杆的质量
M
v Br
B
水平方向动量守恒
m1xA m2 (xA L cos ) C m1xA m2 (xA L 2 sin ) 0
m2 g
dLrA
dt
n i1
M A (Fi(e) ) rAC
(maA )
xA
m2L 2 sin
dLrAz dt
n
M Az (Fi(e) )
i1
rAC (maA )
z
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理论力学
§6-2 动量矩定理
例：均质杆AB悬挂在加速上升的框架上，求杆的运动微分方程
解：取杆为研究对象，受力分析与运动分析
FAx FAy
A
FI
C
aA mg
B
AB L
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dLrA
dt
n
M A (Fi(e) )
i1
rAC (maA )
z
杆相对A轴的动量矩
LrA
1 mL2
3
外力对A轴之矩 惯性力对A轴之矩
M
A
1 2
mgLsin
M
I A
1 2
maAL sin
1 3
mL2L
1223m( ggLsainA
) sin12 ma0A
L
sin
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理论力学
如果框架匀速直线平移
A
C
aA 0
:
作用在第i个质点上内力的合力
Fei : 第i个质点的牵连惯性力
•r'i vir •vir air
•Fei miaA
dLrA
dt
(ri' miair )
(ri'
F (e) Ri
)
(ri'
F (i) Ri
)
(ri' Fei )
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理论力学
§6-2 动量矩定理
dLrA