第9章 弯曲应力与弯曲变形综述

Engineering Mechanics

（第3版）

普通高等教育“十一五”国家级规划教材

高等教育出版社

第9章弯曲应力与弯曲变形

9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力

9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力

9.3 弯曲切应力简介

9.4 弯曲变形的概念

9.5 梁的挠曲线近似微分方程

9.6 用积分法求弯曲变形

9.7 用叠加法求弯曲变形

9.8 梁的刚度校核

9.9 提高梁强度和刚度的措施

小结

思考题

第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲

前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的

合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。

梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。

图9 – 1

y

a a

F

F B

x

z

A C (a)

D x

F S

F

F

(c)

a a

F F

B C

D (b)

A F A F B

(d)

Fa

M

x

9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力

研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。

1. 变形几何关系

取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、

反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m

n

n

(a) (b)

m

m n

n

y ρ M e

M e O'

O' b'

b'

a' a' d θy

y

z b'

中性轴

中性层

对称轴

(c)

图9 – 2

b'

a a ''

b b ''可观察到：

（1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。

设想梁由无数纵向线段组成，所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩，相互之间无挤压。弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长，由变形的连续性可知，其间必有一层线段长度不变，称该层为中性层。中性层和横截面的交线，称为中性轴（图9 – 2c ），变形时横截面绕其中性轴转动。

y

y

z b'

中性轴

中性层

纵向对称轴

(c)

图9 – 2

b'

在对称弯曲的情况下，梁的变形对称于纵向对称面。因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。用横截面m -m 和n -n 从梁中切出长为d x 的微段（图9-2b ）。设截面m -m 与n -n 之间的相对转角为d θ，中性层 的曲率半径为ρ。取轴y 和z 轴分别沿横截面的对称轴和中性轴（图9 – 2c ）。距中性层为y 处的纵向线段bb 原长为d x ，它等于ρd θ，变形后 弧线的长度为（ρ+y ）d θ。纵向线段bb 的线应变为

o o ''b b ''

()d d d y y

ρθρθερθ

ρ

+-=

=

（a ）

对于确定截面ρ是常量，可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离 y 成正比。

(b)

m

m n

n

y ρ

M e

M e O'

O' b'

b'

a' a' d θ

①参阅刘鸿文. 简明材料力学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2008.

2

z z I I a A

'=+z I 'z '

——截面对于与 z 轴平行的任一轴 （9 – 6）

的惯性矩；

a ——该两轴之间的距离；

A ——截面的面积。

由平行轴定理可知，在所有平行轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。

其中I z ——截面对于其形心轴z 的惯性矩；

另外，同一截面对于两相互平行的轴的惯性矩并不相同。当其中一轴是截面的形心轴时，它们之间的关系由惯性矩的平行轴定理①给出，即

9.8 梁的刚度校核 梁的刚度条件为

max w []

w ≤ （9 –22） max θ[]

θ≤ （9 – 23）

式中 为构件的许用挠度， 为构件的许用转角。对于各类受弯构件， 与 通常可从工程手册中查到。 []w []θ[]θ[]w 9.9 提高梁强度和刚度的措施

由前所述，梁的弯曲强度与梁的最大弯矩M max 、抗弯截面系数W 有关。而梁的变形则与截面上的弯矩M （x ），梁的抗弯刚度EI 和约束条件等因素有关。 下面介绍几种提高梁的强度和刚度的常用措施。