第9章 弯曲应力与弯曲变形综述

Engineering Mechanics
（第3版）
普通高等教育“十一五”国家级规划教材
高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形
9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力
9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力
9.3 弯曲切应力简介
9.4 弯曲变形的概念
9.5 梁的挠曲线近似微分方程
9.6 用积分法求弯曲变形
9.7 用叠加法求弯曲变形
9.8 梁的刚度校核
9.9 提高梁强度和刚度的措施
小结
思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲
前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。

但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。

剪力和弯矩是横截面上分布内力的
合成结果。

切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。

梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。

而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。

例如，图9 - 1a 所示简支梁。

由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。

图9 – 1
y
a a
F
F B
x
z
A C (a)
D x
F S
F
F
(c)
a a
F F
B C
D (b)
A F A F B
(d)
Fa
M
x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力
研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。

由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。

这就是弯曲变形的平面假设。

1. 变形几何关系
取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。

然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、
反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。

a a b b m m
n
n
(a) (b)
m
m n
n
y ρ M e
M e O'
O' b'
b'
a' a' d θy
y
z b'
中性轴
中性层
对称轴
(c)
图9 – 2
b'
a a ''
b b ''可观察到：
（1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。

（2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。

设想梁由无数纵向线段组成，所有纵向线段只受到轴向拉伸或压缩，相互之间无挤压。

弯曲变形后上侧线段缩短、下侧线段伸长，由变形的连续性可知，其间必有一层线段长度不变，称该层为中性层。

中性层和横截面的交线，称为中性轴（图9 – 2c ），变形时横截面绕其中性轴转动。

y
y
z b'
中性轴
中性层
纵向对称轴
(c)
图9 – 2
b'
在对称弯曲的情况下，梁的变形对称于纵向对称面。

因而中性轴必垂直于横截面内的纵向对称轴。

用横截面m -m 和n -n 从梁中切出长为d x 的微段（图9-2b ）。

设截面m -m 与n -n 之间的相对转角为d θ，中性层 的曲率半径为ρ。

取轴y 和z 轴分别沿横截面的对称轴和中性轴（图9 – 2c ）。

距中性层为y 处的纵向线段bb 原长为d x ，它等于ρd θ，变形后 弧线的长度为（ρ+y ）d θ。

纵向线段bb 的线应变为
o o ''b b ''
()d d d y y
ρθρθερθ
ρ
+-=
=
（a ）
对于确定截面ρ是常量，可见各纵向线段的应变与它到中性轴的距离 y 成正比。

(b)
m
m n
n
y ρ
M e
M e O'
O' b'
b'
a' a' d θ
①参阅刘鸿文. 简明材料力学（第2版）. 北京：高等教育出版社，2008.
2
z z I I a A
'=+z I 'z '
——截面对于与 z 轴平行的任一轴 （9 – 6）
的惯性矩；
a ——该两轴之间的距离；
A ——截面的面积。

由平行轴定理可知，在所有平行轴中，图形对形心轴的惯性矩为最小。

其中I z ——截面对于其形心轴z 的惯性矩；
另外，同一截面对于两相互平行的轴的惯性矩并不相同。

当其中一轴是截面的形心轴时，它们之间的关系由惯性矩的平行轴定理①给出，即
9.8 梁的刚度校核 梁的刚度条件为
max w []
w ≤ （9 –22） max θ[]
θ≤ （9 – 23）
式中 为构件的许用挠度， 为构件的许用转角。

对于各类受弯构件， 与 通常可从工程手册中查到。

[]w []θ[]θ[]w 9.9 提高梁强度和刚度的措施
由前所述，梁的弯曲强度与梁的最大弯矩M max 、抗弯截面系数W 有关。

而梁的变形则与截面上的弯矩M （x ），梁的抗弯刚度EI 和约束条件等因素有关。

下面介绍几种提高梁的强度和刚度的常用措施。

表9–1 梁在简单载荷作用下的变形
续表1
续表2
续表3。