2019高考数学常考题型专题04数列问题文

专题04 数列问题

1．（2018新课标全国Ⅱ文科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）求n S ，并求n S 的最小值．

【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．

所以{a n }的通项公式为a n =2n –9．

（2）由（1）得S n =n 2

–8n =（n –4）2

–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．

2．（2018新课标全国I 文科）已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n

n a b n

=． （1）求123b b b ，

，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 【解析】（1）由条件可得a n +1=

2(1)

n n a n

+． 将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12． 从而b 1=1，b 2=2，b 3=4．

【名师点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是

等比数列，根据等比数列通项公式求得数列的通项公式，借助于的通项公式求得数列的通项公式，从而求得最后的结果.

3．（2018新课标全国Ⅲ文科）等比数列{}n a中，153

14

a a a

==

，．

（1）求{}n a的通项公式；

（2）记n S为{}n a的前n项和．若63

m

S=，求m．

4．（2017新课标全国Ⅰ文科）记S n为等比数列{}n a的前n项和，已知S2=2，S3=−6．

（1）求{}n a的通项公式；

（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．

【解析】（1）设{}

n

a的公比为q．

由题设可得1

2

1

(1)2,

(1) 6.

a q

a q q

+=

⎧

⎨

++=-

⎩

解得2

q=-，

1

2

a=-．

故{}

n

a的通项公式为(2)n

n

a=-．

（2）由（1）可得

1

1

(1)22

()

133

1

n n

n

n

a q

S

q

+

-

==-

-+

-

．

由于

321

21

42222

()2[()]2

3

1

33

1

3

n n n

n n

n n n

S S S

+++

++

-

+=-

-++=

-=-，

故

1

n

S

+

，

n

S，

2

n

S

+

成等差数列．

1．等差数列、等比数列一直是高考的热点，尤其是等差数列和等比数列的通项公式、性质、前n项和等为考查的重点，有时会将等差数列和等比数列的通项、前n项和及性质综合进行考查.

2．在高考中常出两道客观题或一道解答题，若是以客观题的形式出现，一般一道考查数列的定义、性质或求和的简单题，另一道则是结合其他知识，考查递推数列等的中等难度的题.若在解答题中出现，则一般结合等差数列和等比数列考查数列的通项，前n项和等知识，难度中等.

指点1：等差数列及其前n项和

1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前n项和法，即根据前n项和

n

S与

n

a的关系求解.

2．等差数列前n项和公式的应用方法：

根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用

1

(1)

=

2

n

n n

S na d

-

+；若已知通项公式，则使用1

()

=

2

n

n

n a a

S

+

，同时注意与性质“12132

n n n

a a a a a a

--

+=+=+=”的结合使用.

【例1】已知等差数列{}

n

a满足

9

117

S=，

7

19

a=，数列{}

n

b满足1

1

2

n

i

i

i

b n

-

=

=

∑.

（1）求数列{}

n

a、{}

n

b的通项公式；

（2）求数列

1

1

{}

n

n n

b

a a

+

+的前n项和.

【解析】（1）依题意，

9

117

S=，即

5

9117

a=，所以

5

13

a=，则753

2

a a

d

-

==，

故

7

(7)19(7)332

n

a a n d n n

=+-=+-⨯=-.

因为1

1

2

n

i

i

i

b n

-

=

=

∑，所以1

123

242n

n

b b b b n

-

+++⋅⋅⋅+=①，

当2

n≥时，2

1231

2421

n

n

b b b b n

-

-

+++⋅⋅⋅+=-②，

①-②得1

21

n

n

b

-=，即

1

1

2

n n

b

-

=.

当1

n=时，

1

1

b=满足上式.