4.函数的拐点问题

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4．函数的拐点问题
1．若关于 x 的不等式(x－1)(x －bx－2)≥0 对一切 x∈(0，＋∞)成立，则实数 a 的取值集合为_______ {－1} ． 解法一：当 x＝1 时 ， b∈R； 2 当 x＞1 时 ， x2－bx－2≥0，即 b≤x－ ． x 2 因 为 函 数 f ( x ) ＝ x－ 在 (0 ， ＋ ∞ ) 上 是 单 调 增 函 数 ， 所 以 ， x 当 x＞1 时 ， b≤f (1) ＝ － 1 ； 2 当 0 ＜ x＜1 时 ， x2－bx－2≤0，即 b≥x－ ， 所 以 ， b≥f (1) ＝ － 1 ； x 综上，b＝ －1． 解法二：函数 y＝x－1 与函数 y＝x2－bx－2 图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 x 轴的同侧， 所以函数 y＝x2－bx－2 的图象经过函数 y＝x－1 图象与 x 轴的交点(1，0)， 所以 1－b－2＝0，解得 b＝ －1． 此时，原不等式为(x－1)(x2＋x－2)≥0，即(x－1)2(x＋2)≥0， 满足对一切 x∈(0，＋∞)成立． 所以 b＝ －1． 解法三：当 x＝1 时，b ∈R； 2 当 x＞0 ， 且 x≠1 时 ， 不等式(x－1)(x2－bx－2)≥0，即(x－1)( x－ －b)≥0． x 2 所以，函数 y＝x－1 与 y＝x－ －b 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在 x 轴的同侧． x 由 1－2 －b＝0，得 b＝－1． 综上，b＝ －1． 解法四：因为函数 x2－bx－2 的判别式△＝b2＋8＞0，所以存在 x1，x2∈R(其中 x1＜x2)，使 得 x2－bx－2＝(x－x1)(x－x2)． 若 x1，x2 都不为 1，则(x－1)(x－x1)(x－x2)在 x＝1 的两侧函数值异号，不满足条件， 所以 x1，x2 中有一个为 1，所以 b＝ －1． 此时(x－1)(x2－bx－2)＝(x－1)2(x＋2)≥0，满足条件． 3 2．如果关于 x 的不等式(a|x|－1)(x2－a|x|－2)≥0 对一切的 x∈R 成立，那么实数 a 的取值集合为_______ { } ． 3 解法一：显然 a＞0． 1 2 1 3 当 | x|≥ 时 ， a≤|x|－ 恒成立， 即 a≤ －2 a ， 得 0 ＜ a≤ ； a |x| a 3 1 2 1 3 当 | x|≤ 时 ， a≥|x|－ 恒成立， 即 a≥ －2 a ， 得 a≥ ． a |x| a 3 3 综上，a＝ ． 3 解法二：函数 y＝1 与函数 y＝x2－2 图象在 函 数 y＝a| x|图象的同侧，即函数 y＝a| x|的图象经过函数 y＝1 3 与 y＝x2－2 图象的交点．x2－2＝1，得 x＝± 3，所以 a＝ ． 3 解法三：当|x|＝0 时，a ∈R； 1 2 当|x|≠0 时，(a－ )(a－|x|＋ )≤0． |x| |x| 1 2 令 t＝|x|，即函数 y＝ 与 y＝t－ 的图象在第一象限的部分横坐标相同的点始终在直线 y＝a 的同侧． t t 1 2 3 由 ＝t－ ，得 t＝ 3，故 a＝ ． t t 3 1 3．设函数 f(x)＝ m(x－1)2－2x＋3＋lnx，m＞0．在平面直角坐标系 xOy 中，若曲线 y＝f(x)在点 P(1，1)处 2 的切线 l 与该曲线有且只有一个公共点，求 m 的值． 1 1 解 由 f(x)＝ m(x－1)2－2x＋3＋lnx，得 f'(x)＝mx－m－2＋ ，x＞0，所以 f'(1)＝－1， 2 x
则
F(x0)＝0，且 1 3 2 1 3 2 1 2 2 1 4 F'(x)＝f'(x)－g'(x)＝－ x＋ － －(－ x0＋ － )＝－ (x－x0)－( － )＝－ (x－x0)(x－ )． 2 4 x 2 4 x0 2 x x0 2x x0 4 4 若 0＜x0＜2，则 ＞x0，所以函数 F(x)在区间[x0， ]上单调递增， x0 x0 4 F(x) 从而，在区间(x0， ]上，有 F(x)＞F(x0)＝0，所以 ＞0． x0 x－x0 因此，函数 y＝f(x)在区间(0，2)和上不存在“拐点” ； 4 4 若 x0＞2，则 0＜ ＜x0，所以函数 F(x)在区间[ ，x0]上单调递增， x0 x0 4 F(x) 从而，在区间[ ，x0)上，有 F(x)＜F(x0)＝0，所以 ＞0． x0 x－x0 因此，函数 y＝f(x)在区间(2，＋∞)上不存在“拐点” ．„„„„„„13 分 (x－2)2 若 x0＝2，则 F'(x)＝－ ≤0，所以函数 F(x)在区间(0，＋∞)上单调递减． 2x F(x) F(x) 所以，当 x＞2 时，F(x)＜F(2)＝0，从而 ＜0；当 0＜x＜2 时，F(x)＞F(2)＝0，从而 ＜0． x－2 x－2 因此，x＝2 为函数 y＝f(x)的“拐点” ． 综上，函数 y＝f(x)存在存在唯一的“拐点”2．
2
所以曲线 y＝f(x)在点 P(1，1)处的切线 l 的方程为 y＝－x＋2．„„„„„„„„ 6 分 曲线 y＝f(x)在点 P(1，1)处的切线 l 与该曲线有且只有一个公共点，即关于 x 的方程 f(x)＝－x＋2 有且 1 仅有唯一解，即关于 x 的方程 m(x－1)2－x＋1＋lnx＝0 有且仅有唯一解． 2 1 令 g(x)＝ m(x－1)2－x＋1＋lnx，则 2 2 1 mx －(m＋1)x＋1 (x－1)(mx－1) g'(x)＝m(x－1)－1＋ ＝ ＝ ，x＞0． „„„„„ 8 分 x x x 1 因为 m＞0，所以，当 x＝1 或 时，g'(x)＝0． m ①若 0＜m＜1，则 1 1 当 0＜x＜1 或 x＞ 时，g'(x)＞0；当 1＜x＜ 时，g'(x)＜0， m m 1 1 所以函数 g(x)在区间(0，1]和[ ，＋∞)上为增函数，在区间[1， ]上为减函数． m m 1 因为 g(1)＝0，所以 g( )＜0． m 2 1 1 又当 x＞1＋ 时， m(x－1)2－x＋1＝ (x－1)[m(x－1)－2]＞0，lnx＞0，从而 g(x)＞0，所以曲线 y＝g(x) m 2 2 与 x 轴有两个公共点，不满足题意． ②若 m＝1，则 g'(x)≥0，当且仅当 x＝1 时，g'(x)＝0，所以 g(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，且 g(1) ＝0，满足题意． ③若 m＞1，则 1 1 当 0＜x＜ 或 x＞1 时，g'(x)＞0；当 ＜x＜1 时，g'(x)＜0， m m 1 1 所以函数 g(x)在区间(0， ]和[1，＋∞)上均为增函数，在区间[ ，1]上为减函数． m m 1 因为 g(1)＝0，所以 g( )＞0． m 1 1 1 1 1 1 － m－1 又当 0＜x＜min{ ，e 2 }时， m(x－1)2－x＋1＜ m(x－1)2＋1＜1＋ m，且 lnx＜－ m－1，从而 m 2 2 2 2 g(x)＜0，所以曲线 y＝g(x)与 x 轴有两个公共点，不满足题意． 综上，实数 m 的值为 m＝1． 4．定义：对于定义在集合 D 上的函数 y＝f(x)，设其在在平面直角坐标系 xOy 中的图象在 x＝x0 处的切线 f(x)－g(x) 方程为 l:y＝g(x)，当 x∈D，且 x≠x0 时，若 ＜0 恒成立，则称 x0 为函数 y＝f(x)的“拐点”． x－x0 1 3 设函数 f(x)＝－ x2＋ x－2lnx，试问函数 y＝f(x)是否存在“拐点”?若存在，请求出 “拐点”；若不 4 4 存在，说明理由． 1 3 1 3 2 解 由 f(x)＝－ x2＋ x－2lnx，得 f'(x)＝－ x＋ － ，x＞0． 4 4 2 4 x 设函数 y＝f(x)存在“拐点”x0，则 x0＞0． 1 3 2 1 3 因为 f'(x0)＝－ x0＋ － ，f(x0)＝－ x2 ＋ x －2lnx0，所以，函数 y＝f(x)图象在点 x＝x0 处的切线方程 2 4 x0 4 0 4 0 为 1 3 2 1 3 y＝(－ x0＋ － )(x－x0)－ x2 ＋ x －2lnx0，x0＞0． 2 4 x0 4 0 4 0 1 3 2 1 3 令 g(x)＝(－ x0＋ － )(x－x0)－ x02＋ x0－2lnx0，x0＞0， 2 4 x0 4 4 F(x)＝f(x)－g(x)，x＞0，