几种常见的二次曲面

a=b 时，成为旋转抛物面。
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(0,0,0) y
2、 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2 a2 b2 z
z
o
x
y
z xy 也是双曲抛物面。
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八、一般的二次曲面
在研究一般的二次曲面时，要利用坐标变换将其方程变为标准方程。 1、坐标系的平移
k0 k0 k0
z
xo
y
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2、双叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
0
或者
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
xzΒιβλιοθήκη o xy当 a=c 时为旋转双叶双曲面。
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七、抛物面
1、 椭圆抛物面
x2 a2
y2 b2
z
z
x
x y z a b
旋转单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 1
旋转双叶双曲面
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例5
x2 y2 z2 1 是怎样形成的？
4 94
解：是由
x y xoy :
绕 y 轴转成
或 yoz : z2 y2 1 绕 y 轴转成 49
z
思考：方程 表示怎样的曲面？
x2
y2
R2
z
1、怎样形成？ 2、什么曲面？
解： 母线平行于 y 轴，准线为 xoz 面上的曲线（抛物线） 的抛物柱面。
x z
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G(x, z)
z
x z
xo
y
3）一般地，只含 y, z 而缺 x 的方程 H(y, z)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 x 轴的柱面，其准线为 yoz 面上的曲线
H( y, z)
2、练习题: 下列方程在平面、空间直角坐标系中各表示什么图形，并画出其草图。
) x
z
o y
x
x2
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) y x
z
o
x
y
y x1
6
) x z
z
x2 y2 4
o y
x
三、锥面
z
椭圆锥面：
x2 y2 z2 a2 b2 c2 0
y o x
曲面与平面 z = t 相交，得截痕为不同高度、不同大小的椭圆：
点M到 z 轴的距离
d x y y , 将z z1,
y x y 代入 f ( y, z) 得 f ( x y , z)
z
d M1(0, y1,z1)
M
f ( y,z) 0
此即为所求旋转曲面的方程。
o
y
x
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注：求旋转曲面的方程的技巧：
在曲线C 的方程
叫做柱面。
动直线L叫做柱面的母线，
L
定曲线C叫做柱面的准线。
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C
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1）一般地，只含 x, y 而缺 z 的方程 F(x, y)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 z 轴的柱面，其准线为 xoy 面上的曲线
F(x, y)
例1、 x y 表示R怎样的曲面？
解： 母线平行于 z 轴，准线为 xoy 面上的
x2 y2 t2 a2 b2 c2
特殊情形：当 a = b 时，此时为圆锥面。
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四、旋转曲面
1 、定义：以一条平面曲线绕该平面 上的一条直线旋转一周所成的曲面叫 做旋转曲面。这条直线叫做旋转曲面 的轴。旋转的曲线称为母线。
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2、 旋转曲面方程的求法 ：
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思考判断题
指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示 什么图形？
() y ;
() x y ;
() y x ; () x y .
作业： P40. 1（1）、8（2、3）
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例4 xoy 面上的椭圆 绕 x 轴转得曲面： 绕 y 轴转得曲面：
zox 面上的双曲线 绕 z 轴转得曲面： 绕 x 轴转得曲面：
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x2 y2 a2 b2 1
x2 y2 z2 a2 b2 1
旋转椭球面
x2 z2 y2 a2 b2 1
旋转椭球面
x2 z2 a2 b2 1
圆锥面的顶点，两直线的夹角 ( ) 叫圆
锥面的半顶角．试建立顶点在坐标原点，旋转
轴为 z 轴，半顶角为 的圆锥面方程．
解： yoz面 上 的 直 线L的 方 程 为:
z
z y cot (0 )
2
旋转面为
z x y cot
0
x
即 z ( x y) cot
直线L
y
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坐标系的平移只改变原点的位置，不改变坐标轴的方向和单位长度。
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设 平移到
Oxyz
为原始坐标系，
得新坐标系
。
O( x0 , y0 , z0 )
是空间一点，将原坐标系原点
O
O
OXYZ
z
Z
若点P在原坐标系下的坐标为
（x, y, z），在新坐标系下的坐标为
（X, Y, Z），则
第四节 几种常见的二次曲面
一、问题的提出 二、柱面 三、锥面 四、旋转曲面 五、椭球面 六、双曲面 七、抛物面 八、一般的二次曲面 九、小结与思考判断题
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一、问题的提出 (Introduction)
三元二次方程表示的曲面，称为二次曲面。
如球面 ( x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 4
曲线（圆）
的圆柱面。
x y R
z
x2 ( y a)2 a2 也是圆柱面。
y x 是平面， 也是柱面。
o
x
y
yx
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2）一般地，只含 x, z 而缺 y 的方程 G(x, z)=0在空间直角坐标系中表 示母线平行于 y 轴的柱面，其准线为 xoz 面上的曲线
例2、 x 表示z怎样的曲面？
z
0
f (x , y z )
f ( x z , y)
3）zox 面上的曲线C ：
f ( x,z) 0
y
0
绕x轴
f (x , y z )
绕z轴
f ( x y , z)
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例 3 直线L 绕另一条与L 相交的直线旋转一
周，所得旋转曲面叫圆锥面．两直线的交点叫
49
z
2) x2 y2 z2 1 49
4) x2 y2 z2 1 49
z
x
oy (1)
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o
y
z
x
(2)
z
xo
y
o
x (4)
(3)
y
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5)x2 y2 2 x
)z x y
z
o x (5)
z y
o
x
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)z x y )z x y
0
y
x
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五、椭球面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z y
x
特殊情形：① 当 a=b=c 时，此时为球面
x y z a
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② 当 a=b 时，此时为旋转曲面
x2 y2 z2 a2 a2 c2 1
③ 当 a=c 时，此时为旋转曲面
o
x0 x
O •
X X
P•
Y
y
X
Y
x y
x0 y0
Z z z0
x
或
x y
X Y
x0 y0
坐标系平移时
z Z z0 坐标变换公式
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例6 用坐标系的平移化去方程 的一次项。
x2 y2 z2 x 2z 1
4 94
解：将方程变形为：
( x 2)2 y2 (z 4)2 1 16 36 16
取平移变换：
则方程变为：
X x2 Y y Z z 4
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X2 Y2 Z2 1 16 36 16
为旋转椭球面
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2、坐标系的旋转 （略）
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例7、指出下列方程所表示的曲面。
1)x2 y2 (z 1)2 1
3) x2 y2 z2 1
1）设在
yoz 坐标平面上有一已知曲线C，
方
程
为
f ( y, z) x0
0
把该曲线绕 z 轴旋转一周，得一
个以 z 轴为轴的旋转曲面。
设M(, y,z) 为曲线C上的任意一点，则有
f ( y, z)
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当曲线C绕 z 轴旋转时，点
M 也绕 z 轴转动到
另一点M( x, y, z), 此时，z z1保持不变，
z
xo
y
(6)
z
y (7)
x
28
o
y
(8)
)z x y
11) y x2
z
z
)z x y x y
)
z
(9) o
y
x
z
o x
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o
x
y
(11)
y
(10) 29
o
y
x (12)
九、小结
二次曲面的识别 旋转曲面的概念及求法 常见的二次曲面
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二次曲面的研究方法：
(不能用描点法，而用截痕法)
用平行于坐标面的平面去截曲面，由所得截痕来勾画曲面的大体形 状及如下一些特性。
1）对称性：关于坐标面，坐标轴 2）存在范围 3）曲面与坐标轴、坐标面的关系
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2
二、柱面
1、柱面的定义： 一般地，平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹
f (的y第, z一)个方程0 x0
中，只要将 y 改成
x2 y2 , z 不变，便得曲
线C绕 z 轴旋转所成的旋转曲面的方程。
同理，曲线C绕 y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为：
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f (y , x z )
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2）xoy 面上的曲线C ：
绕x轴 绕y轴
f ( x, y) 0
x2 y2 z2 a2 b2 a2 1
④ 当 c=b 时，此时为旋转曲面
x2 a2
y2 c2
z2 c2
1
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六、双曲面
1、单叶双曲面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
z
x
当 a=b 时为旋转单叶双曲面。
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o y
x2 y2 z2 a2 b2 c2 k