秩亏自由网

§8-2 秩亏自由网平差
2学时
在前面介绍的经典平差中，都是以已知的起算数据为基础，将控制网固定在已知数据上。

如水准网必须至少已知网中某一点的高程，平面网至少要已知一点的坐标、一条边的边长和一条边的方位角。

当网中没有必要的起算数据时，我们称其为自由网，本节将介绍网中没有起算数据时的平差方法，即自由网平差。

在经典间接平差中，网中具备必要的起算数据，误差方程为
11
1
ˆ⨯⨯⨯⨯-=n t t n n l x
B V （8-2-1）
式中系数阵B 为列满秩矩阵，其秩为t B R =)( 。

在最小二乘准则下得到的法方程为
0ˆ1
1
=-⨯⨯⨯t t t
t bb W x
N （8-2-2）
由于其系数阵的秩为
t B R PB B R N R T
bb ===)()()(，所以bb N 为满秩矩阵，即为非奇异阵，具有凯利逆bb N 1-，因此具有唯一解，即
W N x
bb 1ˆ-= （8-2-3）
当网中无起算数据时，网中所有点均为待定点，设未知参数的个数为u ，误差方程为
11
1
ˆ⨯⨯⨯⨯-=n u u n n l x
B V （8-2-4）
式中
d t u +=
d 为必要的起算数据个数。

尽管增加了d 个参数，但B 的秩仍为必要观测个数，即
u t B R <=)(
其中B 为不满秩矩阵，称为秩亏阵，其秩亏数为d 。

组成法方程
0ˆ1
1
=-⨯⨯⨯u u u u W x
N
（8-2-5）
式中
Pl
B W PB B N T u T u
u ==⨯⨯1
，，且u t B R PB B R N R T
<===)()()(，所以N 也为秩亏阵，秩亏数为：
t u d -=
（8-2-6）
由上式知，不同类型控制网的秩亏数就是经典平差时必要的起算数据的个数。

即有：
⎪⎩⎪
⎨⎧=测角网网
测边网、边角网、导线水准网、测站平差,4,3,
1d
在控制网秩亏的情况下，法方程有解但不唯一。

也就是说仅满足最小二乘准则，仍无法求得x
ˆ的唯一解，这就是秩亏网平差与经典平差的根本区别。

为求得唯一解，还必须增加新的约束条件，来达到求唯一解的目的。

秩亏自由网平差就是在满
足最小二乘min =PV V T
和最小范数min ˆˆ=x x
T 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法。

下面将推导自由网平差常用两种解法的有关计算公式。

一、直接解法
根据广义逆理论，相容方程组0ˆ1
1
=-⨯⨯⨯u u u u W x
N 虽然具有无穷多组解，但它有唯一的最小范数解，即：
W N x m r 1ˆ-= （8-2-7）
式中-
-
=)(T
T
m NN N N ，称为矩阵N 的最小范数g 逆。

-)(T NN 称为矩阵T
NN 的g 逆。

代入（8-2-7）式得
W NN N x
T T r -
=)(ˆ （8-2-8）
上式就是根据广义逆理论直接求解参数的唯一最小范数解的公式。

由于广义逆计算较为复杂，下面将公式做进一步改化： 令
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⨯⨯⨯⨯⨯2122211211N N N N N N N d d t d d t t
t u
u （8-2-9）
⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⨯⨯⨯12111
d t u W W W （8-2-10） 式中1N 行满秩，即t N R =)(1，于是有
(
)
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T T T T
T
T
N N N N N N N N N
N N N NN 221221112
1
21 （8-2-11）
而t N R N N R T
==)()(111，所以)(11T
N N 为满秩方阵，按照降阶法求矩阵广义逆的方法，即：如果有矩阵
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⨯-⨯--⨯⨯⨯)()(22)(21)
(12
11r n r m r
r m r n r r r n
m A A A A A
其中1111)(A r A R ，=存在凯利逆，则有n m A
⨯的g 逆
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⨯-⨯-
00011
1r r n
m A A
（8-2-12）
根据上式可得
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--
000000)()(111111
1Q N N N N T T
（8-2-13）
代入（8-2-8）式，得
(
)
11112111
2
1000ˆW Q N W W Q N N x
T
T T =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=
（8-2-14）
或写成
11
111)(ˆW N N N x
T T -= （8-2-15）
未知参数的协因数阵为：
11111111111111ˆˆ)(11N Q N Q N Q N Q Q N Q T
T T W W T X
X == （8-2-16）
二、附加条件法（伪观测值法）
前面已提及，秩亏自由网平差就是在满足最小二乘min =PV V T
和最小范数min ˆˆ=x x
T 的条件下，求参数一组最佳估值的平差方法，实际上就是求相容方程组0ˆ1
1
=-⨯⨯⨯u u u u W x
N 的最小范数解。

附加条件法的基本思想：由于网中没有起算数据，平
差时多选了d 个未知参数，因此在u 个参数之间必定满足d 个附加条件式，即在原平差函数模型中需要加入d 个未知参数间
的限制条件方程，从而可以按附有条件的间接平差法求解。

问题的关键是如何导出等价于min ˆˆ=x x
T 的限制条件方程的具体形式。

为叙述方便，我们先给出该限制条件方程，然后再推导平差计算公式，最后证明，在给定的限制条件方程下所求得的解，就是相容方程组0ˆ1
1
=-⨯⨯⨯u u u u W x
N 的最小范数解。

设等价于约束条件min ˆˆ=x x
T 的限制条件方程为
0ˆ1
=⨯⨯u T
u
d x
S
（8-2-17）。