第1章 习题课

习题课二项式定理
学习目标
1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.
2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．
1．二项式定理及其相关概念
2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)
(1)对称性：C m n ＝C n
－m
n
.
(2)性质：C r n ＋1＝C r －
1n ＋C r
n .
(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C n
n
最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12
C
n n -＝
12C
n n
+最大．
(4)二项式系数之和C 0n ＋C 1n ＋C 2
n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ，所用方法是赋值法.
类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题
例1 (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3
D ．4
(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)B (2)－1
解析 (1)方法一 (1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)
m 2
m x ，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4(x )n ＝C n
42
n
x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.
令m 2＋n
2
＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·
(－1)2·C 04＝－3. 方法二 (1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.
∴x 2的系数为C 25＋a C 15，
则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.
反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．
跟踪训练1 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1
x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40
(2)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)D (2)120
解析 (1)令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，
故⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中常数项即为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1
x
与x 的系数之和． ⎝
⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为 T r ＋1＝(－1)r C r 52
5－r x 5－2r ， 令5－2r ＝1，得r ＝2，
∴展开式中x 的系数为C 25×2
5－2×(－1)2＝80， 令5－2r ＝－1，得r ＝3，
∴展开式中1x 的系数为C 35
×25－3×(－1)3＝－40， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝
⎛⎭⎫2x －1
x 5的展开式中常数项为80－40＝40. (2)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)
＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.
命题角度2 三项展开式问题
例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项
答案
632
2
解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦
⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1
x ＋25， ∴展开式的通项为1
111515
1C 2k k k k x T x -⎛⎫
=+ ⎪
⎝⎭
＋(k 1＝0,1,2，…，5)．
当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，
当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭
⎫x 2＋1x 1
5k －的展开式的通项公式为 12
2
12
2
2
1221
1555215511C
C 22k k k
k k k k k k k k k x T x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
－－＋－－＝(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．
令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.
∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
k 1＝3，
k 2＝1.
∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝632
2
.
方法二 原式＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝1
32x 5·
[(x ＋2)2]5 ＝
1
32x 5
·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322
.
反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 30
解析 方法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，
含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·
y 2.
其中(x 2＋x )3中含x 5的项为C 13x 4·x ＝C 13x 5
. 所以x 5y 2的系数为C 25C 13＝30.
方法二 (x 2＋x ＋y )5为5个x 2＋x ＋y 之积，其中有两个取y ，两个取x 2，一个取x 即可，所
以x 5y 2的系数为C 25C 23C 11＝30.
命题角度3 整除和余数问题
例3 今天是星期一，今天是第1天，那么第810天是星期( ) A ．一 B ．二 C ．三 D ．四 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 A
解析 求第810天是星期几，实质是求810除以7的余数，应用二项式定理将数变形求余数．
因为810＝(7＋1)10＝710＋C 110×79＋…＋C 910×7＋1＝7M ＋1(M ∈N ＋)，
所以第810天相当于第1天，故为星期一．
反思与感悟 (1)利用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再利用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一、二项就可以了． (2)解决求余数问题，必须构造一个与题目条件有关的二项式．
跟踪训练3 设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 017＋a 能被13整除，则a ＝________. 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 1
解析 ∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a ＝C 02 017522 017－C 12 017522 016＋C 22 017522 015－…＋C 2 0162 017
521－1＋a ，
能被13整除，0≤a <13. 故－1＋a 能被13整除，故a ＝1. 类型二 二项式系数的综合应用 例4 已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n .
(1)若展开式中第五项、第六项、第七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
(2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题 题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 (1)由已知得2C 5n ＝C 4n ＋C 6
n ，
即n 2－21n ＋98＝0，得n ＝7或n ＝14.
当n ＝7时展开式中二项式系数最大的项是第四项和第五项，
∵T 4＝C 37⎝⎛⎭⎫124(2x )3＝352
x 3，T 5＝C 47
⎝⎛⎭⎫123(2x )4＝70x 4， ∴第四项的系数是35
2
，第五项的系数是70.
当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是第八项，它的系数为C 714
⎝⎛⎭
⎫127×27＝3 432. (2)由C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，即n 2
＋n －156＝0.
得n ＝－13(舍去)或n ＝12. 设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭
⎫1
212(1＋4x )12， 由⎩⎪⎨⎪⎧
C k 12·4k ≥C k －112·4k －1，C k 12·
4k ≥C k ＋112·4k ＋1，
解得9.4≤k ≤10.4.
∵0≤k ≤n ，k ∈N ，∴k ＝10.
∴展开式中系数最大的项是第11项， 即T 11＝⎝⎛⎭⎫1212·
C 1012·410·x 10
＝16 896x 10. 反思与感悟 解决此类问题，首先要分辨二项式系数与二项展开式的项的系数，其次理解记忆其有关性质，最后对解决此类问题的方法作下总结，尤其是有关排列组合的计算问题要更加细心．
跟踪训练4 已知⎝⎛⎭⎫2x －1x n 展开式中二项式系数之和比(2x ＋x lg x )2n 展开式中奇数项的二项
式系数之和少112，第二个展开式中二项式系数最大的项的值为1 120，求x . 考点 二项式定理的应用 题点 二项式定理的简单应用
解依题意得2n－22n－1＝－112，
整理得(2n－16)(2n＋14)＝0，解得n＝4，
所以第二个展开式中二项式系数最大的项是第五项．
依题意得C48(2x)4(x lg x)4＝1 120，
化简得x4(1＋lg x)＝1，
所以x＝1或4(1＋lg x)＝0，
故所求x的值为1或1
10.
1．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()
A．30 B．20
C．15 D．10
考点二项展开式中的特定项问题
题点求二项展开式特定项的系数
答案 C
解析因为(1＋x)6的展开式的第r＋1项为T r＋1＝C r6x r，x(1＋x)6的展开式中含x3的项为C26x3＝15x3，所以系数为15.
2．在(x＋y)n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是() A．第6项B．第5项
C．第5、6项D．第6、7项
考点展开式中系数最大(小)的项问题
题点求二项式系数最大(小)的项
答案 A
解析 ∵C 3n ＝C 7
n ，∴n ＝3＋7＝10，
∴展开式中系数最大的项是第6项．
3．已知x >0，则(1＋x )10⎝⎛⎭⎫1＋1
x 10的展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．(C 110)2
C ．C 120
D ．C 1020
考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 D 解析
(1＋x )10
⎝⎛⎭⎫1＋1x 10＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )⎝⎛⎭⎫1＋1x 10＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋210＝⎝
⎛⎭⎫x ＋1x 20.设其展开式的通项为
T r ＋1，则T r ＋1＝C r 20x
10－r
，当r ＝10时，为常数项．故选D. 4．当n 为正奇数时，7n ＋C 1n ·7n －
1＋C 2n ·7n －
2＋…＋C n －
1n ·
7被9除所得的余数是( ) A ．0 B ．2 C ．7 D ．8 考点 二项式定理的综合应用 题点 整除和余数问题 答案 C
解析 原式＝(7＋1)n －C n n ＝8n －1＝(9－1)n －1＝9n －C 1n ·9n －1＋C 2n ·9n －2－…＋C n －1n
·9(－1)n －1＋(－1)n －1.因为n 为正奇数，所以(－1)n －1＝－2＝－9＋7，所以余数为7.
5．设(23
x －1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为________． 考点 展开式中系数的和问题 题点 二项展开式中系数的和问题 答案 －160x
解析 当x ＝1时，可得M ＝1，二项式系数之和N ＝2n ， 由题意，得M ·N ＝64，∴2n ＝64，∴n ＝6. ∴第四项T 4＝C 36·
(23
x )3·(－1)3＝－160x .
1．两个二项展开式乘积的展开式中特定项问题
(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点．
(2)找到构成展开式中特定项的组成部分．
(3)分别求解再相乘，求和即得．
2．三项或三项以上的展开问题
应根据式子的特点，转化为二项式来解决(有些题目也可转化为计数问题解决)，转化的方法通常为配方、因式分解、项与项结合，项与项结合时要注意合理性和简捷性．
3．用二项式定理处理整除问题，通常把底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或者前面)一、二项就可以了．
4．求二项展开式中各项系数的和差：赋值代入．
5．确定二项展开式中的最大或最小项：利用二项式系数的性质．
一、选择题
1．二项式⎝⎛⎭
⎫x ＋2x 12的展开式中的常数项是( ) A ．第7项 B ．第8项
C ．第9项
D ．第10项 考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求二项展开式的特定项
答案 C
解析 二项展开式中的通项公式为T r ＋1＝C r 12·x 12－r ·⎝⎛⎭⎫2x r ＝C r 12·2r ·3
122r x －，令12－32r ＝0，得r ＝8.
∴常数项为第9项．
2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( )
A ．56
B ．84
C ．112
D ．168
考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中特定项的系数
答案 D
解析 因为(1＋x )8的通项为C r 8x r ，(1＋y )4的通项为C t 4y t ，
故(1＋x )8(1＋y )4的通项为C r 8C t 4x r y t .
令r ＝2，t ＝2，得x 2y 2的系数为C 28C 24＝168. 3．若(x ＋3y )n 的展开式中所有项的系数的和等于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和，则n
的值为( )
A ．15
B ．10
C ．8
D ．5
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 D
解析 由于(7a ＋b )10的展开式中二项式系数的和为C 010＋…＋C 1010＝210，令(x ＋3y )n 中x ＝y
＝1，则由题设知，4n ＝210，即22n ＝210，解得n ＝5.
4．若二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于( ) A ．2 B. 4 C ．1 D.24 考点 二项展开式中的特定项问题
题点 由特定项或特定项的系数求参数
答案 C
解析 二项式⎝⎛⎭⎫2x ＋a x 7的展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 727－r a r x 7－2r ， 令7－2r ＝－3，得r ＝5.
故展开式中1x
3的系数是C 5722a 5，即C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 5．设m 为正整数，(x ＋y )2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y )2m
＋1展开式的二项式
系数的最大值为b ，若13a ＝7b ，则m 等于( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中二项式系数最大(小)的项
答案 B
解析 ∵(x ＋y )2m 展开式中二项式系数的最大值为C m 2m ，
∴a ＝C m 2m .同理，b ＝C m ＋12m ＋1.
∵13a ＝7b ，∴13·C m 2m ＝7·C m ＋12m ＋1， ∴13·(2m )！m ！m ！＝7·(2m ＋1)！(m ＋1)！m ！
，∴m ＝6. 6．二项式⎝
⎛⎭⎫x 2－1x 6的展开式中不含x 3项的系数之和为( ) A ．20 B ．24 C ．30 D ．36
考点展开式中系数的和问题
题点二项展开式中系数的和问题
答案 A
解析由二项式的展开式的通项公式T r＋1＝C r6·(－1)r x12－3r，令12－3r＝3，解得r＝3，故展开式中x3项的系数为C36·(－1)3＝－20，而所有系数和为0，故不含x3项的系数之和为20. 7．在(1＋x)n(n为正整数)的二项展开式中，奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1－x2)n 的值为()
A．0 B．AB
C．A2－B2D．A2＋B2
考点展开式中系数的和问题
题点二项展开式中系数的和问题
答案 C
解析∵(1＋x)n＝A＋B，(1－x)n＝A－B，∴(1－x2)n＝(1＋x)n(1－x)n＝(A＋B)(A－B)＝A2－B2.
8．9192被100除所得的余数为()
A．1 B．81 C．－81 D．992
考点二项式定理的综合应用
题点整除和余数问题
答案 B
解析利用9192＝(100－9)92的展开式，或利用(90＋1)92的展开式．
方法一(100－9)92＝C09210092－C19210091×9＋C292·10090×92－…－C9192100×991＋C9292992.
展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数．
由992＝(10－1)92＝C0921092－…＋C9092102－C919210＋1.
前91项均能被100整除，后两项和为－919，因原式为正，可从前面的数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81，
∴9192被100除可得余数为81.
方法二(90＋1)92＝C0929092＋C1929091＋…＋C9092902＋C919290＋C9292.
前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，显然8 281除以100所得余数为
81.
二、填空题
9．若⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6的二项展开式中，常数项为1516
，则二项式系数最大的项为________． 考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
答案 52x 3或－52
x 3 解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1ax 6二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 6·(x 2)6－r ⎝⎛⎭
⎫1ax r ＝C r 6a －r x 12－3r ，令12－3r ＝0，得r ＝4，
∴C 46a －4＝1516
，解得a ＝±2， 当a ＝2时，二项式系数最大的项为C 36(x 2)3⎝⎛⎭
⎫12x 3 ＝52
x 3. 当a ＝－2时，二项式系数最大的项为C 36(x 2)3⎝⎛⎭⎫－12x 3＝－52
x 3. 10.⎝⎛⎭
⎫x 2＋1x 2－23的展开式中常数项为________． 考点 二项展开式中的特定项问题
题点 求多项展开式中的特定项
答案 －20
解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－23＝⎝⎛⎭
⎫x －1x 6展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 6(－1)r x 6－2r .令6－2r ＝0，解得r ＝3.故展开式中的常数项为－C 36＝－20.
11．(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是________．
考点 二项式定理的综合应用
题点 整除和余数问题
答案 1.34
解析 (1.05)6＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.037 5＋
0.002 5＋…≈1.34.
12．已知⎝⎛⎭
⎫x 2－1x n 的展开式中含x 的项为第6项，设(1－x ＋2x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2n x 2n ，则a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 二项展开式中系数的和问题
答案 255
解析 因为⎝⎛⎭
⎫x 2－1x n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n (－1)r ·x 2n －3r (r ＝0,1,2，…，n )，因为含x 的项为第6项，所以当r ＝5时，2n －3r ＝1，即n ＝8.令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝28＝256.又a 0＝1，所以a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝255.
三、解答题
13．在二项式⎝⎛⎭
⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求展开式中的常数项；
(2)求展开式中系数最大的项．
考点 展开式中系数最大(小)的项问题
题点 求展开式中系数最大(小)的项
解 (1)二项式⎝
⎛⎭⎫x ＋12x n 的展开式中，前三项的系数分别为1，n 2，n (n －1)8. 根据前三项的系数成等差数列，可得n ＝1＋n (n －1)8
，求得n ＝8或n ＝1(舍去)． 故二项式⎝⎛⎭
⎫x ＋12x n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r 8·2－r ·x 4－r .令4－r ＝0，求得r ＝4，可得展开式中的常数项为T 5＝C 48·⎝⎛⎭⎫124＝358
. (2)设第k ＋1项的系数最大，
则由⎩⎨⎧ C k 8·⎝⎛⎭⎫12k ≥C k ＋18·⎝⎛⎭⎫12k ＋1，C k 8·⎝⎛⎭⎫12k ≥C k －18·⎝⎛⎭⎫12k －1，求得2≤k ≤3.
因为k ∈Z ，所以k ＝2或k ＝3，
故系数最大的项为T 3＝7x 2或T 4＝7x .
四、探究与拓展
14．若(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，则实数m ＝________.
考点 展开式中系数的和问题
题点 多项展开式中系数的和问题
答案 －3或1
解析 在(x ＋2＋m )9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9中，
令x＝－2，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9＝m9，
即[(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝m9，
令x＝0，可得(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)
＝(2＋m)9.
∵(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，
∴[(a0＋a2＋…＋a8)＋(a1＋a3＋…＋a9)][(a0＋a2＋…＋a8)－(a1＋a3＋…＋a9)]＝39，
∴(2＋m)9m9＝(2m＋m2)9＝39，
可得2m＋m2＝3，解得m＝1或－3.
15．已知(1＋m x)n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开式中含有x项的系数为112.
(1)求m，n的值；
(2)求展开式中偶数项的二项式系数之和；
(3)求(1＋m x)n(1－x)的展开式中含x2项的系数．
考点二项展开式中的特定项问题
题点求多项展开式中特定项的系数
解(1)由题意可得2n＝256，解得n＝8，
∴展开式的通项为T r＋1＝C r8m r x r
2
，
∴含x项的系数为C28m2＝112，
解得m＝2或m＝－2(舍去)．
故m，n的值分别为2,8.
(2)展开式中偶数项的二项式系数之和为C18＋C38＋C58＋C78＝28－1＝128.
(3)(1＋2x)8(1－x)＝(1＋2x)8－x(1＋2x)8，
∴含x2项的系数为C4824－C2822＝1 008.。