第1章 习题课

习题课二项式定理

学习目标

1.能熟练地掌握二项式定理的展开式及有关概念.

2.会用二项式定理解决与二项式有关的简单问题．

1．二项式定理及其相关概念

2.二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律)

(1)对称性：C m n ＝C n

－m

n

.

(2)性质：C r n ＋1＝C r －

1n ＋C r

n .

(3)二项式系数的最大值：当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即2C n

n

最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即12

C

n n -＝

12C

n n

+最大．

(4)二项式系数之和C 0n ＋C 1n ＋C 2

n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n ，所用方法是赋值法.

类型一 二项式定理的灵活应用 命题角度1 两个二项式积的问题

例1 (1)(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3

D ．4

(2)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝________. 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)B (2)－1

解析 (1)方法一 (1－x )6的展开式的通项为C m 6·(－x )m ＝C m 6(－1)

m 2

m x ，(1＋x )4的展开式的通项为C n 4(x )n ＝C n

42

n

x ，其中m ＝0,1,2，…，6，n ＝0,1,2,3,4.

令m 2＋n

2

＝1，得m ＋n ＝2，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数等于C 06·(－1)0·C 24＋C 16·(－1)1·C 14＋C 26·

(－1)2·C 04＝－3. 方法二 (1－x )6(1＋x )4＝[(1－x )(1＋x )]4(1－x )2＝(1－x )4(1－2x ＋x )，于是(1－x )6(1＋x )4的展开式中x 的系数为C 04·1＋C 14·(－1)1·1＝－3. (2)(1＋ax )(1＋x )5＝(1＋x )5＋ax (1＋x )5.

∴x 2的系数为C 25＋a C 15，

则10＋5a ＝5，解得a ＝－1.

反思与感悟 两个二项式乘积的展开式中特定项问题

(1)分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点． (2)找到构成展开式中特定项的组成部分． (3)分别求解再相乘，求和即得．

跟踪训练1 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋a x ⎝⎛⎭⎫2x －1

x 5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为( ) A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40

(2)在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n 项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝________.

考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中特定项的系数 答案 (1)D (2)120

解析 (1)令x ＝1，得(1＋a )(2－1)5＝2，∴a ＝1，

故⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中常数项即为⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中1

x

与x 的系数之和． ⎝

⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为 T r ＋1＝(－1)r C r 52

5－r x 5－2r ， 令5－2r ＝1，得r ＝2，

∴展开式中x 的系数为C 25×2

5－2×(－1)2＝80， 令5－2r ＝－1，得r ＝3，

∴展开式中1x 的系数为C 35

×25－3×(－1)3＝－40， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝

⎛⎭⎫2x －1

x 5的展开式中常数项为80－40＝40. (2)f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)

＝C 36C 04＋C 26C 14＋C 16C 24＋C 06C 34＝120.

命题角度2 三项展开式问题

例2 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋25的展开式中的常数项是________． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项

答案

632

2

解析 方法一 原式＝⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫x 2＋1

x ＋25， ∴展开式的通项为1

111515

1C 2k k k k x T x -⎛⎫

=+ ⎪

⎝⎭

＋(k 1＝0,1,2，…，5)．

当k 1＝5时，T 6＝(2)5＝42，

当0≤k 1<5时，⎝⎛⎭

⎫x 2＋1x 1

5k －的展开式的通项公式为 12

2

12

2

2

1221

1555215511C

C 22k k k

k k k k k k k k k x T x x ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭⎝⎭

－－＋－－＝(k 2＝0,1,2，…，5－k 1)．

令5－k 1－2k 2＝0，即k 1＋2k 2＝5.

∵0≤k 1<5且k 1∈Z ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝1，k 2＝2或⎩⎪⎨⎪⎧

k 1＝3，

k 2＝1.

∴常数项为42＋C 15C 24⎝⎛⎭⎫1222＋C 35C 1212×(2)3 ＝42＋1522＋202＝632

2

.

方法二 原式＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝1

32x 5·

[(x ＋2)2]5 ＝

1

32x 5

·(x ＋2)10. 求原式的展开式中的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5项的系数，即C 510·(2)5. ∴所求的常数项为C 510·(2)532＝6322

.

反思与感悟 三项或三项以上的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为配方法，因式分解，项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性． 跟踪训练2 (x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为________． 考点 二项展开式中的特定项问题 题点 求多项展开式中的特定项 答案 30

解析 方法一 (x 2＋x ＋y )5＝[(x 2＋x )＋y ]5，

含y 2的项为T 3＝C 25(x 2＋x )3·

y 2.