大学物理第七章题解

第七章 机械振动
7-1．两根轻弹簧与物体的连接方式如图（a ）、（b ）所示，物体质量为m ，弹簧劲度系数为1k 和2k ，水平面光滑．求这两种情况下振动的固有频率．
解 （a ）以物体m 的平衡位置为原点，建立坐标轴Ox 水平向右．设m 位于x 时，两弹簧分别伸长1x 和2x ，则12x x x =+．因两弹簧弹性力相等，所以物体m 所受合力1122F k x k x ==．设由两弹簧组合而成的“组合弹簧”的劲度系数为k ，于是
12121212
()()k k F F F kx k x x k kF k k k k +==+=+= 由此求得“组合弹簧”的劲度系数1212
k k k k k =+为常量，可见物体m 所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，
振动的固有频率
ν== （b ）以物体m 的平衡位置为原点，建立坐标轴水平向右．m 位于x 时，弹簧1被拉长，弹簧2被压缩，m 所受合力
1212()F kx k x k x k k x ==+=+
由此求得“组合弹簧”的劲度系数12k k k =+为常量，可见物体m 所受合力为线性回复力，所以系统作简谐振动，振动的固有频率
ν=
7-2．如图所示，半径为R 的光滑圆弧轨道在竖直平面内，O 为其圆心．一质点质量为m ，在圆弧轨道最低点附近往复运动．试证明质点作简谐运动，并求振动的周期． 解 建立极坐标系，θ正向如图．由牛顿第二定律，横向的运动微分
方程为
(2)sin m r r mR mg θθθθ+==-
当1θ<<时，sin θ≈，上式化为
0g R
θθ+=
可见质点作简谐运动，且知0ω=
022T πω==
7-3．弹簧振子的质点质量为42.510kg -⨯，其运动学方程为0.06cos(5)(m)x t π=+．
求：（1）振幅和周期；（2）质点的初始位置；（3）质点位于初始位置时所受合力；（4）质点在s t π=时的位置、速度和加速度．
解 （1）由运动学方程可见，振幅006m A .=，05ω=，周期
0204(s)126(s)T ..π
πω===
（2）由运动学方程可见，0t =时，质点的初始位置0006cos 006(m)x ..π==-
．
（3）对运动学方程求时间导数可得
d 0.3sin(5)d x x v t t
π=
=-+ d 1.5cos(5)d x x v a t t
π==-+ 0t =时0 1.5cos 1.5x a π=-=，根据牛顿第二定律可知质点位于初始位置时所受合力 440025101537510(N)x F ma ...--==⨯⨯=⨯
（4）把t π=代入运动学方程和（3）中求得的x v 、x a 表达式，即可求得质点在t π=时的位置、速度和加速度分别为
006cos(5+)006(m)x ..ππ==
03sin(5)0(m s)x v .ππ=-+=
215cos(5) 1.5(m )x a .ππ=-+=-
7-4．一质点作简谐振动，振幅为0.02m ，速度幅为0.03m s ，取速度为正最大值时为计时起点．求：（1）周期；（2）加速度幅；（3）运动学方程．
解 设运动学方程为00cos()002cos()x A t .t ωϕωϕ=+=+，则
00002sin()x v .t ωωϕ=-+
200002cos()x a .t ωωϕ=-+
（1）由m 0002003v ..ω==，可知000315002
...ω==，所以周期为 022419(s)15
T ..ππω=== （2） 222m 0002002150045(m s )a ....ω==⨯=
（3）由已知条件0t =时00x =、0m x v v =，可知0002cos .ϕ=、m m sin v v ϕ=-，即
cos =0ϕ ，sin =1ϕ- 由以上二式求出2ϕπ=-，所以运动学方程为002cos(152)x ..t π=-．
7-5．如图所示为两个振幅和频率均相同的简谐振动的振动曲线．求两个简谐振动的运动学方程，并求出哪个简谐振动相位超前，超前多少？
解 由x t -图可见，01m A .=，4s T =．所以0205.ωππ==．
对振动(1)而言
1101cos(05) x ..t πϕ=+
当0t =时
11001cos x ..ϕ==
11005sin 0x v .πϕ=-< 所以14ϕπ=，运动学方程为101cos(054)(m)x ..t ππ=+．
对振动(2)而言，2201cos(05) x ..t πϕ=+．当0t =时
1201cos 0x ..ϕ==，12005sin 0x v .πϕ=-> 所以24ϕπ=-，运动学方程为201cos(054)(m)x ..t ππ=-． 这两个简谐振动的相位差122πϕϕϕ∆=-=，说明振动(1)比振动(2)超前2
π．
7-6．一水平放置的弹簧振子，质点质量为0.1kg ，作简谐振动，振幅为0.01m ，质点运动的最大加速度为20.04m s ．求：（1）系统的机械能；（2）质点通过平衡位置时的动能；
（3）以0.01m x =时为计时起点，系统动能与势能相等的时刻．
解 根据001m A .=和22m 0004m a A .ω==，可以求出02ω==．
由0ω=2001404k m ..ω==⨯=．
（1）系统的机械能 2251104001210(J)22
E kA ..-=
=⨯⨯=⨯ （2）通过平衡位置时0x =，势能p 0E =，所以动能5k 210(J)E E -==⨯． （3）由已知条件0t =时0001m x .=、00x v =，可知
cos 1ϕ= ， sin 0ϕ=
由以上二式求出0ϕ=．于是 2252k 01sin ()210sin 22
E kA t t ωϕ-=+=⨯ 2252p 01cos ()210cos 22
E kA t t ωϕ-=+=⨯ 动能与势能相等的时刻，k p E E =，即
22sin 2cos 2t t =
可求出 2(21)244t k
k πππ=+=+ ， 0123k ,,,...= 所以(21)8t k π
=+，0123k ,,,...=．
7-7．有两个同方向同频率的简谐振动，它们的运动学方程分别为
130.05cos(10)4x t π=+和210.05cos(10)4
x t π=+（国际制单位）．求：（1）合振动的振幅和初相位；（2）若另有一振动30.08cos(10)x t ϕ=+，ϕ为何值13x x +的振幅最大？ϕ为何值13x x +的振幅最小？
解 （1）分别作与0t =时刻的
1x 和2x 对应的旋转矢量1A 和2A ，
如图所以．由旋转矢量图可见合矢量12A A +的长度为，与Ox
轴夹角为90ο
．于是可知合振动的振幅A =，初相位12ϕπ=合．
（2）1x 和3x 同相，即34ϕπ=时，13x x +的振幅最大；1x 和3x 反相，即14
ϕπ=-时，13x x +的振幅最小．
7-8．有两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为0.2m ，
合振动与第一个分振动的相位差为30ο
，已知第一个分振动的振幅为
．求第二个分振动的振幅及两个分振动的相位差．
解 根据已知条件作旋转矢量图，如图所示．
由图可见，第二个分振动的振幅20.1m A =．
由图可见，两个分振动的相位差2190ϕϕο-=．
7-9．某阻尼振动（弱阻尼状态）的振幅经一“周期”后变为原来的13，求振动的“周期”为振动系统固有周期的几倍．
解 弱阻尼振动()e cos t x A 't βωϕ-=+，由题意
()e 1e 3e e
t T't T'T'A A ββββ--+-=== lne ln3T'T'ββ==
所以 22ln 3
'T 'ππβω==
根据'ω=
0ω==于是 0022T ''T 'ωπωπωω=
==1015.=
7-10．质量为3310kg m -=⨯的质点，挂在劲度系数21.210N m k -=⨯的弹簧下端，沿x 轴运动．质点除线性恢复力外，还受策动力0cos 2t x F F =和阻力rx F x γ=-作用．求当阻力系数γ增为原来的3倍时，质点稳态振幅减为原来的几分之几？
解 根据已知条件，2
20
3
12104310k .m ω--⨯===⨯，2ω=．故弱阻尼受迫振动的稳态振幅
004f A β
== 由于00F f m =和2m
γβ=，所以 002F A γ
= 当3'γγ=，00001263F F A A γγ'==='，因此当阻力系数γ增为原来的3倍时，质点稳态振幅减为原来的三分之一．
（第七章题解结束）。