考点04函数及其表示高考全攻略之备战2020年高考数学(文)考点一遍过

考点04 函数及其表示

（1）了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念.

（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.

（3）了解简单的分段函数，并能简单应用.

一、函数的概念

1．函数与映射的相关概念

(1)函数与映射的概念

注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(3)构成函数的三要素

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

(4)函数的表示方法

函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.

解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：注意定义域对图象的影响.

2．必记结论

(1)相等函数

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．

①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域

和对应关系完全相同时，才表示相等函数．

②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝

2m−1均表示相等函数.

(2)映射的个数

若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有m

n个．

二、函数的三要素

1．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

(1)分式函数中分母不等于零.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

(5)y＝a x(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞).

(7)y＝tan x的定义域为

π

{|π,}

2

x x k k

≠+∈Z.

2．函数的解析式

(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，

不注明定义域往往导致错误.

3．函数的值域

函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：

(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.

(2)反比例函数

k

y

x

=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，

当a >0时，二次函数的值域为2

4[

,)4ac b a -+∞； 当a <0时，二次函数的值域为2

4(,

]4ac b a

--∞. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++. (4)y ＝sin x 的值域为[−1,1]． 三、分段函数 1．分段函数的概念

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 2．必记结论

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

考向一 求函数的定义域

在高考中考查函数的定义域时多以客观题形式呈现，难度不大. 1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略

(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点

(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．

(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．

(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.

典例1 函数()()2

lg 31

f x x =

+的定义域是

A ．(),1-∞

B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭

C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭

D ．1,3

⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭

【答案】B

【解析】要使函数()()2lg 311f x x x =++-有意义，则需10310x x ->⎧⎨+>⎩，解得1

13x x <⎧⎪

⎨>-⎪⎩

，据此可得：函数

()()2lg 311f x x x =++-的定义域为1,13⎛⎫

- ⎪⎝⎭

.

故本题选择B 选项.

【名师点睛】求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．

本题求解时要注意根号在分母上，所以需要10x ->，而不是10x -≥. 1．函数sin 1y x =-的定义域是__________．

典例2 若函数()1f x +的定义域是[]1,1-，则函数12log f x ⎛⎫

⎪⎝⎭

的定义域为________．

【答案】1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【名师点睛】根据“若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出．若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域”来解相应的不等式或不等式组即可顺利解决.

2．已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数2

134

f x y x x +=

--+__________．

考向二 求函数的值域

求函数值域的基本方法