充要条件的判定
充要条件的探求与判定
[解析] 由 2 x (a 1) (a 1)
2
2
(a 1) 2 x (a 1) (a 1)
2 2
2
2a x a 1
2
由x 4( a 1) x 3( 4a 1) 0
2
( x 3)[ x ( 4a 1)] 0 设集合A { x | 2a x a 1},
即 x|xa|+b= x|x+a| b成立.
比较等式两边函数式结 构可得： a a 2 2 , 即a b 0, 即a b 0. b b
[考点搜索]
1. 根据已知，探求使一个命题成立 的充分不必要条件，必要不充分条件， 充要条件等.
2. 探求充要条件常用三种思维方法: ① 先求必要条件，再验证充分性； ② 先求充分条件，再验必要性； ③ 将命题作条件转化后再作探求， 化难为易.
1, a n 1 2a n 1 an ( n N *), 设bn an p an
( p 0为常数), 求数列{bn }为等比数列的 充要条件.
[解]
bn
an p an
, a n
p bn 1
,
又a n 1 从而
2a n 1 an p
,
[解析] 命题p为真命题 对任意实数
a 0 a 2 2 x都有ax x 0成立 a 16 0 1 4 a 2.
命题q为真命题 当x 0时不等式 2 x 1 1 ax恒成立, 即a 2x 1 1 x
恒成立 当x 0时, a 恒成立. 当x 0时 2 x 1 1, 2 x 1 1 2, 从而0 2 2x 1 1 1.
充要条件的理解及判定方法
x－1 由｜1－ |≤2，得 p：－2≤x≤10， 3
解得 m≥9为所求．
另法：¬q是¬p 的充分而非必要条 件等价于p是q的充分而非必要条件，
则[-2，10]就是[1-m，1+m]的真子集.
二、重难点讲解 例5 判断:“b2-4ac=0”是“一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的 实根”的什么条 件？并证明结论。 解：是充要条件. 1。充分性 ：设b2-4ac=0 将ax2+bx+c=0(a≠0)配方得： a(x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a, (x+b/2a)2=(b2-4ac)/4a2 ∵ b2-4ac=0 ∴ (x+b/2a)2=0 ∴ x1=x2= -b/2a 即方程有两个相等的实数根.
p
q 则说p是q的充要条件；
q是p的必要条件.
q，则说p是q的充分条件； p，则说p是q的必要条件； 如果既有p q，又有q p，就记作
q，则说p是q的顾
2.从集合角度理解以上的定义： q，相当于P Q ，即 P Q 或 P、Q 有它就行
①p
②q
p
p，相当于Q
P ，即
Q
P 或 P、Q
缺它丌行
同一事物
q，相当于P=Q ，即
P、Q
一、知识点回顾
3.三种条件的理解，可以通过下列电路图来说明 对于电路通
A
B C D E
①
②
③
① A、B仅充分
② C、D仅必要
③ E充要
一、知识点回顾
4.判别步骤： ① 认清条件和结论。 ② 考察p q和q p的真假。 注意： ①在句型： A是B的 ？ 条件中，A是条件，B是结论. ②在句型：A的 ？ 条件是B中，B是条件，A是结论. 5.判别技巧： ① 可先简化命题. ② 否定一个命题只要举出一个反例即可. ③ 将命题转化为等价的逆否命题后再判断.
充分条件、必要条件的判断与证明
A. x 1
B. x －6
D.x 0或x 0
C.x 1或x －6
下列各题中，p是q的什么条件？
1.p : A
x | log1(x
2
3) 0,q : B
x | x 2
5 6
x
1 6
0
2.p : A
x | log1(x
2
3)
0,q : B
x
|
x2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
5 6
x
1 6
0
3.p : ax 2 ax 1 0的解集是R；q : 0 a 4.
②从集合角度看
设：A {x | x满足条件p} B {x | x满足条件q} 1）若A B且B A，则称p是q的充分不必要条件
2）若A B且B A，则称p是q的必要不充分条件
1)
B
A
2) A
B
3）若 A且B，B则A称p是q的既不充分也不必要条件 4）若A B且B A，既A=B，则称p是q的充要条件
条件。
2
6
5．设p、r都是q的充分条件，s是q的充分必要条件，t是s 的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的__充__分___条件， r是t的___充__要___条件。
习题1.2
4.求圆(x-a)2+(y-b)2=r2经过原点的充要条件。
2.求证：△ABC是等边三角形的充要条件是 a2+b2+c2=ab+ac+bc， 这里a,b,c是△ABC的三条边。
+ 3．转换法：当所给命题的充要条件不易判定时， 可对命题进行等价转换，例如改用其逆否命题进 行判断．
A
B
3)
A =B 4)
充要条件讲义
充要条件讲义
充要条件是数学中的一个重要概念，也应用于逻辑学和其他领域。
它指的是一个条件语句中的两个条件，互相依赖，并且同时满足时，该条件语句才成立。
下面将介绍充要条件的定义和应用。
充要条件的定义
设 A 和 B 是两个陈述，A -> B 是一个条件语句。
如果 A 是 B 的充分条件且 B 是 A 的必要条件，我们可以说 A <-> B 是一个充要条件。
要满足充要条件，必须同时满足两个条件：
1. 当 A 成立时，B 也一定成立；
2. 当 B 成立时，A 也一定成立。
这意味着 A 和 B 是相互依赖的，没有其中一个条件的成立，整个充要条件都不成立。
充要条件的应用
充要条件在数学推理和逻辑推理中有着重要的应用。
它能够帮
助我们推断出各种陈述之间的关系，并且在证明中起到关键作用。
充要条件的应用可以归纳如下：
1. 判定两个数（对象）是否等价。
如果两个数（对象）之间满
足充要条件，那么它们可以被视为等价的。
2. 在构建证明时，可以通过确定充要条件的成立来推断出结论。
3. 在逻辑推理中，可以使用充要条件来分析陈述之间的关系。
充要条件在数学和逻辑中具有广泛的应用，它可以帮助我们理
解和解决各种问题。
通过掌握充要条件的概念和应用，我们可以更
好地进行推理和分析。
以上是充要条件的讲义，希望对您有所帮助。
充要条件的判定方法
充要条件的判定方法充要条件是数学中的一个重要概念，是正确进行逻辑推理必不可少的基础知识.高考对充要条件的考查主要以其他知识为载体进行两类问题的考查：一类是充要条件的判别；一类是有关充要性命题的证明，尤以考查充要条件的判别为主.要正确判断“充分且不必要条件”、“必要且不充分条件”、“充要条件”、“非充分非必要条件”，应该明确：①条件是什么，结论是什么；②条件是结论的什么条件；尝试从条件推导结论，从结论推导条件.下面就介绍几种充要条件的判定方法.一、直接用定义判定能够保证一个事件一定发生的条件，叫做这个事件发生的充分条件；一个事件要发生必须具备的条件叫做这个事件发生的必要条件；一个条件既能保证某个事件发生，同时又是这个事件发生必须具备的条件，就叫做这个事件发生的充要条件.在实际应用中，体现充要条件的文字还有“当且仅当”、“有且仅有”、“必需且只需”等语句.用逻辑符号表示为：(1)若p ⇒q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的充分且不必要条件，q 是p 的必要且不充分条件；(2)若q ⇒p ，且p ⇒/q ，则p 是q 的必要且不充分条件，q 是p 的充分且不必要条件；(3)若p ⇒q ，且q ⇒p(或⌝p ⇒⌝q)，则p 是q 的充要条件(此时q 也是p 的充要条件)；(4)若p ⇒/q ，且q ⇒/p ，则p 是q 的非充分非必要条件.例1（2004年辽宁高考）已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，命题p ：a 与b 无公共点；命题q:α∥β，则p 是q 的 ( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件解析：若α与β相交，设交线为c ，若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥b ，此时a 与b 无公共点，所以p ⇒/q ；若α∥β，则a 与b 的位置关系是平行或异面，a 与b 无公共点，所以q ⇒p ，由此可知p 是q 必要而不充分的条件.故选B .例2（2004年浙江高考题）“sinA=12”是“A=30º”的 （ ） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析：记条件是p ：sinA=12，结论为q ：A=30º.由条件P 得A=k ·360º+30º或A=k ·360º+150º(k ∈Z)，因此A=30º仅为其中的一个值，则p ⇒/q ，但是，当A=30º时，sinA=12成立，∴q ⇒p ，∴“sinA=12”是“A=30º”必要非充分的条件.故选B.二、利用命题的四种形式进行判定(1)如果原命题成立，逆命题不成立，则原命题的条件是充分非必要的；(2)如果原命题不成立，逆命题成立，则原命题的条件是必要非充分的；(3)如果原命题和它的逆命题都成立，则原命题的条件充要的；(4)如果原命题和它的逆命题都不成立，则原命题的条件是非充分非必要的.例3(2004年天津高考题)已知数列{a n}，那么“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析：构造原命题：“若对任意的n∈N*，则点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上，则{a n}为等差数列”.此命题为真.其逆命题：“若{a n}为等差数列，则对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”.此命题为假，所以“对任意的n∈N*，点P n(n，a n)都在直线y=2x+1上”是“{a n}为等差数列”的充分不必要条件.故选B.三、利用双箭头的传递性判定由于逻辑联结符号“⇒”、“⇐”、“⇔”具有传递性，因此可根据几个条件的关系，经过若干次的传递，判断所要判断的两个条件之间的依存关系.例4（2004年重庆高考文科）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．那么p是q成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：用双箭头符号表示p、q、r、s的关系：p⇒r，s⇐r，q⇐s，即p⇒r，r⇒s，s⇒q，∴p⇒r⇒s⇒q，即p⇒q，又r⇒/p，则q⇒/p，故p是q的充分非必要条件.故选A.四、利用集合的子集判定(1)若A⊂__B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；(2)若A≠⊂B，就是x∈A则x∈B，且A中至少有一个元素不在B中，则A是B的充分非必要条件，B是A的必要非充分条件.(3)若A=B，就是A⊂__B且A⊃__B，则A是B的充分条件，同时A是B的必要条件，即A是B的充要条件.(4)若A⊄B，A/⊃B，则A是B的既不充分也不必要条件.例5（2004上海春季高考）若非空集合M≠⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的（B ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件解析：由于M≠⊂N，所以M∪N=N，M∩N=M，又由并集的定义知：a∈M或a∈N⇔a∈M∪N=N⇔a∈N，a∈M∩N=M⇔a∈M，而M≠⊂N，所以“a∈M或a∈N”⇐“a∈M∩N”，所以“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”例6 已知真命题“a ≥b c ＞d ”和“a ＜b e ≤f ”，则“c ≤d ”是“e ≤f ”的________条件． 分析 ∵a ≥b c ＞d(原命题)，∴c ≤d a ＜b(逆否命题)．而a ＜b e ≤f ，∴c ≤d e ≤f 即c ≤d 是e ≤f 的充分条件．答 填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．已知p 、q 都是r 的必要条件，s 是r 的充分条件，q 是s 的充分条件，那么s ，r ，p 分别是q 的什么条件？分析 画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q 的充要条件；(s r q ，q s)r 是q 的充要条件；(r q ，q s r)p 是q 的必要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例7 关于x 的不等式|x |x 3(a 1)x 2(3a 1)0A B A B 1a 3a 12－≤与－＋＋＋≤的解集依次为与，问“”是“≤≤或＝－”的充要条件吗？()()a a +-⊆121222分析 化简A 和B ，结合数轴，构造不等式(组)，求出a ．解 A ＝{x|2a ≤x ≤a 2＋1}，B ＝{x|(x －2)[x －(3a ＋1)]≤0}当≤＋即≥时，23a 1a 13B ＝{x|2≤x ≤3a ＋1}．A B 2a 2a +13a +11a 323a 1a 2⊆⇔⎧⎨⎩⇔≥≤≤≤当＞＋即＜时，13B ＝{x|3a ＋1≤x ≤2}A B 2a 3a +1a +12a 1A B a 11a 3A B 1a 3a 12⊆⇔⎧⎨⎩⇔⊆⇔⊆≥≤＝－．综上所述：＝－或≤≤．∴“”是“≤≤或＝－”的充要条件．说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．。
黄冈中学高考数学典型例题2：充要条件的判定
黄冈中学高考数学典型例题详解充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p和结论q之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a|<4+b且|b|<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p：|1－31x|≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p是⌐q的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p是q的充分不必要条件.p:|1－31-x|≤2⇒－2≤31-x－1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x－(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n +q (p≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件.命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性.知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明.技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n 关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q .当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则n n a a aa112+==p ∴q p p p +-)1(=p , ∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p－1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A、B互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f(x)=x|x+a|+b是奇函数的充要条件是( )A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=02.(★★★★)“a=1”是函数y=cos2ax －sin2ax的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =n na a an+++++++ 321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线.又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0.即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根，∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2.歼灭难点训练一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此时f(－x)=(－x)|x+0|+0=－x·|x|=－(x|x+0|+b)=－(x|x+a|+b)=－f(x).∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的充分条件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函数，即f(－x)= (－x)|(－x)+a|+b=－f(x),则必有a=b=0,即a2+b2=0.∴a2+b2=0是f(x)为奇函数的必要条件.答案：D2.解析：若a=1,则y=cos2x－sin2x=cos2x,此时y的最小正周期为π.故a=1是充分条件，反过来，由y=cos2ax－sin2ax=cos2ax.故函数y的最小正周期为π,则a=±1,故a=1不是必要条件.答案：A二、3.解析：当a=3时，直线l1:3x+2y+9=0;直线l2:3x+2y+4=0.∵l1与l2的A1∶A2=B1∶B2=1∶1，而C1∶C2=9∶4≠1,即C1≠C2,∴a=3 l1∥l2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0)(1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p(2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立.综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件.6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1)32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n①b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n②①－②得：nan =2)1(2)1(--+n n b n n nb n －1∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列.综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性： 由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3)由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解.消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3)设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m②充分性： 当3＜x ≤310时， x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >03216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解.因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310.8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1,根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m n x x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x xn ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q综上所述，p 是q 的必要不充分条件.再三体会下解题思路哈。
充要条件ppt课件
2．设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边对应成比 例”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案：C
解析：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，即p⇔q， 故p是q的充要条件．
3．在△ABC中，AB>AC是∠C>∠B的________条件( ) A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
答案：C
解析：因为在△ABC中，边大则角大，角大边也大， 所以AB>AC是∠C>∠B的充要条件．
4．若p是q的充要条件，q是r的充要条件，则p是r的_充__要_条__件__条件．
解析：因为p⇔q，q⇔r，所以p⇔r， 所以p是r的充要条件．
1.充要条件的定义； 2.命题条件的充要性的判定及证明方法；
PQ
P (Q)
则p是q的充分不必要条件 .
PQ
PQ
(2)若pq , QPFra bibliotek则p是q的必要条件 . x∈Qx∈P
QP
P (Q)
若pq ,且pq, QP
则p是q的必要不充分条件 . QP
命题 “若p,则q”的逆命题是“若q,则p”
下列 “若p,则q”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都 是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则 这两个三角形全等;
• 思考 下列若p则q的命题中： • 1.若两个三角形的两个和其中一个角的对边分别相
等，则这两个三角形全等
• 2.若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等 • 3.若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根，则
ac<0 • 4.若AUB是空集，则A和B都是空集
怎样判断充分条件与必要条件
判断充分条件与必要条件的问题比较常见，此类题目的难度虽然不大，但对同学们的逻辑思维能力和分析推理能力要求较高.要想准确判断出充分条件与必要条件，我们需熟练掌握以下三种方法.一、定义法充分条件和必要条件是《简易逻辑用语》中的两个重要概念.一般地，若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.定义法是指借助充分、必要条件的定义进行判断的方法.这是判断充分条件和必要条件的基本方法.一般地，若p ⇒q 且q p ，则p 是q 的充分不必要条件；若pq 且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；若p ⇔q ，则p 是q 的充要条件；若pq 且qp ，则p 是q 的既不充分也不必要条件.例1.已m ，n ∈R ，则“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的.（填充分而不必要条件、必要而不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件）解析：若(m -n )m 2<0，则m ≠0，可知m <n ，所以“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的充分条件；若m <n ，则m-n <0，但当m =0时，（m -n ）m 2=0，所以“（m-n ）m 2<0”不是“m <n ”的必要条件.综上所述，“（m -n ）m 2<0”是“m <n ”的充分而不必要条件.在利用定义法判定充分条件与必要条件时，首先要注意明确条件和结论各是什么，然后弄清由命题p 能否推出命题q ，判定命题的充分性；再看由命题q 能否推出命题p ，判定命题的必要性，最后综合归纳得出最终结论即可.二、传递法我们知道，⇒、⇐、⇔等符号具有传递性，在判断充分条件和必要条件时，我们可以根据命题之间的这些关系得出相关结论，进而判断出命题的真假.例如，若p ⇒r ，r ⇒s ，s ⇒q ，则p ⇒q ；若p ⇔r ，r ⇔s ，则p ⇔s .值得注意的是，在解题时，同学们要注意先判断命题的充分性和必要性，这样便于准确识别充分条件和必要条件.例2.已知a 是b 的充分不必要条件，n 是a 的充分条件，b 是a 的必要条件，n 是b 的必要条件，现有下列命题：①b 是n 的必要条件；②m 是n 的充分不必要条件；③a 是n 的必要不充分条件；④a 是b 的充分不必要条件.其中真命题的个数是.解析：由于m 是a 的充分不必要条件，则m ⇒a ，但a 不能推出m ；n 是a 的充分条件，即n ⇒a ；b 是a 的必要条件，即a ⇒b ；n 是b 的必要条件，即b ⇒n .可以画出m ，a ，n ，b 之间的关系图，如图所示.结合关系图可知，n ⇒a ，a ⇒b ，则n⇒b ，又b ⇒n ，所以n ⇔b ，故b 是n 的必要条件成立，所以命题①为真命题.由a ⇒b ，b ⇒n ，则a ⇒n ，又m ⇒a ，所以m ⇒n ，但n 无法推出m ，故m 是n 的充分不必要条件，所以命题②为真命题.由a ⇒b ，b ⇒n 可知a ⇒n ，又n ⇒a ，所以a ⇔n ，故a 是n 的充要条件，所以命题③为假命题.由b ⇒n ，n ⇒a ，则b ⇒a ，又a ⇒b ，所以a ⇔b ，故a 是b 的充要条件，所以命题④为假命题，故真命题的个数为2.对于条件较多且关系复杂的问题，若能通过传递法来判断充分、必要条件，则可以化繁为简，直观快捷地解答问题.三、集合法集合法即利用集合间的包含关系进行判断的方法.通常来说，命题p 、q 能够用集合A =｛x |p (x )｝、集合B =｛x |q (x )｝的形式表示.若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件；若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件；若A =B ，即A ⊆B ，B ⊆A ，则p 是q 的充分必要条件；若上述三种关系都不成立，则p 是q 的既不充分也不必要条件.例3.x 2+y 2≤1是|x |+|y |≤1的.(填充分而不必要条件、必要而不充分条件、充分必要条件、既不充分又不必要条件)解析：设A =｛(x ，y )|x 2+y 2≤1｝，B =｛(x ，y )|x |+|y |≤1｝，则A 表示的是以原点为圆心、1为半径的圆周及其内部的点，而B 表示的是以（0，1）、（1，0）、（0，-1）为顶点的正方形边界及其内部的点，所以B ⊂A ，所以x 2+y 2≤1是|x |+|y |≤1的必要非充分条件.利用集合法可以将问题转化为集合间的运算问题来求解，我们根据集合运算法则和Veen 图便可判断出充分和必要条件.总之，在平时的学习中，同学们既要透彻理解和掌握充分、必要条件的概念，又要注意总结和归纳判断充分、必要条件的方法，并结合实际问题灵活运用，这样便能准确、快速地解题.（作者单位：江苏省上冈高级中学）知识导航38。
第3课充要条件（经典例题练习、附答案）
第3课 充要条件◇考纲解读掌握充分必要条件的意义，能够判定给定的两个命题的充要关系．◇知识梳理判断充要条件关系的三种方法：①定义法：若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇒，则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若B A ⇔，则A 是B 的_______条件．②利用原命题和逆否命题的_______来确定．③利用集合的包含关系：若,B A ⊆则A 是B 的_______条件，B 是A 的_______条件；若A=B ，则A 是B 的_______条件．◇基础训练1．（2006安徽卷）“3x >”是24x >“的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 2“x 是2的倍数或是3的倍数”是“x 是6的倍数”的（ ） A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件3．（2008中山一模）设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，那么“M a ∈”是“N a ∈”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2008佛山）“2a =” 是“函数()f x x a =-在区间[2,)+∞上为增函数”的（ ）. A ．充分条件不必要 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 ◇典型例题例1．设集合{2},{3},M x x P x x =>=<""x M x P ∈ ∈那么或""x M P ∈ 是的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件 例2．已知p ：－2≤x ≤10，q ：x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)，若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.◇能力提升1．如果y x ,是实数，那么“0>xy ”是“y x y x +=+”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件2．已知命题A,B ，如果⌝A 是⌝B 的充分而不必要条件，那么B 是A 的 ( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 非充分非必要条件3．若p ：⎩⎨⎧>>+44αββα ，q ：⎩⎨⎧>>22βα ，则p 是q 的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分又不必要条件4．(2008惠州一模) “p 或q 是假命题”是“非p 为真命题”的（ ）A ．充分条件不必要B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 若c b a 、、是常数，则“0402<->c a b a 且”是“对任意R ∈x ,有02>++c x b x a ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知真命题“a b c d ≥⇒>”和“a b e f <⇔≤”，那么“c d ≤”是“e f ≤”的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件第3课 充要条件◇知识梳理1.①充分,必要, 必要,充分,充要.② 逆否命题.③ 充分,必要,充要.◇基础训练1. B2. C3. B4. A◇典型例题例1.解："}3{}2{"""R x x x x M P x N x M x =<>=∈∈∈ 即或M P x M P x x x x M P x ∈⇐∈<<∈∈显然即},32{""，所以选B例2.解：由题意知，命题若⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件p ：－2≤x ≤10q ： x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式－2≤x ≤10的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集 又∵m >0∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， 实数m 的取值范围是［9，+∞)◇能力提升1.A2. C3. B4.A5. A6.A。
2018版高中数学人教版A版选修1-1课件：1-2-2 充要条件
件
若A
B且B
A，则p既不
是q的充分条件，也不是q的 必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}.
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题型探究
重点突破
题型一 充要条件的判断
例1 (1)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|” C 的( A．充要条件 C．必要而不充分条件 件 解析 分别判断x＞y⇒x＞|y|与x＞|y|⇒x＞y是否成立，从而得 到答案． ) B．充分而不必要条件 D ．既不充分也不必要条
解析答案
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1 1 充要条件. 5.命题 p：x>0，y<0，命题 q：x>y，x>y，则 p 是 q 的_____
1 1 解析 当 x>0，y<0 时，x>y 且x>y成立，
x－y>0， x>0， 1 1 当 x>y 且x>y时，得x－y ⇒ y<0. <0 ， xy
所以p是q的充要条件.
所以p是q的充要条件.
②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； 解 若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q； 若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q， 所以p是q的充要条件. ③p：|x|>3，q：x2>9. 解 由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件.
反思与感
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A 的( 1.对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b” A.充分不必要条件
B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 当a＋b＝0时， 得a＝－b，所以a∥b， 但若a∥b，不一定有a＋b＝0.
充要条件
充要条件的判定及应用2013年湖北高考大纲要求：掌握充分条件、必要条件、充要条件． 命题形式：一般为选择题，与不等式、三角函数等知识交汇． （一）主要方法：1、定义法：(1)若p q ⇒，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件；(2)若p q ⇒，但q ⇒/p ，则p 是q 的 条件,q 是p 的 条件；(3)若p ⇔q ，则p 是q 的 条件；(4)若p ⇒/q ，且 q ⇒/p ，则p 是q 的 条件．2、集合法：利用集合的包含关系．对于集合问题，记条件p 、q 对应的集合分别为A 、B ，若A B ⊆，则p 是q 的 条件，q 是p 的 条件； 若A B =，则A 是B 的 条件3、等价法：利用原命题与逆否命题的等价性． p q ⇒等价于（二）典例分析：例1．设α、(,)22ππβ∈-，那么""αβ<是βαsin sin <的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 变式：去掉题中的条件α、(,)22ππβ∈-，结果又会看样？例2． 指出下列各组命题中，p 是q 的什么条件（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一种作答） ．(1)p ：1<x ,q ：2<x(2) p ：1>x ,q ：2>x(3)p ：51<<-x ,q ：|2|3x -<(4) p ：2<x ,q ：1>x例3．已知R y x ∈,，p ：3≠+y x ,q ：21≠≠y x 或，则q 是p 的（ ）.A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件（三）巩固练习：1．（2011·四川）“x ＝3”是“x 2＝9”的（ ）.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 2．（2011·重庆） ""x <-1是""x 2-1>0的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．已知p 和q 是两个命题，如果p 是q 的充分但不必要条件，那么p ⌝是q ⌝的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4．（2011·全国）若a ，b ，c ∈R ，则a ＞b 成立的一个充分非必要条件为（ ）A ．a ＞b+1B ．a ＞b-1C ．22b a >D ．33b a >（四）走向高考1.（2008·湖北）若集合{}{}1,2,3,4,05,P Q x x x R ==<<∈,则（ ）A.“x ∈P ”是“x ∈Q ”的充分条件但不是必要条件B. “x ∈P ”是“x ∈Q ”的必要条件但不是充分条件C. “x ∈P ”是“x ∈Q ”的充要条件D. “x ∈P ”既不是“x ∈Q ”的充分条件也不是“x ∈A ”必要条件2.（2009·湖北）“sin α=21”是“212cos =α”的 ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ３.（2012·天津）设R x ∈,则“21>x ”是“0122>-+x x ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 ４.（2012·陕西）设R b a ∈,,i 是虚数单位，则“0=ab ”是“复数i b a +”为纯虚数的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 选做*５.（2012·湖北文）设a,b,c,∈R +,则 “abc=1”是“c b a c b a ++≤++111”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件。
知识讲解_充分条件与必要条件_基础
充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3. 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）X 1 2 PQA.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．【变式4】（2016 北京理）设a r ，b r 是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥r r r r r r r r r r r r，故是既不充分也不必要条件，故选D.类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥【巩固练习】一、选择题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝φ”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.(2015 北京文)设a b r r ，是非零向量，“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．b ＝c ＝0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016 四川理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 6. （2016 天津理）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．10. 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x ＝1； q ：x －1(2)p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3)p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．12．(1)写出|x|<2的一个充分不必要条件；(2) 写出x>-1的一个必要不充分条件；(3) 写出x1>2的一个充要条件 13．已知p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【答案与解析】1. 【答案】C ．【解析】由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A∩B ＝∅”；若“A∩B ＝∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的充分必要的条件．故选：C ．2. 【答案】 A【解析】 ||||cos a b a b a b =<>r r r r r r g g ，，由已知得cos 1a b <>=r r ，，即0//a b a b <>=r r r r ，，．而当//a b r r 时，a b <>r r ，还可能是π，此时||||a b a b =-r r r r g ，故“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的充分而不必要条件．故答案为：A ．3. 【答案】B【解析】当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立， 若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立，故“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要不充分条件，故选：B ．4. 【答案】 A【解析】 若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.5. 【答案】 A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A ．6. 【答案】 C【解析】 由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.7. 【答案】 a >0且b 2－4ac <0a <0且b 2－4ac <08. 【答案】 充分不必要【解析】 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002b b a -=⇔=.11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1＝1x -成立；当x －1＝1x -时，x ＝1或x ＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出{x|-2<x<2}的一个非空真子集即可，如x=0.(2) 仿(1) 只要写出一个包含{x|x>-1}的集合即可，如{x|x>-2}即x>-2.(3) 0<x<2113．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a, a<0}依题意，p ⇒q 且q p, 说明A ÜB ， 于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a≤3,∴正实数a的取值范围是0<a≤314．【解析】令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．（1）当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，又m≤1，∴m<0.（2）当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得43m ，又m≥3，∴此时不成立．（3）当1<m<3时，f(x)min＝f(m)＝－m2－1＝－(m2＋1)>0不成立，综上所述，m的取值范围为m<0.15. 【解析】证明：(1)充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．。
高中数学关于充要条件的概念
高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。
高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
充分条件与必要条件的判断方法
充分条件与必要条件的判断方法充分条件与必要条件是数学逻辑中用来描述事物之间关系的两个概念。
充分条件表示一些条件是导致另外一个条件（结论）成立的条件，必要条件则表示一些条件是另外一个条件（结论）成立的必需条件。
在判断充分条件与必要条件时，有以下几种常见方法：1.逆否命题法：逆否命题是充分条件与必要条件的等价形式。
对于一个命题P→Q，其逆否命题为非Q→非P。
所以判断一个命题是否是充分条件与必要条件可以通过判断其逆否命题是否成立来确定。
如果逆否命题成立，则原命题是充分条件与必要条件；如果逆否命题不成立，则原命题不是充分条件与必要条件。
2.反证法：反证法是一种常用的证明方法，用来证明一个命题的否定不成立，从而得到原命题的成立。
使用反证法可以判断一些条件是否是必要条件。
假设原命题的否定成立，然后推导出一个矛盾的结论，说明原命题不是必要条件。
反证法只能确定必要条件，不能确定充分条件。
3.实例法：实例法是通过构造特定的实例来判断一个条件是否是充分条件与必要条件。
如果找到了一个实例，使得条件成立而结论不成立，则说明这个条件不是充分条件。
反之，如果找到了一个实例，使得条件不成立而结论仍然成立，则说明这个条件不是必要条件。
实例法只是判断一个条件是否是充分条件或必要条件的一种方法，不是绝对可靠的。
4.定义法：有时候，一个条件的充分性或必要性可以通过已知的定义来判断。
如果一个结论是由一些条件的定义直接得出的，则可以判定这个条件是充分条件。
反之，如果一个条件是由一些结论的定义直接得出的，则可以判定这个条件是必要条件。
5.推理法：推理法是通过逻辑推理来判断一个条件是否是充分条件或必要条件。
根据已知的条件，运用一定的数学推理规则进行推导，从而得出结论。
如果推理过程中可以从条件推导出结论，则可以判断这个条件是充分条件。
反之，如果推理过程中可以从结论推导出条件，则可以判断这个条件是必要条件。
总结起来，充分条件与必要条件的判断方法包括逆否命题法、反证法、实例法、定义法和推理法。
充要条件
• (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果 条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p 是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条 件；若p＝q，则p是q的充要条件． • 4．充要条件的传递性 • 若A⇒B，B⇒C，C⇒D，则A⇒D，即A是D 的充分条件，利用这一结论可研究多个命 题之间的充要关系．
• (3) 根据线面垂直定义知， l ⊥ α ⇒ l ⊥ m 且 l⊥n， • 当m∥n时，l⊥m且l⊥n⇒/ l⊥α，故选A.
• 在下列四个结论中，正确的有 ( ) • (1)x2>4是x3<－8的必要不充分条件； • (2) 在△ ABC 中，“ AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 ”是 “△ABC为直角三角形”的充要条件； • (3)若a，b∈R，则“|a|＋|b|＝0”是“a，b 全不为0”的充要条件； • (4)若a，b∈R，则“|a|＋|b|≠0”是“a，b 不全为0”的充要条件；
• • • •
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) [答案] D [ 解析 ] 对于结论 (1) ，由 x 3 < － 8 ⇒ x < － 2⇒x2>4，但是x2>4⇒x<－2或x>2⇒x3<－8 或x3>8，不一定有x3<－8，故(1)正确；对 于结论 (4) ，由 | a | ＋ | b | ≠ 0 ⇒ a ， b 不全为 0 ， 反之，由 a ， b 不全为 0 ⇒ | a | ＋ | b | ≠ 0 ，故 (4) 正确.
课本例4：已知：圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d, 求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。
证明： （1）充分性：作OP l于点P,则OP=d.若d=r,则点P在圆O上， 在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在直角三角形OPQ中 OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线 l与圆O仅有一个公共点P，所以直线与圆相切。
高中数学知识点：充分条件和必要条件
高中数学知识点：充分条件和必要条件一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判定法1.定义法：判定B是A的条件，实际上确实是判定B=A或者A=B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判定即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判定。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判定有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AB，则p是q的充分条件。
若AB，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若AB，且BA，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，明白得其关系（专门是两种等价关系）的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也能够叙述为：（1）交换命题的条件和结论，所得的新命题确实是原先命题的逆命题；单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。
让学生把一周看到或听到的新奇事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积存的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。
如此,即巩固了所学的材料,又锤炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观看能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的成效。
事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
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充要条件的判定充分条件、必要条件和充要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件p 和结论q 之间的关系.本节主要是通过不同的知识点来剖析充分必要条件的意义，让考生能准确判定给定的两个命题的充要关系.●难点磁场(★★★★★)已知关于x 的实系数二次方程x 2+ax +b =0有两个实数根α、β，证明：|α|<2且|β|<2是2|a |<4+b 且|b |<4的充要条件.●案例探究［例1］已知p ：|1－31-x |≤2,q :x 2－2x +1－m 2≤0(m >0),若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围.命题意图：本题以含绝对值的不等式及一元二次不等式的解法为考查对象，同时考查了充分必要条件及四种命题中等价命题的应用，强调了知识点的灵活性.知识依托：本题解题的闪光点是利用等价命题对题目的文字表述方式进行转化，使考生对充要条件的难理解变得简单明了.错解分析：对四种命题以及充要条件的定义实质理解不清晰是解此题的难点，对否命题，学生本身存在着语言理解上的困难.技巧与方法：利用等价命题先进行命题的等价转化，搞清晰命题中条件与结论的关系，再去解不等式，找解集间的包含关系，进而使问题解决.解：由题意知：命题：若⌐p 是⌐q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件.p :|1－31-x |≤2⇒－2≤31-x －1≤2⇒－1≤31-x ≤3⇒－2≤x ≤10 q :x 2－2x +1－m 2≤0⇒［x －(1－m )］［x －(1+m )］≤0 *∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式|1－31-x |≤2的解集是x 2－2x +1－m 2≤0(m >0)解集的子集.又∵m >0 ∴不等式*的解集为1－m ≤x ≤1+m ∴⎩⎨⎧≥≥⇒⎩⎨⎧≥+-≤-9110121m m m m ，∴m ≥9， ∴实数m 的取值范围是［9，+∞).［例2］已知数列{a n }的前n 项S n =p n+q (p ≠0,p ≠1),求数列{a n }是等比数列的充要条件. 命题意图：本题重点考查充要条件的概念及考生解答充要条件命题时的思维的严谨性. 知识依托：以等比数列的判定为主线，使本题的闪光点在于抓住数列前n 项和与通项之间的递推关系，严格利用定义去判定.错解分析：因为题目是求的充要条件，即有充分性和必要性两层含义，考生很容易忽视充分性的证明. 技巧与方法：由a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n关系式去寻找a n 与a n +1的比值，但同时要注意充分性的证明.解：a 1=S 1=p +q . 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －1(p －1)∵p ≠0,p ≠1,∴)1()1(1---p p p p n n =p若{a n }为等比数列，则nn a a a a 112+==p ∴q p p p +-)1(=p ,∵p ≠0，∴p －1=p +q ，∴q =－1 这是{a n }为等比数列的必要条件.下面证明q =－1是{a n }为等比数列的充分条件.当q =－1时，∴S n =p n －1(p ≠0,p ≠1)，a 1=S 1=p －1当n ≥2时，a n =S n －S n －1=p n －p n －1=p n －1(p －1)∴a n =(p －1)p n －1 (p ≠0,p ≠1)211)1()1(-----=n n n n p p p p a a =p 为常数 ∴q =－1时，数列{a n }为等比数列.即数列{a n }是等比数列的充要条件为q =－1.●锦囊妙计本难点所涉及的问题及解决方法主要有：(1)要理解“充分条件”“必要条件”的概念：当“若p 则q ”形式的命题为真时，就记作p ⇒q ，称p 是q 的充分条件，同时称q 是p 的必要条件，因此判断充分条件或必要条件就归结为判断命题的真假.(2)要理解“充要条件”的概念，对于符号“⇔”要熟悉它的各种同义词语：“等价于”，“当且仅当”，“必须并且只需”，“……，反之也真”等.(3)数学概念的定义具有相称性，即数学概念的定义都可以看成是充要条件，既是概念的判断依据，又是概念所具有的性质.(4)从集合观点看，若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.(5)证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)函数f (x )=x |x +a |+b 是奇函数的充要条件是( )A.ab =0B.a +b =0C.a =bD.a 2+b 2=02.(★★★★)“a =1”是函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为“π”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件二、填空题3.(★★★★)a =3是直线ax +2y +3a =0和直线3x +(a －1)y =a －7平行且不重合的_________.4.(★★★★)命题A ：两曲线F (x ,y )=0和G (x ,y )=0相交于点P (x 0,y 0),命题B ：曲线 F (x ,y )+λG (x ,y )=0(λ为常数)过点P (x 0,y 0),则A 是B 的__________条件.三、解答题5.(★★★★★)设α，β是方程x 2－ax +b =0的两个实根，试分析a >2且b >1是两根α、β均大于1的什么条件？6.(★★★★★)已知数列{a n }、{b n }满足：b n =nna a a n +++++++ΛΛ321221,求证：数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.(★★★★★)已知抛物线C ：y =－x 2+mx －1和点A (3，0)，B (0，3)，求抛物线C 与线段AB 有两个不同交点的充要条件.8.(★★★★★)p :－2<m <0,0<n <1;q :关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，试分析p 是q 的什么条件.(充要条件)参考答案难点磁场证明：(1）充分性：由韦达定理，得|b |=|α·β|=|α|·|β|＜2×2=4.设f (x )=x 2+ax +b ,则f (x )的图象是开口向上的抛物线. 又|α|＜2,|β|＜2,∴f (±2)>0. 即有⇒⎩⎨⎧>+->++024024b a b a 4+b >2a >－(4+b ) 又|b |＜4⇒4+b >0⇒2|a |＜4+b(2)必要性：由2|a |＜4+b ⇒f (±2)>0且f (x )的图象是开口向上的抛物线.∴方程f (x )=0的两根α，β同在(－2，2)内或无实根.∵α，β是方程f (x )=0的实根， ∴α，β同在(－2，2）内，即|α|＜2且|β|＜2. 歼灭难点训练一、1.解析：若a 2+b 2=0,即a =b =0,此时f (－x )=(－x )|x +0|+0=－x ·|x |=－(x |x +0|+b )=－(x |x +a |+b )=－f (x ).∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的充分条件，又若f (x )=x |x +a |+b 是奇函数，即f (－x )=(－x )|(－x )+a |+b =－f (x ),则必有a =b =0,即a 2+b 2=0.∴a 2+b 2=0是f (x )为奇函数的必要条件. 答案：D2.解析：若a =1,则y =cos 2x －sin 2x =cos2x ,此时y 的最小正周期为π.故a =1是充分条件，反过来，由y =cos 2ax －sin 2ax =cos2ax .故函数y 的最小正周期为π,则a =±1,故a =1不是必要条件. 答案：A二、3.解析：当a =3时，直线l 1:3x +2y +9=0;直线l 2:3x +2y +4=0.∵l 1与l 2的A 1∶A 2=B 1∶B 2=1∶1，而C 1∶C 2=9∶4≠1,即C 1≠C 2,∴a =3⇔l 1∥l 2.答案：充要条件4.解析：若P (x 0,y 0)是F (x ,y )=0和G (x ,y )=0的交点，则F (x 0,y 0)+λG (x 0,y 0)=0，即F (x ,y )+λG (x ,y )=0，过P (x 0,y 0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根据韦达定理得a =α+β,b =αβ.判定的条件是p :⎩⎨⎧>>12b a 结论是q :⎩⎨⎧>>11βα(注意p 中a 、b 满足的前提是Δ=a 2－4b ≥0) (1)由⎩⎨⎧>>11βα，得a =α+β>2,b =αβ>1,∴q ⇒p (2)为证明p q ,可以举出反例：取α=4,β=21,它满足a =α+β=4+21>2,b =αβ=4×21=2>1,但q 不成立. 综上讨论可知a >2,b >1是α>1,β>1的必要但不充分条件. 6.证明：①必要性：设{a n }成等差数列，公差为d ,∵{a n }成等差数列.d n a n n n n d n a n na a a b n n 32)1(1])1(3221[)21(32121121⋅-+=+++-++⋅+⋅++++=+++++++=∴ΛΛΛΛΛ 从而b n +1－b n =a 1+n ·32d －a 1－(n －1) 32d =32d 为常数. 故{b n }是等差数列，公差为32d . ②充分性:设{b n }是等差数列，公差为d ′,则b n =(n －1)d ′∵b n (1+2+…+n )=a 1+2a 2+…+na n① b n －1(1+2+…+n －1)=a 1+2a 2+…+(n －1)a n② ①－②得：na n =2)1(2)1(--+n n b n n n b n －1 ∴a n =d n b d n b n d n b n b n b n n n '⋅-+='-+--'-++=--+-23)1(])2([21])1([2121211111,从而得a n +1－a n =23d ′为常数，故{a n }是等差数列. 综上所述，数列{a n }成等差数列的充要条件是数列{b n }也是等差数列.7.解：①必要性：由已知得，线段AB 的方程为y =－x +3(0≤x ≤3) 由于抛物线C 和线段AB 有两个不同的交点，所以方程组⎩⎨⎧≤≤+-=-+-=)30(312x x y mx x y *有两个不同的实数解. 消元得：x 2－(m +1)x +4=0(0≤x ≤3) 设f (x )=x 2－(m +1)x +4,则有 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<+<≤<⇒≥++-=≥=>⨯-+=∆3210310304)1(39)3(04)0(044)1(2m m m f f m②充分性：当3＜x ≤310时，x 1=2)1(1216)1(122+-+>-+-+m m m m >0 3216)1310(1310216)1(1222=-+++≤-+-+=m m x ∴方程x 2－(m +1)x +4=0有两个不等的实根x 1,x 2,且0＜x 1＜x 2≤3,方程组*有两组不同的实数解 因此，抛物线y =－x 2+mx －1和线段AB 有两个不同交点的充要条件3＜m ≤310. 8.解：若关于x 的方程x 2+mx +n =0有2个小于1的正根，设为x 1,x 2.则0＜x 1＜1,0＜x 2＜1,有0＜x 1+x 2＜2且0＜x 1x 2＜1, 根据韦达定理：⎩⎨⎧<<<-<⎩⎨⎧=-=+10202121n m nx x m x x 得 有－2＜m ＜0;0＜n ＜1即有q ⇒p .反之，取m =－21491,02131,21,312⨯-=∆=+-=x x n ＜0方程x 2+mx +n =0无实根，所以p q 综上所述，p 是q 的必要不充分条件.。