第12章弯曲变形

第十二章 弯曲变形
§12－1 引言
一、工程实际中的弯曲变形 二、梁的变形的度量——挠度与转角
一、工程实际中的弯曲变形 弊 a.机器中的齿轮传动轴
§12－1 引言 b.厂房里的吊车梁
利 a.车辆中的叠板弹簧(减振) b.游泳池中的跳板
一、工程实际中的弯曲变形
FRx1 M1
FRy1
FRx2 FRy2 M2
ab l 2
x0
l 2
b0
w Fbl2 0.0642 Fbl2
max 9 3EI
EI
x0
l 0.577l 3
w
x l 2
Fbl2 16EI
Fbl 2 0.0625
EI
对于简支梁，只要挠曲线上无拐点总可以用跨中挠度代替
最大挠度，并且不会引起很大误差
拐点
EIw M (x)
§12-3 计算梁位移的积分法
x C
l
B
2 m
FRB l
M
w
C
w
l 2
0.0625 ml2 EI
§12-3 计算梁位移的积分法
例2 试求图示简支梁的挠曲线方程和转角方程并确定其最大挠度和
最大转角。梁的抗弯刚度为常量
解： AC段
w
a
M ( x) bF x (0 x a)A
x
l
CB段
M(x)
bF l
x F(x a)
a)3
C2 x
D2
解： 求积分常数
光滑连续条件 x a
q1 q2 C1 C2
w1 w2 D1 D2
边界条件
x 0 w 0 D1 D2 0
§12-3 计算梁位移的积分法
F
w
a
b
C
A
x
x
Bx
l
bF FRA l
aF FRB l
xl w0
C1
C2
Fb 6l
(l 2
b2 )
AC段 (0 x a)
(a x
FRA
l)
bF l
F
b
C
Bx
x l
aF FRB l
AC段 (0 x a)
EIw1
bF l
x
EIw1
bF 2l
x2
C1
EIw1
bF 6l
x3
C1x
D1
CB段 (a x l)
EIw2
bF l
x
F(x
a)
EIw2
bF 2l
x2
F(x a)2 2
C2
EIw2
bF 6l
x3
F(x 6
二、边界条件与连续条件
§12-3 计算梁位移的积分法
边界(约束)条件
光滑条件
连续条件
w
x x0 F
1C
2
w x
A
B
F
x 0 x x0 x l
w 0 w1 w2 w 0
q1 q2
x
xl
w0
q 0
§12-3 计算梁位移的积分法
例1 试用积分法求图示梁的挠曲线方程和转角方程，并求梁的最大
EIw1
bF l
x
EIw1
bF 2l
x2
C1
EIw1
bF 6l
x3
C1x
D1
CB段 (a x l)
EIw2
bF l
x
F(x
a)
EIw2
bF 2l
x2
F(x a)2 2
C2
EIw2
bF 6l
x3
F(x 6
a)3
C2 x
D2
§12-3 计算梁位移的积分法
解： 转角方程，挠度方程
q1
Fb 6EIl
l2 b2 3x2
w1
Fbx 6EIl
l2 b2 x2
w
a
A
x
bF FRA l
M
F
b
C
Bx
x l
aF FRB l
q2
Fb 6EIl
l2
b2
3x2
3l b
x
a
2
w2
Fb 6EIl
l2
b2
x2
x
l b
x
a
3
求qmax
q (x) M (x) 0
qA
Fab(l b) 6EIl
y1
Fbx 6EIl
l2 b2 x2
w max
w1 x0
9
Fb 3EIl
l2 b2 3
§12-3 计算梁位移的积分法
例2 解： 工程中最大挠度的近似计算 F
l2 b2
x0
3
w
a
C
A
x
x
b
Bx
w max
w1 x0
9
Fb 3EIl
l2 b2 3
bF
FRA l
l
FRB
aF l
解：转角方程，挠度方程
q w m 6lx 3x2 2l2 6EIl
w mx 3lx x2 2l2 6EIl
求 wmax w q 0
x0 1
3 3
l
0.423l
w
max
w x0
0.0642 ml2 EI
画挠曲线
§12-3 计算梁位移的积分法
w m
A
m FRA l
EIw M (x)
,
qB
Fab(l 6EIl
a)
例2
解：求 wmax
找最大挠度的位置
qC
Fab(a b) 3EIl
AC
Fb 6EIl
l 2 b2 3x02
0
x0
l2 b2 3
§12-3 计算梁位移的积分法
F
w
a
b
C
A
x
x
Bx
l
bF FRA l
M
FRB
aF l
q1
Fb 6EIl
l2 b2 3x2
挠度 w max 。已知 E为I 常量
EIw M (x)
解：M ( x) m m x
w
l
m
x
EIw m m x
A
x
B
l
EIw mx m x2 C
（1）
FRA
m l
FRB
m l
2l
EIw mx2 m x3 Cx D （2）
2 6l
求积分常数
x0
xl
w0
w0
D0
C ml 3
例1
第十二章 弯曲变形
§12-2 挠曲轴近似微分方程
1、力学方面
1
M EIz
1
(x)
M(x) EIz
2、数学方面
1
w
x 1 w2 3 2
挠曲线微分方程
w
M (x)
1 w2 3 2 EIz
§12-2 挠曲轴近似微分方程
(x)
w
F
a
A
F a Bx
F FS
Fa
w(x) Fa F
M
挠曲线微分方程
F2 60kN
C
A
F1 200kN
F2
Fx1 Fy1 Fy2
Fy3
Fy4
Fx1
M1 Fy1
Fy2
§12－1 引言
二、梁的变形的度量——挠度与转角
w ——挠度
q ——转角
w
qA
1' 1 q
x C'
w
C
1 1'
挠曲线
Bx
F
§12－1 引言
w w(x) ——挠曲线方程
q q ( x) ——转角方程 w(x) tgq ( x) q ( x)
第十二章 弯曲变形
§12-3 计算梁位移的积分法
§12-3 计算梁位移的积分法
一、积分运算
q
w
M x
EI
dx
C
q w M (x)
EI
M x
w
等直梁
EI
dx dx Cx D
EIq M xdx C
EIw M来自百度文库 xdx dx Cx D
C和D为积分常数 由已知位移条件定
w
M (x)
1 w2 3 2 EIz
w M
§12-2 挠曲轴近似微分方程
w M (x)
1 w2 3 2 EIz
w
M
M
M
w 0
O
M 0 x
w 0
O
M 0 x
3、挠曲线近似微分方程
w tgq
一般 q 1
tg1 0.017
(tg1)2 0.00289
w M (x) EI z
当 q 1 时 (w)2 0.00289 1