第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式

2.中心 矩
k ( X ) E X k 为X 的 k 阶原点矩。
显然：v1 E( X )
定义2 设X 是随机变量，则称
k( X ) E X E( X ) k 为X 的 k 阶中心矩。
3.原点矩与中心矩的关系
r阶正负降，不够1阶凑；
1 E[X E( X )] 0 系数末了r 1,中间组合数
g( x)P( x) g( x) f ( x)dx
x
Z g( X ,Y )时，Eg( X ,Y ) g( xi , y j )P( xi , y j )
ij
g( x, y) f ( x, y)dxdy
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
回顾：
1.原点矩 定义1 设 X 是随机变量，则称
i
ij
同理：D(Y ) E[g(Y )] yi E(Y )2 p( xi , y j )
ij
二维情况下的连续变量 X：D( X ) E{[ X E( X )]2 }
x E(X)
2
f X ( x)dx
x E( X ) 2 f ( x, y)dxdy
同理：D(Y ) E{[Y E(Y )]2 }
k m 1 e
k
k 1
m0 m!
m1 m 1 !
k 0
k!
e
k1
k 1
k 1
!
k 0
k
k!
e
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e
1
D( X ) E X 2 E( X )2 1 2
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
例题11-1-2 设随机变量 X ~ U[a, b] ，求方差 D(X )。
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
本次课讲授第三章第4—8节，方差，协方差、 相关系数与大数定理；
下次课讲授第四章第1-4节：正态分布的密度与 期望方差。
下次上课前完成作业9，上课时交作业P37---40 页
重点：方差与协方差
难点：方差协方差与独立相关系数之间的关系
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
y
E(Y
) 2
f
( x,
y)dxdy
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
用均值计算方差定理: D( X ) E( X 2 ) E( X ) 2
证明： D( X ) EX E( X )2 E X 2 2XE( X ) E( X ) 2
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
3.例题讲解
实际上，D( X ) u2 v2 v12 E( X 2 ) E 2 ( X )
例题11-1-1 设随机变量 X ~ P ，求方差 D(X )。
解 PX m m e m 0,1, 2,.
m!
E(X)
m
m e
m0 m!
E X 2 m 2 m e e m m1
2
3
2
2 1
3 3 2 1
2
3 1
4
4
4 3 1
6
2
2 1
3
4 1
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
一、方差与标准差
1.定义
背景：在统计应用中，二阶中心矩的具有特殊的重要性。 因为它能表达随机变量的偏离程度，这种偏离程度是均值无 法反映的。例如，某小公司有10个员工，它们的年薪分别是 （万元）25,18,36,28,16,20,29,32,41,150.其均值是39万5千 元。于是老板宣布我们公司的平均年薪39万5千元。这引起 多数员工的不满。为什么？因为数据中有150万元是老板自 己的年薪，其它9人中有6人偏离均值很远。本例说明，均值 只代表平均收入，却不能表达数据的偏离度。在中心矩概念 中，二阶中心矩表述了变量与其均值之间的差的程度，为此 将它作为衡量变量偏离均值的专有量值，并命名为方差。
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
离差与偏差定义 随机变量X 与其数学期望的差叫做随机变量X的离差。即
X EX
离差的平方的数学期望叫做随机变量X 的方差,记作 DX .
D( X ) E X EX 2
标准差 随机变量X 的方差的算术平方根叫做随机变量X 的
标准差或均方差，记作σ(X)，即
解
其密度函数为
f
x
e
x
,
0,
x 0; 其它.
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
E(X
)
0
x
e x
dx
1
E X 2
0
x2
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E X 2
4.方差性质
E(X )2
2
2
1
2
1
2
1.定理（1、2） DaX b＝a2 D( X )
( X ) D( X ) 或 D( X ) 2( X )
说明：1..D(X)非负，且D(X)即是二阶中心距
2.实际应用中常用标准差，它与随机变量的量纲一 致，但为了运算方便，理论推导和研究通常用方差。
第十一讲 方差、相关系数与切比雪夫不等式
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X )2 } E[g( X )]
概括各类情况的均值公 式
定义：E( X ) xi P( xi ) xP( x)
i 1
x
若X连续，则令P( xi X xi x) P( xi ) f ( xi )xi ,
E(X)
xi P(xi )
xi f ( xi )xi
xf ( x)dx
i 1
i 1
Y g( X )时，E(Y ) E[g( X )]
解
其密度函数为
f
x
b
1
a
,
a x b;
0,
其它.
E(X)
b a
b
x
a
dx
a
2
b
.
E X2
b a
x2 ba
dx
a2
ab 3
b2
D( X ) E X 2 E( X )2 a 2 ab b2 (a b)2 (b a)2
3
4
12
例题11-1-3
设随机变量X服从指数分布X ~ e ，求其方差与标准差
离散变量X : D( X ) E[g( X )] xi E( X )2 p( xi )
i 1
连续变量X : D( X ) E[g( X )]
x
E(X
) 2
f
( x)dx
二维情况下的离散变量 X : D( X ) E[g( X )]
xi E( X )2 PX ( xi )
xi E( X ) 2 p( xi , y j )