医学物理学：03第三章 流体的运动(一)
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医用物理学03流体的运动
2020/3/1
46
2020/3/1
14
二、伯努利方程的应用
1、汾丘里流量计
P112v12P212v22
S11S22
P11 2v12P21 2v2 2
QS1v1 S1S2
2gh S12 S22
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h
P1
P2
v1
v2
S1
S2
15
二、伯努利方程的应用
2、龙吸水
Pv2 gh恒量
5.人体的血液循环过程中,血流速度在毛细 血管处最慢。
（√）
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例7
当流动的液体（理想）从水平管中的细部流到粗 部时，液体的压强：…………………（ ） A.由小增大。 B.由大减小。 C.无变化。 D.不能确定。
Rf
8L R 4
答案：A
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例8
某粘滞流体通过半径为r的管道时流阻为R，如管 道半径增加一倍，其流阻为：…（ ）
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一、层流
1、粘性流体 理想流体：绝对不可压缩，完全没有粘滞性 粘性流体：不能忽略粘滞性 ——甘油、血液 分类 (流动状态) ： 层流(laminar flow) 湍流(turbulent flow) 过渡流动
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一、层流
2、层流 流体分层流动，流层间没有横向混杂。
3、过渡流动 介于层流与湍流间的流动状态很稳定，称为过渡流动
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四、雷诺数
Re 1000
1000Re1500 层流 Re 1500 过渡流动
湍流
r1.051300.250.01 Re 3103 875
医用物理学作业答案
第三章 流体的运动3-5水的粗细不均匀的水平管中作稳定流动，已知在截面S 1处的压强为110Pa ，流速为0.2m/s ，在截面S 2处的压强为5Pa ，求S 2处的流速（内摩擦不计）。
解：根据液体的连续性方程，在水平管中适合的方程：=+21121ρυP 22221ρυ+P代入数据得：22323100.12152.0100.121110υ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+得 )/(5.02s m =υ 答：S 2处的流速为0.5m/s 。
3-6水在截面不同的水平管中作稳定流动，出口处的截面积为最细处的3倍，若出口处的流速为2m/s ，问最细处的压强为多少？若在此最细处开个小孔，水会不会流出来？解：将水视为理想液体，并作稳定流动。
设管的最细处的压强为P 1，流速为v 1，高度为h 1，截面积为S 1；而上述各物理量在出口处分别用P 2、v 2、h 2和S 2表示。
对最细处和出口处应用柏努利方程得：=++121121gh P ρρυ222221gh P ρρυ++由于在水平管中，h 1=h 2=+21121ρυP 22221ρυ+P从题知：S 2=3S 1根据液体的连续性方程： S 1υ1 = S 2υ2∴ 212112213/3/υυυ===S S S S V又Pa P P 50210013.1⨯== ∴222201)3(2121υρρυ-+=P P=2204ρυ-P=235210410013.1⨯⨯-⨯ Pa 510085.0⨯=显然最细处的压强为Pa 510085.0⨯小于大气压，若在此最细处开个小孔,水不会流出来。
3-7在水管的某一点，水的流速为2 cm/s ，其压强高出大气压104 Pa,沿水管到另一点高度比第一点降低了1m ，如果在第2点处水管的横截面积是第一点处的二分之一，试求第二点处的压强高出大气压强多少？解：已知：s m s cm /102/221-⨯==υ, a p p p 40110+=, m h 11=, 2/1/12=s s , 02=h ,x p p +=02水可看作不可压缩的流体，根据连续性方程有：2211v s v s =，故2112s v s v ==21v 又根据伯努利方程可得：22212112121v p gh v p ρρρ+=++故有：210121404212110v x p gh v p ⋅++=+++ρρρ12142310gh v x ρρ+-=110101)102(101231032234⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯-=-=2×104 pa3-8一直立圆柱形容器，高0.2m ，直径0.2m ，顶部开启，底部有一面积为10-4m 2的小孔，水以每秒1.4×10-4m 3的快慢由水管自上面放入容器中。
医用物理课件：第3章流体的运动
1 2
mv12
mgh1
P1V
P2V
1 2
mv
2
2
mgh2
1 2
mv12
mgh1
第三章 流体的运动
P1V
1 2
mv12
mgh1
P2V
1 2
mv22
mgh2
P1
1 2
v12
gh1
P2
1 2
v2 2
gh2
P 1 v2 gh 常量
2
同一细流管中，单位体积流体的动能、单位体积流 体的重力势能、该点的压强之和为一常量。
0．0012 4．220 0．494
3）SI制单位：N.s.m-2 或 Pa.s； 常用单位P（Poise，泊 ）1P=0.1 Pa.s
第三章 流体的运动
第三章 流体的运动
二、牛顿黏滞定律
1. 内摩擦力（黏性力） 层流时两流层之间存在的切向的阻碍 相对滑动的力。 2. 速度梯度 dv/dx
在垂直于流动方向上,每增加单位距离 流体速率的增加量.
3、牛顿粘滞定律
F S dv
dx S — 两层之间的接触面积.
: 黏滞系数(黏度)
第三章 流体的运动
4、黏度 1)意义:流体黏性大小 的量度。 2)说明 粘度大小由流体本身的 性质和温度决定。
功能原理
外力和非保守内力所做 的功等于系统机械能的 增量
A=△E
第三章 流体的运动
1、伯努利方程推导
细流管中截取一段作稳
定流动的理想流体。
F2
外力（细流管外流
体压力）作功
F1
A F1L1 F2 L2
P1S1V1t P2S2V2t
P1V P2V
流体的运动PPT课件
例题：设主动脉的内半径为0.01m，血液的流速、 粘 度 、 密 度 分 别 为 v＝0.25m.s-1,η=3.0×103Pa．s,ρ=1.05 ×103kg．M－3，判断血液以何种 状态流动。
解：雷诺数为
1.0 51300.2 50.01
Re
3.01 03
875
这一数值小于1000，所以血液在主动脉中为层 流。
管状区域称为流管
2
S1
V1
1
V2
流量Q：单位时间内通过某一流管内任意横截面的流体的体
积叫体积流量（简称流量）
S2
平均流速：V=Q/S
定常流动的特征 流线形状不变 流线与流体粒子的轨迹重合 流体只能在管内流动，不能流出管外
那么，定常流动的流量、流速 有什么规律呢？
三、连续性方程
设截面积S1、S2处的流速分别为V1和V2，流体的密度为1 、 2，流体经过时间△t
飞机升空原理
伯努利方程的应用：P + ½ v2 + g h = 常量
旋转乒乓球的运动轨迹？
伯努利方程的应用：P + ½ v2 + g h = 常量
空吸作用 喷雾器
TL2003型手持式气溶胶喷雾器
伯努利方程的应用：P + ½ v2 + g h = 常量
水流抽气机
伯努利方程的应用：P + ½ v2 + g h = 常量
例题：设有流量为 0.12m3s-1的水流过如 图所示的管子。A点的压强为 2 x 105Pa， A点的截面积为100cm2,B点的截面积为 60cm2。假设水的粘性可以忽略不计，求 A、B两点的流速和B点的压强。
解：水可近似认为不可压缩、没有粘滞性 的理想流体，根据连续性方程有
《医学物理学》课件流体的运动
05
CATALOGUE
流体的流动规律
伯努利方程
伯努利方程表述了理想流体在重力场作稳定流动时，具有压力能、位能和动能三种形式，它们之间能 够互相转换，且总和保持不变。
伯努利方程是理想不可压缩、定常流动流体动量方程的变形，它反映了流体的压强、位置高度和速度 之间的关系。
连续方程
连续方程表述了单位时间流入、流出 控制体积的质量流量之差，等于体积 V中液体质量的变化率。
原因分析
重力是地球对物体的吸引力，因此物体受到的重力越大，其受到的 流体静压力也越大。
实例
在太空中，由于没有重力作用，液体无法保持一定的形状和位置， 会四处漂浮。
03
CATALOGUE
流体动力学
流体动压力
定义
流体动压力是指单位面积上垂直作用于流体微元上的动量力。
公式
流体动压力与流体的密度、速度和重力加速度有关，计算公式为： p = ρgh。
流体静压力与深度关系
深度对流体静压力的影响
流体静压力随深度的增加而增加。
原因分析
由于重力作用，越深处的流体受到的重力越大，因此流体静压力随 深度的增加而增加。
实例
在水中，水深每增加1米，水压就增加约9800帕斯卡。
流体静压力与重力关系
重力对流体静压力的影响
流体静压力与重力有关，重力越大，流体静压力越大。
案例二：肺换气过程模拟
肺换气的生理机制
肺换气是呼吸过程中氧气和二氧化碳交换的 过程，流体力学在肺换气过程中起着重要作 用。
肺功能评估
通过模拟肺换气过程，可以评估肺的功能状态，如 肺活量、通气量等，为诊断肺部疾病提供依据。
呼吸治疗
针对呼吸系统疾病，如哮喘、慢阻肺等，流 体力学方法可以帮助设计更有效的呼吸治疗 策略。
第三章流体的运动
作业： 习题三 3-6、3-7、3-10
由上两式可得
S1
h
汾丘里流量计
v1 S 2
2P P2 2 gh 1 2 2 S2 2 S1 S 2 S12 S 2
S2
水平放置
压强差
P P2 gh 1
2 gh 2 S12 S 2
流量 Q S1v1 S1S 2
2、流速计
皮托管是用来测量液体或气体 流速的装置。
第三章 流体的运动
• 物质存在的三种状态——固、液、气
• 流体各部分之间很容易发生相对运动— —流动性
• 具有流动性的物体——流体
如：水、酒精、血液、空气……
§3.1 理想流体 稳定流动
一、理想流体
绝对不可 压缩 完全没有 粘滞性 （它是一种理想化模型，实际不存在。）
二、稳定流动
1. 稳定流动 一般情况下，流体流动时，空间各点的流速随位 置和时间的不同而不同，即 v v( x, y, z, t ) 若空间各点流速不随时间变化，即
说明： ① v、h、P 均为流管横截面上的平均值。 ② 若S1、S2→0 ，则表示同一流线上不同点 各量的关系。 3、适用范围
只适用于理想流体在同一细流管中作稳定流动。
4、特例
A、流体在水平管中流动（h1 = h2 ），则流体的势能在 流动过程中不变，故
P v 常量
1 2 2
V小→P大 ； V大→P小
1 1 2 2 10 1000 12 1000 20 2 1000 9.8 2 2 2 5.24 10 4 Pa
5
二、 伯努利方程的应用
1、流量计
用汾丘里流量计可以测量液体的流量。
医用物理学流体的运动
04
CATALOGUE
粘性流体的流动现象
层流与湍流现象
层流现象
粘性流体在管道内流动时，若流速较 低，流体各层质点互不混杂，流动平 稳，呈现明显的分层流动现象，称为 层流。
湍流现象
随着流速的增加，流体各层质点开始 相互混杂，流动变得不稳定，出现涡 旋和随机脉动，这种流动状态称为湍 流。
雷诺数及其物理意义
THANKS
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医用物理学流体的运动
CATALOGUE
目 录
• 流体运动基本概念 • 流体静力学原理 • 流体动力学基础 • 粘性流体的流动现象 • 医用物理学在流体运动中的应用 • 实验方法与技术研究
01
CATALOGUE
流体运动基本概念
流体的定义与特性
流体的定义
流体是指在外力作用下，能够连 续变形并流动的物质。它包括液 体和气体两大类。
压强
流体中某点的压力与该点处流体密 度的比值，用符号$rho$表示，单 位是千克每立方米（kg/m³）。
压力与压强的关系
$p = rho gh$，其中$g$是重力加 速度，$h$是流体中某点距参考面 的高度。
帕斯卡原理及应用
01
02
03
帕斯卡原理
在密闭容器内，施加于静 止液体上的压强可以等值 同时传到各点。
湍流
当流体流速增大到一定程度时，流体质点的运动轨迹变得不规则，出现涡旋和 剧烈的紊动，这种流动称为湍流。湍流具有流动不稳定、质点相互混杂的特点 。
粘度与流动阻力
粘度
粘度是表征流体粘滞性大小的物理量，它反映了流体内部质 点间相互作用的强弱。粘度越大，流体内部质点间的相互作 用力越强，流动阻力也越大。
用于解释和计算各种流体现象，如文 丘里管、喷雾器、飞机升力等。
医学物理学第三章流体1汇编
测量气体的文托里流量计：
汾丘里（Venturi meter）流量计图片
P 1P 2 gh
Q S1v1 S1S 2 2 gh S12 S 22
3.流速计--皮托管（pitot tube） 选A、B为两截面： 水平流管伯努利方程： 1 2 1 2 PA v A PB vB 2 2 又:
第 3 章 流 体 的 运 动
第三章
流体的运动
流体运动： 流体静力学 流体动力学 物质的形态：固体（牛顿力学） 意义：研究人体循环系统、呼吸过程 液体 以及相关的医疗设备都十分必要。 流动性 气体 流体——具有流动性的物体。 流体力学——研究流体的运动规律
及流体与其中固体相互作用的规律。
第一节 理想流体 稳定流动（重点）
vA
A
求：vA ?, vB ?, PB ?,
vA
Q 0.12 2 12 m s 1 s A 10 S A vA SB vB Q Q 0.12 1 根据连续性方程， vB 20 m s sB 60 104 1 2 1 2 根据伯努力方程，得： PA v A PB v B ghB 2 2
一般流体的流速是空间坐标和时间的函数 ： v = f ( x.y.z.t )
若：
v = f ( x.y.z ) 稳定流动
即：空间任意点的流速不随时间而变。
理想流体做定常流动时的特征： v2 S2
v1 S1
a. 流线固定不变，永不相交；
b. 在流管中，有多少流体流入S1，就有多少流 体流出S2。 a. 管内的流体不能流出管外，管外的流体不 能流入管内。
即：
A
B
vB 0
------ B点称为“滞止点”
医学物理第三章 流体的运动
连续性方程
即： 1v1S1 2v2S2
vS 常量
质量流量：定义单位时间内通过某一横截面的流体质量 为质量流量。
流体作稳定流动时，同一流管中的质量流量守恒。
流体的运动
对于不可压缩流体： 1 2
所以有:
S1V1 S2V2
SV 常量
连续性原理：不可压缩流体在同一流管中做稳定流动时， 流体的流速与流管横截面的乘积是一不变的恒量。
流体的运动
管中甘油流速并不完全相同: 愈靠近管壁处速度愈慢,与管壁接触的液层附着在
管壁上,速度为零,中央轴线上速度最大.
二、牛顿粘滞定律
流体的运动
（1）内摩擦力（粘性力）（viscous force） 内摩擦力的方向与流层的流动方向平行，为切力。
（2）速度梯度（velocity gradient)
解: v (P1 P2 ) (R2 r2 )
4 L
管轴处r=0,
vr 0
(P1 P2 )
4 L
R2
p
4 L
R2
从表3-1查得20oC的水黏度.本题可解
流体的运动 三、斯托克斯定律
物体在静止流体中运动受到流体的阻力。
斯托克斯定律：球状物体在静止流体中沉降时所受到的 阻力与流体的粘度、物体的沉降速度及物体的半径成正比。
体积流量：定义单位时间内通过某一横截面的流体体积 为体积流量。
Q vS
连续性原理可表述为：不可压缩流体在同一流管中做稳定 流动时，体积流量不变。
横截面积较大处流速较小, 横截面积较小处流速较大.
流体的运动
第二节 伯努利方程及其应用
研究理想流体的稳定流动
预备知识
1、理想流体内某点的压强大小只与该点的位置有关。 2、静止流体内两点的压强差的计算：
《医学物理学》课件流体的运动-(含多场合)
《医学物理学》课件流体的运动-(含多场合) 《医学物理学》课件——流体的运动一、引言流体力学是研究流体（液体和气体）运动规律及其与周围环境相互作用的学科。
在医学领域，流体力学有着广泛的应用，如血液流动、呼吸气流、药物输送等。
本课件将介绍流体的基本性质、流体运动的描述方法以及流体力学在医学中的应用。
二、流体的基本性质1.流体的定义与分类流体是一种无固定形状的物质，在外力作用下可以流动。
根据分子间作用力的不同，流体可分为液体和气体。
液体具有不可压缩性和粘滞性，而气体具有可压缩性和粘滞性。
2.流体的密度与压力密度是流体单位体积的质量，通常用ρ表示。
压力是流体分子对容器壁的撞击力，与流体深度和密度有关。
在静止的流体中，压力随深度增加而增大。
3.流体的粘滞性粘滞性是流体抵抗剪切变形的能力。
粘滞性越大，流体越难以流动。
牛顿流体和幂律流体是两种常见的流体类型，它们的粘滞性随剪切速率的变化而不同。
三、流体运动的描述方法1.拉格朗日法与欧拉法拉格朗日法通过追踪流体中某一质点的运动轨迹来描述流体运动。
欧拉法则从空间固定点观察流体运动，描述流体在某一时刻的速度场、压力场等。
2.流线、流管与流速分布流线是流体运动轨迹上各点的切线方向，流管是由一组流线组成的管状区域。
流速分布描述了流体在空间各点的速度大小和方向。
3.纳维-斯托克斯方程纳维-斯托克斯方程是描述流体运动的基本方程，包括质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程。
通过求解纳维-斯托克斯方程，可以得到流体运动的详细情况。
四、流体力学在医学中的应用1.血液流动血液是一种非牛顿流体，其流动特性对心血管系统的正常运行至关重要。
流体力学在研究心脏泵血、血管阻力、血流动力学等方面具有重要意义。
2.呼吸气流呼吸气流是气体在呼吸道中的运动。
流体力学在研究肺通气、气体交换、呼吸疾病等方面具有重要作用。
3.药物输送药物输送涉及药物在体内的输运和分布。
流体力学在研究药物在血管、组织间的传输过程以及药物释放等方面具有重要意义。
《流体的运动》课件
流体与固体的比较
形态：流体可以流动，固体则不能 内部结构：流体内部分子间存在间隙，固体内部分子紧密排列 受力反应：流体受力时容易变形，固体则不易变形 运动状态：流体可以流动，固体则保持静止或缓慢运动
流体运动的分类
层流与湍流
层流：流体在流动过程中，各层之 间没有明显的速度差异，流体质点 沿流线流动。
流体运动的描述方 法
拉格朗日法
描述方法：将流体视为一组粒子，每个粒子都有其位置、速度和加速度 优点：能够描述流体的瞬时状态和运动轨迹 缺点：计算量较大，难以处理复杂流体问题 应用领域：广泛应用于流体力学、气象学等领域
欧拉法
描述方法：通过求解欧拉方程来描述流体的运动 特点：适用于描述无粘流体的运动 应用：在流体力学、气象学等领域有广泛应用 局限性：不适用于描述有粘流体的运动
稳流与非稳流
稳流：流体运动状态稳定，速度、压力等参数不随时间变化 非稳流：流体运动状态不稳定，速度、压力等参数随时间变化 稳流分类：层流、湍流 非稳流分类：间歇流、脉动流、旋涡流等
一维流动、二维流动和三维流动
一维流动：流体在管道或通道中流动，只考虑长度方向的变化 二维流动：流体在平面上流动，考虑长度和宽度方向的变化 三维流动：流体在三维空间中流动，考虑长度、宽度和高度方向的变化 流动类型：层流、湍流、过渡流等
描述流体运动的物理量
速度：描述流体运动的快慢 压力：描述流体受到的力 密度：描述流体的质量分布
温度：描述流体的热量分布 黏度：描述流体的流动性 流速：描述流体运动的方向和速度
流体动力学的基本 方程
质量守恒方程
质量守恒定律：流体的质量在运动过程中保持不变
质量守恒方程：描述流体质量守恒的方程
方程形式：ρ(∂u/∂t + ∇·u) = 0 方程解释：ρ表示流体密度，u表示流体速度，∂u/∂t表示流体速度的时间 变化率，∇·u表示流体速度的空间变化率，0表示流体质量守恒
《医学物理学》课件--流体的运动
呼吸的过程
呼吸过程分为吸氧和呼二氧化碳。吸氧时，外界氧气通过呼吸道进入肺部，再通 过肺泡进入血液中，与血红蛋白结合并运输到全身。呼二氧化碳时，二氧化碳从 血液中进入肺泡，并通过呼吸道排出体外。
医学影像学
X线成像
X线可以穿透人体组织，不同组织对X线的吸收程度不同，因此可以在胶片或数字化成像设备上获得人体内部 结构的影像。
以问题导向的方式引导学生积极思考，通过 案例分析、讨论等互动方式，加深学生对知
识的理解和掌握。
02
基本概念
流体静压力
流体静压力定义
由于地球引力导致流体中的粒子受到的垂直向下的压力。
流体静压力与深度的关系
流体静压力随深度的增加而增加，且两者之间呈线性关系。
医学应用
在医学影像学中，通过观察不同深度层面上的流体静压力变化，可以了解病变的位置和范围。
MRI成像
MRI是一种利用磁场和射频脉冲对人体内部结构进行无辐射成像的技术。它可以提供高分辨率的图像，特别适 用于脑部、脊柱和软组织成像。
05
实验与演示
实验方案设计
01
实验目的
通过实验观察和了解流体运动的基本规律，掌握流体静压力、动压力
、伯努利方程等基本概念。
02
实验原理
根据伯努利方程和牛顿第二定律，研究流体运动的基本规律，制定实
验方案。
03
实验步骤
分别进行流体静压力、动ห้องสมุดไป่ตู้力等实验操作，记录数据并进行分析。
实验操作与数据记录
实验操作
将流体倒入实验装置中，调整流速，观察流体的运动情况并记录数据。
数据记录
记录流体的流量、流速、静压力、动压力等数据，绘制图表进行数据分析。
结果分析与讨论
呼吸过程分为吸氧和呼二氧化碳。吸氧时，外界氧气通过呼吸道进入肺部，再通 过肺泡进入血液中，与血红蛋白结合并运输到全身。呼二氧化碳时，二氧化碳从 血液中进入肺泡，并通过呼吸道排出体外。
医学影像学
X线成像
X线可以穿透人体组织，不同组织对X线的吸收程度不同，因此可以在胶片或数字化成像设备上获得人体内部 结构的影像。
以问题导向的方式引导学生积极思考，通过 案例分析、讨论等互动方式，加深学生对知
识的理解和掌握。
02
基本概念
流体静压力
流体静压力定义
由于地球引力导致流体中的粒子受到的垂直向下的压力。
流体静压力与深度的关系
流体静压力随深度的增加而增加，且两者之间呈线性关系。
医学应用
在医学影像学中，通过观察不同深度层面上的流体静压力变化，可以了解病变的位置和范围。
MRI成像
MRI是一种利用磁场和射频脉冲对人体内部结构进行无辐射成像的技术。它可以提供高分辨率的图像，特别适 用于脑部、脊柱和软组织成像。
05
实验与演示
实验方案设计
01
实验目的
通过实验观察和了解流体运动的基本规律，掌握流体静压力、动压力
、伯努利方程等基本概念。
02
实验原理
根据伯努利方程和牛顿第二定律，研究流体运动的基本规律，制定实
验方案。
03
实验步骤
分别进行流体静压力、动ห้องสมุดไป่ตู้力等实验操作，记录数据并进行分析。
实验操作与数据记录
实验操作
将流体倒入实验装置中，调整流速，观察流体的运动情况并记录数据。
数据记录
记录流体的流量、流速、静压力、动压力等数据，绘制图表进行数据分析。
结果分析与讨论
第3章流体运动学ppt课件
t
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
div( u )
0
——连续性方程的微分形式
t
不可压缩流体 即
c
divu 0 ux uy uz 0 x y z
例：已知速度场
ux
1
y2 x2
uy
1
2xy
uz
1
2tz
t2
此流动是否可能出现？ 解：由连续性方程：
(ux ) (uy ) (uz ) 2t (2x) 2x (2t) 0
(uz )
z
dxdydzdt
dt时间内，控制体总净流出质量：
M
M x
M
y
M z
(
u
x
x
)
(u y )
y
(
u
z
z
)
dxdydzdt
udxdydzdt
div(
u )dxdydzdt
由质量守恒：控制体总净流出质量，必等于控制体内由于 密度变化而减少的质量，即
div(u)dxdydzdt dxdydzdt
➢ 根据流线的定义，可以推断：流线不能相交，也 不能转折；
➢ 在恒定流情况下，迹线与流线重合。
➢迹线和流线最基本的差别是：
迹线是同一流体质点在不同时刻的位移曲线(与拉格 朗日观点对应); 流线是同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切 的曲线(与欧拉观点相对应)。
例：已知速度ux=x+t，uy=－y+t 求：在t=0时过（－1，－1）点的流线和迹线方程。
微团的角变形：1
2
1 2
u y x
ux y
dt
xydt
xy
1 2
u y x
ux y
是微团在xoy平面上的角变形速度
医学物理 第三章 流体的运动 1
本章我们将以流体及流体的概念作为出发 点，介绍流体运动的描述，研究流体的运动规 律，最后简要地介绍流体运动规律的应用。
流体动力学是水利学、空气动力学、生物 力学、血液流变学等学科的理论基础，而且人 体内中养分的输送、废物的排泄都是通过血液 循环和呼吸过程来完成的，流体动力学的规律 是了解这些生理过程的基础。
已知：S孔= 1cm2 ，Q= 100cm3/s 求：水面的最大高度h=?
解：当从小孔流出的流体的流量等于从圆形容器顶部注入的流 量时，容器的水面达到最大高度，即
Q S孔 v孔
S孔 2gh 100cm3 / s
h 5cm
例：在一个大圆形容器里，盛有深度为H的水，在容器的一 侧水面下h深处开一小孔，则水从小孔流出。问在容器同一 侧何处再开一小孔，可使两孔射出的水流有相同的射程。
2 Hh h2 2 Hh h2
机械能的增量：
E E2 E1
(1 2
m2 v2 2
m2 gh2 )
(1 2
m1v12
m1gh1 )
由功能原理： A E
即：
P1V1
P2V 2
(
1 2
m2
v2
2
m2
gh2
)
(
1 2
m1v1
2
m1gh1 )
P1V1
1 2
m1v12
m1 gh1
P2V2
1 2
m2
v2
2
m2 gh2
因m1=m2 对理想流体又有 1 2
时，已知A、B、C管的横截面积分别是10×10-4m2
、8×10-4m2、6×10-4m2，A、B管中液体的流速是
10m/s ，8m/s ，求 C管中液体的流速？
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进而，由前面推导得到的 1S1v1 2S2v2 ,
可得
Sv c （c 表示常数）
由于 Sv 表示单位时间内通过任一截面 S 流 体的体积，从而 Sv 常称为体积流量。 因此，
方程
Sv c
又称为体积流量守恒定律。
不可压缩的流体在流管中做稳定 注
意
流动时，流速 v 与横截面积 S 成反比。
第二节 伯 努 利 方 程
汾丘里流量计
二、伯努利方程在实际问题中的应用 1. 流量计
h
S1
S2
汾丘里流量计
根据水平流动状态下的伯努利方程
注意到 可得
P1
1 2
v12
P2
1 2
v22
P1 P2 gh
1 2
v22
1 2
v12
gh
………(1)
由体积流量守恒定律（即连续性方程）
S1v1 S2v2
………(2)
由 (2) 式可得
v2
S1v1 S2
代入 (1) 式，可得
进而，流量
v1 S2
2gh S12 S22
Q S1v1 S1S2
2gh S12 S22
2. 流速计 a
h
b
v
c
d
流速计原理
注意到 vd 0, 根据贝努利方程，有
再由
Pc
1 2
v 2
Pd
Pd Pc gh
得到
v 2gh
v
A
M
h
待测流体密度
管内液体密度
动脉
静脉
6.8 -5.2
13.3 0.3
减少了5.87
增加了11.73
24.4
12.4
体位对血压的影响(单位:kPa)（二）
小结
两个概念
理想流体 稳定流动
两个方程
连续性方程 伯努利方程
三个应用
流量计 流速计 体位与血压
结束
一、伯努利方程（Bernoulli’s equation） 对于在重力场中稳定流动的理想流体，利
用功能原理及连续性方程，可以推导出：
流管中任意一点的流速 v，压强 P 和高度 h 之间满足
P 1 v2 gh c（c 表示常数）
2
—— 伯努利方程
当流体在水平管中流动，即高度不变时， 贝努利方程化为
20(m s1)
再求 B 点的压强 PB .
根据伯努利方程
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
ghB
有
PB
PA
1 2
vA2
1 2
vB2
ghB
2105 1 103 122
2
1 103 202 103 9.8 2 2
5.24 10 4 (Pa)
二、伯努利方程在实际问题中的应用 1. 流量计
二、稳定流动（steady flow）
空间中流体的速度分布称为流场。
在分析问题时，某一时刻的流场用一系列
曲线来表示，曲线上每
v
(x, y, z)
一点的切线方向与流体 粒子在该点的速度方向 一致， 这些曲线称为 流线。
一般情况下，流场中各点的流速随时间而变
化，即
v v(x, y, z,t).
但在实际问题中，常遇到整个流动随时间的变化
并不显著。为了简化问题，可以近似地将流速看
作不随时间而变化，即
v v(x, y, z).
不随时间变化而变化的流动称为稳定流动。
在研究稳定流动的流体时，常采用流管的方法。
所谓流管就是在稳定流动的流体中划出一
个小截面 S，
通过其周边各
点的流线所围
成的管状区域。 S
与速度方向垂直
注意
由于每一点有唯一确定的流速，所 以流线不可能相交。
求 A ，B 两点的流速和 B 点的压强。
B vB
1Pa 1N m2
2m
A
vA
解题提示 先求流速 vA, vB .
水可以看成不可压缩的流体，根据连续性方程
Q Sv c,
有 从而
Q SAvA SBvB ,
vA
Q SA
0.12 100104
12
(m s1)
Q vB SB
0.12 60104
三、连续性方程（continuity equation）
稳定流场的任意一段细流管
1 v1
2
v2
S1
S2
经过很短的时间 t
由于 t 很小，流过截面 S1 和 S2 的流体
都可以看成小柱体，因此它们的质量分别为
m1 1(v1t) S1 1S1v1t, m2 2S2v2t.
根据质量守恒原理和稳定流动的特点， 应有
P 1 v2 c（c 表示常数）
2
上式表明，在水平管子中流动的流 注 意 体，流速小的地方压强较大，流速大的
地方压强较小。
气流
机翼
F1 v1
v1 v2 P1 P2
F
v2 F2
飞机获得升力的示意图
例 设有流量为0.12m3 s1的水流过如图 所示的管子。A 点的压强为 2 10 5 Pa, A 点 的截面积为 100 cm2 , B 点的截面积 60cm2。
m1 m2
则得
1S1v1t 2S2v2t
即
1S1v1 2S2v2
此式表明：在流管中的任意截面 S 处有
Sv c （c 表示常数）
—— 连续性方程
由于 Sv 表示单位时间内通过任一截面 S
的流体质量，从而 Sv 常称为质量流量。 因此
连续性方程又称为质量流量守恒定律。
当流体为不可压缩流体时，有 1 2 ,
在内摩擦力，进而阻碍流体流动，这种特性称为 黏性。
任何流体都有可压缩性和黏性。
液体可近似为不可压缩。气体是可 注 压缩的，但在温度和压强不变的情况下， 意 可认为密度保持不变，即不可压缩。
气体的黏性可以忽略。水和酒精的内摩擦也 很小，黏性也可以忽略。但甘油和糖浆不能忽略。
绝对不可压缩、完全没有黏性的流体称为理 想流体。
h
液面高度差
v
待测流体速度
皮托管的示意图
v 2( )gh
3. 体位对血压的影响 选学 当流体在等截面管中匀速பைடு நூலகம்动时， 根据伯
努利方程，有
P gh c
表明高处的压强较小，低处的压强较大。
利用这一原理可解释体位对血压测量的影响。
动脉
12.67
13.3
12.67
静脉
0.67
0.3 0.67
体位对血压的影响(单位:kPa)（一）
复习
应变与应力
一、应变 二、应力
弹性模量
一、应变——应力曲线 二、弹性模量
本 次 课 程 内 容
气体和液体统称为流体。
流体的基本特征是具有 流动性。
第一节 理想流体 稳定流动
一、理想流体（ideal fluid） 流体的体积随压强的不同而改变（进而密度
改变）的特性称为可压缩性。 当流体各层之间有相对运动时，相邻两层存
可得
Sv c （c 表示常数）
由于 Sv 表示单位时间内通过任一截面 S 流 体的体积，从而 Sv 常称为体积流量。 因此，
方程
Sv c
又称为体积流量守恒定律。
不可压缩的流体在流管中做稳定 注
意
流动时，流速 v 与横截面积 S 成反比。
第二节 伯 努 利 方 程
汾丘里流量计
二、伯努利方程在实际问题中的应用 1. 流量计
h
S1
S2
汾丘里流量计
根据水平流动状态下的伯努利方程
注意到 可得
P1
1 2
v12
P2
1 2
v22
P1 P2 gh
1 2
v22
1 2
v12
gh
………(1)
由体积流量守恒定律（即连续性方程）
S1v1 S2v2
………(2)
由 (2) 式可得
v2
S1v1 S2
代入 (1) 式，可得
进而，流量
v1 S2
2gh S12 S22
Q S1v1 S1S2
2gh S12 S22
2. 流速计 a
h
b
v
c
d
流速计原理
注意到 vd 0, 根据贝努利方程，有
再由
Pc
1 2
v 2
Pd
Pd Pc gh
得到
v 2gh
v
A
M
h
待测流体密度
管内液体密度
动脉
静脉
6.8 -5.2
13.3 0.3
减少了5.87
增加了11.73
24.4
12.4
体位对血压的影响(单位:kPa)（二）
小结
两个概念
理想流体 稳定流动
两个方程
连续性方程 伯努利方程
三个应用
流量计 流速计 体位与血压
结束
一、伯努利方程（Bernoulli’s equation） 对于在重力场中稳定流动的理想流体，利
用功能原理及连续性方程，可以推导出：
流管中任意一点的流速 v，压强 P 和高度 h 之间满足
P 1 v2 gh c（c 表示常数）
2
—— 伯努利方程
当流体在水平管中流动，即高度不变时， 贝努利方程化为
20(m s1)
再求 B 点的压强 PB .
根据伯努利方程
PA
1 2
v
2 A
PB
1 2
vB2
ghB
有
PB
PA
1 2
vA2
1 2
vB2
ghB
2105 1 103 122
2
1 103 202 103 9.8 2 2
5.24 10 4 (Pa)
二、伯努利方程在实际问题中的应用 1. 流量计
二、稳定流动（steady flow）
空间中流体的速度分布称为流场。
在分析问题时，某一时刻的流场用一系列
曲线来表示，曲线上每
v
(x, y, z)
一点的切线方向与流体 粒子在该点的速度方向 一致， 这些曲线称为 流线。
一般情况下，流场中各点的流速随时间而变
化，即
v v(x, y, z,t).
但在实际问题中，常遇到整个流动随时间的变化
并不显著。为了简化问题，可以近似地将流速看
作不随时间而变化，即
v v(x, y, z).
不随时间变化而变化的流动称为稳定流动。
在研究稳定流动的流体时，常采用流管的方法。
所谓流管就是在稳定流动的流体中划出一
个小截面 S，
通过其周边各
点的流线所围
成的管状区域。 S
与速度方向垂直
注意
由于每一点有唯一确定的流速，所 以流线不可能相交。
求 A ，B 两点的流速和 B 点的压强。
B vB
1Pa 1N m2
2m
A
vA
解题提示 先求流速 vA, vB .
水可以看成不可压缩的流体，根据连续性方程
Q Sv c,
有 从而
Q SAvA SBvB ,
vA
Q SA
0.12 100104
12
(m s1)
Q vB SB
0.12 60104
三、连续性方程（continuity equation）
稳定流场的任意一段细流管
1 v1
2
v2
S1
S2
经过很短的时间 t
由于 t 很小，流过截面 S1 和 S2 的流体
都可以看成小柱体，因此它们的质量分别为
m1 1(v1t) S1 1S1v1t, m2 2S2v2t.
根据质量守恒原理和稳定流动的特点， 应有
P 1 v2 c（c 表示常数）
2
上式表明，在水平管子中流动的流 注 意 体，流速小的地方压强较大，流速大的
地方压强较小。
气流
机翼
F1 v1
v1 v2 P1 P2
F
v2 F2
飞机获得升力的示意图
例 设有流量为0.12m3 s1的水流过如图 所示的管子。A 点的压强为 2 10 5 Pa, A 点 的截面积为 100 cm2 , B 点的截面积 60cm2。
m1 m2
则得
1S1v1t 2S2v2t
即
1S1v1 2S2v2
此式表明：在流管中的任意截面 S 处有
Sv c （c 表示常数）
—— 连续性方程
由于 Sv 表示单位时间内通过任一截面 S
的流体质量，从而 Sv 常称为质量流量。 因此
连续性方程又称为质量流量守恒定律。
当流体为不可压缩流体时，有 1 2 ,
在内摩擦力，进而阻碍流体流动，这种特性称为 黏性。
任何流体都有可压缩性和黏性。
液体可近似为不可压缩。气体是可 注 压缩的，但在温度和压强不变的情况下， 意 可认为密度保持不变，即不可压缩。
气体的黏性可以忽略。水和酒精的内摩擦也 很小，黏性也可以忽略。但甘油和糖浆不能忽略。
绝对不可压缩、完全没有黏性的流体称为理 想流体。
h
液面高度差
v
待测流体速度
皮托管的示意图
v 2( )gh
3. 体位对血压的影响 选学 当流体在等截面管中匀速பைடு நூலகம்动时， 根据伯
努利方程，有
P gh c
表明高处的压强较小，低处的压强较大。
利用这一原理可解释体位对血压测量的影响。
动脉
12.67
13.3
12.67
静脉
0.67
0.3 0.67
体位对血压的影响(单位:kPa)（一）
复习
应变与应力
一、应变 二、应力
弹性模量
一、应变——应力曲线 二、弹性模量
本 次 课 程 内 容
气体和液体统称为流体。
流体的基本特征是具有 流动性。
第一节 理想流体 稳定流动
一、理想流体（ideal fluid） 流体的体积随压强的不同而改变（进而密度
改变）的特性称为可压缩性。 当流体各层之间有相对运动时，相邻两层存