等离子体物理第四章等离子体的流体描述

4.2.1 - 拉格朗日和欧拉的视点
拉格朗日视点
坐在一个流体元上, 随流体一起运动。
在移动点的变化率：
D d
Dt dt t
由于运动产生的改变：
dx dy dz dt x dt y dt z
欧拉视点
坐在空间的固定点, 观察流体流过体积元
：在固定点的改变率
t
4.2.1 - 拉格朗日和欧拉的视点
z
(0,0,)
J
z
(0)
z
Jz
体积元
因此 Γ
[Vx(n(nx))
y
(n
y
)
z
(n
z
)]zxy
得粒子数守恒方程(连续性方程)
n (n)
t
4.1 粒子数守恒
玻尔兹曼方程的矩
0阶矩，粒子数 d3
1阶矩，动量
d3
2阶矩，能量
d3
4.2 流体运动
单质荷比m/q流体,电荷密度qn,质量密度mn 粒子守恒方程,或连续性方程 n (n) 0
• 作用在体积元上的电磁力
FEM
nq( E
B)
• 越过边界的动量通量
m( w)( w) f (w)d3w
压强各向同性
[ m(w w ww) f (w)d3w]
[mn p积] 分为mn0() m[ (n)] p
• 体积元内的动量变化率
(mn)
t
4.2.4 - 动量方程：欧拉视点
定义粒子流通量 Γ Γ x Γ y Γ z Γx [J x (x / 2,0,0) J x (x / 2,0,0)]yz Γ y [J y (0, y / 2,0) J y (0,y / 2,0)]zx
Γz [J z (0,0, z / 2) J z (0,0,z / 2)]xy
泰勒展开：J
d V V[ 1 dx 1 dy 1 dz ]
dt
x dt y dt z dt
而 dx dt
x (x / 2) x (x / 2)
x x
x
则 dV V[ x y z ] V
dt
x y z
y, z同理
代入 D n n 1 dV
Dt
V dt
连续性方程 D n n
Dt
连续性方程的拉格朗日表式=欧拉表式
4.2.2 - 动量方程
电磁场作用在流体元上的总的力
q(
E
ui
B)
Nq(E
B)
i
单位体积的电磁力密度
FEM
nq( E
B)
体积元的总动量 mui mN Vmn
i
可得动量密度 mn
4.2.3 - 压力
压力是热运动在单位面积上产生在作用力
在x方向的净作用力
p(x / 2)yz p(x / 2)yz
t
将 展开,得 n ()n n 0
t
前两项为n的“对流导数” D d
Dt dt t
连续性方程可写为 D n n
Dt
4.2 流体运动
4.2.1 - 拉格朗日和欧拉的视点 4.2.2 - 动量方程 4.2.3 - 压力 4.2.4 - 动量方程：欧拉视点 4.2.5 - 碰撞效应
• 为了得到切合实际的结果,必须截断方程链
4.3 动量方程的关键问题
p如何取值？
状态方程 pn 常数
γ的取值
• 等温：T=常数,γ=1 • 绝热/各向同性：3自由度,γ=5/3 • 绝热/1自由度：γ=3
• 绝热/2自由度：γ=2
4.4 双流体方程概要
• 等离子体响应
连续性方程
n j t
(n jj )
总动量平衡
t
(mn)
mn(
)
m[
(n)]
p
FEM
(mn) m[ (n)] m[n (n)] mn mn
t
t
t
t
n (n) 0
t
最终,动量方程 为
mn[
(
)]
nq(E
B)
p
t
4.2.5 - 碰撞效应
• 因为总动量是对所有同类粒子取平均,因此相似 粒子之间的碰撞不改变总动量
所以各向同性时压强为标量p
4.2.3 - 压力
忽略碰撞,动量方程为
nΔV=ΔN ,
D (N) 0
Dt
DDt(mn左V边)m[FnEMVDFp]V
Dt
FEM
nq(E
B)
Fp p
动量方程
mn
D
mn(
)
qn(E
B)
p
Dt
t
4.2.4 - 动量方程：欧拉视点
体积元空间位置固定,等离子体流过体积元
从拉格朗日视点推导连续性方程
D Dt
n
d dt
N V
N V 2
d dt
V
n 1 V
dV dt
ΔV = ΔxΔyΔz,体积元中的粒子总数ΔN为常数
d V dx yz dy zx dz xy
dt
dt
dt
dt
V[ 1 dx 1 dy 1 dz ] x dt y dt z dt
4.2.1 - 拉格朗日和欧拉的视点
等离子体物理
第四章 等离子体的流体描述
本次课内容
第四章 等离子体的流体描述 4.1 粒子数守恒 4.2 流体运动 4.3 动量方程的关键问题 4.4 双流体方程概要 4.5 双流体方程：抗磁性电流
4.1 粒子数守恒
流体描述不注重分布函数的细节 (1) 3D (2) 物理量在速度空间的平均(浓度,平均速度…) (3) 忽略一些重要的物理过程 (4) 对许多问题提供简易的近似 (5) 第4, 5章的主要内容为等离子体的流体描述
为什么要采用流体近似？
• 单粒子近似非常复杂 • 无法对每个粒子进行追踪 • 只能采用统计方法→流体近似
4.1 粒子数守恒
• 体积元 体积ΔV =ΔxΔyΔz , 粒子数ΔN = nΔV
• 无源时,粒子数的变化率
xyz n 流过边界的通量
t Γ t
• 通量密度
n
J
体积元
4.1 粒子数守恒
考虑电子和离子,准中性有niqi = −neqe,电流密度
j
ne qee
ni qii
EB B2
(niqi
neqe ) ( pe
pi )
B B2
0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
即
B
j ( pe pi ) B 2
此即抗磁电流
xyz
p x
V
p x
V (p)x
单位体积内各向同性的压力密度
Fp p
流体元相反方向的压力
4.2.3 - 压力
压强张量 粒子有热速度,他们在拉格朗日坐标系里的附加 速度
wi ui “固有”速度
这使一些粒子越过体积元边界和外界交换动量
粒子热运动产生的动量交换率
w处f (的w)动mw量 d密 3w度 通过wds的ds流率
j
qe
nee
qi
nii
e(nee
Znii )
ene (ve Zvi ) (准中性)
4.4 双流体方程概要
未知数
方程
• 统计
nee，，nii
2 6
e，i连续性方程 2 e，i动量方程 6
pe，pi 2 e，i状态方程
2
E，B 6 麦克斯韦方程组 8
16
18
方程
B
0和
E
/0不是独立的，
可由 ( E)和 ( B)推出
• 非相似粒子之间的碰撞在不同成分之间交换动量
1类粒子与2类粒子碰撞的动量方程
m1n1[
1
t
(1
)1 ]
n1q1
(E
1
B)
p1
12
n1m1
(1
2
)
1类粒子与2类粒子碰撞的动量密度损失率
4.3 动量方程的关键问题
• 第k阶矩方程包含第k+1阶矩的项 连续性方程,0阶方程,包含 ,由动量方程决定 动量方程, 1阶方程,包含p,由能量方程决定 能量方程, 2阶方程,包含Q,由………决定
0
动量方程
m
jn nj
qj [j(Et j(jj
)j ]
B) p
j
jk n j m j
(j
k )
能量方程/状态方程 p j nj 常数
4.4 双流体方程概要
• 麦克斯韦方程组
B 0
B
0 j
1 c2
E t
E / 0
E
B
t
其中
qene qini e(ne Zni )
4.2.3 - 压力
对分布函数积分,可得到总动量交换率
ds mwwf (w)d3w p ds 积分号内的部分为压强张量 p mwwf (w)d3w
各向同性时(即麦克斯韦分布)
pxy mwxwy f (w)d3w 0，pyz 0，pzx 0 pxx mwx2 f (w)d3w nT( pyy pzz ' p')
mn x
d dx
y
nq(0 x B)
→
nq(Ex
y B)
dp dx
0
y
Ex B
1 nqB
dp dx
4.5 双流体方程：抗磁性电流
流体速度的矢量形式
E B p B
B2
nq B2
EB漂移 抗磁漂移
• 抗磁漂移由压力产生
• 对异性电荷(电子和离子), 抗磁漂移方向相反
4.5 双流体方程：抗磁性电流
因此是16个方程对应16个未知数
4.5 双流体方程：抗磁性电流
简化假设： 0， 0
x
y z
平直磁场： B Bzˆ
平衡态： 0 (E ) 无碰撞： 0 t
动量方程
m
j
n
j
(j
)j
n
j
q
j
(Ej
B)
p
j
去掉下标j,取x, y分量
mn x
d dx
x
nq(Ex
y B)
dp dx
x 0满足方程解