矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.

而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。

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1 预备知识

1.1 矩阵的定义

定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,

,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数

表

11121212221

2

n n m m mn

a a a a a a a a a

称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作

111212122212

,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢

⎥⎣⎦

（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.

当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦

就是一个3阶方阵.

1.2 矩阵秩的定义

定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的

2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有k

k

m n C C ⋅个.

定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.

2 矩阵秩的性质

在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.

性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.

证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.

接着证明行秩等于列秩.

设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.

性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.

数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.

证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且

()1R A r =，()2R B r =.

1.初等交换变换：i j

r r

A B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）

由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.

2.初等乘法变换：i

kr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）

由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.

3.初等加法变换：i j r kr

A B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1

B .

（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性

质得

11+1

r B D =

这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；

（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得

11111r r B D k C ++=+

这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。由于矩阵A 的任意11r +阶子式全为零，因此

10B =

综上所述，矩阵A 经过一次初等行变换化为矩阵B 后，矩阵B 的11r +阶子式全为零，所以

21r r ≤

由于初等变换可逆，所以矩阵B 又可以经过初等行变换化为矩阵A ，即有

12r r ≤

所以

()()12,r r R A R B ==.

同理可证明初等列变换.

性质2.3 矩阵的乘积的秩()()()min ,R AB R A R B ≤⎡⎤⎣⎦.

证明 只需要证明()()R AB A ≤R ，并且()()R AB B ≤R .现在我们将分别来证明这两个不等式.