矩阵秩的等式与不等式的证明及应用

矩阵秩的等式与不等式的证明及应用矩阵是高等代数的一个重要概念，也是线性代数中的主要研究对象，同时也是一种应用广泛的数学工具.不管是在数学学习还是实际问题中，我们常常会遇到许多比较复杂的计算问题，而使用矩阵来解决这些难题，往往会使问题简单化.早在古代，我国的《九章算术》就已经对矩阵有了初步的描述.而矩阵的理论起源，可追溯到18世纪.高斯在1801年、艾森斯坦在1844-1852年，先后把一个线性变换的全部系数用一个字母来表示，艾森斯坦还强调乘法次序的重要性.这些工作都孕育了矩阵的思想，但矩阵的正式定义直到1858年才由凯莱给出来.凯莱在《矩阵论的研究报告》中全面阐述了矩阵的一些理念，同时他还在文中给出了许多矩阵的运算法则以及矩阵转置的定义，证明了矩阵加法中的可交换性与可结合性，更为重要的是他还给出了伴随矩阵、矩阵可逆的概念.由于凯莱的奠基性工作，一般认为他是矩阵理论的创始人.而矩阵的秩是矩阵的一个重要特征，是矩阵理论中研究的一个重要内容，它具有许多的重要性质.对于矩阵的秩的等式与不等式，近年来有一些学者对其进行了研究.张英，乔世东利用同解方程组、标准形、线性空间和同态基本定理来证明矩阵秩的一些性质；王廷明利用构造分块矩阵并通过广义初等变换的方法,证明矩阵秩的(不)等式；殷倩把分散的知识点及重要的常用结论整合在一起，归纳整理出若干常用有效的证明方法；徐小萍给出五个矩阵秩的不等式,并利用代数理论对其进行证明,然后用一些典型例题对其应用进行分析.在前人研究的基础上，本文进一步系统的探究了矩阵秩的等式与不等式及其应用.首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景和国内外的研究现状，其次介绍矩阵秩的定义与简单性质，然后给出一些矩阵秩的等式与不等式的证明，最后通过例子研究其在多方面的应用。

11 预备知识1.1 矩阵的定义定义1.1 由m n ⨯个数()1,2,,;1,2,,ij a i m j n ==所排列成的m 行n 列的数表111212122212n n m m mna a a a a a a a a称为m 行n 列的矩阵，简称m n ⨯矩阵.记作111212122212,n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1.1） 简记为()ij m n A a ⨯=或m n A ⨯，这m n ⨯个数称为A 的元素.当m n =时，矩阵A 称为n 阶方阵.例如，431259370⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦就是一个3阶方阵.1.2 矩阵秩的定义定义1.2 通过在m n ⨯矩阵A 中任取k 行k 列（,k m k n ≤≤）的行列交叉处的2k 个元素，而不改变它们在A 中所处的位置顺序而得到的k 阶行列式，称为矩阵A 的k 阶子式. m n ⨯矩阵A 的k 阶子式共有kkm n C C ⋅个.定义 1.3 如果矩阵A 有一个不为零的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式都为零，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，这个数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A ，并且规定零矩阵的秩等于零.2 矩阵秩的性质在矩阵秩的问题当中，有些问题仅依靠定义来解决比较复杂和困难，而利用性质则会简单些，下面我们总结和归纳出了矩阵秩的一些性质.性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等.证明 考虑线性方程组0AX =，首先如果未知数的个数超过A 的行秩，则它有非零解.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，考虑方程组0AX =，它由m 个方程n 个未知数组成.从A 的行向量中任意选取r 个线性无关的行向量，重新组合成矩阵B ，所以方程组0AX =和0BX =同解.在这种情况下，如果B 的列数大于行数，那么方程组0BX =必有非零解，因此0AX =也有非零解.接着证明行秩等于列秩.设m n ⨯阶矩阵A 的行秩为r ，列秩为s .考虑A 的任意1r +个列向量组成的矩阵C ，因为C 的行秩小于或等于r （因为C 的行向量是由A 的行向量的一部分分量组成的），所以CX=0存在非零解，这表明这1r +个列向量是线性相关的.所以A 的列秩最大为r ，即s r ≤.同理可证r s ≤，因此s r =.性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩.数域P 上的矩阵的初等行（列）变换是指以下三种变换： （1）用数域P 中的一个非零数k 乘以矩阵的某一行（列）； （2）将矩阵的某一行（列）的c 倍加到另一行（列）； （3）交换矩阵中两行（列）的位置.证明 设m n ⨯矩阵A 通过一次初等行变换转变为m n ⨯矩阵B ,且()1R A r =，()2R B r =.1.初等交换变换：i jr rA B ↔→（交换矩阵的第i 行与第j 行）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式均全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任11r +阶子式等于任意非零常数k 与矩阵A 的某个11r +阶子式的乘积.2.初等乘法变换：ikr A B →（将矩阵的第i 行与用非零常数k 相乘）由于矩阵A 中的任意11r +阶子式全为零，因此矩阵B 的任意11r +阶子式也为零.所以有矩阵B 中任何11r +阶子式等于任意非零常数k 与A 的某个11r +阶子式的乘积.3.初等加法变换：i j r krA B +→（将矩阵的第j 行的k 倍加到矩阵的第i 行上） 对于矩阵B 的任意11r +阶子式1B .（1）若1B 不包含矩阵B 的第i 行或同时包含第j 行与第i 行，那么由行列式的性质得11+1r B D =这里的1+1r D 为矩阵A 的任意11r +阶子式；（2）若1B 包含第i 行但不包含第j 行，那么由行列式的性质得11111r r B D k C ++=+这里的11r D +，11r C +均为矩阵A 的11r +阶子式。

由于矩阵A 的任意11r +阶子式全为零，因此10B =综上所述，矩阵A 经过一次初等行变换化为矩阵B 后，矩阵B 的11r +阶子式全为零，所以21r r ≤由于初等变换可逆，所以矩阵B 又可以经过初等行变换化为矩阵A ，即有12r r ≤所以()()12,r r R A R B ==.同理可证明初等列变换.性质2.3 矩阵的乘积的秩()()()min ,R AB R A R B ≤⎡⎤⎣⎦.证明 只需要证明()()R AB A ≤R ，并且()()R AB B ≤R .现在我们将分别来证明这两个不等式.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦令B 的行向量表示为12,,,n B B B ，AB 的行向量表示为12,,,m C C C .根据计算可得i C 的第j 个分量和1122i i in n a B a B a B +++的第j 个分量都等于1nik kj k a b =∑，因此()11221,2,,i i i in n C a B a B a B i m =+++=，也就是说矩阵AB 的行向量组12,,,n C C C 可以用B 的行向量组线性表示，所以AB 的秩不能超过B 的秩，即()()R AB R B ≤.同样地，令A 的列向量表示为12,,,n A A A ，AB 的列向量表示为12,,,s D D D .根据计算可知()11221,2,,i i i ni n D b A b A b A i s =+++=.这个式子表明，矩阵AB 的列向量组可以用矩阵A 的列向量组线性表示，所以前者的秩不可能超过后者的秩，即()()R AB R A ≤.性质2.4 ()()()R A B R A R B ±≤+.证法1 用广义初等变换可得0000A A B A A B B B B +⎡⎤⎡⎤⎡⎤→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()0R A+B 00A A AB R R B B +⎡⎤⎡⎤⇒=≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 但()()00A R R A R B B ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦. 由以上两式即证()()()R A+B R A R B ≤+.证法2 设,m n A B ⨯∈，令()()11,,,,,n n A B ααββ==，其中i α为A 的列向量，i β为B 的列向量.则()11,,n n A B αβαβ+=++.再设()R A r =，()R B s =，设1,,i ir αα为1,,n αα的一个极大线性无关组.1,,j js ββ为1,,n ββ的一个极大线性无关组.作向量组 ()1122,,,n n αβαβαβI +++. ()11,,,,,i ir j js ααββ∏.那么()I 可以用()∏线性表示.故()()()()()R A B R R r s R A R B +≤I ≤∏≤+≤+.由于()()R B R B =-，故()()()()()()()R A B R A B R A R B R A R B -=+-≤+-=+,因此()()()R A B R A R B ±≤+.性质2.5 任意两个等价的向量组必有相同的秩.证明 把两个向量组分别排列成矩阵,设为A 和B .由于两者等价,所以存在可逆矩阵P 使得A=PB .由A=PB ,知()()()=R A R PB R B =由1B P A -=,知()()()1=R B R P A R A -≤从而()()=R A R B .性质2.6 ()()*R A R A ≤.证明 当()R A n =时，0A ≠，由于*AA A I =，故*nA A A =，则1*0n A A-=≠，即()*R A n =.当()1R A n =-时，0A =，*0AA A I ==，从而()()*R A R A n +≤，即()*1R A ≤.又()1R A n =-，A 中至少有一个1n -阶代数余子式0ij A ≠，则*0A ≠，从而()*1R A ≥，因此()*1R A =.当()1R A n <-时，A 中每一个1n -阶子式全为零，故*A 中的元素全为零，即*0A =，故()*0R A =.3 矩阵秩的等式与不等式的证明3.1 用矩阵秩的理论证明秩的等式和不等式 命题3.1 ()()=T R A R A .证明 根据矩阵转置的定义，A 的行向量组就是T A 的列向量组，所以A 的行秩就是T A 的列秩，又由性质2.1知()()=T R A R A ，命题得证.命题3.2 ()()R kA R A =（其中0k ≠）.证明 kA 的行向量组可以用A 的行向量组线性表示，A 的行向量组也可以用kA 的行向量组线性表示，所以kA 的行向量组等价于A 的行向量组.并由性质2.4可证明它们的秩相等，然后通过秩的定义证明kA 与A 的秩相等，命题得证.命题 3.3 设A 是一个m n ⨯矩阵，若P 是m m ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，那么()()()=R A R PA R AQ =.证明 令B PA =，由矩阵乘积的秩不超过各因子的秩可知()()R B R A ≤，但是由1A P A -=，又有()()R A R B ≤，所以()()()R A R B R PA ==.令C AQ =,同理可得()()()=R A R C R AQ =，所以()()()=R A R PA R AQ =，命题得证.3.2 用线性空间的理论证明秩的等式和不等式引理 3.1 如果一个齐次线性方程组有非零解，那么它有基础解系，并且基础解系所包含解的个数为n r -，这里r 表示系数矩阵的秩，n r -表示自由未知量的个数.命题3.4 设A 为n 阶方阵，如果由A 的列向量所生成的nR 的子空间()R A 以及A 的零空间（即核空间）()N A 的直和为nR ，则()()2=R A R A .证明 根据引理3.1，要证明()()2=R A R A ，只要证明0AX =与20A X =同解即可.0AX =的解显然为20A X =的解.下面我们用反证法证明20A X =的任一解Y 同时也是0AX =的解.若0AY ≠，因为()0A AY =，故()AY N A ∈.另一方面，()1ni i i AY y R A α==∈∑ ，其中()()1212,,,,,,,Tn n A Y y y y ααα==，从而 ()()0AY R A N A ≠∈，这与()()n =R R A N A ⊕矛盾，所以20A X =的任一解Y 同时也是0AX =的解，因此它们同解，故()()2=R A R A .命题 3.5 设A 为s n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，=AB BA ，证明()()()()R A B R A R B R AB +≤+-.证明 设1234,,,w w w w 分别为,,,A B A B AB +的线性空间，那么()()12dim ,dim w R A w R B ==()()34dim ,dim w R A B w R AB =+=因为312w w w ⊆+，那么利用维数公式可得()()3121212dim dim dim dim dim w w w w w w w ≤+=+- （3.1）因为AB 的行向量是B 的行向量的线性组合，那么有42w w ⊆，又AB BA =，所以有41w w ⊆，因此有412w w w ⊆，所以有()()12dim R AB w w ≤（3.2）将（3.2）代入（3.1），即得()()()()R A B R A R B R AB +≤+-.命题3.6 若()()=R AB R B ，证明()()=R ABC R BC .证明 设方程组0ABX =与0BX =的解空间分别为w AB ，w B . 若()()R AB R B =，根据引理3.1知()()dim w =dim w AB B又因为满足0BX =的解向量也满足0ABX =，所以w w AB B ⊇由以上两式可推出.要证明()()=R ABC R BC ，只需要证明0ABCX =与0BCX =同解. 设方程组0ABCX =与0BCX =解空间分别为w ABC ，w BC . 显然w w ABC BC ⊇，接下来只需要证明w w ABC BC ⊆.由0ABCX =知w w AB B CX ∈=，即0BCX =，因此w w ABC BC ⊆，命题得证. 3.3 用矩阵分块法证明秩的等式和不等式命题3.7 ()()000AA R R R A RB BC B B ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；其中C 是满秩的矩阵. 证明 ()()00A R R A R B B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是显而易见的，现在利用矩阵的分块来证明左边的等式000AA R R BCB B ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 首先，对0ABCB ⎛⎫⎪⎝⎭中的0B ⎛⎫⎪⎝⎭作列变换，使得00B BC ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，也就是 00A ABC B BC BC ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后，用右边的列减去左边的列，得到000A A BC BC BC ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭最后，再次对右边作列变换1000BC BCC B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫→= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作列变换,也就是 0000A A BC B ⎛⎫⎛⎫→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以有000000AA A A BCB BCB BC B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即000A A R R BCB B ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.4 矩阵秩的等式与不等式的应用4.1矩阵秩的不等式在判断n 阶方阵是否可逆的应用矩阵的逆的定义：设()ij n n A a ⨯=，若存在n 阶方阵B ，使AB BA E ==，则B 是A 的逆矩阵，设为1A -，并称A 可逆.用矩阵的秩描述：如果n 阶方阵A 的秩小于n ，则A 不可逆，如果n 阶方阵A 的秩等于n ，则A 可逆.例4.1 判断矩阵135210117A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵121110221B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭是否可逆？证明1351251092100-3-1000-161170-120-12A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()3R A =，A 可逆.121021100110100021221021000B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()23R B =≠，B 不可逆.例4.2 设A 为s n ⨯矩阵，B 为n s ⨯矩阵，证明：当s n >时，方阵C AB =不可逆.证明 因为()()()()}}{{min ,min ,R C R AB R A R B s n n s =≤≤=<,故C 不可逆.4.2矩阵秩的等式在解线性方程组中的应用对于一般形式的线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩(4.1)引入向量111221221212,,,m m a a a a a a αα⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1122,,n n n mn m a b a b a b αβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦那么线性方程组（4.1）可以改写成向量方程1122+n n x a x a x a β++=.所以线性方程组（4.1）有解的充分必要条件向量β可以表成向量组12,,,n a a a 的线性组合.用秩的概念：线性方程组（4.1）有解的充要条件为其系数矩阵与增广矩阵秩相同,即()()=R A R B .11121111211212222122221212,n nn n m m mn m m mnm a a a a a a b a a a a a a b A B a a a a a a b ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 证明 首先证明必要性.设线性方程组（4.1）有解，即β可以用向量组12,,,n ααα线性表示.由此，我们可以立即推导出，向量组12,,,n ααα等价于向量组12,,,,n αααβ，因此它们具有相同的秩.因为这两个向量组分别是矩阵A 与12,,,,n αααβ的列向量组.因此，矩阵A 与12,,,,n αααβ有相同的秩.然后证明充分性.设矩阵A 与12,,,,n αααβ有相同的秩，就是说，它们的列向量组12,,,n ααα与12,,,,n αααβ有相同的秩，令它们的秩为r .因为12,,,n ααα中的极大线性无关组是由r 个向量组成，不妨设12,,,r ααα是它的一个极大线性无关组.显然，12,,,r ααα也是向量组12,,,,n αααβ的一个极大线性无关组，因此向量β可以用向量组12,,,r ααα线性表示.因为β可以用向量组12,,,r ααα线性表示，那么当然它也可以用12,,,n ααα线性表示.因此，方程组（4.1）有解.例4.3设有线性方程组()()()12312312310131x x x x x x x x x λλλλ+++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩提问：当λ取何值时，线性方程组（1）有唯一解；（2）无解；（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时求其通解.解 对增广矩阵(),B A b =作初等行变换，将其转化为行阶梯形矩阵，有()13213111110111111311131111110r r r r r r B λλλλλλλλλ↔--+++⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+→+→⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()32111111030300021313r r λλλλλλλλλλλλλλλλλλλ+⎛⎫⎛⎫++⎪⎪--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+-+-+-+⎝⎭⎝⎭（1）当0λ≠且-3λ≠时，()()3R A R B ==，方程组有唯一解； （2）当0λ=时，()()1,2R A R B ==，方程组无解； （3）当-3λ=时，()()2R A R B ==，方程组有无穷多个解. 接下来继续对增广矩阵B 作初等行变换，将其化为最简单的形式112310110336011200000000B ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由此可得同解的线性方程组132312x x x x =-⎧⎨=-⎩因为3x 为自由未知量，令()3x c c R =∈.那么线性方程组的通解为()123111210x x c c R x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 例4.4 设有向量组（1）()11,0,2α'=，()21,1,3α'=，()31,1,2a α'=-+； （2）()11,2,3a β'=+，()22,1,6a β'=+，()32,1,4a β'=+.试问：当a 为何值时，向量组（1）与（2）等价？当a 为何值时，向量组（1）与（2）不等价？解 向量()1,2,3i i β=可以用123,,ααα线性表示，等价于线性方程组()112233+1,2,3i x x x i αααβ+==有解.对矩阵作初等行变换，有()123123,,,,,αααβββ111122011211232364a a a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪++++⎝⎭ 102111011211001111a a a a -⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪+-+-⎝⎭（1）当1a ≠-时，有行列式()123,,10a ααα=+≠，()123,,3R ααα=，故线性方程组()112233+1,2,3i x x x i αααβ+==均有唯一解.所以123,,βββ可由向量组（1）线性表示.行列式()123,,60βββ=≠，故123,,ααα可由向量组（2）线性表示.因此向量组（1）与（2）等价.（2）当1a =-时，有()123123102111,,,,,011211000202αααβββ-⎛⎫⎪→- ⎪ ⎪--⎝⎭，由于()()1231231,,,,,R R ααααααβ≠，线性方程组1122331x x x αααβ++=无解，故向量1β不能由123,,ααα线性表示.因此向量组（1）与（2）不等价. 4.3矩阵秩的等式在研究幂等矩阵秩恒等式中的应用例4.5 设A 为n 阶矩阵，且2A A =，证明()()R A R A E n +-=.证明 由2=A A ，可得()=0A A E -.()()R A R A E n+-≤又因为E A -和A E -有相同的秩，所以()()()()n R E R A E A R A R A E ==+-≤+-由以上两式可得()()R A R A E n +-=，命题得证.5结束语本文首先介绍矩阵秩的等式与不等式的研究背景及研究现状，然后介绍矩阵和矩阵秩的定义、性质，最后重点探讨了矩阵秩的等式与不等式的证明及应用.关于矩阵秩的性质，我们主要对其中部分性质作了比较全面的归纳总结.关于矩阵秩的等式与不等式的证明，我们比较全面地总结了几种不同的证明方法并给出了例题.关于矩阵秩的等式与不等式的应用，我们结合例题讨论了矩阵秩的不等式在判断n阶方阵是否可逆的应用，矩阵秩的等式在解线性方程组中的应用，矩阵秩的等式在研究幂等矩阵秩恒等式中的应用.事实上，矩阵秩的等式与不等式在自然科学、社会经济、工程技术等相关领域都有着广泛的应用.这些方面都是可以补充和完善的，但由于本人学术能力有限和时间的关系未能再做深入研究.总的来说，本文比较系统地研究了矩阵秩的等式与不等式的证明及应用，能给学习和研究矩阵秩的等式与不等式的相关人员提供一定的帮助.。