将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营 A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营 B 开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“ 将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点 P，使动点 P 到两个定点 A 与 B 的距离之和最小，即 PA+PB 最小 .作法：连接 AB ，与直线l 的交点Q，Q 即为所要寻找的点，即当动点P 跑到了点 Q 处，PA+PB 最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接 AB ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，在⊿ PAB 中，由三角形三边关系可知：AP+PB ≧ AB( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 的和最小 .关键：找对称点作法：作定点 B 关于定直线l的对称点 C，连接 AC ，与直线 l 的交点 Q 即为所要寻找的点，即当动点 P 跑到了点 Q 处， PA+PB 和最小，且最小值等于 AC. 原理：两点之间，线段最短证明：连接 AC ，与直线l 的交点Q，P为直线 l 上任意一点，在⊿ PAC 中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧ AC( 当且仅当 PQ 重合时取﹦ )2.两动一定型例3：在∠ MON 的内部有一点 A ，在 OM 上找一点 B ，在 ON 上找一点 C，使得△ BAC 周长最短．作法：作点 A 关于 OM 的对称点 A’，作点 A 关于 ON 的对称点 A’’，连接 A’ A ’’，与 OM 交于点 B，与 ON 交于点 C，连接 AB ， AC ，△ ABC 即为所求．原理：两点之间，线段最短例 4：在∠ MON 的内部有点 A 和点 B ，在 OM 上找一点 C ，在 ON 上找一点 D ，使得四边形 ABCD 周长最短．作法： 作点 A 关于 OM 的对称点 A ’，作点 B 关于 ON 的对称点 B ’，连接 A ’ B ，’与 OM 交于点 C ，与 ON 交于点 D ，连接 AC ， BD ， AB ，四边形 ABCD 即为所求．原理： 两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例 5：已知 A 、B 是两个定点， 在定直线 l 上找两个动点 M 与 N ，且 MN 长度等于定长 d （动点 M 位于动点 N 左侧），使 AM+MN+NB 的值最小 .提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一： 将点 A 向右平移长度 d 得到点 A ’， 作 A ’关于直线l 的对称点 A ’’，连接 A ’’B ，交直线 l于点 N ，将点 N 向左平移长度dM。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题，会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合，在近年的中考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现。
一、定直线与两定点模型作法结论A、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA+最小.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l异侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最大.PBA、在直线l同侧当两定点B时，在直线l上找上点P，使PA-最小.PB二、角到定点模型作法结论点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得PCD ∆周长最小.点P 在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MN PN +最小.点Q P 、在AOB ∠的内部，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得四边形PMNQ 周长最小.点M 在AOB ∠的外部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点M 在AOB ∠的内部，在射线OA 上找一点P ，使PM 与点P 到射线OB 的距离和最小.点Q P 、分别在AOB ∠的边OB OA 、是，在OA 上找一点M ，在OB 上找一点N ,使得MQ MN PN ++最小.二、两定点一定长模型作法结论如图在直线l 上找上两点N M 、（M 在左），使NB MN AM ++最小,且d MN =.如图，21//l l ，21l l 、之间的距离为d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，且NB MN AM ++最小.如图，21//l l ，43//l l ,21l l 、之间的距离为1d ，43//l l 之间的距离为2d ，在21l l 、上分别找N M 、两点，使1l MN ⊥，在43l l 、上分别找Q P 、两点，使3l PQ ⊥且QB PQ NP MN AM ++++最小.如图，在⊙O 上找一点N ，在直线l 找一点M ,使得MN AM +最小.➢ 精讲精练例1：如图，点P 是∠AOB 内任意一点，∠AOB =30°，OP =8，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，则△PMN 周长的最小值．P OBAMN例2：如图，正方形ABCD 的边长是4，M 在DC 上，且DM =1， N 是AC 边上的一动点，则△DMN 周长的最小值．例3：如图，在Rt △ABO 中，∠OBA =90°，A （4,4），点C 在边AB 上，且AC :CB =1:3，点D 为OB 的中点，点P 为边OA 上的动点，当点P 在OA 上移动时，使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为( )A ．(2,2)B ．5(2，5)2C ．8(3，8)3D ．(3,3)第3题图 第4题图 第5题图例4：如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =3，DC =1，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为( ) A ．4B ．5C ．6D ．7例5：如图，在等边△ABC 中，AB =6， N 为AB 上一点且BN =2AN ， BC 的高线AD 交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值是___________． PDCBAA BCDMNNMDCBA例6：如图，在Rt △ABD 中，AB =6，∠BAD =30°，∠D =90°，N 为AB 上一点且BN =2AN ， M 是AD 上的动点，连结BM ，MN ，则BM +MN 的最小值．例7：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =6．AB =12，AD 平分∠CAB ，点F 是AC 的中点，点E 是AD 上的动点，则CE +EF 的最小值为( ) A ．3 B ．4 C ． D ．第7题图 第8题图 第9题图例8：如图，在锐角三角形ABC 中，BC =4，∠ABC =60°， BD 平分∠ABC ，交AC 于点D ，M 、N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是( ) A B ．2 C ．D ．4例9：如图，在菱形ABCD 中，AC =BD =6，E 是BC 的中点，P 、M 分别是AC 、AB 上的动点，连接PE 、PM ，则PE +PM 的最小值是( ) A ．6B ．C ．D ．4.5NMDBA E AFCDBNM DCBAEPDCBAM例10：如图，矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5），D 是OB 的中点，E 是OC 上的一点，当△ADE 的周长最小时，点E 的坐标是( ) A ．4(0,)3B ．5(0,)3C ．(0,2)D ．10(0,)3第10题图 第11题图 第12题图例11：如图，在矩形ABCD 中，AB =6，AD =3，动点P 满足13PAB ABCD S S ∆=矩形，则点P 到A 、B 两点距离之和PA +PB 的最小值为( ) A ．B ．C ．D 例12：如图，矩形ABCD 中，AB =10，BC =5，点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上，且AE =CG ，BF =DH ，则四边形EFGH 周长的最小值为( )A ．B ．C ．D ．例13：如图，∠AOB =60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是( )A B C ．6D ．3第13题图 第14题图 CBH FGEDCB AA BMOPN例14：如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，点P 是OA 上的一动点，点N （3,0）是OB 上的一定点，点M 是ON 的中点，∠AOB =30°，要使PM +PN 最小，则点P 的坐标为 ．例15：如图，已知正比例函数y =kx （k >0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°，定点A 的坐标为（0，4），P 为y 轴上的一个动点，M 、N 为函数y =kx （k >0）的图像上的两个动点，则AM +MP +PN 的最小值为___________．第15题图例16：如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的顶点B 在原点，点A 、C 在坐标轴上，点D 的坐标为（6，4），E 为CD 的中点，点P 、Q 为BC 边上两个动点，且PQ =2，要使四边形APQE 的周长最小，则点P 的坐示应为______________．例17：如图，矩形ABCD 中，AD =2，AB =4，AC 为对角线，E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点，且EF ⊥AC 于点M ，连接AF 、CE ，求AF +CE 的最小值．AB CD EFMx例18：如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，求PD+PE 的最小值。
将军饮马(最完整讲义)
第1讲将军饮马模型➢知识点睛一、“将军饮马”问题主要利用构造对称图形解决两条线段和差、三角形周长、四边形周长等一类问题, 会与直线、角、三角形、四边形、圆、抛物线等图形结合, 在近年的中考和竞赛中经常出现, 而且大多以压轴题的形式出现。
二、定直线与两定点模型作法结论当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线异侧时, 在直线上找上点, 使最大.当两定点在直线同侧时, 在直线上找上点, 使最小.二、角到定点模型作法结论点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得周长最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.点在的内部, 在上找一点, 在上找一点,使得四边形周长最小.点在的外部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点在的内部, 在射线上找一点, 使与点到射线的距离和最小.点分别在的边是, 在上找一点, 在上找一点,使得最小.三、两定点一定长模型作法结论如图在直线上找上两点（在左）, 使最小,且.如图, , 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 且最小.如图, , ,之间的距离为, 之间的距离为, 在上分别找两点, 使, 在上分别找两点, 使且最小.如图, 在⊙上找一点, 在直线找一点,使得最小.➢精讲精练例1: 如图, 点P是∠AOB内任意一点, ∠AOB=30°, OP=8, 点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值.例2: 如图, 正方形ABCD 的边长是4, M 在DC 上, 且DM=1, N 是AC 边上的一动点, 则△DMN 周长的最小值.A ．例3: 如图, 在Rt △ABO 中, ∠OBA=90°, A （4,4）, 点C 在边AB 上, 且AC:CB=1:3, 点D 为OB 的中点, 点P 为边OA 上的动点, 当点P 在OA 上移动时, 使四边形PDBC 周长最小的点P 的坐标为 B. ,C ．,D ．第3题图 第4题图 第5题图例4: 如图, 在△ABC 中, AC=BC, ∠ACB=90°, 点D 在BC 上, BD=3, DC=1, 点P 是AB 上的动点, 则PC+PD 的最小值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7例5：如图, 在等边△ABC 中, AB=6, N 为AB 上一点且BN=2AN, BC 的高线AD 交BC 于点D, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值是___________．A BCDMN例6: 如图, 在Rt △ABD 中, AB=6, ∠BAD=30°, ∠D=90°, N 为AB 上一点且BN=2AN, M 是AD 上的动点, 连结BM, MN, 则BM+MN 的最小值.例7: 如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, AC=6. AB=12, AD 平分∠CAB, 点F 是AC 的中点, 点E 是AD 上的动点, 则CE+EF 的最小值为 A. 3 B. 4 C.D.第7题图 第8题图 第9题图A ．例8: 如图, 在锐角三角形ABC 中, BC=4, ∠ABC=60°, BD 平分∠ABC, 交AC 于点D, M 、N 分别是BD, BC 上的动点, 则CM+MN 的最小值是B. 2C.D. 4例9: 如图, 在菱形ABCD 中, AC=, BD=6, E 是BC 的中点, P 、M 分别是AC.AB 上的动点, 连接PE 、PM, 则PE+PM 的最小值是A. 6B.C.D. 4.5E AFCDBNM DCBAEPDCBAMA ．例10: 如图, 矩形ABOC 的顶点A 的坐标为（-4,5）, D 是OB 的中点, E 是OC 上的一点, 当△ADE 的周长最小时, 点E 的坐标是B. C. D.第10题图 第11题图 第12题图例11: 如图, 在矩形ABCD 中, AB=6, AD=3, 动点P 满足, 则点P 到A.B 两点距离之和PA+PB 的最小值为A. B. C. D.例12: 如图, 矩形ABCD 中, AB=10, BC=5, 点E 、F 、G 、H 分别在矩形ABCD 各边上, 且AE=CG, BF=DH, 则四边形EFGH 周长的最小值为A. B. C. D.例13: 如图, ∠AOB=60°, 点P 是∠AOB 内的定点且OP=, 若点M 、N 分别是射线OA.OB 上异于点O 的动点, 则△PMN 周长的最小值是A. B. C. 6 D. 3第13题图 第14题图CBH FGEDCB AABMOPN例14: 如图, ∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合, 点P 是OA 上的一动点, 点N （3,0）是OB 上的一定点, 点M 是ON 的中点, ∠AOB=30°, 要使PM+PN 最小, 则点P 的坐标为 .例15：如图, 已知正比例函数y=kx （k>0）的图像与x 轴相交所成的锐角为70°, 定点A 的坐标为（0, 4）, P 为y 轴上的一个动点, M 、N 为函数y=kx （k>0）的图像上的两个动点, 则AM+MP+PN 的最小值为___________．第15题图例16: 如图, 在平面直角坐标系中, 矩形ABCD 的顶点B 在原点, 点A.C 在坐标轴上, 点D 的坐标为（6, 4）, E 为CD 的中点, 点P 、Q 为BC 边上两个动点, 且PQ=2, 要使四边形APQE 的周长最小, 则点P 的坐示应为______________.例17：如图, 矩形ABCD 中, AD=2, AB=4, AC 为对角线, E 、F 分别为边AB 、CD 上的动点, 且EF ⊥AC 于点M,连接AF 、CE, 求AF+CE 的最小值．x例18: 如图, 正方形ABCD的面积是12, △ABE是等边三角形, 点E在正方形ABCD内, 在对角线AC上有一点P, 求PD+PE的最小值。
专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；（1）点A、B在直线m两侧：（2）点A、B在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A关于直线m的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD的边长为2，45ABC∠=︒，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ PQ+的最小值为______．2【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解．mABPmAB mABPmAB【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴中，22EC =∴PQ +QC 22【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，3BC =PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；然后求出B B '和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B '，交AC 于点F ，连接B E '交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E '的长度；⊥AC 是矩形的对角线，⊥AB =CD =4，⊥ABC =90°，在直角⊥ABC 中，4AB =，43BC =⊥3tan 43AB ACB BC ∠==，⊥30ACB ∠=︒， 由对称的性质，得2B B BF '=，B B AC '⊥，⊥1232BF BC ==⊥243B B BF '== ⊥23BE EF ==60CBF ∠=︒，⊥⊥BEF 是等边三角形，⊥BE BF B F '==，⊥BEB '∆是直角三角形， ⊥2222(43)(23)6B E BB BE ''=-=-，⊥PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】8 5【分析】过点M作MF⊥CD于F，推出MN+NP的最小值为MF的长，证明四边形DEMG为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P关于CE的对称点P′，由折叠的性质知CE是⊥DCM的平分线，⊥点P′在CD上，过点M作MF⊥CD于F，交CE于点G，⊥MN+NP=MN+NP′≤MF，⊥MN+NP的最小值为MF的长，连接DG，DM，由折叠的性质知CE为线段DM的垂直平分线，⊥AD=CD=2，DE=1，⊥CE22125⊥12CE×DO=12CD×DE，⊥DO25⊥EO5⊥MF⊥CD，⊥EDC=90°，⊥DE⊥MF，⊥⊥EDO=⊥GMO，⊥CE为线段DM的垂直平分线，⊥DO=OM，⊥DOE=⊥MOG=90°，⊥⊥DOE⊥⊥MOG，⊥DE=GM，⊥四边形DEMG为平行四边形，⊥⊥MOG=90°，⊥四边形DEMG为菱形，⊥EG=2OE25GM= DE=1，⊥CG35，⊥DE⊥MF，即DE⊥GF，⊥⊥CFG⊥⊥CDE，⊥FG CG DE CE =，即35515FG = ⊥FG =35，⊥MF =1+35=85， ⊥MN +NP 的最小值为85．故答案为：85． 【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B '，连结AB '与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P '，连结'AP ，BP '，B P ''，⊥直线l 是点B ，B '的对称轴，点P ，P '在l 上，（1）⊥PB =__________，P B '=_________，⊥AP PB AP PB '+=+=____________．在AP B ''∆中，⊥AB AP P B ''''<+，⊥AP PB AP P B '''+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB '与l 的交点，即A ，P ，B '三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ． （4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '，则A C B C ''+的最小值为____________． 【答案】（1）PB '，P B ''，AB '；（2）25；（3）17；（4）23【分析】（1）根据对称性即可求解；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ，则ED 是EF FB +的最小值；（3）先将玻璃杯展开，再根据勾股定理求解即可；（4）分析知：当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小，再根据特殊角计算长度即可；【详解】解：（1）根据对称性知：'''''',,PB PB P B P B AP PB AP PB AB ==+=+=，故答案为：PB '，P B ''，AB '；（2）根据正方形的对称性知B 关于AC 的对称点是D ，连接ED ⊥ED 是EF FB +的最小值又⊥正方形的边长为4，E 是AB 中点⊥222425ED =+= ⊥EF FB +的最小值是25；（3）由图可知：蚂蚁到达蜂的最短路程为'AC的长度： ⊥'43,8,11AE A E cm BF cm BC cm EB cm =====， ⊥'15A B cm =⊥''222215817AC AB BC cm =+=+=（4）⊥在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移，得到A B D '''∆ ⊥'''2,30A B AB A BD ==∠=︒ 当''A B 与'B C 垂直时，A C B C ''+值最小⊥''''////,AB A B CD AB A B CD == ⊥四边形''A B CD 是矩形，''30B AC ∠=︒⊥''2343,33B C AC == ⊥''23AC B C += 【点睛】本题考查“将军饮马”知识迁移，掌握“将军饮马”所遵循的数学原理，判断出最小是解题关键．模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1 图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
2020年中考复习专题：中考中“将军饮马”问题的常见模型和典型例题 课件(共38张PPT)
致
A
用
EC
D F
G
K
H
B
小结
这节课我学到了什么？ 我的收获是…… 我还有……的疑惑
选做题
（ （ （
1.如图,在⊙O中,AB是⊙O的直径，AB=8cm，AC=CD=BD，M是AB上 一动点，求CM+DM的最小值。
D'
A MO
B
C
D
选做题
（
2.如图,MN是⊙O的直径,已知点A是⊙O上一个三等分点,点B是AN的 中点,点P是半径ON上的动点,若⊙O的半径为1,求AP+BP的最小值。
（1）分别求出a和b的值； （2）结合图象直接写出的 mx n k 解集；
x （3）在x轴上取点P，使PA-PB取得最大值时，求出点P的坐标。
y
A B′
CO
Px
B
数学活动室
1.如图，正方形ABCD中，AB=8,AC与BD交于点O，N是AO的中
点,点M在BC边上,且BM=6.P为对角线BD上一动点，求|PM-PN|
使得△PBC的周长最小，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请
说明理由。
y
C
P
A
B
O
x
【技巧】此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个 定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称 点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到 两个定点距离之和最小的点。
？ 分别为BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，求PM+PN的最小值。
学以致用
例 2 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P在BD上，求PE和
PC的长度之和最小值。
(完整word版)将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求,PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则需PA´+PB值最小，从而转化为模型1.3.已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求；理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，由三角形的三边关系知︱P´A-P´B︱<AB，即︱P´A-P´B︱<︱PA-PB︱4. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的两侧（A、B两点到l的距离不相等）要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交于点P，点P即为所求；理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需︱PA-PB´︱值最大，从而转化为模型3.典型例题1-1如图，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分3别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为△CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.【解答】连接CD，作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P ，此时PC+PD 值最小．令y=23x+4中x=0，则y=4， ∴点B 坐标（0，4）；令y=23x+4中y=0，则23x+4=0，解得：x=﹣6，∴点A 的坐标为（﹣6，0）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴CD 为△BAO 的中位线， ∴CD ∥x 轴，且CD=21AO=3，∵点D ′和点D 关于x 轴对称，∴O 为DD ′的中点，D ′（0，-1），∴OP 为△CDD ′的中位线，∴OP=21CD=23，∴点P 的坐标为（﹣32，0）．在Rt △CDD ′中，CD ′=22D D CD '+=2243+=5，即PC+PD 的最小值为5.【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C 、点P 坐标；若题型变化，C 、D 不是AB 和OB 中点时，则先求直线CD ′的解析式，再求其与x 轴的交点P 的坐标.典型例题1-2如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为（0，1），点B的坐标为（32，﹣2），点P 在直线y=﹣x 上运动，当|PA ﹣PB|最 大时点P 的坐标为_________，|PA ﹣PB|的最大值是_________.【分析】符合基本模型4的特征，作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，连接BC ，可得直线BC 的方程；求得BC 与直线y=﹣x 的交点P 的坐标；此时|PA ﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，再用两点之间的距离公式求此最大值.【解答】作A 关于直线y=﹣x 对称点C ，易得C 的坐标为（﹣1，0）；连接BC ，可得直线BC的方程为y=﹣54x ﹣54，与直线y=﹣x 联立解得交点坐标P 为（4，﹣4）；此时|PA﹣PB|=|PC ﹣PB|=BC 取得最大值，最大值BC=2223)2()1(-++=241；【小结】“两点一线”大多考查基本模型2和4，需作一次对称点，连线得交点.变式训练1-1已知菱形OABC 在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A （5，0），OB=4√5，点P 是对角线OB 上的一个动点，D （0，1），当CP+DP 最短时，点P 的坐标为（ ）A ．（0，0）B ．（1，12）C ．（65，35）D ．（107，57）变式训练1-2如图，菱形ABCD 中，对角线AC 和BD 交于点O ，AC=2，BD=2√3,E 为AB 的中点，P 为对角线AC 上一动点，则PE+PB 的最小值为__________.变式训练1-3如图，已知直线y=12x+1与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线y=12x 2+bx+c 与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为（1，0）．（1）求该抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使|AM ﹣MC|的值最大，求出点M 的坐标.拓展模型1. 已知：如图，A 为锐角∠MON 外一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：过点A 作AQ ⊥ON 于点Q ，AQ 与OM 相交于点P ，此时，AP+PQ 最小；理由：AP+PQ ≧AQ ，当且仅当A 、P 、Q 三点共线时，AP+PQ 取得最小值AQ ，根据垂线段最短，当AQ ⊥ON 时，AQ 最小.2. 已知：如图，A 为锐角∠MON 内一定点；要求：在射线OM 上找一点P ，在射线ON 上找一点Q ，使AP+PQ 的值最小.解：作点A关于OM的对称点A′，过点A′作AQ⊥ON于点Q，A′Q交OM于点P，此时AP+PQ最小；理由：由轴对称的性质知AP=A′P，要使AP+PQ最小，只需A′P+PQ最小，从而转化为拓展模型13.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；要求：在射线OM上找一点P，在射线ON上找一点Q，使△APQ的周长最小解：分别作A点关于直线OM的对称点A1,关于ON的对称点A 2，连接 A1A2交OM于点P，交ON于点Q，点P和点Q即为所求，此时△APQ周长最小，最小值即为线段A1A2的长度；理由：由轴对称的性质知AP=A1P，AQ=A2Q，△APQ的周长AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，当A1、P、Q、A2四点共线时，其值最小.4. 已知：如图，A、B为锐角∠MON内两个定点；要求：在OM上找一点P，在ON上找一点Q，使四边形APQB的周长最小解：作点A关于直线OM的对称点A´，作点B关于直线ON的对称点B´，连接A´B´交OM于P，交ON于Q，则点P、点Q即为所求，此时四边形APQB周长的最小值即为线段AB和A´B´的长度之和；理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为PA´,将QB转化为QB´，当A´、P、Q、B´四点共线时，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭桥模型已知：如图，直线m∥n,A、B分别为m上方和n下方的定点，（直线AB不与m垂直）要求：在m、n之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小.分析：PQ为定值，只需AP+BQ最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：如图，将点A沿着平行于PQ的方向，向下平移至点A′，使得AA′=PQ，连接A′B交直线n于点Q，过点Q作PQ⊥n，交直线m于点P，线段PQ即为所求，此时AP+PQ+BQ最小.理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA′=PA，当B、Q、A′三点共线时，QA′+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ长为定值，此时AP+PQ+BQ最小.6.已知：如图，定点A、B分布于直线l两侧，长度为a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ为定值，只需AP+QB的值最小，可通过平移，使P、Q“接头”，转化为基本模型解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,连接A´B交直线l于点Q，在l上截取PQ=a（P在Q左边），则线段PQ即为所求，此时AP+PQ+QB的最小值为A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四边形APQA´为平行四边形，则PA=QA´，当A´、Q、B三点共线时，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QB值最小.7.已知：如图，定点A、B分布于直线l的同侧，长度a(a为定值)的线段PQ在l上移动（P在Q左边）要求：确定PQ 的位置，使得四边形APQB 周长最小分析：AB 长度确定，只需AP+PQ+QB 最小，通过作A 点关于l 的对称点，转化为上述模型3解：作A 点关于l 的对称点A ´，将点A ´沿着平行于l的方向，向右移至A ´´，使A ´A ´´=PQ=a ，连接A ´´B交l 于Q ，在l 上截取QP=a （P 在Q 左边），线段PQ 即为所求，此时四边形APQB 周长的最小值为A ´´B+AB+PQ ，即A ´´B+AB+a典型例题2-1如图，在矩形ABCD 中，AB=10，BC=5，若点M 、N 分别是线段AC 、AB 上的两个动点，则BM+MN 的最小值为 ．【分析】符合拓展模型2的特征，作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作AB 的垂线段，该垂线段的长即BM+MN 的最小值，借助等面积法和相似可求其长度.【解答】作点B 关于AC 的对称点E ，再过点E 作EN ⊥AB 于N ，则BM+MN=EM+MN ，其最小值即EN 长；∵AB=10，BC=5，∴AC=22BC AB +=55，等面积法求得AC 边上的高为55510⨯=25，∴BE=45， 易知△ABC ∽△ENB ，∴，代入数据解得EN=8． 即BM+MN 的最小值为8．【小结】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，有些题则作动点的对称点易解.典型例题2-2如图，∠AOB=60°，点P 是∠AOB 内的定点且OP=，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上异于点O 的动点，则△PMN 周长的最小值是（ ）A ．B ．C ．6D ．3【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OC、OD，分析条件知△OCD是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边CD. 【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴OH=OC=，CH=OH=，∴CD=2CH=3．即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.典型例题2-3如图，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD=2，OC=6，∠A=60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为；（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P的坐标.【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的长即可解决；（2）符合“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，此时P点为直线OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P点坐标；【解答】（1）在Rt△ADO中，∵∠A=60°，AD=2，∴OD=2•tan60°=2，∴A（﹣2，2），∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6，∴DB=6﹣2=4，∴B（4，2）（2）如图，连接OP．∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，∴∠PEO=∠EOM=∠PMO=90°，∴四边形OMPE是矩形，∴PM=OE=，∵OE=OE′，∴PM=OE′，PM∥OE′，∴四边形OPME′是平行四边形,∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=x，∴P（2，）．【小结】求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移（构造平行四边形）的方法，转化为基本模型.典型例题2-4如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标．【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、F点，结合直线的解析式和抛物线的对称轴可解出E、F坐标.【解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，4a-2b+c=0由题意，得 16a+4b+c=0c=4解得a=-12，b=1，c=4，∴所求抛物线的解析式为y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，抛物线y=-12x²+x+4的对称轴为x=1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF=A1E，作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为y=-14x+2，当x=1时，y=74，∴点E的坐标为(1,74)，点F的坐标为(1,34)．【小结】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”；其中，作对称和平移的顺序可互换.变式训练2-1几何模型：条件：如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交l于点P，即为所求.（不必证明）模型应用：（1）如图2，已知平面直角坐标系中两定点A（0，﹣1）和B（2，﹣1），P为x轴上一动点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，此时PA+PB= ．（2）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB的中点，P是AC上一动点，连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是．（3）如图4，在菱形ABCD中，AB=10，∠DAB=60°，P是对角线AC上一动点，E，F分别是线段AB和BC上的动点，则PE+PF的最小值是．（4）如图5，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，点G是边CD边的中点，点E．F分别是AG，AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是．变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长的最小值是___________.变式训练2-3如图，已知直线l 1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ=4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．变式训练2-4如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=AB=2，OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D．将∠DBC绕点B按顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E和F．（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ 的周长最小，求出P、Q两点的坐标．中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周长最小时，点E的坐标是（）A ．（0，）B ．（0，）C ．（0，2）D ．（0，）3.如图，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=3，动点P 满足S △PAB =31S 矩形ABCD ，则点P 到A 、B 两点距离之和PA+PB 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．4.已知抛物线y=x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（，3），P 是抛物线y=x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.如图，点A （a ，3），B （b ，1）都在双曲线y=上，点C ，D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．6.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D 、E 分别是AB 、BC 边上的动点，则AE+DE 的最小值为（ ）A ．B ．C ．5D ．7.如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D ，E 分别是边BC ，AC 上的动点，则DA+DE 的最小值为 ．8.如图，等腰△ABC 的底边BC=20，面积为120，点F 在边BC 上，且BF=3FC ，EG 是腰AC 的垂直平分线，若点D 在EG 上运动，则△CDF 周长的最小值为 ．9.如图，菱形ABCD 的边长为6，∠ABC=120°，M 是BC 边的一个三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PB+PM 的值最小时，PM 的长是（ ）A．B．C．D．10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠CAB交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为（）A．B．C．D．611.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点．△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN 的最小值是（）A．6B．10 C．2D．212.如图，△ABC中，AC=BC=2，AB=1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是形，P、E、F分别为线段AB、AD、DB上的任意点，则PE+PF的最小值是．13.如图，已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．15.如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及顶点M的坐标；（2）连接AC、BC，N为抛物线上的点且在第四象限，当S△NBC=S△ABC时，求N点的坐标；（3）在（2）问的条件下，过点C作直线l∥x轴，动点P（m，3）在直线l上，动点Q（m，0）在x轴上，连接PM、PQ、NQ，当m为何值时，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN 和的最小值．16.如图，直线y=5x+5交x轴于点A，交y轴于点C，过A，C两点的二次函数y=ax2+4x+c的图象交x轴于另一点B．（1）求二次函数的表达式；（2）连接BC，点N是线段BC上的动点，作ND⊥x轴交二次函数的图象于点D，求线段ND 长度的最大值；（3）若点H为二次函数y=ax2+4x+c图象的顶点，点M（4，m）是该二次函数图象上一点，在x轴、y轴上分别找点F，E，使四边形HEFM的周长最小，求出点F，E的坐标．17.如图1，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴从左至右交于A，B两点，与y轴交于点C．（1）若抛物线过点T（1，﹣），求抛物线的解析式；（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、B、D三点为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在（1）的条件下，点P的坐标为（﹣1，1），点Q（6，t）是抛物线上的点，在x轴上，从左至右有M、N两点，且MN=2，问MN在x轴上移动到何处时，四边形PQNM 的周长最小？请直接写出符合条件的点M的坐标．18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A（﹣1，0），C（0，5）两点，与x轴另一交点为B．已知M（0，1），E（a，0），F（a+1，0），P是第一象限内抛物线上的动点．（1）求此抛物线的解析式；（2）当a=1时，求四边形MEFP的面积的最大值，并求此时点P的坐标；（3）若△PCM是以点P为顶点的等腰三角形，求a为何值时，四边形PMEF周长最小？请说明理由．19.探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），可通过构造直角三角形利用图1得到结论：P1P2=他还利用图2证明了线段P1P2的中点P（x，y）P的坐标公式：x=，y=．（1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；运用：（2）①已知点M（2，﹣1），N（﹣3，5），则线段MN长度为；②直接写出以点A（2，2），B（﹣2，0），C（3，﹣1），D为顶点的平行四边形顶点D的坐标：；拓展：（3）如图3，点P（2，n）在函数y=x（x≥0）的图象OL与x轴正半轴夹角的平分线上，请在OL、x轴上分别找出点E、F，使△PEF的周长最小，简要叙述作图方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛物线y=﹣x2+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；（2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x2+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；（3）若点E在抛物线y=﹣x2+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小值．21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形ABC，使得BC∥OA，且点B、C落在过原点且开口向下的抛物线上．（1）求这条抛物线的解析式；（2）在图①中，假设一动点P从点B出发，沿折线BAC的方向以每秒2个单位的速度运动，同时另一动点Q从O点出发，沿x轴的负半轴方向以每秒1个单位的速度运动，当点P 运动到A点时，P、Q都同时停止运动，在P、Q的运动过程中，是否存在时间t，使得PQ⊥AB，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）在BC边上取两点E、F，使BE=EF=1个单位，试在AB边上找一点G，在抛物线的对称轴上找一点H，使得四边形EGHF的周长最小，并求出周长的最小值．本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买特色：1.由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
中考数学必学几何模型：将军饮马模型(几何最值)含答案解析
2
A A
P
C
B
D
P
C
B
A'
解答：
如图所示，作点 A 关于 CD 的对称点 A′，连接 A′C，连接 A′B 并延长交 CD 于点 P，则点 P
就是 PA PB 的值最大时的点， PA PB ＝A′B．
∵△ABC 为等腰直角三角形，AC＝BC 等于 4，∴∠ACB＝90°． ∵∠BCD＝15°，∴∠ACD＝75°． ∵点 A、A′关于 CD 对称，∴AA′⊥CD，AC＝CA′， ∵∠ACD＝∠DCA′＝75°，∴∠BCA′＝60°．
A
M
l1
A′
N
l2
B
将 A 向下平移 d 个单位到 A，连接 A′B 交直线 l2 于 点 N，过点 N 作 MN⊥l1，连接 AM.点 M、N 即 为所求．
AM＋MN＋NB 的最小值为 A'B＋d.
例题：在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示，点 A 在 x 轴正半轴上，点 C 在 y 轴正 半轴上，且 OA＝6，OC＝4，D 为 OC 中点，点 E、F 在线段 OA 上，点 E 在点 F 左侧，EF ＝2.当四边形 BDEF 的周长最小时，求点 E 的坐标．
2．如图，点 C 的坐标为（3，y），当△ABC 的周长最短时，求 y 的值．
3
y A(0,3)
O
B(2,0)
x
解：解：（1）作 A 关于 x=3 的对称点 A′，连接 A′B 交直线 x=3 与点 C．
∵点 A 与点 A′关于 x=3 对称，∴AC=A′C．∴AC+BC=A′C+BC．
当点 B、C、A′在同一条直线上时，A′C+BC 有最小值，即△ABC 的周长有最小值．
中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇
中考数学：'将军饮马'所有模型及变式——终极篇以微课堂初中精品微课，数学奥林匹克国家一级教练执教。
一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．变式：在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM ＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN ＋NB最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型2)从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B所经过的路径长．解析：例2：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例3：(模型10)如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______解析：例4：(模型11)解析：例5：(结合勾股)如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____解析：小结：所有类型已归纳完，更多内容，详见八上11讲期中专题一将军饮马类题型全覆盖暑假特辑10《轴对称》之“将军饮马”（上）暑假特辑11《轴对称》之“将军饮马”（下）本讲思考题：已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．答案：(1) P (0，－1)(2) Q (0，11)(3) m = －0.2End欢迎收看《以微课堂》微课，欢迎收看《以微课堂》微课，作者简介：四星级重点中学高级教师、数学名师。
将军饮马模型(终稿)(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移；【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB最小.作法：连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB.原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ 重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B 的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键：找对称点作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l 的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB 和最小，且最小值等于AC.原理：两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ 重合时取﹦)2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON 上找一点C，使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理：两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A 关于OM 的对称点A’，作点B 关于ON 的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM 交于点C ，与ON 交于点D ，连接AC ，BD ，AB ，四边形ABCD 即为所求．原理：两点之间，线段最短3. 两定两动型最值例5：已知A 、B 是两个定点，在定直线l 上找两个动点M 与N ，且MN 长度等于定长d （动点M 位于动点N 左侧），使AM+MN+NB 的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A 向右平移长度d 得到点A’， 作A’关于直线l 的对称点A’’，连接A’’B ，交直线l 于点N ，将点N 向左平移长度d ，得到点M 。
将军饮马模型【范本模板】
将军饮马问题将军饮马问题=轴对称问题=最短距离问题（轴对称是工具，最短距离是题眼）。
所谓轴对称是工具，即这类问题最常用的做法就是作轴对称.而最短距离是题眼，也就意味着归类这类的题目的理由。
比如题目经常会出现线段 a+b 这样的条件或者问题。
一旦出现可以快速联想到将军饮马问题，然后利用轴对称解题。
1。
将军饮马故事“将军饮马”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”原题：如图,一位将军，从A地出发,骑马到河边给马饮水，然后再到B地，问怎样选择饮水的地点，才能使所走的路程最短？•A•B模型一：一条定直线，同侧两定点在直线l的同侧有两点A，B，在L上求一点P,使得PA+PB值最小。
一般做法：作点 A（B）关于直线的对称点,连接 A’B，A’B 与直线交点即为所求点.A'B即为最短距离 .理由：A'为 A 的对称点，所以无论 P 在直线任何位置都能得到 AP=A'P。
所以PA+PB=PA’+PB。
这样问题就化成了求 A’到 B 的最短距离，直接相连就可以了。
例一：某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路,分支点为M，同时向新落成的A、B两个居民小区送电。
已知两个居民小区A、B分别到主干线的距离AA1=2千米,BB1=1千米，且A1B1=4千米。
（1）如果居民小区A、B位于主干线L的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？(2）如果居民小区A、B位于主干线L的同旁，如图（2)所示,那么分支点M在什么地方时总路线最短？此时分支点M与A1的距离是多少千米？模型二：一条定直线，一定点，一动点如图，已知直线L 和定点A ，在直线K 上找一点M，在直线L 上找一点P ，使得AP+PB 值最小.模型三：一定点，两条定直线如图，在∠OAB 内有一点 P ，在 OA 和 OB 各找一个点 M 、N ，使得△PMN 周长最短（题 眼）。
初三复习将军饮马(终稿)
ON初三复习专题最短路径问题——将军饮马班级:姓名：将军饮马问题=最短距离问题=轴对称问题一、基本模型（2条线段和最小）：1、如图，在定直线l 的同侧有两定点A,B,在直线l 上求作点P ，使PA+PB 最小。
二、模型变型（3条线段和最小） 2、如图，点P 是∠MON 内的一定点，分别在OM 、ON 上作点A 、B ，使△PAB 的周长最小。
【例1】如图，∠M O N =45°，P 是∠M O N 内一点，PO=10，A ,B 分别是O M 、O N 上的动点，则△ABP 周长的最小值为。
【方法归纳：】1、作图的一般步骤是：① ② ③2、计算最短线段长度的方法：【例2】、已知抛物线2(1)4y x =--+交x 轴于A(-1,0)、B （3,0）两点，交y 轴于点D （0，3），又已知点E （2,3），点F （0，1）。
点G 为对称轴PQ 上一动点，试问在x 轴上是否存在一点H ，使D,G,H,F 四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点G ，H 的坐标；若不存在，请说明理由。
ON三、模型再变型（线段+点到线距离之和最小）3、如图，点P 是∠MON 内的一定点，在射线OM 、ON 上 分别找两个点A 、B ，使PA+AB 最小。
【例3】、如图2，菱形ABCD 中，AB=10，∠B=135°，E 是AB 上一动点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 ．【变式】、已知直线1l 和2l 交于M 点，夹角为30°，点A 在1l 上且AM=10，P 是2l 上一动点，则P 点到A 点的距离与1l 的距离之和的最小值为。
四、将军饮马+平移模型4、如图，已知有两个定点A 、B ，在定直线l 有两个动点P 、Q ，且PQ 长度不变，求作点P 、Q 使得AP+PQ+BQ 最小。
（A 、B 异侧）（A 、B 同侧）【例4】、如图，甲、乙两个单位分别位于一条河流的两边A 处和B 处，现准备合作修建一座桥，桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？请做出示意图。
专题09 最值模型-将军饮马(解析版)
专题09 最值模型---将军饮马最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，将军饮马问题是由轴对称衍生而来，同时还需掌握平移型将军饮马，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的将军饮马问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
模型1.求两条线段和的最小值（将军饮马模型）【模型解读】在一条直线m 上，求一点P ，使PA +PB 最小；（1）点A 、B 在直线m 两侧：（2）点A 、B 在直线同侧：【最值原理】两点之间线段最短。
上图中A’是A 关于直线m 的对称点。
例1．（2022·湖南娄底·中考真题）菱形ABCD 的边长为2，45ABC Ð=°，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，mAB m m A B mQ 菱形ABCD 的边长为2，45ABC Ð=°，Rt BEC \V 中，EC =\PQ +QC 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．例2．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P 为矩形ABCD 的对角线AC 上一动点，点E 为BC 的中点，连接PE ，PB ，若4AB =，B C =，则PE PB +的最小值为________．【答案】6【分析】作点B 关于AC 的对称点B ¢，交AC 于点F ，连接B E ¢交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E ¢的长度；然后求出B B ¢和BE 的长度，再利用勾股定理即可求出答案．【详解】解：如图，作点B 关于AC 的对称点B ¢，交AC 于点F ，连接B E ¢交AC 于点P ，则PE PB +的最小值为B E ¢的长度；∵AC 是矩形的对角线，∴AB =CD =4，∠ABC =90°，在直角△ABC 中，4AB =，B C =∴tan AB ACB BC Ð===∴30ACB Ð=°，由对称的性质，得2B B BF ¢=，B B AC ¢^，∴12BF BC ==∴2B B BF ¢==∵BE EF ==60CBF Ð=°，∴△BEF 是等边三角形，∴BE BF B F ¢==，∴BEB ¢D 是直角三角形，∴6B E ¢===，∴PE PB +的最小值为6；故答案为：6．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P 使得PE PB +有最小值．例3．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 为AD 的中点，将△CDE 沿CE 翻折得△CME ，点M 落在四边形ABCE 内．点N 为线段CE 上的动点，过点N 作NP //EM 交MC 于点P ，则MN +NP 的最小值为________．【答案】85【分析】过点M 作MF ⊥CD 于F ，推出MN +NP 的最小值为MF 的长，证明四边形DEMG 为菱形，利用相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：作点P 关于CE 的对称点P ′，由折叠的性质知CE 是∠DCM 的平分线，∴点P ′在CD 上，过点M 作MF ⊥CD 于F ，交CE 于点G ，∵MN +NP =MN +NP ′≤MF ，∴MN +NP 的最小值为MF 的长，连接DG ，DM ，由折叠的性质知CE 为线段 DM 的垂直平分线，∵AD =CD =2，DE =1，∴CE∵12CE ×DO =12CD ×DE ， ∴DO ∴EO ∵MF ⊥CD ，∠EDC =90°，∴DE ∥MF ，∴∠EDO =∠GMO ，∵CE 为线段DM 的垂直平分线，∴DO =OM ，∠DOE =∠MOG =90°，∴△DOE ≌△MOG ，∴DE =GM ，∴四边形DEMG 为平行四边形，∵∠MOG =90°，∴四边形DEMG 为菱形，∴EG =2OE GM = DE =1，∴CG ∵DE ∥MF ，即DE ∥GF ∽△CDE ，∴FG CG DE CE =，即1FG ， ∴FG =35，∴MF =1+35=85，∴MN +NP 的最小值为85．故答案为：85．【点睛】此题主要考查轴对称在解决线段和最小的问题，熟悉对称点的运用和画法，知道何时线段和最小，会运用勾股定理和相似三角形的判定和性质求线段长度是解题的关键．例4．（2022·江苏南京·模拟预测）【模型介绍】古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸同侧的两个军营,A B ．他总是先去A 营，再到河边饮马，之后，再巡查B 营．如图①，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题．如图②，作点B 关于直线l 的对称点B ¢，连结AB ¢与直线l 交于点P ，连接PB ，则AP BP +的和最小．请你在下列的阅读、理解、应用的过程中，完成解答．理由：如图③，在直线l 上另取任一点P ¢，连结¢AP ，BP ¢，B P ¢¢，∵直线l 是点B ，B ¢的对称轴，点P ，P ¢在l 上，（1）∴PB =__________，P B ¢=_________，∴AP PB AP PB ¢+=+=____________．在AP B ¢¢D 中，∵AB AP P B ¢¢¢¢<+，∴AP PB AP P B ¢¢¢+<+，即AP BP +最小．【归纳总结】在解决上述问题的过程中，我们利用轴对称变换，把点,A B 在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中点P 为AB ¢与l 的交点，即A ，P ，B ¢三点共线）．由此，可拓展为“求定直线上一动点与直线同侧两定点的距离和的最小值”问题的数学模型．【模型应用】（2）如图④，正方形ABCD 的边长为4，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点．求EF FB +的最小值．解析：解决这个问题，可借助上面的模型，由正方形对称性可知，点B 与D 关于直线AC 对称，连结DE 交AC 于点F ，则EF FB +的最小值就是线段ED 的长度，则EF FB +的最小值是__________．（3）如图⑤，圆柱形玻璃杯，高为14cm ，底面周长为16cm ，在杯内离杯底3cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂的最短路程为_____cm ．（4）如图⑥，在边长为2的菱形ABCD 中，60ABC Ð=°，将ABD D 沿射线BD 的方向平移，得到A B D ¢¢¢D ，分别连接A C ¢，A D ¢，B C ¢，则A C B C ¢¢+的最小值为____________．（4）∵在边长为2的菱形ABCD 中，Ð模型2.平移型将军饮马（将军过桥模型）【模型解读】已知，如图1将军在图中点A 处，现要过河去往B 点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？考虑MN 长度恒定，只要求AM +NB 最小值即可．问题在于AM 、NB 彼此分离，所以首先通过平移，使AM 与NB 连在一起，将AM 向下平移使得M 、N 重合，此时A 点落在A ’位置（图2 ）．问题化为求A ’N +NB 最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置（图3）．图1图2 图3【最值原理】两点之间线段最短。
专题07 将军饮马模型(解析版)
专题07.将军饮马模型将军饮马模型在考试中，无论是解答题，还是选择、填空题，都是学生感觉有困难的地方，也恰是学生能力区分度最重要的地方，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以中高档题为主。
在解决几何最值问题主要依据是：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换化归到“三角形两边之和大于第三边”、“三角形两边之差小于第三边”等。
希望通过本专题的讲解让大家对这类问题有比较清晰的认识。
··模型1、将军饮马--两定一动求线段和的最小值【模型探究】A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小。
（1）如图1，点A、B在直线m两侧：辅助线：连接AB交直线m于点P，则AP+BP的最小值为AB.（2）如图2，点A、B在直线同侧：辅助线：过点A作关于定直线m的对称点A’，连接A’B交直线m于点P，则AP+BP的最小值为A’B.图1图2例1．（2022·江苏·八年级专题练习）要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，测得A点的坐标为(0，3)，B点的坐标为(6，5)，则从A、B两点到奶站距离之和的最小值是____．【答案】10【分析】作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，则A'B即为所求．【详解】解：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B与x轴交于点P，连接AP，∵AP＝A'P，∴AP+BP∵A（0，3），∴A'（0∴P点到A、B的距离最小值为【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，会根据两点坐标求两点间距离例2．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是边AC上一点，若AE＝2，则EM＋CM的最小值为（）C．D．A B．【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，灵活运用勾股定理是解题关键．例3．（2022·江苏·八年级专题练习）如图所示，在ABC 中，AB AC =，直线EF 是AB 的垂直平分线，D 是BC 的中点，M 是EF 上一个动点，ABC 的面积为12，4BC =，则BDM 周长的最小值是_________．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三线合一定理，解题的关键在于能够根据题意得到当A、M、D三点共线时，AM+DM最小，即为AD．例4．（2023·湖北洪山·八年级期中）如图，将△ABC沿AD折叠使得顶点C恰好落在AB边上的点M处，D 在BC上，点P在线段AD上移动，若AC＝6，CD＝3，BD＝7，则△PMB周长的最小值为___．【答案】18【分析】首先明确要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，再根据翻折的性质可知PM=PC，从而可得满足PC+PB最小即可，根据两点之间线段最短确定BC即为最小值，从而求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，AM=AC，PM=PC，∴M点为AB上一个固定点，则BM长度固定，∵△PMB周长=PM+PB+BM，∴要使得△PMB周长最小，即使得PM+PB最小，∵PM=PC，∴满足PC+PB最小即可，显然，当P、B、C三点共线时，满足PC+PB最小，如图所示，此时，P点与D点重合，PC+PB=BC，∴△PMB周长最小值即为BC+BM，此时，作DS⊥AB于S点，DT⊥AC延长线于T点，AQ⊥BC延长线于Q点，由题意，AD为∠BAC的角平分线，∴DS=DT，∵1122ACDS AC DT CD AQ==，1122ABDS AB DS BD AQ==，∴11221122ABDACDAB DS BD AQSS AC DT CD AQ==，即：AB BDAC CD=，∴763AB=，解得：AB=14，∵AM=AC=6，∴BM=14-6=8，∴△PMB周长最小值为BC+BM=3+7+8=18，故答案为：18．【点睛】本题考查翻折的性质，以及最短路径问题等，掌握翻折的基本性质，利用角平分线的性质进行推理求解，理解并熟练运用两点之间线段最短是解题关键．例5．（2023·江阴市八年级月考）某班级在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA PB +的值最小．解法：如图1，作点A 关于直线l 的对称点A '，连接A B '，则A B '与直线l 的交点即为P ，且PA PB +的最小值为A B '．请利用上述模型解决下列问题：（1）几何应用：如图2，ABC ∆中，90C ∠=︒，2AC BC ==，E 是AB 的中点，P 是BC 边上的一动点，则PA PE +的最小值为；（2）几何拓展：如图3，ABC ∆中，2AC =，30A ∠=︒，若在AB 、AC 上各取一点M 、N 使CM MN +的值最小，画出图形，求最小值并简要说明理由．【答案】（110；（23【分析】（1）作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′，先根据勾股定理求出BA′的长，再判断出∠A′BA=90°，根据勾股定理即可得出结论；（2）作点C 关于直线AB 的对称点C′，作C′N ⊥AC 于N 交AB 于M ，连接AC′，根据等边三角形的性质解答．【详解】解：（1）如图2所示，作点A 关于BC 的对称点A′，连接A′E 交BC 于P ，此时PA+PE 的值最小．连接BA′．由勾股定理得，22BC AC +2222+2，∵E 是AB 的中点，∴BE=122，∵90C ∠=︒，2AC BC ==，∴∠A′BC=∠ABC=45°，∴∠A′BA=90°，∴PA+PE 的最小值=A′E=22'A B BE +()()22222+1010；（2）如图3，作点C关于直线AB的对称点C′，作C′N⊥AC于N交AB于M，连接AC′，则C′A=CA=2，∠C′AB=∠CAB=30°，∴△C′AC为等边三角形，∴∠AC′N=30°，∴AN=12C′A=1，∴CM+MN的最小值为2221 3．【点睛】本题考查的是轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段．模型2、将军饮马--两动一定求线段和的最小值【模型探究】已知定点A位于定直线m,n的内侧,在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.辅助线：过点A作关于定直线m、n的对称点A’、A’’，连接A’A’’交直线m、n于点P、Q，则PA+PQ+QA 的最小值为A’A’’.例1．（2022·江苏·无锡市八年级期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB内部的一个定点，且OP ＝4，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于4，则α＝（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【分析】设点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，当点E、F在CD上时，△PEF的周长为PE+EF+FP=CD，此时周长最小，根据CD=4可得出△COD是等边三角形，进而可求出α的度数．【详解】解：如图，作点P关于OA的对称点C，关于OB的对称点D，连接CD，交OA于E，OB于F．此时，△PEF的周长最小．连接OC，OD，PE，PF．∵点P与点C关于OA对称，∴OA垂直平分PC，∴∠COA=∠AOP，PE=CE，OC=OP，同理，可得∠DOB=∠BOP，PF=DF，OD=OP．∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB=α，OC=OD=OP=4，∴∠COD=2α．又∵△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4，∴OC=OD=CD=4，∴△COD是等边三角形，∴2α=60°，∴α=30°．故选：A．【点睛】本题主要考查了最短路径问题，本题找到点E和F的位置是解题的关键．要使△PEF的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决．例2．（2022·江苏九年级一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，D，E，F分别是AB，BC，AC边上的动点，则△DEF的周长的最小值是（）A．2.5B．3.5C．4.8D．6【答案】C【分析】如图作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．由∠MCA=∠DCA，∠BCN=∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠MCD+∠NCD=180°，可得M、B、N 共线，由DF+DE+EF=FM+EN+EF，FM+EN+EF≥MN，可知当M、F、E、N共线时，且CD⊥AB时，DE+EF+FD的值最小，最小值=2CD，求出CD的值即可解决问题．【详解】解：如图，作D关于直线AC的对称点M，作D关于直线BC的对称点N，连接CM，CN，CD，EN，FM，DN，DM．∴DF =FM ，DE =EN ，CD =CM ，CD =CN ，∴CD =CM =CN ，∵∠MCA =∠DCA ，∠BCN =∠BCD ，∠ACD +∠BCD =90°，∴∠MCD +∠NCD =180°，∴M 、C 、N 共线，∵DF +DE +EF =FM +EN +EF ，∵FM +EN +EF ≥MN ，∴当M 、F 、E 、N 共线时，且CD ⊥AB 时，DE +EF +FD 的值最小，最小值为MN =2CD ，∵CD ⊥AB ，∴12•AB •CD =12•AB•AC ，∴CD =•AB AC AB =125=2.4，∴DE +EF +FD 的最小值为4.8．故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称-最短问题、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．例3．（2023春·贵州毕节·七年级统考期末）如图所示，30AOB ∠= ，点P 为AOB ∠内一点，8OP =，点,M N 分别在,OA OB 上，求PMN ∆周长的最小值．【答案】PMN ∆周长的最小值为8【分析】作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，即可快速找到解题思路.【详解】如图，作P 关于OA 、OB 的对称点12P P 、，连结1OP、2OP ，12PP 交OA 、OB 于M 、N ，此时PMN ∆周长最小，根据轴对称性质可知1PM PM =，2P N PN =，1212PM N PM M N PN PP ∴∆=++=，且1AO P AO P ∠=∠，2BO P BO P ∠=∠，12260POP AOB ∠=∠=︒，128O P O P O P ===，12PPO ∆为等边三角形，1218PP OP ==即PMN ∆周长的最小值为8.【点睛】本题应用知识比较隐晦，分别考查了轴对称图形和等边三角形，需要认真分析，充分联系所学知识，方可正确解答.例4.（2023.山东八年级期末）如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝90º，∠C＝90º，∠D＝60º，AD＝3，AB＝，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A. B. C.6 D.3【答案】C【解析】作点B关于CD、AD的对称点分别为点B'和点B''，连接B'B''交DC和AD于点M和点N，连接MB、NB；再DC和AD上分别取一动点M’和N’（不同于点M和N），连接M'B，M'B'，N’B和N'B''，如图1所示：∵B'B''＜M'B'＋M'N'＋N'B"，B'M'＝BM'，B"N'＝BN'，∴BM'＋M'N'＋BN'＞B'B"，又∵B'B"＝B'M＋MN＋NB"，MB＝MB'，NB＝NB''，∴NB＋NM＋BM＜BM'＋M’N'＋BN'NB＋NM＋BM时周长最小；连接DB，过点B'作B'H⊥DB''于B’’D的延长线于点H，如图示2所示：在Rt△ABD中，AD＝3，AB＝，，∴∠2＝30º，∴∠5＝30º，DB＝DB''，又∵∠ADC＝∠1＋∠2＝60º，∴∠1＝30º，∴∠7＝30º，DB'＝DB，∴∠B'DB''＝∠1＋∠2＋∠5＋∠7＝120º，DB'＝DB''＝DB，又∵∠B'DB"＋∠6＝180º，∴∠6＝60º，∴HD＝，HB'＝3，在Rt △B'HB''中，由勾股定理得：B'B"＝，NB ＋NM ＋BM ＝6，故选C.模型3、将军饮马--两动两定求线段和的最小值【模型探究】A ，B 为定点，在定直线m 、n 上分别找两点P 、Q ，使PA +PQ +QB 最小。
中考复习讲义：将军饮马所有模型及变式——终极篇(直线型 角型 平移型)(练习无答案)
将军饮马所有模型及变式——终极篇一、模型展现(1)直线型模型1：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：两点之间，线段最短．PA＋PB最小值即为AB长．模型2：在直线l上求作点P，使PA＋PB最小．原理：和最小，同侧转异侧．两点之间，线段最短．模型3：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：两边之差小于第三边，|PA－PB|最大值即为AB长．模型4：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最大．原理：差最大，异侧转同侧．两边之差小于第三边．模型5：在直线l上求作点P，使|PA－PB|最小．原理：|PA－PB|最小为0，中垂线上的点到线段两端的距离相等．(2)角型模型6：在OA，OB上求作点M，N，使△PMN周长最小．原理：作两次对称，两点之间，线段最短．模型7：在OA，OB上求作点M，N，使四边形PQMN周长最小．原理：P，Q分别作对称，两点之间，线段最短．模型8：在OA，OB上求作点M，N，(1)使PM＋MN最小．(2)使PN＋MN最小．原理：先连哪个点，就先做关于那个点所在射线的对称点．垂线段最短．模型9：P，Q为OA，OB的定点，在OA，OB上求作点M，N，使PN＋NM＋MQ最小．原理：两点之间，线段最短，PN＋NM＋MQ最小值即为P’Q’的长．(3)平移型模型10：在直线l上求作点M，N，使MN＝a，且AM＋MN＋NB最小．原理：将l上的MN转化到B’B．(问题情境：将军从军营A出发，去河边l饮马，饮马完在河边牵马散步a米，回军营B．可以转化为饮完马，直接去军营B，在到达之前散步．)模型11(造桥选址)：直线l1∥l2，在l1上求作点M，在l2上求作点N，使MN⊥l1，且AM＋MN＋NB 最小．原理：将MN转化为AA’．(可以理解为在A处先走过桥的路，再直达点B．)二、典型例题例1：(模型4)已知点A(1，3)、B(3，－1)，点M在x轴上，当AM－BM最大时，点M的坐标为______解析：例2：(模型11)解析：例3：(结合勾股)解析：练习反馈：1.在直线l上求作点P，使l平分∠APB，与此作法相同．2. 从点A(0，2)发出的一束光线，经x轴反射，过点B(4，3)，求从点A到点B 所经过的路径长．3.已知点A(－3，－4)和B(－2，1)．(1)试在y轴上求一点P，使PA＋PB的值最小(2)试在y轴上求一点P，使|QA－QB|的值最大(3)若C(0，m)，D(0，m－2)，当m为何值时，四边形ABCD的周长最小．4. 如图，在等边△ABC中，AB＝6，N为AB上一点，且AN＝2，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM＋MN的最小值是_____5.如图，当四边形PABN的周长最小时，a＝______。
(完整版)将军饮马模型(终稿)
将军饮马模型一、背景知识：【传说】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他,向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马,然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难,据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【问题原型】将军饮马造桥选址费马点【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平移;【解题思路】找对称点，实现折转直二、将军饮马问题常见模型1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小例1：在定直线l上找一个动点P,使动点P到两个定点A与B的距离之和最小,即PA+PB最小.作法:连接AB，与直线l的交点Q，Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AB。
原理：两点之间线段最短。
证明:连接AB,与直线l的交点Q,P为直线l上任意一点，在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.关键:找对称点作法:作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处,PA+PB和最小，且最小值等于AC.原理:两点之间，线段最短证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，在⊿PA C中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦）2.两动一定型例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C,使得△BAC周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’,连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．原理:两点之间，线段最短例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D,使得四边形ABCD周长最短．作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C,与ON 交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．原理：两点之间，线段最短3.两定两动型最值例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N 左侧），使AM+MN+NB的值最小.提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l 于点N,将点N向左平移长度d，得到点M.作法二：作点A关于直线l的对称点A1,将点A1向右平移长度d得到点A2,连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
(完整版)将军饮马问题的11个模型及例题
如图，菱形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，AC=2，
BD=2 ,E为AB的中点，P为对角线AC上一动点，则PE+PB的
最小值为__________.
变式训练1-3
如图，已知直线y= x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y= x2+bx+c与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（1，0）．
点到l的距离不相等）
要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大
解：作点B关于直线l的对称点B´，连接B´A并延长交
于点P，点P即为所求；
理由：根据对称的性质知l为线段BB´的中垂线，由中垂
线的性质得：PB=PB´，要使︱PA-PB︱最大，则需
︱PA-PB´︱值最大 ，从而转化为模型3.
典型例题1-1
【解答】作P点分别关于OA、OB的对称点C、D，连接CD分别交OA、OB于M、N，如图，
则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC= ，∠BOP=∠BOD，∠AOP=∠AOC，
∴PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∠AOC=2∠AOB=120°，
∴此时△PMN周长最小，作OH⊥CD于H，
如图，直线y= x+4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C、D分别为线段AB、OB的中点，点P为OA上一动点，当PC+PD最小时，点P的坐标为_________，此时PC+PD的最小值为_________.
【分析】符合基本模型2的特征，作点D关于x轴的对称点D'，连接CD'交x轴于点P，此时PC+PD值最小，由条件知CD为△BAO的中位线，OP为 △CDD'的中位线，易求OP长，从而求出P点坐标；PC+PD的最小值即CD'长，可用勾股定理（或两点之间的距离公式，实质相同）计算.
完整word版将军饮马问题的11个模型及例题
将军饮马问题问题概述路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题方法原理2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；1.两点之间，线段最短；.垂线段最短3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.基本模型1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧；要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小, 即为所求，点PP解：连接AB交直线l于点PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′，在△ABP'中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小）解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P，点P即为所求；理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线，由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.3.两的同侧（A、B已知：如图，定点A、B分布在定直线l 的距离不相等）点到l︱的值最大P，使PA-PB︱要求：在直线l上找一点 P，点P即为所求；解：连接BA并延长，交直线l于点的一点P′，︱=AB，在l上任取异于点P此时︱理由：PA-PB ︱<AB，，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B′连接AP、BP′︱PA-PB︱′A-P′B︱<即︱P两B分布在定直线l的两侧（A、已知：如图，定点A、B 4.的距离不相等）点到l︱的值最大上找一点P，使︱PA-PB要求：在直线l 并延长交连接B′A解：作点B关于直线l的对称点B′，P于点，点P即为所求；为线段BB′的中垂线，由中垂理由：根据对称的性质知l ′，要使︱PA-PB︱最大，则需线的性质得：PB=PB3.′︱值最大，从而转化为模型︱PA-PB1-1典型例题2分DA和点B，点Cx+4如图，直线y=与x轴、y轴分别交于点3最小时，为OA上一动点，当PC+PD、别为线段ABOB的中点，点P_________. _________，此时的最小值为PC+PD点P的坐标为，连轴的对称点D'的特征，作点【分析】符合基本模型2D关于x为CDx轴于点P，此时PC+PD 值最小，由条件知CD'接交长，从OPCDD'的中位线，易求△的中位线，△BAOOP为长，可用勾股定理CD'PC+PD而求出P点坐标；的最小值即.（或两点之间的距离公式，实质相同）计算轴x′交CD′，连接D轴的对称点x关于D，作点CD】连接解答【．2x=0，则y=4，于点P，此时PC+PD值最小．令y=x+4中322的坐标，∴点Ay=0∴点B坐标（0，4）；令y=x+4中，则x+4=0，解得：x=﹣633的中位线，BAO的中点，∴CD为△为（﹣6，0）．∵点C、D分别为线段AB、OB1AO=3CD=，∴CD∥x轴，且2′的中点，O为DDD∵点′和点D关于x轴对称，∴31OP=CD=-1D′（0，），∴OP为△CDD′的中位线，∴，223△CDD′中，∴点P的坐标为（﹣，0）．在Rt22222?4DDCD3??5.CD′=的最小值为=5，即=PC+PD 坐标；若题型变、点P【小结】还可用中点坐标公式先后求出点C CD′的解析不是化，C、DAB和OB中点时，则先求直线.P的坐标式，再求其与x轴的交点1-2典型例题B ，点1）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（0，3最，点的坐标为（，﹣2）P在直线y=﹣x上运动，当|PA﹣PB|2_________. PB|的最大值是P大时点的坐标为_________，|PA﹣，y=【分析】符合基本模型4的特征，作A关于直线﹣x 对称点C x连接BC，可得直线BC的方程；求得BC与直线y=﹣的交点P的坐标；此时|PA﹣PB|=|PC﹣PB|=BC取得最大值，.再用两点之间的距离公式求此最大值BCBC，可得直线；连接的坐标为（﹣1，0）C解答【】作A 关于直线y=﹣x对称点，易得C44|PA）；此时4P为（4，﹣的方程为y=﹣xy=﹣，与直线﹣x联立解得交点坐标552241)(?2(?1)?3 PB|=|PC﹣PB|=BCBC==取得最大值，最大值；﹣22.，需作一次对称点，连线得交点2和4】【小结“两点一线”大多考查基本模型1-1变式训练），，已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A（50最短0D（，1），当CP+DPOBOB=45，点P是对角线上的一个动点，√时，点P的坐标为（）510361，．）1． 00．A（，） B（，C（（．） D，）77552．1-2变式训练AC=2，和如图，菱形ABCD中，对角线ACBD交于点O，的上一动点，则PE+PB3,E为AB的中点，P为对角线BD=2AC√__________. 最小值为1-3变式训练112与直线交于x+bx+cD，抛物线y=x+1如图，已知直线y=与y轴交于点A，与x轴交于点22．01，）A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（）求该抛物线的解析式；（1. 的值最大，求出点MC|M的坐标（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM﹣拓展模型1.已知：如图，A为锐角∠MON外一定点；，使上找一点Q上找一点P，在射线ON要求：在射线OM. AP+PQ的值最小解：过点A作AQ⊥ON于点Q，AQ与OM相交于点P，此时，AP+PQ最小；理由：AP+PQ≧AQ，当且仅当A、P、Q三点共线时，AP+PQ取得最小值AQ，根据垂线段最短，当AQ⊥ON时，AQ最小.2.已知：如图，A为锐角∠MON内一定点；，使上找一点ONQ，在射线上找一点要求：在射线OMP.的值最小 AP+PQ．ONAQ⊥的对称点A′，过点A′作解：作点A关于OM AP+PQ最小；交OM于点P，此时于点Q，A′QAP+PQ最小，AP=A′P，要使理由：由轴对称的性质知1 P+PQ最小，从而转化为拓展模型只需A′为锐角∠MON内一定点；已知：如图，A 3.，使，在射线ON上找一点Q要求：在射线OM上找一点P 的周长最小△APQ的对,关于ON 解：分别作A点关于直线OM的对称点A1于点ONQ，点A交OM于点P，交称点A，连接 A221即为所求，此时△APQ周长最小，最小值P和点Q AA的长度；即为线段21，△APQ的周AP=AP，AQ=AQ理由：由轴对称的性质知21 A四点共线、P、Q、P+PQ+A长AP+PQ+AQ=AQ，当A2112. 时，其值最小内两个定点；B为锐角∠MON、已知：如图，A 4.四边形上找一点Q，使要求：在OM上找一点P，在ON APQB的周长最小，作点B关于直线A 关于直线OM的对称点A′解：作点 Q，P，交ON于交的对称点ONB′，连接A′B′OM于周长的、点Q即为所求，此时四边形APQB则点P′′B的长度之和；最小值即为线段AB和A ,将PA理由：AB长为定值，由基本模型将PA转化为′ B′四点共线时，、、′QB转化为QB，当A′P、Q . QBPQPA′+′+PAPQ QB的值最小，即++的值最小下方的定分别为m上方和n已知：如图，直线m∥n,A、B5.搭桥模型垂直）（直线AB不与m点，. 最小PQ，使得AP+PQ+BQ之间求作垂线段要求：在m、n 最小，可通过平移，使PQ为定值，只需AP+BQ分析：，转化为基本模型、Q“接头”P 的方向，向下平移至A沿着平行于PQ解：如图，将点交直线n于点′AA′=PQ，连接AB点A′，使得，线段PQ即⊥n，交直线m于点PQ，过点Q作PQ.为所求，此时AP+PQ+BQ最小′=PA，理由：易知四边形QPAA′为平行四边形，则QA +BQ最小，即、A′三点共线时，QA′当B、Q.AP+PQ+BQ最小AP+BQ最小，PQ长为定值，此时al两侧，长度为A、B分布于直线6.已知：如图，定点左边）上移动（P在Q (a为定值)的线段PQ在l最小要求：确定PQ的位置，使得AP+PQ+QB的值最小，可通过平移，PQ为定值，只需AP+QB 分析：，转化为基本模型、Q“接头”使P A′，使解：将点A沿着平行于l的方向，向右移至l上截取交直线Bl于点Q，在AA′=PQ=a,连接A′ PQ即为所求，此时在Q左边），则线段PQ=a （PB+a ′′B+PQ，即AAP+PQ+QB的最小值为A ′为平行四边形，则PA=QA，理由：易知四边形APQA′PA+QB +QB最小，即、QB三点共线时，QA′A当′、.值最小最小，又PQ长为定值此时PA+PQ+QBal的同侧，长度、7. 已知：如图，定点AB分布于直线左边）Q在P上移动（l在PQ的线段)为定值(a周长最小要求：确定PQ的位置，使得四边形APQB点分析：AB长度确定，只需AP+PQ+QB最小，通过作A3的对称点，转化为上述模型关于llAl的对称点A′，将点′沿着平行于解：作A点关于B ′A′′=PQ=a，连接A′′的方向，向右移至A′′，使A （P在Q左边），线段交l于Q，在l上截取QP=a APQB周长的最小值为PQ即为所求，此时四边形B+AB+aA′′′′B+AB+PQ，即A2-1典型例题、AC、N分别是线段如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若点M ．上的两个动点，则ABBM+MN 的最小值为，再过EAC的对称点关于【分析】符合拓展模型2的特征，作点B的最小值，借BM+MNAB的垂线段，该垂线段的长即点E作.助等面积法和相似可求其长度，BM+MN=EM+MN作EN⊥AB于N，则E解答【】作点B关于AC的对称点E，再过点，其最小值即EN长；∵AB=10，BC=522BCAB?5，∴=5AC=510?55， =2等面积法求得ACBE=4边上的高为，∴55，∴∽△ABCENBEN=8．易知△，代入数据解得 8．即BM+MN的最小值为】该类题的思路是通过作对称，将线段转化，再根据定理、公理连线或作垂线；可作【小结有些题则作动点的定点或动点关于定直线的对称点，有些题作定点的对称点易解，.对称点易解2-2典型例题分别、NAOB内的定点且OP=，点MP如图，∠AOB=60°，点是∠）（的动点，OB上异于点O则△PMN周长的最小值是、是射线OAC．．AB．．6 D3分别交D，连接CDOA、OB的对称点C、【分析】符合拓展模型3的特征；作P点分别关于，OC、OD，此时△PMN周长最小，其值为CD长；根据对称性连接OA、OB于M、NCD.是顶角为120°的等腰三角形，作底边上高，易求底边分析条件知△OCD N，如图，、OB于M、的对称点OA、OBC、D，连接CD分别交OA【解答】作P点分别关于，BOD，∠AOP=∠AOC则MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，∠BOP=∠°，∠AOC=2∠AOB=120PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，∠COD=∠BOP+∠BOD+∠AOP+∴，⊥CD于H∴此时△PMN周长最小，作OHOC=OH=，则CH=DH，∵∠OCH=30°，∴CD=2CH=3．CH=OH=，∴即△PMN周长的最小值是3；故选：D．【小结】根据对称的性质，发现△OCD是顶角为120°的等腰三角形，是解题的关键，也是难点.2-3典型例题所在的直线为原点，OCABCO，以点O如图，已知平行四边形，，OC=6D，AD=2轴于点为x轴，建立直角坐标系，AB交y为点P所在的直线为OD的垂直平分线，∠A=60°，线段EF轴x与E′关于线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E ′M．对称，连接BP、E ；（1）请直接写出点A坐标为，点B坐标为. 的坐标BP+PM+ME′的长度最小时，请求出点P（2）当的长即可解决；，BD【分析】（1）解直角三角形求出OD，可得OP=EM符合（2）“搭桥模型”的特征；首先证明四边形OPME′是平行四边形，点为P′的长度最小，此时PM是定值，PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+ME 点坐标；OB与EF的交点，结合OB的解析式可得P直线 ADO中，∵∠A=60°，AD=2，（【解答】1）在Rt △，）°OD=2?tan60=2，∴A（﹣2，2∴，∵四边形ABCO是平行四边形，∴AB=OC=6）4B（，22=4∴DB=6﹣，∴，，∵如图，（2）连接OP．EF垂直平分线段ODPM⊥OC PEO=是矩形，°，∴四边形∠∠EOM=PMO=90OMPE∴∠′，∴，∵∴PM=OE=OE=OEPM=OE′，OE∥′，PM,′是平行四边形OPME∴四边形．′的长度最小，∴OP=EM，∵PM是定值，∴PB+ME′=OP+PB的值最小时，BP+PM+MEB共线时，BP+PM+ME′的长度最小，∵直线OB的解析式为y=，x∴当O、P、．2，）（∴P（构造平行四边求没有公共端点的两条线段之和的最小值，一般通过作对称和平移【小结】.形）的方法，转化为基本模型2-4典型例题的顶点坐标分△AOB如图所示，在平面直角坐标系中，RtOAOB4），把△绕点）（﹣2，0，O（0，0），B（0，别为A 90°，得到△COD．按顺时针方向旋转C、D两点的坐标；（1）求三点的抛物线的解析式；、D（2）求经过A、BFE在点E（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点、F（点、求出E的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，两点的坐标．F点，结合直线的F【分析】符合拓展模型7的特征，通过作对称、平移、连线，可找出E、、解析式和抛物线的对称轴可解出EF坐标. 解答】（1）由旋转的性质可知：OC=OA=2，OD=OB=4,∴C点的坐【，0）D），点的坐标是（4，标是（0，22，（2）设所求抛物线的解析式为y=ax+bx+c 4a-2b+c=016a+4b+c=0由题意，得 c=41，，b=1，c=4解得a=-21+4；x2+x y=-∴所求抛物线的解析式为21，+x+4的对称轴为x=1x2y=-最短，抛物线3）只需AF+CE（2A关于对称轴x=1的对称点，作2将点A向上平移至A（﹣，1），则AF=AE111的解析式，与对称轴交于点EE为所求，可求得ACCC1（A4，），连接A，A22223771y=+x2，当x=1时， )的坐标为，点)为y=-(1,E，∴点的坐标为F(1,．4444. 】解决此类题的套路是“对称、平移、连线”【小结；其中，作对称和平移的顺序可互换2-1变式训练几何模型： l同旁的两个定点．条件：如图1，A，B是直线的值最小．P问题：在直线l上确定一点，使PA+PB （不必证明）B交l于点P，即为所求.方法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A' 模型应用：轴上一动1），P为xA）如图2，已知平面直角坐标系中两定点（0，﹣1）和B（2，﹣（1 ，此时PA+PB= ．点，则当PA+PB的值最小是点P的横坐标是，由BD的中点，P是AC上一动点，连接）如图3，正方形ABCD的边长为4，E为AB2（的最小PB+PEAC于P，则正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交值是．分别F上一动点，E，DAB=60中，AB=10，∠°，P是对角线AC3（）如图4，在菱形ABCD ．的最小值是是线段AB和BC上的动点，则PE+PF分别是FE．°，点B=60G是边CD边的中点，点）如图（45，在菱形ABCD中，AB=6，∠．AD上的两个动点，则EF+ED的最小值是AG，变式训练2-2如图，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E为AB边上一点，且DE=2AE，连接CE与对角线BD交于F；若P、Q分别为AB边和BC边上的动点，连接EP、PQ和QF；则四边形EPQF周长___________.的最小值是2-3变式训练的P到直线l，l、l之间的距离为8，点如图，已知直线l∥l11212距上有一动PQ=4l的距离为4，，在直线l离为6，点Q到直线12最小，此时，满足AB⊥l，且PA+AB+BQ点A，直线l上有一动点B22．PA+BQ=2-4变式训练在OC的边OA在y轴的正半轴上，中，直角梯形如图，已知在平面直角坐标系xOyOABC 按顺BD．将∠DBC绕点作OC=3，过点BBD⊥BC，交OA于点x轴的正半轴上，OA=AB=2， E和F．x 时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、轴的正半轴于点 B、C三点的抛物线的解析式；（1）求经过A、）中抛物线的顶点时，求CF的长；（2）当BE经过（1BCPQPQ=1，要使四边形（点Q在点P的上方），且Q（3）在抛物线的对称轴上取两点P、 Q两点的坐标．的周长最小，求出P、中考真题1.要在街道旁建奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A、B到它的距离之和最短？小聪以街道为x轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，A点坐标为（0，3），B点坐标为（6，5），则A、B两点到奶站距离之和的最小值是．2.如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（﹣4，5），D是OB的中点，E是OC上的一点，当△）的坐标是（E的周长最小时，点ADE．，）（0，2） D．（0（A．（0，） B．0，） C．1两点距、满足S=BS，则点P到A3.如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，动点P ABCDPAB△矩形3）离之和PA+PB的最小值为（．5C． DA． B．，2）的距离与到4.已知抛物线y=x+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F2x0（M的坐标为（y=，3），P是抛物线x+1 PMF周长2上一个动点，轴的距离始终相等，如图，点的最小值是（）则△6DC．．A．3 B45 ．轴上的动点，轴，分别是xyD1B），（b，）都在双曲线y=上，点C，，，点5.如图，A（a3 ）ABCD则四边形周长的最小值为（．CB．． D A．AE+DE边上的动点，则ABDAC=3中，在6.如图，Rt△ABC∠C=90°，，BC=4，、E分别是、BC 的最小值为（）．5DCA．B．．上的动点，，中，∠如图，7.Rt△ABCBAC=90°，AB=3AC=6，点D，分别是边EBCAC，的最小值为则DA+DE ．8.如图，等腰△ABC的底边BC=20，面积为120，点F在边BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分线，若点D在EG上运动，则△CDF周长的最小值为．9.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC ）的长是（PM的值最小时，PB+PM上的动点，当．．D． B． C． A分F交BC于D点，E，，10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8AD平分∠CAB AC，上的动点，则CE+EF的最小值为（）别是AD6． D．A． B． COABC6的正方形11.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是PM+PNP 两点．△OMN的面积为10．若动点在x轴上，则N 的两边AB，BC分别相交于M，的最小值是（）2．2 D．．A．6 B10 CADBC则四边形翻折得到△ABD，AC=BC=212.如图，△ABC中，，AB=1，将它沿ABPE+PF上的任意点，则、形，的形状是 P、E、F分别为线段ABAD、DB ．的最小值是D轴于，AB两点，交xC、y=y=13.如图，已知抛物线x+bx+c与直线x+3交于）．，，0BC 2两点，连接AC、，已知A（，3）C（﹣30）求此抛物线的解析式；（1的值最大，并求出这个最（2）在抛物线对称轴MD||MB上找一点M，使﹣l 大值；轴y交⊥作，过点轴右侧抛物线上一动点，连接为）点（3PyPAPPQPAABC于点QP，AP，问：是否存在点Q，使得以，为顶点的三角形与△请说的坐标；若不存在，P相似？若存在，请求出所有符合条件的点．明理由．14.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．（1）用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值．，3），C（03A（﹣1，0），B（，0y=ax15.如图，抛物线+bx+c（a≠0）经过点的坐标；）2）三点．求抛物线的解析式及顶点M（1 N点的坐标；时，求N为抛物线上的点且在第四象限，当S=S（2）连接AC、BC，ABCNBC△△，（ml上，动点QPx轴，动点（m，3）在直线2（3）在（）问的条件下，过点C作直线l∥ PM+PQ+QN的和最小，并求出m为何值时，PM+PQ+QNPM轴上，连接、PQ、NQ，当0）在x 和的最小值．，过A，两点的二次函数A16.如图，直线y=5x+5交x轴于点，交y轴于点C ．的图2+4x+cy=axC象交x轴于另一点B ）求二次函数的表达式；（1NDD，求线段⊥BC上的动点，作NDx轴交二次函数的图象于点是线段）连接（2BC，点N 长度的最大值；2）是该二次函数图象上一点，4，m图象的顶点，点H（3）若点为二次函数y=ax+4x+cM（的坐标．E，F的周长最小，求出点HEFM，使四边形E，F轴上分别找点y轴、x在．yB两点，与A0）与x轴从左至右交于，（x﹣2）（x+a）（a＞y=17.如图1，已知抛物线 C．轴交于点，求抛物线的解析式；T（1，﹣）（1）若抛物线过点△ B、D三点为顶点的三角形与（2）在第二象限内的抛物线上是否存在点D，使得以A、 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．）是抛物线上的点，6，t1的坐标为（﹣1，），点Q（2（3）如图，在（1）的条件下，点PPQNM轴上移动到何处时，四边形MN=2，问MN在x两点，在x轴上，从左至右有M、N且 M 的坐标．的周长最小？请直接写出符合条件的点轴另一交点x5）两点，与（（﹣1，0），C0，A18.如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过），P是第一象限内抛物线上的动点．0F，，0（，1）E（a0），（a+1，MB为．已知）求此抛物线的解析式；（1 的面积的最大值，并求此时点）当2a=1时，求四边形MEFPP的坐标；（周长最小？请说为顶点的等腰三角形，求是以点）若△（3PCMPaPMEF为何值时，四边形明理由．P探究：小明在求同一坐标轴上两点间的距离时发现，对于平面直角坐标系内任意两点19.1=P：P1得到结论三过构造直角角形利用图，（x（，y），Px，y）可通2112221的坐标公式：）P（x，y他还利用图2证明了线段PP的中点P21．，y=x=1）请你帮小明写出中点坐标公式的证明过程；（ MN长度为；（﹣M2）①已知点（2，﹣1），N3，5），则线段运用：（为顶点的平行四边形顶点D），3（﹣B2，0），C（，﹣12A②直接写出以点（2，），；的坐标：D轴正半轴夹角的平≥x（x0）的图象OL与xy=n2P33拓展：（）如图，点（，）在函数的周长最小，简要叙述作图FExOL分线上，请在、轴上分别找出点、，使△PEF 方法，并求出周长的最小值．20.如图，直线y=kx+b（k、b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（﹣4，0）、B（0，3），抛2物线y=﹣x+2x+1与y轴交于点C．（1）求直线y=kx+b的函数解析式；2）若点P（x，y）是抛物线y=﹣x+2x+1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d 2（关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标；3）若点E在抛物线y=﹣x+2x+1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE+EF的最小2（值．，且OA∥ABC，使得BC21.如图①，在平面直角坐标系中，OA=6，以OA为边长作等边三角形落在过原点且开口向下的抛物线上．B、C点）求这条抛物线的解析式；（1个单位的速度运动，2BAC 的方向以每秒P从点B出发，沿折线在图①中，（2）假设一动点P个单位的速度运动，当点沿点出发，x轴的负半轴方向以每秒1同时另一动点Q从O，使得tQP、的运动过程中，是否存在时间A运动到点时，P、Q都同时停止运动，在的值，若不存在，请说明理由；AB，若存在，求出tPQ⊥，在抛物线的对称边上找一点G，使BE=EF=1个单位，试在ABE3（）在BC边上取两点、F 的周长最小，并求出周长的最小值．H，使得四边形EGHF轴上找一点本人所著《初中几何模型与解题通法》已发行，可在当当、淘宝和京东搜索购买1.特色：由一线名师编写，更专业权威，各地历年中考压轴题几乎都能在书中找到对应的模型和方法，甚至出现大量高度类似题。
将军饮马模型
从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．
这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它．
解决
如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线 取A关于河岸的 对称点A‘，连结A’B，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A 出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的． 如果将军在河边的另外任一点C‘饮马，所走的路程就是AC’+C‘B，
解：∵在菱形ABCD中，AC与BD互相垂直平分， ∴点B、D关于AC对称， 连接ED，则ED就是所求的EF+BF的最小值的线段， ∵AB=AD, ∠DAB=60°
∴ △ABC是等边三角形 ∵E为AB的中点 ∴DE⊥AB，
Rt △ABC中， ED=6sin60º=3 3
但是，AC'+C'B＝A'C'+C'B＞A'B＝A'C+CB＝AC+CB． 可见，在C点外任何一点C'饮马，所走的路程都要远一些． 这有几点需要说明的： （1）由作法可知，河流l相当于线段AA中垂线,所以 AD=A‘D。 （2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于A’C+BC，
而两村庄，他们想在河流l的边上建立一个水泵站，已知每米 的管道费用是100元，A到河流的距离AD是1km，B到河流的距离BE是3km， DE长3km。请问这个水泵站应该建立在哪里使得费用最少？
解：如图所作，C点为水泵站的位置。
应用2
如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°， E为AB的中点，F是AC上的一动点，则EF+BF的 最小值为 多少?
将军饮马模型(终稿)
將軍飲馬模型一、背景知識：【傳說】早在古羅馬時代，傳說亞曆山大城有一位精通數學和物理の學者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解の問題．將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然後再去河岸同側の軍營B開會，應該怎樣走才能使路程最短？這個問題の答案並不難，據說海倫略加思索就解決了它．從此以後，這個被稱為“將軍飲馬”の問題便流傳至今．【問題原型】將軍飲馬造橋選址費馬點【涉及知識】兩點之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關係；軸對稱；平移；【解題思路】找對稱點，實現折轉直二、將軍飲馬問題常見模型1.兩定一動型：兩定點到一動點の距離和最小例1：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與Bの距離之和最小，即PA+PB 最小.作法：連接AB，與直線lの交點Q，Q即為所要尋找の點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB最小，且最小值等於AB.原理：兩點之間線段最短。
證明：連接AB，與直線lの交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAB中，由三角形三邊關係可知：AP+PB≧AB(當且僅當PQ重合時取﹦)例2：在定直線l上找一個動點P，使動點P到兩個定點A與Bの距離之和最小，即PA+PBの和最小.關鍵：找對稱點作法：作定點B關於定直線lの對稱點C，連接AC，與直線lの交點Q即為所要尋找の點，即當動點P跑到了點Q處，PA+PB和最小，且最小值等於AC.原理：兩點之間，線段最短證明：連接AC，與直線lの交點Q，P為直線l上任意一點，在⊿PAC中，由三角形三邊關係可知：AP+PC≧AC(當且僅當PQ重合時取﹦)2.兩動一定型例3：在∠MONの內部有一點A，在OM上找一點B，在ON上找一點C，使得△BAC周長最短．作法：作點A關於OMの對稱點A’，作點A關於ONの對稱點A’’，連接A’ A’’，與OM 交於點B，與ON交於點C，連接AB，AC，△ABC即為所求．原理：兩點之間，線段最短例4：在∠MONの內部有點A和點B，在OM上找一點C，在ON上找一點D，使得四邊形ABCD周長最短．作法：作點A關於OMの對稱點A’，作點B關於ONの對稱點B’，連接A’ B’，與OM交於點C，與ON交於點D，連接AC，BD，AB，四邊形ABCD即為所求．原理：兩點之間，線段最短3.兩定兩動型最值例5：已知A、B是兩個定點，在定直線l上找兩個動點M與N，且MN長度等於定長d（動點M位於動點N左側），使AM+MN+NBの值最小.提示：存在定長の動點問題一定要考慮平移作法一：將點A向右平移長度d得到點A’，作A’關於直線lの對稱點A’’，連接A’’B，交直線l於點N，將點N向左平移長度d，得到點M。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
将军饮马模型
一、背景知识：
【传说】
早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．
将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．
【问题原型】将军饮马造桥选址费马点
【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；
三角形两边三边关系；轴对称；平移；
【解题思路】找对称点，实现折转直
二、将军饮马问题常见模型
1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小
例1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB 最小.
作法：连接AB，与直线l的交点Q，
Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，
PA+PB最小，且最小值等于AB.
原理：两点之间线段最短。
证明：连接AB，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAB中，由三角形三边关系可知：AP+PB≧AB(当且仅当PQ重合时取﹦)
例2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB的和最小.
关键：找对称点
作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC.
原理：两点之间，线段最短
证明：连接AC，与直线l的交点Q，P为直线l上任意一点，
在⊿PAC中，由三角形三边关系可知：AP+PC≧AC(当且仅当PQ重合时取﹦)
2.两动一定型
例3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’，连接A’ A’’，与OM 交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求．
原理：两点之间，线段最短
例4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短．
作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求．
原理：两点之间，线段最短
3.两定两动型最值
例5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小.
提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移
作法一：将点A向右平移长度d得到点A’，作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。
作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B，交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。
原理：两点之间，线段最短，最小值为A’’B+MN
例6：（造桥选址）将军每日需骑马从军营出发，去河岸对侧的瞭望台观察敌情，已知河流的宽度为30米，请问，在何地修浮桥，可使得将军每日的行程最短？
例6：直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2,且AC＋BD＋CD最短．
作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD
原理：两点之间，线段最短，
4.垂线段最短型
例7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC 最短．
原理：垂线段最短
点A是定点，OM，ON是定线，
点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点．
作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON，
交OM于点B，B、C即为所求。
例8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即PA-PB 最小.
作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P
此时|PA-PB |=0
原理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
例9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大
作法：延长BA交l于点C，点C即为所求，
即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。
原理：三角形任意两边之差小于第三边
例10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大
作法：作点B关于l的对称点B，连接AB，
交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。
原理：三角形任意两边之差小于第三边
典型例题 三角形
1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值
解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ， 则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3
在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27
D B C D A
C B。