立体几何——点线面的关系

第二部分 点、线、平面之间的位置关系

第一讲 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、导入

1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质；

2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,熟练点线面关系符号语言的书写:；

3.结合图形理解空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系；

4.进一步熟悉文字语言、图形语言、符号语言的相互转换；

5.进一步培养学生的空间想象和全面思考问题的能力.

二、知识点梳理

（一）平面的表示方法

1.平面是无限延伸的，但常用平面的一部分来表示平面.

2.

3.记法：①平面α、平面β、平面γ（标记在角上）

②平面ABCD ③平面AC 或平面BD

注意：（1）平面的两个特征：①无限延伸②平的（没有厚度）

（2）一条直线把平面分成两部分，一个平面把空间分成两部分 （二）点、线、面的基本位置关系 （1）符号表示：点A 、线a 、面α （2）集合关系：αα⊂∈∈a A a A ,,

1、一个平面长 4 米，宽 2 米； ( )

2、平面有边界； ( )

3、一个平面的面积是 25 2cm ； ( )

4、一个平面可以把空间分成两部分. ( ) 例2如图，用符号表示以下各概念： ①点A 、B 在直线a 上；

②直线a 在平面α内 ；

点C 在平面α内；

③点O 不在平面α内；直线b 不在平面α内．

变式训练一

1.将下列符号语言转化为图形语言：

（1）l B l A B A ∈∈∈∈，，，βα

(2)a c b a ,,,=⋂⊂⊂βαβα∥c,p c b =⋂

2.将下列文字语言转化为符号语言： (1)点A 在平面α内，但不在平面β内

（2）直线a 经过平面α外一点M

（3）直线l 在平面α内，又在平面β内（即平面和平面相交于直线）

（三）平面的基本性质

1.公理1 若一条直线在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内

即：α

α

α⊂⇒⎩⎨⎧∈∈AB B A

2.公理2 经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.

不共线⇒A,B,C 确定一平面

三条推论：

1.经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面

2.经过两条相交直线,有且只有一个平面

3.经过两条平行直线,有且只有一个平面

3.公理 3 若两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的

公共直线. 即：l P l P P ∈⇒=⋂∈∈βαβα，，

例3 已知长方体1111D C B A ABCD -中，M 、N 分别是1BB 和BC 的中点，AB=4，AD=2，

1521=BB ，求异面直线D B 1与MN 所成角的余弦值。

变式训练二

一、 选择题:

1．下面推理过程，错误的是（ ）

（A ） αα∉⇒∈A l A l ,// （B ） ααα⊂⇒∈∈∈l B A l A ,,

（C ） AB B B A A =⋂⇒∈∈∈∈βαβαβα,,,

（D ） βαβα=⇒∈∈不共线并且C B A C B A C B A ,,,,,,,, 2．一条直线和这条直线之外不共线的三点所能确定的平面的个数是（ ）

（A ） 1个或3 个 （B ） 1个或4个

（C ） 3个或4个 （D ） 1个、3个或4个 3．以下命题正确的有（ ）

（1）若a ∥b ，b ∥c ，则直线a ，b ，c 共面；

（2）若a ∥α，则a 平行于平面α内的所有直线； （3）若平面α内的无数条直线都与β平行，则α∥β；

（4）分别和两条异面直线都相交的两条直线必定异面。

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个

4．正方体的一条体对角线与正方体的棱可以组成异面直线的对数是（ ）

（A ） 2 （B ） 3 （C ） 6 （D ） 12 5．以下命题中为真命题的个数是（ ）

（1）若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则直线l ∥α； （2）若直线a 在平面α外，则a ∥α； （3）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a ∥α；

（4）若直线a ∥b ，α⊂b ，则a 平行于平面α内的无数条直线。

（A ） 1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个 6．若三个平面两两相交，则它们的交线条数是（ ）

（A ） 1条 （B ） 2条 （C ） 3条 （D ）1条或3条

二、 填空题：

7．若直线l 与平面α相交于点O ，l B A ∈,，α∈D C ,，且BD AC //，则O,C,D 三点的位置关系是。 8．在空间中，

① 若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线。 ② 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。

以上两个命题中为真命题的是（把符合要求的命题序号填上）

9．已知，a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是

① 两条平行直线

② 两条互相垂直的直线 ③ 同一条直线

④ 一条直线及其外一点

在上面结论中，正确结论的编号为 （写出所有正确结论的编号）。