高二寒假 第七讲 直线与圆锥曲线提高篇(理科)
圆锥曲线提高[1]
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专题九 解析几何题型与方法(理科) 一、考点回顾 1．直线(1).直线的倾斜角和斜率直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于x 轴的倾斜程度.当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （a ∈R ）.因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解题时，斜率k 存在与否，要分别考虑. (2) .直线的方程a.点斜式：)(11x x k y y -=-；b.截距式：b kx y +=；c.两点式：121121x x x x y y y y --=--； d.截距式：1=+by ax；e.一般式：0=++C By Ax ，其中A 、B 不同时为0. (3).两直线的位置关系两条直线1l ，2l 有三种位置关系：平行（没有公共点）；相交（有且只有一个公共点）；重合（有无数个公共点）.在这三种位置关系中，我们重点研究平行与相交. 设直线1l ：y =1k x +1b ，直线2l ：y =2k x +2b ，则 1l ∥2l 的充要条件是1k =2k ，且1b ≠2b ；1l ⊥2l 的充要条件是1k 2k =-1.(4).简单的线性规划．a.线性规划问题涉及如下概念：①存在一定的限制条件，这些约束条件如果由x 、y 的一次不等式（或方程）组成的不等式组来表示，称为线性约束条件.②都有一个目标要求，就是要求依赖于x 、y 的某个函数（称为目标函数）达到最大值或最小值.特殊地，若此函数是x 、y 的一次解析式，就称为线性目标函数.③求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题. ④满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解.⑤所有可行解组成的集合，叫做可行域.⑥使目标函数取得最大值或最小值的可行解，叫做这个问题的最优解. b.线性规划问题有以下基本定理：①一个线性规划问题，若有可行解，则可行域一定是一个凸多边形. ② 凸多边形的顶点个数是有限的.③ 对于不是求最优整数解的线性规划问题，最优解一定在凸多边形的顶点中找到. C.线性规划问题一般用图解法. 2. 圆(1).圆的定义：平面内到定点等于定长的点的集合（或轨迹）。
课件7：§2.5 直线与圆锥曲线
探究 2 怎样处理与弦的中点有关的问题？
【提示】 在处理与弦的中点有关的问题时，常采用“点
差法”，即若椭圆方程为ax22＋by22＝1，直线与椭圆交于点
A(x1，y1)，B(x2，y2)，且弦 AB 的中点为 M(x，y)，则
ax212＋by212＝1，
①
ax222＋by222＝1， ②
①－②得 a2(y12－y22)＋b2(x21－x22)＝0， ∴yx11－ －yx22＝－ba22·xy11＋ ＋xy22＝－ba22·xy. 这样就建立了中点坐标与直线斜率之间的关系，从而使 问题能得以解决．
跟踪训练
3．顶点在原点，焦点在 x 轴上的抛物线截直线 y＝2x－4 所得弦长 AB＝3 5，求抛物线的方程．
解：设抛物线 y2＝ax(a≠0)，将 y＝2x－4 代入得 4x2－(a＋
16)x＋16＝0，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，即 x1，x2 为方程 4x2
－(a＋16)x＋16＝0 的两个根，则有 x1＋x2＝a＋416，x1x2＝4，
解得 k2＝1 或 k2＝－2(舍)． ∴k＝±1，经检验符合题意． ∴直线 l 的方程是 y＝±x＋1，即 x－y＋1＝0 或 x＋y－1＝0.
名师指导 求弦长的两种方法
1．求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点距离公式求弦长． 2．联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一 元 二 次 方 程 ， 利 用 弦 长 公 式 ： P1P2 ＝
解：(1)设动点 P 的坐标是(x，y)，由题意得，kPA·kPB＝－21.
∴x＋y
y 2·x－
2＝－21，
化简整理得x22＋y2＝1.
故 P 点的轨迹方程 C 是x22＋y2＝1(x≠± 2)．
高二数学直线与圆锥曲线
高二数学直线与圆锥曲线【考点归纳】直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.熟练运用圆锥曲线弦长公式进行计算及论证；善于运用数形结合、等价转化的数学思想方法，借助韦达定理、二次方程根的判别式，将直线与圆锥曲线的位置关系转化为一元二次方程的实根分布加以讨论．1.讨论直线与圆锥曲线的位置关系，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立成方程组，消去y 得关于x 的方程02=++c bx ax，讨论∆及判别式a 得关于x 的方程02=++c bx ax解析的情况对应得到直线与圆锥曲线的位置关系．一般注意以下三点：（１）要注意0=a 与0≠a 两种情况，只有0≠a 时，才可用判别式来确定解析的个数；（2）直线与圆锥曲线相切时，一定有；00a ≠⎧⎨∆=⎩.（3）直线与圆锥曲线有且只有一个交点时，不一定相切．对椭圆来讲，一定相切； 对双曲线来讲，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与渐近线平行，直线与双曲线的一支相交有一个交点；对抛物线来说，除了相切，还有一种相交，此时⎩⎨⎧≠=.0,0b a 此时直线与抛物线的对称轴平行只有一个交点．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解析成实数解析的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.2．直线与圆锥曲线有两个相异的公共点，表示直线与圆锥曲线相交，此时直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦．当弦所在直线的斜率k 存在时．利用两点距离公式()21221221)(y y x x P P -+-=及斜率公式1212x x y y k --=得 弦长公式为：()()[]21221212221411x x x xk x x kP P -++=-+=，或当弦所在直线的斜率k 存在且非零时，弦长公式可表示为：()[]2122121222141111y y y y k y y kP P -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=．当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.例1、如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为4π的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积.〖解析〗由题意，可设l 的方程为y =x +m ,－5＜m ＜0,由方程组⎩⎨⎧=+=xy mx y 42,消去y ,得x 2+(2m －4)x +m 2=0 ①∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0, 解得m ＜1,又－5＜m ＜0,∴m 的范围为(－5，0) ,设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2, ∴|MN |=4)1(2m -, 点A 到直线l 的距离为d =25m +.∴S △=2(5+m )m -1,从而S △2=4(1－m )(5+m )2=2(2－2m )·(5+m )(5+m )≤2(35522mm m ++++-)3=128.∴S △≤82,当且仅当2－2m =5+m ,即m =－1时取等号. 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为8 2.〖总结与提高〗直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法” 知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想. 错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m 的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件. 技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.例2、 已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在.〖解析〗(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1,与曲线 1C .当l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y －2=k (x －1),代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0 ①(ⅰ)当2－k 2=0,即k =±2时，方程 ① 有一个根，l 与C 有一个交点 (ⅱ)当2－k 2≠0,即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )①当Δ=0,即3－2k =0,k =23时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点.②当Δ＞0,即k ＜23,又k ≠±2,故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜23时，方程 ①有两不等实根，l 与C 有两个交点.③当Δ＜0，即k ＞23时，方程 ①无解，l 与C 无交点.综上知：当k =±2,或k =23，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点；当2＜k ＜23,或－2＜k ＜2,或k ＜－2时，l 与C 有两个交点；当k ＞23时，l 与C 没有交点.(2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则2x 12－y 12=2,2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2,y 1+y 2=2 , ∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1 , 即k AB =2121x x y y --=2但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在.〖总结与提高〗 第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题. 第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法——“差分法”，知识依托：二次方程根的个数的判定、两点连线的斜率公式、中点坐标公式. 错解分析：第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q 为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法：涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.例3、如图，已知某椭圆的焦点是F 1(－4，0)、F 2(4，0)，过点F 2并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，且|F 1B |+|F 2B |=10，椭圆上不同的两点A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)满足条件：|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列.(1)求该弦椭圆的方程； (2)求弦AC 中点的横坐标；(3)弦AC 的垂直平分线的方程为y =kx +m ，求m 的取值范围.〖解析〗利用椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.(1)由椭圆定义及条件知，2a =|F 1B |+|F 2B |=10,得a =5,又c =4,所以b =22c a -=3 故椭圆方程为92522yx+=1.(2)由点B (4,y B )在椭圆上，得|F 2B |=|y B |=59.因为椭圆右准线方程为x =425,离心率为54，根据椭圆定义，有|F 2A |=54(425－x 1),|F 2C |=54(425－x 2)，由|F 2A |、|F 2B |、|F 2C |成等差数列，得 54(425－x 1)+54(425－x 2)=2×59,由此得出：x 1+x 2=8. 设弦AC 的中点为P (x 0,y 0),则x 0=221x x +=4.(3)解析法一：由A (x 1,y 1),C (x 2,y 2)在椭圆上.得⎪⎩⎪⎨⎧⨯=+⨯=+25925925925922222121y x y x , ①－②得9(x 12－x 22)+25(y 12－y 22)=0,即9×)()2(25)2(21212121x x y y y y x x --⋅+++=0(x 1≠x 2)将kx x y y y y y x x x 1,2,422121021021-=--=+==+ (k ≠0)代入上式，得9×4+25y 0(－k1)=0(k ≠0) 即k =3625y 0(当k =0时也成立).由点P (4，y 0)在弦AC 的垂直平分线上，得y 0=4k +m ,所以m =y 0－4k =y 0－925y 0=－916y 0.由点P (4，y 0)在线段BB ′(B ′与B 关于x 轴对称)的内部，得－59＜y 0＜59,所以－516＜m＜516.解析法二：因为弦AC 的中点为P (4,y 0)，所以直线AC 的方程为y －y 0=－k1(x －4)(k ≠0)③ ,将③代入椭圆方程92522yx+=1,得(9k 2+25)x 2－50(ky 0+4)x +25(ky 0+4)2－25×9k 2=0所以x 1+x 2=259)4(5020++k k =8,解析得k =3625y 0.(当k =0时也成立)(以下同解析法一).〖总结与提高〗本题考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强 . 第三问在表达出“k =3625y 0”时，忽略了“k =0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法：第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公① ②式)求解析，第三问利用m 表示出弦AC 的中点P 的纵坐标y 0,利用y 0的范围求m 的范围.. 例4、(2004年北京春卷18) 已知点A上，∆A B C 的重心与此抛物线的焦点 （I ）写出该抛物线的方程和焦点 （II ）求线段BC 中点M （III ）求BC 所在直线的方程．〖解〗 （I ）由点A （2，8）在抛物线y 2解得p =16. 所以抛物线方程为y 2= （II ）如图，由F （8，0）是∆A 点，所以F 是线段AM 设点M 的坐标为()x y 00，，则 121200++00 所以点M 的坐标为()114，-（III ）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴． 设BC 所成直线的方程为 y k x k +=-≠4110()()由y k x y x+=-=⎧⎨⎩411322()消x 得 ky y k 232321140--+=() 所以y y k 1232+=由（II ）的结论得y y 1224+=- , 解得k =-4 ,因此BC 所在直线的方程为 y x +=--4411() 即 4400x y +-=.〖总结与提高〗本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力.例5、(2004年天津卷理22) 椭圆的中心是原点O ，它的短轴长为22，相应于焦点F （c ，0）（0>c ）的准线l 与x 轴相交于点A ，|OF|=2|FA|，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．（1）求椭圆的方程及离心率； （2）若0=⋅OQ OP ，求直线PQ 的方程； （3）设AQ AP λ=（1>λ），过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ，证明FQ FM λ-=．〖解析〗（1）由题意，可设椭圆的方程为)2(12222>=+a yax ．由已知得⎪⎩⎪⎨⎧-==-).(2,2222c c ac c a解得2,6==c a . 所以椭圆的方程为12622=+yx，离心率36=e ．（2）〖解〗由（1）可得A （3，0）．设直线PQ 的方程为)3(-=x k y ．由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)3(,12622x k y yx 得062718)13(2222=-+-+k x k x k 依题意0)32(122>-=∆k ，得3636<<-k ．设),(),,(2211y x Q y x P ，则13182221+=+kk x x ， ①136272221+-=kk x x ． ②由直线PQ 的方程得)3(),3(2211-=-=x k y x k y ．于是]9)(3[)3)(3(2121221221++-=--=x x x x k x x k y y ． ③∵0=⋅OQ OP ，∴02121=+y y x x ． ④ 由①、②、③、④得152=k，从而)36,36(55-∈±=k ．所以直线PQ 的方程为035=--y x 或035=-+y x（3）证明：),3(),,3(2211y x AQ y x AP -=-=．由已知得方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=-=-.126,126,),3(3222221212121y x y x y y x x λλ 注意1>λ，解得λλ2152-=x 因),(),0,2(11y x M F -， 故 ),1)3((),2(1211y x y x FM -+-=--=λ),21(),21(21y y λλλλ--=--=．而),21(),2(222y y x FQ λλ-=-=，所以FQ FM λ-=.例6、(2004年全国卷Ⅳ21)设椭圆1122=++ym x的两个焦点是)0,(1c F -与)0,(2c F (c>0),且椭圆上存在点P,使得直线PP 1与直线PF 2垂直. (Ⅰ)求实数m 的取值范围; (Ⅱ)设L 是相应于焦点F 2的准线,直线PF 2与L 相交于点Q , 若,3222-=PF QF 求直线PF 2的方程.〖解〗(Ⅰ) 由题设有m>0， m c =.设点P 的坐标为),,(00y x 由,21PF PF ⊥得10000-=+⋅-cx y cx y , 化简得 .2020m y x =+ ① 将①与11202=++y m x 联立,解得.1,120220mymm x =-= 由m>0. ,01220≥-=mm x得m ≥1. 所以m 的取值范围是m ≥1.(Ⅱ)准线L 的方程为.1mm x +=设点Q 的坐标为),,(11y x 则 .11mm x +=.1112x m mmm x c c x PF QF --+=--= ② 将mm x 120-=代入②,化简得.1112222-+=---mm mm PF QF 由题设,3222-=PF QF 得,3212-=-+m m 无解,将mm x 120--=代入②,化简得 .1112222--=-+=m m mm PF QF 由题设=22PF QF ,32-得.3212-=--m m 解得m=2.从而,2,22,2300=±=-=c y x 得到PF 2的方程, ).2)(23(--±=x y〖总结与提高〗本题主要考查直线和椭圆的基本知识,以及综合分析和解题能力.例7、(2004年湖北卷20)直线l ：1+=kx y 与双曲线C ：1222=-y x 的右支交于不同的两点A 、B ．（Ⅰ）求实数k 的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值．若不存在，说明理由．〖解〗 （Ⅰ）将直线l 的方程1+=kx y 代入双曲线C 的方程1222=-y x 后，整理得022)2(22=++-kx x k．…………① 依题意，直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点，得022≠-k，0)22(8)2(2>--=∆k k ， 0222>--k k ，0222>-k． 解得k 的取值范围为22-<<-k ．（Ⅱ）设A 、B 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则由①得22122k kx x -=+，22221-=⋅k x x ．………………② 假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0），则由FA ⊥FB 得0))((2121=+--y y c x c x ．即0)1)(1())((2121=+++--kx kx c x c x ．整理得 01))((|)1(221212=+++-+c x x c k x x k ．……………………③ 把②式及26=c 代入③式化简得 066225=-+k k ．解得566+-=k 或)2,2(566--∉-=k （舍去）． 可知566+-=k 使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点．。
课件2：2.5 直线与圆锥曲线
A．( 41，0) 10
C． 4, 0
B．(18 ，0) 5
D．( 22，0) 5
此题也可采用探索法，考虑特殊情况，即AB
与x轴垂直时，便可得出一个定点( 41，0)，故选A.
10
17
3.最值问题
【例3】(2009江苏启东模拟)设椭圆方程为x2 y2 1，过 4
点M 0,1的直线l交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，
2 0.
2由题意知椭圆的另一个焦点为F1 2, 0，且椭圆
过点P(3，2 )，
所以2a | PF1 PF | 4 3， 所以a2 12，b2 a2 c2 8.
所求椭圆的标准方程为 x2 y2 1. 12 8
2x y 2 0
3由题意，得
x
2
y2
1
，
12 8
10
解得
x
3
或
5
1 证明：由题可知直线MA的斜率存在，且
MA与MB的斜率互为相反数，不妨设直线MA的斜率
为k(k 0)，则直线MA的方程为：y 2 k(x 2)， 2
直线MB的方程为y 2 k(x 2)， 2
代入 x2 y2 1可分别求得， 4
xA
2(4k2 4k 4k 2 1
1），xB
2(4k 2 4k 1）， 4k 2 1
所以k AB
yA xA
yB xB
k(xA xB 2 xA xB
2) 1. 2
即直线AB的斜率为定值 1 .
2
6
2设直线AB的方程为y 1 x m(m 0)，
2 代入 x2 y2 1得，
4 x2 2mx 2m2 2 0，由 0，得0 m2 2. 而xA xB 2m，xA xB 2m2 2. 所以 | AB | (1 k 2 )[(xA xB )2 - 4xA xB ]
(理科)高二寒假 第七讲 直线与圆锥曲线
直线与圆锥曲线（一）知识点知识点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点特殊情况：①若E为椭圆，则直线与椭圆的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式②若E为双曲线，则直线与双曲线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）与渐近线平行（3）判别式③若E为抛物线，则直线与抛物线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式总结：方法与技巧1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．知识点二、弦长公式问题：1.弦长公式：设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：1212AB x y =-=-==.2.弦长公式的延伸：面积问题12ABC S AB d ∆= 其中：AB 为弦长，d 为c 到AB 的距离知识点三：中点弦问题（点差法）思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出1212AB y y k x x -=-和12x x +、12y y +，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．注意：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部． 知识点四：定点定值问题1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．例题：题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断及应用例1 (1)若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－153，153 B.⎝⎛⎭⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎫－153，0 D.⎝⎛⎭⎫－153，－1思考：若直线与双曲线只有一个交点，求k 的值已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．思考：把题目的“椭圆C ：x 24＋y 22＝1”改为“双曲线C ：22142x y -=，”题型二 直线与圆锥曲线中点弦、弦长问题例2 已知椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过C 1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C 1的方程；(2)设点P 在抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上，C 2在点P 处的切线与C 1交于点M ，N .当线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．跟踪训练2 设椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的离心率为22，长轴长为62，设过右焦点F 倾斜角为θ的直线交椭圆M 于A ，B 两点．(1)求椭圆M 的方程；(2)求证：|AB |＝621＋sin 2θ； (3)设过右焦点F 且与直线AB 垂直的直线交椭圆M 于C ，D ，求|AB |＋|CD |的最小值．题型三 圆锥曲线中的定点、定值问题例3 已知点M 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)上一点，F 1，F 2分别为C 的左，右焦点，且|F 1F 2|＝4，∠F 1MF 2＝60°，△F 1MF 2的面积为433. (1)求椭圆C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交椭圆C 异于N 的A ，B 两点，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 1＋k 2为定值．跟踪训练3 已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F (1，0)，点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O 的两点．(1)求曲线C 的方程；(2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－12，求证：直线AB 过定点．（二）基础题1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．02．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知抛物线C 的方程为x 2＝12y ，过A (0，－1)，B (t,3)两点的直线与抛物线C没有公共点，则实数t 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，－22)∪(22，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)4．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．4 2B ．8C ．8 2D ．165．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A ，B 两点，它们到直线x ＝－2的距离之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在6．过双曲线x 2－y 22＝1的右焦点作直线l 交双曲线于A 、B 两点，若使得|AB |＝λ的直线l 恰有3条，则λ＝________.7．已知焦点为F的抛物线y2＝4x的弦AB的中点的横坐标为2，则|AB|的最大值为________．8．过椭圆x216＋y24＝1内一点P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是____________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的左，右焦点，过F1且斜率为1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．(1)求E的离心率；(2)设点P(0，－1)满足|P A|＝|PB|，求E的方程．10.如图所示，等边三角形OAB的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p>0)上．(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，求证：以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．11：抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．12．（本小题满分13分）过椭圆221164x y+=内一点M(1，1)的弦AB(1）若点M恰为弦AB的中点，求直线AB的方程；（2）求过点M的弦的中点的轨迹方程。
直线与圆锥曲线
0
1 k 2 0
0
0
1 k 0
2 k 2 , 且k 1
双曲线与直线的位置关系： 此类题一般用代数方法解题，在联立方程组得到一元二次方程 Ax2+Bx+C=0 后，要注意一元二次方程的二次项系数为 0 的情形. 对于方程 Ax2+Bx+C=0. ①当二次项系数 A=0,即直线与渐近线平行,此时直线与双曲线有且仅有一个公 共点. ②当 A≠0,△=0 时,直线与双曲线也有且仅有一个公共点,但此时直线 l 与双曲 线相切. 问题拓展: 直线仅与双曲线的右(左)支相交,有两个交点,问题可转化为 Ax2+Bx+C=0 的根
2．设抛物线 y2＝8x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共点，则直线 l 的斜率的取值 范围是
1 1 A.－2，2
( B．[－2,2] D．[－4,4]
)
C．[－1,1]
解析 ∵y2＝8x，∴Q(－2,0) (Q 为准线与 x 轴的交点)， 设过 Q 点的直线 l 方程为 y＝k(x＋2)， ∵l 与抛物线有公共点，
② ③
又 y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2 2 而A 2 ,0),B(0,1),AB ( 2,1) ( 所以OP OQ与 AB共线等价于 x1＋x2＝－ 2(y1＋y2)，
2 将②③代入上式，解得 k＝ . 2 2 2 由(1)知 k<－ 或 k> ，故没有符合题意的常数 k. 2 2
满足 x∈(0,+∞),问题转化为方程有两不相等的正(负)根. 如果题型为填空题、 选择题,可直接使用几何方法解决.
知能迁移 1
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高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系 理优秀PPT
考点探究
解
析
：
(1)
由
题
意
可
设
椭
圆
方
程
为
x2 a2
＋
y2 b2
＝
1(a
＞
b
＞
0)
，
则
aac22＝＋2231b，2＝1.故ab＝＝21，. 所以，椭圆方程为x42＋y2＝1.
(2)由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为 0，
故可设直线 l 的方程为 y＝kx＋m(m≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
考点探究
由于直线 OP，OQ 的斜率存在，且Δ＞0，得 0＜m2＜2 且 m2≠1. 设 d 为点 O 到直线 l 的距离， 则 S△OPQ＝12d|PQ|＝21|x1－x2||m|＝ m2（2－m2）， 所以 S△OPQ 的取值范围为(0，1)． 点评：直线与圆锥曲线相交，一般是将直线方程代入到圆锥曲线 方程中，消去 x(或 y)转化为关于 y(或 x)的二次函数，再利用判别式、 根与系数的关系以及题目的其他条件解决问题．
高考数学一轮复习 直线与圆锥曲线的位置关系课件 理
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
考点3 圆锥曲线的弦长问题
第十二节 直线与圆锥曲
考点2 直线与圆锥曲线相交问题
第十二节 直线与圆锥曲 线的位置关系
高考考点总 2 复直习线数与学圆（锥理曲科线1）相.了交问解题 圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世
考点探究
④k≠0 时，Δ<0 时，解得 k∈(－∞，－1)∪12，＋∞，直线与 抛物线无公共点．
点评：方程 ky2－4y－8k＋4＝0 是形式上的二次方程，k＝0 时 有一组解不能漏掉，而且只有 k≠0 时，才有Δ＝0，Δ>0 可言．
【原创】高考复习数学(理科) 第七章 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系
【互动探究】
考点3 直线与圆锥曲线的位置关系
【互动探究】
思想与方法 ⊙ 圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想
(1)求椭圆 C 及圆 O 的方程； (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点 P 的坐标；
2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长： 直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段)，线段的长就是弦长.
(2)圆锥曲线的弦长的计算：
3.直线与圆锥曲线的位置关系口诀 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找 范围，曲线定义不能忘”.
1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和 到直线 x＝－1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(－1,0)且斜 率为 k 的直线，则 k 的取值范围是_________________.
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案：D
3.(2016 年河北唐山模拟)过抛物线 C：y2＝4x 的焦点 F 作直 线 l 交抛物线 C 于 A，B 两点，若 A 到抛物线的准线的距离为 4，
(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则Δ＞0⇔直线 l 与圆锥曲线 C 相交；
Δ＝0⇔直线 l 与圆锥曲线 C____相__切____； Δ＜0⇔直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点. (2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直 线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若 C 为抛物线，则 直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行.
原创1：2.5直线与圆锥曲线
9
2
2
∴椭圆的方程为x ＋2y － ＝0，
8
直线l的方程为y＝1－x.
典例分析
例3 已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C
有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；
解：
∵|AB|＝x1＋x2＋2＝8，∴＝3.
再见
代入双曲线方程3x2－y2＝3，得
3x12 －y12 ＝3, 3x22 －y22 ＝3，
两式相减得：3(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)，
1 −2 1 +2
即
·
1 −2 1 +2
＝3.
所以直线AB的斜率
kAB＝
1 −2
1 −2
＝
3(1 +2 )
1 +2
2
为的椭圆相交
2
1
于B、C两点，直线y＝ x过线段BC的中点，同时椭圆上存在一点与右焦点
2
关于直线l对称，试求直线l与椭圆的方程．
解：如图，∵e＝
2
2
，∴a2＝2b2，b2＝c2，c＝b.
∴可设椭圆方程为x2＋2y2－2b2＝0.
设B(x1，y1)、C(x2，y2)，
代入椭圆方程并对两式作差得
(x1＋x2)(x1－x2)＋2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
＝
，
1≤
2
2
2
1+3
3 +|| 2
1
1
2
当且仅当 ＝3|k|，即k ＝ 时，上式等号成立，
第八章--第八节-直线与圆锥曲线(理)概要PPT课件
等于________．
解析：取特殊情况：直线y＝ ，得p＝q＝ .
∴
＝4a.
答案：4a
-
9
5．已知双曲线x2－y2＝1和斜率为 的直线l交于A、B两点， 当l变化时，线段AB的中点M的坐标(x，y)满足的方程是 ______________． 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点坐标(x0，y0)，
消去y得(4＋k2)x2＋6kx＋5＝0，
所以Δ＝(6k)2－20(4＋k2)>0，即k2>5，
则x1＋x2＝
，x1·x2＝
，
因为|AB|＝
的解，
-
24
所以 解得－ <k2<8， 所以5<k2<8. ∴ <k<2 或－2 < k<－ .
-
25
解决圆锥曲线的最值与范围问题常见的解法有两种： 几何法和代数法．若题目的条件和结论能明显体现几何特 征和意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何 法．若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则 可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，这就是代 数法．
加以解决，也可以利用“点差法”解决此类问题．若知道
中点，则利用“点差法”可得出过中点弦的直线的斜
率．比较两种方法，用“点差法”计算量较小，此法在解
决有关存在性的问题时，要结合图形和判别式Δ加以检验．
-
12
已知双曲线C：2x2－y2＝2与点P(1,2)． (1)求过P(1,2)的直线l的斜率k的取值范围，使l与C分别有 一个交点，两个交点，没有交点； (2)是否存在过P点的弦AB，使AB的中点为P?
-
1
1.理解数形结合思想. 2.了解圆锥曲线的简单应用.
直线与圆锥曲线知识讲解提高
直线与圆锥曲线【要点梳理】要点一：圆锥曲线的共同特征椭圆、抛物线、双曲线都是由不同的平面截一个圆锥面得到的，统称为圆锥曲线，从方程的形式看，三种曲线方程都是二次的，它们具有某些共同特征.圆锥曲线的共同特征：圆锥曲线上的点到一个定点F与它到一条定直线l的距离之比为定值e. 当0<<1ee时，圆锥曲线是椭圆；当1时，圆锥曲线是双曲线；当=1e时，圆锥曲线是抛物线. e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线. 可以把它看作圆锥曲线的第二定义.要点诠释：（1）注意点F不在直线l上，即点F在直线l外.（2）椭圆、双曲线的准线方程分别如下表所示：证明过程：（以焦点在x 轴的椭圆和双曲线为例）已知点P 到定点F ()0c ，的距离与它到定直线2a l x c =：的距离之比为常数()=,0c e a c a c a>≠且，求点P 的轨迹.解法步骤如下：（1）设点：设动点()P x y ，.（2）列式：由题意可知 PF e d=c a=（3）化简：由上式可得()()22222222+=a c x a y a a c ①当0a c >>即1e <时，令()222=0b a c b > ，方程①可化为222222+=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得22221x y a b+=，即焦点在x 轴上的椭圆. 当0c a >>即1e >时，令()222=0b c a b > ，方程①可化为222222=b x a y a b ，等式两边同除以22a b ，可得22221x y a b = ，即焦点在x 轴上的双曲线. 同理可证，焦点在y 轴上的椭圆和双曲线和符合这一特征.要点二： 直线与圆锥曲线的位置关系 位置关系直线与圆锥曲线都有相交、相切和相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点． 判定方法设直线l 的方程0Ax By C ++=，圆锥曲线C ：()0f x y =，，由0()0Ax By C f x y ++=⎧⎨=⎩，，消去y (或x )，得到关于x (或y )的方程20ax bx c ++=（20ay by c ++=） （*）此时，方程组的解的个数与方程（*）的解的个数是一致的．当a ≠0时，方程（*）是一个一元二次方程，此时方程的解的个数(即为直线与圆锥曲线交点的个数)可由判别式△＝24b ac -来判断，如下：①△＞0⇔直线l 与圆锥曲线相交； ②△＝0⇔直线l 与圆锥曲线相切；③△＜0⇔直线l 与圆锥曲线相离． 要点诠释：当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点；当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线相交且只有一个公共点，所以直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，而不是充分条件．要点三：直线与圆锥曲线的弦长和中点弦 直线与圆锥曲线的弦长若直线截圆锥曲线于弦AB ，则弦长|AB |的求法主要有以下几种：交点法：将直线的方程与抛物线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． 根与系数的关系法：如果直线的斜率为k ，被圆锥曲线截得弦AB 两端点坐标分别为(1x ，1y )、(2x ，2y )，则弦长公式为：12|||AB x x =-=或12|||0)AB y y k =-=≠． 要点诠释：在抛物线中，当弦过焦点时(即焦点弦)，那么弦长公式可以利用定义进行转化，因此抛物线的焦点弦长有以下两种更简单的计算方法．①若直线AB 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且点A 、B 在抛物线上，则有(i )12||AB x x p =++；(ii )22||sin pAB θ=(θ是直线AB 的倾斜角)． ②若直线AB 过抛物线22x px =(p ＞0)的焦点，且点A 、B 在抛物线上，则有(i )12||AB y y p =++；(ii )22||cos pAB θ=( θ是直线AB 的倾斜角)．直线与圆锥曲线的中点弦 中点弦对于给定点P 和给定的圆锥曲线C ，若C 上的某条弦AB 过P 点且被P 点平分，则称该弦AB 为圆锥曲线C 上过P 点的中点弦。
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直线与圆锥曲线（复习）辅导教案知识点一、直线与圆锥曲线的关系1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭⎫23，＋∞ 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43知识点二、弦长问题 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．知识点三、中点弦问题5.过椭圆x216＋y24＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程．知识点一、 直线与圆锥曲线(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．知识点二、点差法涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．知识点三、定点定值问题(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．知识点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有∪Δ>0∪直线与圆锥曲线相交；∪Δ＝0∪直线与圆锥曲线相切；∪Δ<0∪直线与圆锥曲线相离．若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点特殊情况：∪若E为椭圆，则直线与椭圆的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式∪若E为双曲线，则直线与双曲线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）与渐近线平行（3）判别式∪若E为抛物线，则直线与抛物线的交点情况需要分析：（1）直线平行、垂直的情况（2）判别式知识点二、弦长公式问题：1.弦长公式：设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：222212*********()1()41AB k x x y y k x x x x k =+-=+-=++-=+.2.弦长公式的延伸：面积问题12ABC S AB d ∆= 其中：AB 为弦长，d 为c 到AB 的距离知识点三：中点弦问题（点差法）思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出1212AB y y k x x -=-和12x x +、12y y +，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．注意：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲线内部．知识点四：定点定值问题1．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．1．若直线mx ＋ny ＝4与∪O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( ) A ．至多为1B ．2C ．1D ．02．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条3．已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大值为________．4.直线y x m =+和椭圆2214x y +=相交于A 、B 两点，当m 变化时； （1） 求AB 的最大值（2） 求OAB ∆面积的最大值（O 是坐标原点）1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．2．求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．3．定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．1．椭圆1449422=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那么这弦所在直线的方程为（ ）A ．01223=-+y xB ．01232=-+y xC ．014494=-+y xD ．014449=-+y x2.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．3．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆1222=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（ ）A ．2B ．－2C ．21 D ．－214.直线1+=kx y 与椭圆1522=+my x 总有公共点，则m 的取值范围是（ ） （A ）m ＞l (B) m ＞1或0＜m ＜l(C) 0＜m ＜5或m≠l (D) m≥1且m≠55.已知点)2,1(A 是离心率为22的椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于D B ,两点，且D B A ,,三点不重合.（1）求椭圆C 的方程；（2）ABD ∆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？（3）求证：直线AB 、直线AD 的斜率之和为定值.6.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.C 1(1 0)F -，2(1 0)F ，12 B B 、112F B B ∆C C 22F l C P Q 、11F P FQ ⊥l7.已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。
(∪)求椭圆的方程；(∪)求的角平分线所在直线的方程；(∪)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由。
1．2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知椭圆：的一个焦点为，左右顶点分别为，．经过点的直线与椭圆交于，两点．（∪）求椭圆方程；（∪）记与的面积分别为和，求的最大值．2.【2015四川巴蜀联盟】如图，点M （23,2）在椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）E ()2,3A 12,F F x 12e =E 12F AF ∠l E l M 2221(0)3x y a a +=>(1,0)F -A B F l M C D ABD ∆ABC ∆1S 2S 12||S S -上，且点M 到两焦点的距离之和为4.（1）求椭圆方程；（2）设与MO （O 为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A 、B （A 、B 不重合），求OA OB ⋅的取值范围.3 【2015浙江综合调研】已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 经过点)221(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．（∪）求椭圆C 的方程；（∪）已知直线l 与圆3222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）； （∪）以线段OAOB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．．11。