高二寒假 第七讲 直线与圆锥曲线提高篇(理科)

直线与圆锥曲线（复习）辅导教案
知识点一、直线与圆锥曲线的关系
1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24
＝1的位置关系为( ) A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不确定
2．若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24
＝1相交，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭
⎫0，23 B.⎝⎛⎭⎫－23，0 C.⎝⎛⎭⎫－23，23 D.⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪⎝⎛⎭
⎫23，＋∞ 3．(2014·辽宁)已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A.12
B.23
C.34
D.43
知识点二、弦长问题 4．已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、
B 两点，则弦AB 的长为________．
知识点三、中点弦问题
5.过椭圆x216＋y24
＝1内一点M(2,1)引一条弦，使弦被M 点平分，求此弦所在的直线方程．
知识点一、 直线与圆锥曲线
(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标．也
可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是
二次项系数不为0.
(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，
此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为
0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解．
知识点二、点差法
涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2
和x 1＋x 2，y 1＋y 2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．
知识点三、定点定值问题
(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标．
(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证．
知识点一、直线与圆锥曲线的位置关系的判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0 (或ay2＋by＋c＝0)．
(1)当a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有
∪Δ>0∪直线与圆锥曲线相交；
∪Δ＝0∪直线与圆锥曲线相切；
∪Δ<0∪直线与圆锥曲线相离．
若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点
特殊情况：
∪若E为椭圆，则直线与椭圆的交点情况需要分析：
（1）直线平行、垂直的情况
（2）判别式
∪若E为双曲线，则直线与双曲线的交点情况需要分析：
（1）直线平行、垂直的情况
（2）与渐近线平行
（3）判别式
∪若E为抛物线，则直线与抛物线的交点情况需要分析：
（1）直线平行、垂直的情况
（2）判别式
知识点二、弦长公式问题：
1.弦长公式：设斜率为k (k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：
222212*********()1()41AB k x x y y k x x x x k =+-=+-=++-=+.
2.弦长公式的延伸：面积问题
12
ABC S AB d ∆= 其中：AB 为弦长，d 为c 到AB 的距离
知识点三：中点弦问题（点差法）
思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出
1212
AB y y k x x -=-和12x x +、12y y +，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想．
注意：中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0或说明中点在曲
线内部．
知识点四：定点定值问题
1．求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1．若直线mx ＋ny ＝4与∪O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭
圆x 29＋y 2
4
＝1的交点个数是( ) A ．至多为1
B ．2
C ．1
D ．0
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( )
A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
3．已知焦点为F 的抛物线y 2＝4x 的弦AB 的中点的横坐标为2，则|AB |的最大
值为________．
4.直线y x m =+和椭圆2
214
x y +=相交于A 、B 两点，当m 变化时； （1） 求AB 的最大值
（2） 求OAB ∆面积的最大值（O 是坐标原点）
1．直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与
椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．
(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一
条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只
有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点
只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线．
(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两
条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有
且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有
两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．
2．求定值问题常见的方法有两种
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
3．定点的探索与证明问题
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b 、k
等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
1．椭圆144942
2=+y x 内有一点P （3，2）过点P 的弦恰好以P 为中点，那
么这弦所在直线的方程为（ ）
A ．01223=-+y x
B ．01232=-+y x
C ．014494=-+y x
D ．014449=-+y x
2.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，
被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．
3．过点M （－2，0）的直线M 与椭圆12
22
=+y x 交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，设直线M 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2
的值为（ ）
A ．2
B ．－2
C ．
21 D ．－21
4.直线1+=kx y 与椭圆152
2=+m
y x 总有公共点，则m 的取值范围是（ ） （A ）m ＞l (B) m ＞1或0＜m ＜l
(C) 0＜m ＜5或m≠l (D) m≥1且m≠5
5.已知点)2,1(A 是离心率为2
2的椭圆C ：
)0(122
22>>=+b a b
y a x 上的一点.斜率为2的直线BD 交椭圆C 于D B ,两点，且D B A ,,三点不重合.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）ABD ∆面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请
说明理由？
（3）求证：直线AB 、直线AD 的斜率之和为定值.
6.已知椭圆的两个焦点分别为、,短轴的两个端点分别为
(1)若为等边三角形,求椭圆的方程;
(2)若椭圆的短轴长为,过点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.
C 1(1 0)F -，
2(1 0)F ，12 B B 、112F B B ∆C C 22F l C P Q 、
11
F P FQ ⊥l
7.已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点在轴上，离心率。

(∪)求椭圆的方程；
(∪)求的角平分线所在直线的方程；
(∪)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若
不存在，说明理由。

1．2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】已知椭圆：
的一个焦点为，左右顶点分别为，．
经过点的直线与椭圆交于，两点．
（∪）求椭圆方程；
（∪）记与的面积分别为和，求的最大值．
2.【2015四川巴蜀联盟】如图，点M （23,2）在椭圆22
221x y a b
+=（a ＞b ＞0）E ()2,3A 12,F F x 12
e =E 12F AF ∠l E l M 22
21(0)3x y a a +=>(1,0)F -A B F l M C D ABD ∆ABC ∆1S 2S 12||S S -
上，且点M 到两焦点的距离之和为4.
（1）求椭圆方程；
（2）设与MO （O 为坐标原点）垂直的直线交椭圆于A 、B （A 、B 不重合），
求OA OB ⋅的取值范围.
3 【2015浙江综合调研】已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 经过点)2
21(，M ，其离心率为22，设直线m kx y l +=：与椭圆C 相交于B A 、两点．
（∪）求椭圆C 的方程；
（∪）已知直线l 与圆3
222=+y x 相切，求证：OB OA ⊥（O 为坐标原点）； （∪）以线段OA
OB ，为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=（O 为坐标原点），求实数λ的取值范围．
．
11。