第十三章早期量子论和量子力学基础2

自然界在许多方面都是明显对称的，既然光具有波粒二象 性，那么实物粒子，如电子，是否也应具有波粒二象性？
1924 年法国青年物理学家德布罗意,在 光的波粒二象性的启发下提出了此问题,他 认为：19世纪物理学家对光的研究只重视了 光的波动性而忽视了光的微粒性,而在实物 粒子 (即中子，质子，电子，原子,分子等) 的研究上可能发生了相反的情况，即过分重 视了实物粒子的微粒性，而没有考虑其波动 性。因此他提出实物粒子也具有波动特性的 观点。
鲁斯卡：电子物理领域的基础研究工作，设计出世界 上第一台电子显微镜，1986年诺贝尔物理学奖。
三、微观粒子的波粒二象性
少女？
老妇？ 两种图象不会 同时出现在你 的视觉中。
例2 试估算热中子的得布罗意波长 (中子的质量 mn=1.67×10-27㎏)。
解：热中子是指在室温下(T=300K)与周围处于热 平衡的中子，平均动能：
2d sin 1.65 A
0
2 、电子多晶薄膜的衍射实验（G.P.汤姆孙实验）
金多晶 薄膜
电子束
在此之后，人们陆续用实验证实了原子，分子，中子，质 子也具有波动性。
实物粒子波动性的一个重要应用就是电子显微镜，其分辨 本领比普通光学仪器要高几千倍，如我国制造的电子显微镜， 其放大率高达８０万倍,其分辨本领达 1.44Å,可分辨到单个原子 的尺度，为研究分子结构提供了有力武器。
即，如果对光子的坐标测量得越精确 (Δx 越小) ，动量 ΔPx 不确定性就越大；反之亦然。
海森堡（ 1926 ）严格的理论给出光子坐标与动量的不 确定关系为
xp x 2
yp y 2
zpz 2
h 1.0545887 10 34 J s 2
海森伯获1932年诺贝尔物理学奖。
12.3 2 U ( ) 150V

练习3 能量为 15 eV的光子，被处于基态的氢原子吸收， 使氢原子电离发射一个光电子，求此光电子的德布罗意波长。 解：远离核的光电子动能为（非相对论效应）
1 2 Ek mv E A 15 13.6 1.4eV 2
2Ek 2 1.4 1.6 1019 则 v 7.0 105 m s 31 m 9.110
说
明
1. 不确定性与测量没有关系，是微观粒子波粒二象性的 体现。
2. 对于微观粒子，不能同时用确定的位置和动量来描述。 因此，微观粒子：(1) 没有“轨道”，(2) 不可能静止（对 任何惯性系）。
3. 当 x 典粒子处理。
x, p p
( 即L>> ) 时，可作为经
4. 能量和时间的不确定关系：
a sin k
考虑中央极大
K =1
狭缝处的光子在 x 方向坐标不确定范围：
x ~ a
x 方向动量的不确定范围：
px p sin
又由 p
h

p x xp x a sin x h p
xpx ~ h
再考虑其它衍射条纹
xpx h
第十三章 早期量子论和量子力学基础
• • • • • • 13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 13-6 不确定关系 13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 13-8 一维定态薛定谔方程的应用 13-9 量子力学中的氢原子问题 13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
一、德布罗意波
1 、实物粒子具有波粒二象性
物质波的这种统计性解释把粒子的波动性和粒子性正确 地联系起来了，成为量子力学的基本观点之一。
物质波是一种既不同于机械波,又不同于电磁波的一种概率波。 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义：
(1)强电子束入射
单位时间内许多电子通过双缝，底片上很快出现衍射图样。 这是许多电子在同一个实验中的统计结果。
1961年琼森（Claus Jö nsson）将一束电子加速到 50Kev，让其通过一缝宽为a=0.510-6m，间隔为 d=2.010-6m的双缝,当电子撞击荧光屏时,发现了类似 的双缝衍射图样。
光电子的德布罗意波长为
0 h h 9 1.04 10 m 10.4 A P mv
第十三章 早期量子论和量子力学基础
• • • • • • 13-5 德布罗意波 微观粒子的波粒二象性 13-6 不确定关系 13-7 波函数及其统计诠释 薛定谔方程 13-8 一维定态薛定谔方程的应用 13-9 量子力学中的氢原子问题 13-10 电子的自旋 原子的电子壳层结构
由于微观粒子的波粒二象性，粒子的位置是不确定的。
坐标的不确定量：
x, y, z
按照经典波动理论，约束在空间某区域内的波不可能是单色 的—不可能具有唯一的波长。 这一结论对物质波同样正确：被束缚在某区域的粒子不可能 具有确定的动量，即粒子的坐标和动量不能同时取确定值。
动量的不确定量：
px , p y , pz
实物粒子的能量 E 和动量 p 与它相应的波动频率 和波长λ 的关系与光子一样
E mc h p mv h
2
这种和实物粒子相联系的波通常称为德布罗意波, 或叫物质波。 具有静止质量m0的实物粒子以速度v 运动，则和该粒子相联系 的平面单色波的波长为：
h h h v 1 2 p mv m0v c
3. 电子双缝干涉实验
约恩孙(C. Jonsson) 1961年
• 量子围栏 镶嵌了48个 Fe 原子的 Cu 表面 的扫描隧道显微镜照片。48 个 Fe 原子形成“电子围栏”，围栏中的 电子形成驻波。
• 微观粒子波动性的应用
1933年 德国的鲁斯卡（E.Ruska）等人 研制成功第一台电子显微镜。 分辨率：～10 nm
位置和动量的不确定量存在一个关系 — 不确定关系。
• 海森伯（W.Heisenberg）位置— 动量不确定关系
我们来研究光子在单缝处的位置和动量的不确定程度
U
结论:光子在单缝处的位置 不确定量为
光子在单 缝的何处 通过是不 确定的! 只知是在 宽为a的缝 中通过。
x x Px

Ｐ Py y
光子沿y轴方向通过狭缝后散布在一衍射角为 2 的范围内,衍 射角、缝宽 x (a) 和入射波波长间满足衍射反比关系
由于德布罗意波的存在，使我们不得不接 受一个经典概念无法理解的原理，即海森伯 的不确定原理，这是一个普遍原理。 对于宏观粒子来说, 我们可以用某个时刻 粒子确定的坐标、速度、能量等来描述它在 这个时刻的运动状态（自然也就导致了轨道 的出现）。
微观粒子具有波粒二象性，如果我们也把经典力学表征宏观 粒子运动状态的位置和动量的概念应用于微观粒子时，那么粒 子的波动性就会不可避免地要对这种观念加以某种“限制”。 理论和实验都证明：波动性使微观粒子的坐标和动量（或时 间和能量）不能同时取确定值。
第一级最大的条件是：
a sin k , k 1
h 按德布罗意公式： mv m m0 h h 7 5.14 10 m s m0v m0a sin
四、德布罗意波的统计解释
机械波是机械振动在介质中的传播，电磁波是变化的电磁 场在空间的传播,那么实物粒子波是什么形式呢? 按照经典物理的观点，粒子是分立的，集中在一定的范围内， 而波是连续的，是弥漫在整个空间的。二者如何统一起来呢? 1926 年,玻恩提出了物质波是一种概率波的观点。 爱因斯坦已从统计学的观点指出：光强的地 方，光子到达的概率大；光弱的地方，光子到达 的概率小。 玻恩有同样的观点，认为微观粒子也一样对 个别粒子在何处出现，有一定的偶然性；对大 量粒子在空间何处出现的空间分布服从一定的 统计规律。
2d sin k
电流出现了周期性变化
I
U
实验结果的解释
按德布罗意假设，电子加速后的波长满足
12.3 0 A U
如果电子束确有波动，则入射到晶体上的电子,当其满足布拉 格公式时，
2d sin k
应在反射方向上观察到最强电流 戴维孙和革末在实验中，保持d和不变，则波长λ满足布拉 格公式时：
练习1
已知某电子的德布罗意波长和光子的波长相同。 （ 1 ）它们的动量大小是否相同？为什么？ （ 2 ）它们的（总）能量是否相同？为什么？
答 (1) 电子和光子的动量大小相同．因为ｐ＝ｈ／λ对两 者都成立，而λ相同，故 p 相同。 (2)电子和光子的能量不相等。
电子的能量 E1 ＝ m1c2 光子的能量 E ＝ mc2
12.3 2d sin k k U
12.3 U k kc 2d sin
当 U 逐渐变化时（即波长逐渐变化时），其平方根值等于 一个常数 C 的整数倍时，接收器测到的电子数量应出现峰值， 结果理论和实验符合很好。
例如，对d=0.91Å的镍片,使＝600 ， 当加速电压U=54V时, 电流有第一级极大 , 0 12.3 0 A 1.67 A 德布罗意公式,算得 U 布拉格公式, 算得
E 称为原子激发态的能级宽度 t 为原子处于该激发态的平均寿命
子弹对应的波长太小，波动性无法表现出来！
（2）电子质量 m0= 9.110-31kg，Ek =100 eV 的电子的物质波波长：
Baidu Nhomakorabea
h h 0.123nm p 2m0 E k
波动是所有物质的客观属性。 对宏观物体，其物质波的波长太小，显示不出波动性。它 只能在微观粒子的运动中表现出来。(h是很小的量)
由（ 1 ）知，电子和光子的动量相等 ,即 m1v=mc E1 ／ E ＝ m1 ／ m
=c ／ v
E1>E
练习2 为使电子的德布罗意波长为1Å ，需要的加速电压为多少V。
解:
h mV 1 m V 2 eU 2
0
h 1 12.3 A 2em0 U U
将e＝1.610－19C，m0＝9.1 10－31kg， h＝6.632 10－34JS代入
h 1 12.3 0 A 2m0e U U
例如，当Ｕ１５０Ｖ时，＝１Å，Ｕ＝104Ｖ时，＝0.12Å
这说明德布罗意波的波长一般很短,因而在普通的实验
条件下难以观察出其波动性。
例1 （1）估算：m=5g，v=300m/s 的子弹的波长。
3 21 kT 6.21 10 J 2 2 方均根速率： v 2700 m s mn
h 德布罗意波长： 0.15nm mn v
例3 电子在铝箔上散射时,第一级最大(k=1)的偏 转角 为 2 ，铝的晶格常数 a 为 4.05×10-10m，求 电子速度。
解：
(2)弱电子束入射 电子几乎是一个一个地通过双缝，衍射图样不是电子相互作用 的结果。 底片上出现一个一个的点子显示出电子具有粒子性。开始时 底片上的点子无规分布，随着电子增多，逐渐形成衍射图样，衍 射图样来源于“一个电子”具有的波动性。 一个电子重复许多次相同实验表现出的统计结果。
(3)概率波的干涉结果。 实验说明电子的干涉图样是大量电子的一种统计运动的结 果。对于单个电子，在某一时刻，它到底是通过哪一个缝,过 缝后落在屏上哪一点是随机的，无规律的；对于大量电子 (或一个电子的多次行为) 来说，它们到达光屏上的位置则是 遵从某种统计规律的。
德布罗意用物质波的概念成功地解释了玻尔提出的轨 道量子化条件。 德布罗意把物质波假设用于氢原子认为：如果电子在 经典的圆轨道上运动，它对应于一个环形驻波，满足
—— 玻尔轨道角动量量子化条件
二、德布罗意波的实验验证
1 、戴维孙—革末的电子衍射实验
德布罗意波是1924年提出的，1927年 便得到了验证。戴维孙—革末看到电子 的德布罗意波波长与 X 射线的波长相近， 因此想到可用与 X 射线衍射相同的方法 验证。
2
德布罗意公式
2 、电子的德布罗意波波长的数量级 设电子的运动速度 v<<c ，即不考虑相对论效应,则
v c
时
h m0v
2eU v m0
又设电子由热阴极逸出时,加速电势差为 U
1 m0 v 2 eU 2
于是电子的德布罗意波长为
h h h 1 2eU m0 v 2em0 U m0 m0