人教A版(2019)必修第一册《第四章指数函数与对数函数》单元测试卷(2)

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2019新人教A版高中数学必修第一册课时同步训练第四章指数函数与对数函数4.4.1对数函数的概念含解析

对数函数的概念(15分钟30分)1.函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，则f(1)等于( )A.3B.C.1D.0【解析】选D.因为函数f(x)=(a2+a-5)log a x为对数函数，所以解得a=2，所以f(x)=log2x，所以f(1)=log21=0.2.“每天进步一点点”可以用数学来诠释：假如你今天的数学水平是1，以后每天比前一天增加千分之五，则经过y天之后，你的数学水平x与y之间的函数关系式是( )A.y=log1.05xB.y=log1.005xC.y=log0.95xD.y=log0.995x【解析】选B.y天后，x=1.005y，即y=log1.005x.3.函数f(x)=log2(3+2x-x2)的定义域是_______.【解析】因为对数函数定义域是(0，+∞)，所以3+2x-x2>0，所以-1<x<3，因此函数的定义域为(-1，3).答案：(-1，3)4.若函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，则a=_______.【解析】因为函数y=log(2a-1)x+(a2-5a+4)是对数函数，所以解得a=4.答案：45.设函数f(x)=ln(x2+ax+1)的定义域为A.(1)若-1∉A，-3∈A，求实数a的取值范围.(2)若函数y=f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.【解析】(1)由题意，得解得2≤a<，故实数a的取值范围为.(2)由题意，得x2+ax+1>0的解集为R，得Δ=a2-4<0，解得-2<a<2，所以实数a的取值范围是(-2，2).(25分钟50分)一、单选题(每小题5分，共15分)1.(2020·河西高一检测)函数f(x)=ln(2x-4)的定义域是( )A.(0，2)B.(0，2]C.[2，+∞)D.(2，+∞)【解析】选D.要使f(x)有意义，则：2x-4>0，所以x>2.所以f(x)的定义域为(2，+∞).2.设f(x)是对数函数，且f()=-，那么f()= ( )A. B. C.- D.-【解析】选C.设对数函数f(x)=log a x(a>0，a≠1).由条件得log a=-，即log a=-，则a=.因此f(x)=x，所以f()==-.3.(2020·重庆高一检测)函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，则实数a的取值范围为( )A.[1，+∞)B.(0，1)C.[-1，1]D.[0，1]【解析】选D.令g(x)=ax2+2x+a，因为函数f(x)=log2(ax2+2x+a)的值域为R，所以g(x)的值域包含(0，+∞).①当a=0时，g(x)=2x，值域为R⊇(0，+∞)，成立.②当a≠0时，要使g(x)的值域包含(0，+∞)，则，解得0<a≤1.综上，a∈[0，1].【误区警示】本题容易忽视a=0的情况.二、多选题(共5分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)4.下列函数表达式中，是对数函数的有( )A.y=log e xB.y=lo xC.y=log4x2D.y=log2(x+1)【解析】选AB.A中y=log e x是对数函数；B中y=lo x是对数函数；C中y=log4x2不是对数函数；D中y=log2(x+1)不是对数函数.三、填空题(每小题5分，共10分)5.(2020·杭州高一检测)函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是_______.【解析】由，解得：-<x<1.所以函数f(x)=+lg(3x+1)的定义域是答案：6.已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过 y个小时后，药物在病人血液中的量为x个单位.(1)y与x的关系式为_______；(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过_______小时(精确到0.1).(参考数据：lg 5≈0.699，lg 4≈0.602)【解析】(1)由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，给某病人注射了该药物1个单位，经过y个小时后，药物在病人血液中的量为x=(1-20%)y×1=0.8y，即y与x的关系式为 y=log0.8x，0<x≤1.(2)当该药物在病人血液中的量保持在个单位以上，才有疗效；而低于个单位，病人就有危险，令x=，则y=log0.8=≈7.2，所以y≤7.2.所以要使病人没有危险，再次注射该药物的时间不能超过7.2小时.答案：(1)y=log0.8x，0<x≤1 (2)7.2四、解答题(每小题10分，共20分)7.已知f(x)=log a，(a>0，且a≠1).(1)证明f(x)为奇函数.(2)求使f(x)>0成立的x的取值范围.【解析】(1)f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为：，解得f(x)=log a(a>0，且a≠1)的定义域为{x|-1<x<1}.因为f(x)=log a，(a>0，且a≠1)，所以f(-x)=log a=-log a=-f(x)，所以f(x)为奇函数.(2)因为f(x)=log a(a>0，且a≠1)，所以由f(x)>0，得log a>log a1，当0<a<1时，有0<<1，解得-1<x<0；当a>1时，有>1，解得0<x<1；所以当a>1时，使f(x)>0成立的x的取值范围是(0，1)，当0<a<1时，使f(x)>0成立的x 的取值范围是(-1，0).8.求下列函数的定义域.(1)y=.(2)y=log|x-2|(25-5x).【解析】(1)要使函数有意义，需即即-3<x<-2或x≥2，故所求函数的定义域为(-3，-2)∪[2，+∞). (2)要使函数有意义，需即所以x<2，且x≠1，故所求函数的定义域为(-∞，1)∪(1，2).。

高一上学期数学人教A版必修第一册第四章《指数函数与对数函数》函数的零点与方程的解(二)同步练测

4.5.1函数的零点与方程的解（二）同步练测考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.A ．(]4,16B ．[)4,+∞C ．(),4-∞-D ．[)16,4--二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．参考答案：1．B【解析】由题意知,αβ是二次函数236y x x =+-的两个零点，故,αβ是2360x x +-=的两个根，则2360αα+-=，且+3αβ=-，则236αα+=且3βα=--，故22233(3)5αβαααα-=-++=+-=-=，故选：B 2．B【解析】令()ln 24f x x x =+-，显然()ln 24f x x x =+-单调递增，又因为()12420f =-=-<，()2ln 244ln 20f =+-=>，由零点存在性定理可知：()ln 24f x x x =+-的零点所在区间为()12，，所以ln 42x x =-的根所在区间为()12，.故选：B 3．B【解析】函数()23x f x x a =++在区间(0,1)内存在零点，且函数在定义域内单调递增，由零点存在性定理知(0)(1)0f f ⋅<，即()()150a a ++<，解得51a -<<-所以实数a 的取值范围是(5,1)--，故选：B 4．A【解析】要使函数()()g x f x a =-有三个零点，则()f x a =有三个不相等的实根，即()f x 与y a =的图象有三个交点，当1x ≤-时，()113x f x +=-在(],1-∞-上单调递减，[)()0,1f x Î；当10-<≤x 时，()131x f x +=-在(]1,0-上单调递增，(]()0,2f x Î；当0x >时，()ln f x x =在()0,∞+上单调递增，()f x ∈R ；由()f x 与y a =的图象有三个交点，结合函数图象可得()0,1a ∈，故选：A.由图像可知01a b <<<<由()()f a f b =得lg a =联立2y x y x =⎧⎨=-⎩，得由图象可知，直线9．BCf x对应的二次方程根的判别式【解析】函数()可观察出①当1a >时，方程(f ()220()xf a a R --=∈有方程()1f t =-的解为1(0,1)t t =∈，2(,0)t t =∈-∞，即1()f x t =，2()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和1y t =，2y t =的图象，由图可知函数()y f x =和1y t =，2y t =有4个交点，所以函数[()]1y f f x =+有4个零点.当0a ≤时，方程()1f t =-的解为3(0,1)t t =∈，即3()f x t =，在同一坐标系中作出函数()y f x =和3y t =的图象，由图可知函数()y f x =和3y t =有1个交点，所以函数[()]1y f f x =+有1个零点.故选：AD13．1【解析】解法一：令()0f x =，可得方程2ln 30x x +-=，即2ln 3x x =-，故原函数的零点个数即为函数ln y x =与23y x =-图象的交点个数．在同一平面直角坐标系中作出两个函数的大致图象（如图）．由图可知，函数23y x =-与ln y x =的图象只有一个交点，故函数()2ln 3f x x x =+-只有一个零点，故答案为：1解法二：∵()21ln11320f =+-=-<，()22ln 223ln 210f =+-=+>，∴()()120f f <，又()2ln 3f x x x =+-的图象在()1,2上是不间断的，∴()f x 在()1,2上必有零点，又()2ln 3f x x x =+-在()0,∞+上是单调递增的，∴函数()f x 的零点有且只有一个，故答案为：114．(]()1,34,+∞ 【解析】由于4y x =-在R 上只有一个零点4，函数243y x x =-+在R 上的两个零点为1和3，若4λ>,此时4y x =-在x λ≥上没有零点，函数243y x x =-+在x λ<上的两个零点为1和3，满足题意，当34λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1和3，不满足题意，舍去当13λ<≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上有零点为1，满足题意，当1λ≤时，此时4y x =-在x λ≥上有零点4，函数243y x x =-+在x λ<上没有零点，不满足题意，舍去，因为函数()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭点212,log x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭与点⎛⎝由图象可知，-当0a >时，12116a a <<，解得111612a <<；当a 11,⎛⎫⎧⋃。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷含答案解析(18)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 下面关于函数 f (x )=log 12x ，g (x )=(12)x和 ℎ(x )=x −12 在区间 (0,+∞) 上的说法正确的是( ) A ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 B ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越快 C ． f (x ) 的递减速度越来越慢，g (x ) 的递减速度越来越慢，ℎ(x ) 的递减速度越来越慢 D ． f (x ) 的递减速度越来越快，g (x ) 的递减速度越来越快，ℎ(x ) 的递减速度越来越快2. 甲用 1000 元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利 10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中 ( ) A ．甲刚好盈亏平衡 B ．甲盈利 9 元 C ．甲盈利 1 元D ．甲亏本 1.1 元3. 若 a =0.32，b =log 20.3，c =20.3，则 a ，b ，c 三者的大小关系是 ( ) A ． b <c <a B ． b <a <c C ． a <c 1，则方程 f (x )=kx 恰有两个不同的实根时，实数 k 的取值范围是 ( ) A ． (0,1e )B ． (0,15)C ． [15,1e )D ． [15,1e ]6. 若函数 f (x )=2x +a 2x −2a 的零点在区间 (0,1) 上，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (−∞,12)B ． (−∞,1)C ． (12,+∞)D ． (1,+∞)7. 已知定义在 R 上的函数 f (x )={x 2+2,x ∈[0,1)2−x 2,x ∈[−1,0)，且 f (x +2)=f (x )．若方程 f (x )−kx −2=0 有三个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． (13,1)B ． (−13,−14)C ． (−1,−13)∪(13,1)D ． (−13,−14)∪(14,13)8. 定义域为 R 的偶函数 f (x )，满足对任意的 x ∈R 有 f (x +2)=f (x )，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2x 2+12x −18，若函数 y =f (x )−log a (∣x∣+1) 在 R 上至少有六个零点，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√33) B ． (0,√77) C ． (√55,√33)D ． (0,13)9. 方程 log 3x +x =3 的解所在的区间是 ( ) A ． (0,1) B ． (1,2) C ． (2,3) D ． (3,+∞)10. 函数 f (x )=√1−x 2lg∣x∣的图象大致为 ( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={√4−x 2,x ∈(−2,2]1−∣x −3∣,x ∈(2,4]，满足 f (x −3)=f (x +3)，若在区间 [−4,4] 内关于x 的方程 3f (x )=k (x −5) 恰有 4 个不同的实数解，则实数 k 的取值范围是．12. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2+(2m −1)x +m 2=0 有两个实数根 x 1 和 x 2，当 x 12−x 22=0时，m 的值为．13. 已知 A ={x∣ 3x <1}，B ={x∣ y =lg (x +1)}，则 A ∪B = ．14. 已知函数 f (x )={x 2+4x −1,x ≤02x −3−k,x >0，若方程 f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解，则实数 k 的取值范围是．15. 设函数 f (x )={−4x 2,x <0x 2−x,x ≥0，若 f (a )=−14，则 a = ，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则实数 b 的取值范围是．16. 设函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]= ，若方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 如图，直角边长为 2 cm 的等腰直角三角形 ABC ，以 2 cm/s 的速度沿直线向右运动．(1) 求该三角形与矩形 CDEF 重合部分面积 y （cm 2）与时间 t 的函数关系（设 0≤t ≤3）． (2) 求出 y 的最大值．（写出解题过程）18. 已知函数 f (x )=a x +k 的图象过点 (1,3)，它的反函数的图象过点 (2,0)．(1) 求函数 f (x ) 的解析式； (2) 求 f (x ) 的反函数．19. 已知函数 g (x )=log a x ，其中 a >1．（注：∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1=∣m (x 1)−m (x 0)∣+∣m (x 2)−m (x 1)∣+⋯+∣m (x n )−m (x n−1)∣） (1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，求 a 的取值范围；(2) 设 m (x ) 是定义在 [s,t ] 上的函数，在 (s,t ) 内任取 n −1 个数 x 1，x 2，⋯，x n−2，x n−1，且 x 1<x 2<⋯<x n−2<x n−1，令 x 0=s ，x n =t ，如果存在一个常数 M >0，使得 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，则称函数 m (x ) 在区间 [s,t ] 上具有性质 P ．试判断函数 f (x )=∣g (x )∣ 在区间 [1a ,a 2] 上是否具有性质 P ？若具有性质 P ，请求出 M的最小值；若不具有性质 P ，请说明理由．20. 已知函数 g (x )=ax 2−2ax +1+b (a ≠0,b <1)，在区间 [2,3] 上有最大值 4，最小值 1，设f (x )=g (x )x．(1) 求常数 a ，b 的值；(2) 方程 f (∣2x −1∣)+k (2∣2x −1∣−3)=0 有三个不同的解，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2．(1) 求实数 m ，n 的值；(2) 若不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，求实数 k 的取值范围．22. 已知函数 f (x )=(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点 (−1,2)．(1) 求 a 的值；(2) 若 g (x )=4−x −2，且 g (x )=f (x )，求满足条件的 x 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】观察函数f(x)=log12x，g(x)=(12)x和ℎ(x)=x−12在区间(0,+∞)上的图象（图略），由图可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．同样，函数g(x)的图象在区间(0,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数ℎ(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1,+∞)上递减较慢，且递减速度越来越慢．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质2. 【答案】C【解析】由题意知甲两次付出为1000元和(1000×1110×910)元，两次收入为(1000×1110)元和(1000×1110×910×910)元，因为1000×1110+1000×1110×910×910−1000−1000×1110×910=1，所以甲盈利1元．【知识点】函数模型的综合应用3. 【答案】B【解析】因为0<a=0.32<0.30=1，b=log20.3<log21=0，c=20.3>20=1，所以b<a<c．【知识点】指数函数及其性质、对数函数及其性质4. 【答案】B【解析】应用排除法．当m=√2时，画出y=(√2x−1)2与y=√x+√2的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上无交点，排除C，D；当m=3时，画出y=(3x−1)2与y=√x+3的图象，由图可知，两函数的图象在[0,1]上恰有一个交点．【知识点】函数的零点分布5. 【答案】C【解析】因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根，所以y=f(x)与y=kx有2个交点，又因为k表示直线y=kx的斜率，x>1时，y=f(x)=lnx，所以yʹ=1x；设切点为(x0,y0)，则k=1x0，所以切线方程为y−y0=1x0(x−x0)，又切线过原点，所以y0=1，x0=e，k=1e，如图所示：结合图象，可得实数k的取值范围是[15,1e )．【知识点】函数零点的概念与意义6. 【答案】C【解析】因为f(x)单调递增，所以f(0)f(1)=(1−2a)(2+a2−2a)<0，解得a>12．【知识点】零点的存在性定理7. 【答案】C【知识点】函数的零点分布8. 【答案】A【解析】当x∈[2,3]时，f(x)=−2x2+12x−18=−2(x−3)2，图象为开口向下，顶点为(3,0)的抛物线．因为函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，令g(x)=log a(∣x∣+1)，因为f(x)≤0，所以g(x)≤0，可得0<a<1．要使函数y=f(x)−log a(∣x∣+1)在(0,+∞)上至少有三个零点，如图要求g(2)>f(2)．log a(2+1)>f(2)=−2⇒log a3>−2，可得3<1a2⇒−√33<a<√33，a>0，所以 0<a <√33．【知识点】函数的零点分布9. 【答案】C【解析】把方程的解转化为函数 f (x )=log 3x +x −3 对应的零点．令 f (x )=log 3x +x −3，因为 f (2)=log 32−1<0，f (3)=1>0，所以 f (2)f (3)<0，且函数 f (x ) 在定义域内是增函数，所以函数 f (x ) 只有一个零点，且零点 x 0∈(2,3)，即方程 log 3x +x =3 的解所在的区间为 (2,3)．故选C ．【知识点】零点的存在性定理10. 【答案】B【解析】（1）由 {1−x 2≥0,∣x ∣≠0且∣x ∣≠1, 得 −1<x <0 或 0<x <1，所以 f (x ) 的定义域为 (−1,0)∪(0,1)，关于原点对称．又 f (x )=f (−x )，所以函数 f (x ) 是偶函数，图象关于 y 轴对称，排除A ；当 0<x <1 时，lg ∣x ∣<0，f (x )<0，排除C ；当 x >0 且 x →0 时，f (x )→0，排除D ，只有B 项符合．【知识点】对数函数及其性质、函数图象、函数的奇偶性二、填空题（共6题） 11. 【答案】 (−2√217,−38)∪{0}【知识点】函数的零点分布12. 【答案】 14【解析】由题意得 Δ=(2m −1)2−4m 2=0，解得 m ≤14．由根与系数的关系，得 x 1+x 2=−(2m −1)，x 1x 2=m 2．由 x 12−x 22=0，得 (x 1+x 2)(x 1−x 2)=0．若 x 1+x 2=0，即 −(2m −1)=0，解得 m =12．因为 12>14，可知 m =12 不合题意，舍去；若 x 1−x 2=0，即 x 1=x 2，由 Δ=0，得 m =14．故当 x 12−x 22=0 时，m =14．【知识点】函数零点的概念与意义13. 【答案】 R【解析】由 3x <1，解得 x <0，即 A =(−∞,0)．由 x +1>0，解得 x >−1，即 B =(−1,+∞)．所以 A ∪B =R ．【知识点】对数函数及其性质、交、并、补集运算14. 【答案】 (−2,−32]∪(−1,2)【解析】当 x ≤0 时，f (x )−k ∣x −1∣=x 2+4x −1−k (1−x )=x 2+(4+k )x −k −1，当 0<x <1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (1−x )=(k +2)x −3−2k ，当 x ≥1 时，f (x )−k ∣x −1∣=2x −3−k −k (x −1)=(2−k )x −3，设 g (x )=f (x )−k ∣x −1∣，则 g (x )={x 2+(4+k )x −k −1,x ≤0(k +2)x −3−2k,0<x <1(2−k )x −3,x ≥1，f (x )−k ∣x −1∣=0 有且只有 2 个不相等的实数解等价于g (x ) 有且仅有 2 个零点，若 g (x ) 一个零点位于 (0,1)，即 0<2k+3k+2<1⇒k ∈(−32,−1)，若 g (x ) 一个零点位于 [1,+∞)，即 {2−k >0,22−k≥1⇒k ∈[−1,2)，可知 g (x ) 在 (0,1)，[1,+∞) 内不可能同时存在零点，即当 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点；当 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点， ① 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点时，（1）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)=0 时，k =−2 或 k =−10，此时 g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以不满足 g (x ) 有两个零点；（2）当 Δ=(4+k )2+4(k +1)>0，即 k <−10 或 k >−2 时，只需 g (0)=−k −1<0，即 k >−1，所以当 k >−1 时，g (x ) 在 (−∞,0] 上有且仅有一个零点，因为 k ∈(−32,2) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上有一个零点，所以 k ∈(−1,2) 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点；② 当 g (x ) 在 (−∞,0] 上有两个零点时，只需 {Δ=(4+k )2+4(k +1)>0,−4+k 2<0,g (0)=−k −1≥0⇒k ∈(−2,−1]，因为 k ∈(−∞,−32]∪[2,+∞) 时，g (x ) 在 (0,+∞) 上无零点，所以 k ∈(−2,−32] 时，g (x ) 有且仅有 2 个零点，综上所述：k ∈(−2,−32]∪(−1,2)．【知识点】函数的零点分布15. 【答案】 −14或 12； (−14,0)【解析】若 −4a 2=−14，解得 a =−14；若 a 2−a =−14，解得 a =12，故 a =−14或12；当 x <0 时，f (x )<0；当 x >0 时，f (x )=(x −12)2−14，f (x ) 的最小值是 −14，若方程 f (x )−b =0 有三个不同的实根，则 b =f (x ) 有 3 个交点，故 b ∈(−14,0)．【知识点】函数的零点分布、分段函数16. 【答案】 14； (14,12)【解析】函数 f (x )={e x ,x ≤0−x 2+x +14,x >0，则 f [f (0)]=f (e 0)=f (1)=14．x ≤0 时，f (x )≤1；x >0，f (x )=−x 2+x +14，对称轴为 x =12，开口向下；函数的最大值为 f (12)=12，x →0 时，f (0)→14．方程 f (x )=b 有且仅有 3 个不同的实数根，则实数 b 的取值范围是 (14,12)．【知识点】函数的零点分布、分段函数三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．(2) 依题意：当 0≤t ≤1 时，重合部分为边长为 2t cm 的直角等腰三角形，此时：y =12×2t ×2t =2t 2(cm 2)，当 1<t <2 时，重合部分为边长为 2 cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2=2(cm 2)，当 2≤t ≤3 时，重合部分为边长为 2 的等腰直角三角形，去掉一个边长为 (2t −4)cm 的等腰直角三角形，此时：y =12×2×2−12×(2t −4)2=−2t 2+8t −6，综上：y ={2t 2,0≤t ≤12,1<t <2−2t 2+8t −6,2≤t ≤3．当 0≤t ≤1 时，y max =2×12=2，当 1<t <2 时，y max =2，当 2≤t ≤3 时，对称轴 t 0=2，则 t =2 时，y max =2，综上：y max =2．【知识点】函数模型的综合应用、建立函数表达式模型18. 【答案】(1) f (x )=2x +1．(2) f −1(x )=log 2(x −1)(x >1)．【知识点】反函数、指数函数及其性质19. 【答案】(1) 当 x ∈[0,1] 时，g (a x +2)>1 恒成立，即 x ∈[0,1] 时，log a (a x +2)>1 恒成立，因为 a >1，所以 a x +2>a 恒成立，即 a −2<a x 在区间 [0,1] 上恒成立，所以 a −2<1，即 a <3，所以 1<a <3，即 a 的取值范围是 (1,3)．(2) 函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ．因为 f (x )=∣g (x )∣ 在 [1,a 2] 上单调递增，在 [1a ,1] 上单调递减，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，当存在某一个整数 k ∈{1,2,3,⋯,n −1}，使得 x k =1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (1a )−f (1)]+[f (a 2)−f (1)]=1+2= 3. 当对于任意的 k ∈{1,2,3,…,n −1}，x k ≠1 时，则存在一个实数 k 使得 x k <1<x k+1 时，∑∣f (x i )−f (x i−1)∣n i=1=[f (x 0)−f (x 1)]+[f (x 1)−f (x 2)]+⋯+[f (x k−1)−f (x k )]+[f (x k+1)−f (x k )]+[f (x k+2)−f (x k+1)]+⋯+[f (x n )−f (x n−1)]=[f (x 0)−f (x k )]+∣f (x k )−f (x k+1)∣+f (x n )−f (x k+1). ⋯⋯(∗)当 f (x k )>f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k+1)=3−2f (x k+1)<3，当 f (x k )<f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−2f (x k )=3−2f (x k )<3，当 f (x k )=f (x k+1) 时，(∗)式=f (x n )+f (x 0)−f (x k )−f (x k+1)=3−f (x k )−f (x k+1)<3，综上，对于 (1a ,a 2) 内的任意一个取数方法 1a =x 0<x 1<x 2<⋯<x n−1<x n =a 2，均有 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤3，所以存在常数 M ≥3，使 ∑∣m (x i )−m (x i−1)∣n i=1≤M 恒成立，所以函数 f (x ) 在区间 [1a ,a 2] 上具有性质 P ，此时 M 的最小值为 3．【知识点】函数的单调性、指数函数及其性质、函数的最大（小）值、对数函数及其性质20. 【答案】(1) 因为 a ≠0，所以 g (x ) 的对称轴为 x =1，所以 g (x ) 在 [2,3] 上是单调函数，所以 {g (2)=1,g (3)=4 或 {g (2)=4,g (3)=1,解得 a =1，b =0 或 a =−1，b =3（舍）．所以 a =1，b =0．(2) f (x )=x 2−2x+1x =x +1x −2．令 ∣2x −1∣=t ，显然 t >0，所以 t +1t −2+k (2t −3)=0 在 (0,1) 上有一解，在 [1,+∞) 上有一解．即 t 2−(2+3k )t +1+2k =0 的两根分别在 (0,1) 和 [1,+∞) 上．令 ℎ(t )=t 2−(2+3k )t +1+2k ，若 ℎ(1)=0，即 1−2−3k +1+2k =0，解得 k =0，则 ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2，与 ℎ(t ) 有两解矛盾．所以 {ℎ(0)>0,ℎ(1)<0,即 {1+2k >0,−k <0, 解得 k >0．所以实数 k 的取值范围是 (0,+∞)．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布21. 【答案】(1) 由函数 f (x )=x 2−3mx +n 的两个零点分别为 1 和 2，可得 {1−3m +n =0,4−6m +n =0, 解得 {m =1,n =2.(2) 由（1）可得 f (x )=x 2−3x +2，由不等式 f (x )−k >0 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可得不等式 f (x )>k 在 x ∈[0,5] 上恒成立，可将 f (x )=x 2−3x +2 化为 f (x )=(x −32)2−14，所以 f (x )=x 2−3x +2 在 x ∈[0,5] 上的最小值为 f (32)=−14，所以 k <−14．【知识点】函数的最大（小）值、函数的零点分布22. 【答案】(1) 由已知得 (12)−a=2，解得 a =1．(2) 由（1）知 f (x )=(12)x，又 g (x )=f (x )，所以 4−x −2=(12)x，即 (14)x −(12)x−2=0，即 [(12)x ]2−(12)x−2=0，令 (12)x=t (t >0)，则 t 2−t −2=0，所以 t =−1 或 t =2，又 t >0，所以 t =2，即 (12)x=2，解得 x =−1．【知识点】指数函数及其性质。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(11)

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.设全集为R，函数f(x)=0√2−x的定义域为M，则∁RM=( )A．{x∣ x≥2}B．{x∣ x<2且x≠−1}C．{x∣ x≥2或x=−1}D．{x∣ x>2或x=−1}2.设α∈{−1,1,12,3}，则使幂函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( ) A．1，3B．−1，1C．−1，3D．−1，1，33.若函数y=x2+bx+c(x∈[0,+∞))是单调函数，则实数b的取值范围是( )A．b≥0B．b≤0C．b>0D．b<04.如果函数f(x)=12(m−2)x2+(n−8)x+1(m≥0,n≥0)在区间[12,2]上单调递减，则mn的最大值为( )A．16B．18C．25D．8125.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)为增函数，且f(x)⋅f(f(x)+1x)=1，则f(1)等于( )A．1+√52B．1−√52C．1+√52或1−√52D．√56.定义在R上的函数f(x)满足：f(x−2)的对称轴为x=2，f(x+1)=4f(x)(f(x)≠0)，且f(x)在区间(1,2)上单调递增，已知α，β是钝角三角形中的两锐角，则f(sinα)和f(cosβ)的大小关系是( )A．f(sinα)>f(cosβ)B．f(sinα)<f(cosβ)C．f(sinα)=f(cosβ)D．以上情况均有可能7.已知函数f(x)满足：对任意x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，下列说法一定正确的是( )A．f(x)为奇函数B．f(x)为偶函数C．f(x)+1为奇函数D．f(x)+1为偶函数8.已知函数y=f(x)的定义域为[−6,1]，则函数g(x)=f(2x+1)x+2的定义域是( ) A．(−∞,−2)∪(−2,3]B．[−11,3]C．[−72,−2]D．[−72,−2)∪(−2,0]9.已知R上的奇函数f(x)在区间(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，则不等式f(x)≤0的解集为( )A．[−2,2]B．(−∞,−2]∪[0,2]C．(−∞,−2]∪[2,+∞)D．[−2,0]∪[2,+∞)10.已知函数f(x)=−x2+4x+a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值−2，则f(x)的最大值为( )A．−1B．0C．1D．2二、填空题（共6题）11.在平面直角坐标系xOy中，对于点A(a,b)，若函数y=f(x)满足：∀x∈[a−1,a+1]，都有y∈[b−1,b+1]，则称这个函数是点A的“界函数”．已知点B(m,n)在函数y=−12x2的图象上，若函数y=−12x2是点B的“界函数”，则m的取值范围是．12.已知f(x)=x3+3x，x∈R，且f(a−2)+f(a2)<0，则实数a的取值范围是．13.设函数f(x)={1,x>00,x=0−1,x<0，g(x)=x2⋅f(x−1)，则函数g(x)的递减区间是．14.若函数f(x)在区间[a,b]上单调，且f(x)的图象连续不间断，则函数f(x)的最值必在处取得．15.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，且在[0,+∞)上是增函数，若f(a+1)≤f(4)，则实数a的取值范围是．16.若函数y=a∣x−b∣+2在区间(0,+∞)上是增函数，则实数a，b满足的条件为．三、解答题（共6题）17.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形框架，若半圆的半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=f(x),并写出它的定义域．18.中国茶文化博大精深．小明在茶艺选修课中了解到，不同类型的茶叶由于在水中溶解性的差别，达到最佳口感的水温不同．为了方便控制水温，小明联想到牛顿提岀的物体在常温环境下温度变化的冷却模型；如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过时间t（单位：分）后物体温度θ将满足：θ=θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt，其中k为正的常数．小明与同学一起通过多次测量求平均值的方法得到200ml初始温度为98∘C的水在19∘C室温中温度下降到相应温度所需时间如下表所示：从98∘C到90∘C所用时间1分58秒从98∘C到85∘C所用时间3分24秒从98∘C到80∘C所用时间4分57秒（参考数据：ln79=4.369，ln71=4.263，ln66=4.190，ln61=4.111，ln56=4.025）(1) 请依照牛顿冷却模型写出冷却时间t（单位：分）关于冷却后水温θ（单位：∘C）的函数关系，并选取一组数据求出相应的k值．（精确到0.01）(2) “碧螺春”用75∘C左右的水冲泡可使茶汤清澈明亮，口感最佳．在（1）的条件下，200ml水煮沸后在19∘C室温下为获得最佳口感大约冷却分钟左右冲泡，请在下列选项中选择一个最接近的时间填在横线上，并说明理由．A．5B．7C．1019.解答下列问题：(1) 函数的积的定义：一般地，已知两个函数y=f(x)（x∈D1），y=g(x)（x∈D2），设D=D1∩D2，并且D不是空集，那么当x∈D时，y=f(x)与y=g(x)都有意义．于是把函数叫做函数y=f(x)与y=g(x)的积．(2) 如何研究和函数与积函数．20.函数f(x)=(m2−m−1)x m2+m−3是幂函数，且当x∈(0,+∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．21.对于函数y=f(x)与常数a，b，若f(2x)=af(x)+b恒成立，则称(a,b)为函数f(x)的一个“P数对”，设函数f(x)的定义域为(0,+∞)，且f(1)=3．(1) 若(a,b)是f(x)的一个“P数对”，且f(2)=6，f(4)=9，求常数a，b的值；(2) 若(1,1)是f(x)的一个“P数对”，且f(x)在[1,2]上单调递增，求函数f(x)在[1,8]上的最大值与最小值；(3) 若(−2,0)是f(x)的一个“P数对”，且当x∈[1,2)时，f(x)=k−∣2x−3∣，求k的值及f(x)在区间[1,2n)(n∈N+)上的最大值与最小值．22.某书商为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会．据市场调查，当每套丛书售价定为x元时，销售量可达到(15−0.1x)万套．现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10．假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价-供货价格．问：(1) 每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？(2) 每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【解析】由题意得{x+1≠0,2−x>0,解得x<2且x≠−1，所以M={x∣ x<2且x≠−1}，故∁RM={x∣ x≥2或x=−1}．【知识点】函数的定义域的概念与求法2. 【答案】A【解析】当α=−1,1,3时幂函数为奇函数，当α=−1时定义域不是R，所以α=1,3．【知识点】幂函数及其性质3. 【答案】A【解析】因为y在[0,+∞)上为单调函数，所以x=−b2≤0，即b≥0．【知识点】函数的单调性4. 【答案】B【解析】m≠2时，抛物线的对称轴为x=−n−8m−2．据题意，当m>2时，−n−8m−2≥2即2m+n≤12．因为√2m⋅n≤2m+n2≤6，所以mn≤18．由2m=n且2m+n=12得m=3，n=6．当m<2时，抛物线开口向下，据题意得，−n−8m−2≤12即m+2n≤18．因为√2n⋅m≤2n+m2≤9，所以mn≤812．由2n=m且m+2n=18得m=9>2，故应舍去．要使得mn取得最大值，应有m+2n=18(m<2,n>8)．所以mn=(18−2n)n<(18−2×8)×8=16，所以最大值为18．【知识点】函数的单调性、函数的最大（小）值5. 【答案】B【解析】令x=1，得f(1)f(f(1)+1)=1，令t=f(1)，则tf(t+1)=1，所以 f (t +1)=1t ．令 x =t +1，则 f (t +1)f (f (t +1)+1t+1)=1t ⋅f (1t +1t+1)=1，所以 f (1t +1t+1)=t =f (1)．因为函数 f (x ) 为定义在 (0,+∞) 上的增函数，所以 1t +1t+1=1，变形可得 t 2−t −1=0，解得 t =1+√52或 t =1−√52．所以 f (1)=1+√52或 f (1)=1−√52．令 x =2，得 f (2)f (f (2)+12)=1，令 s =f (2)，则 sf (s +12)=1，所以 f (s +12)=1s ，令 x =s +12，则 f (s +12)⋅f (f (s +12)+1s+12)=1sf (1s+22s+1)=1，则 f (1s +22s+1)=s =f (2)．所以 1s +22s+1=2，所以 4s 2−2s −1=0，解得 s =1−√54或 s =1+√54，所以 f (2)=1−√54或 f (2)=1+√54．因为 f (1)<f (2)，所以 f (1)=1−√52．【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的单调性6. 【答案】A【知识点】抽象函数、函数的单调性7. 【答案】C【解析】方法一：对任意的x1,x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，取x1=x2=0得f(0)=−1，取x1=x，x2=−x得，f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+1=−f(−x)=−[f(−x)+1]，所以f(x)+1为奇函数．方法二：由已知f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，设x1=x2=0，则f(0)=2f(0)+1，解得：f(0)=−1，又设x1=x，x2=−x，则x1+x2=x−x=0，所以f(0)=f(x)+f(−x)+1，所以f(x)+f(−x)+1+1=0，所以[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，由奇函数定义可知，f(x)+1为奇函数．【知识点】抽象函数、函数的奇偶性8. 【答案】D【解析】因为f(x)的定义域为[−6,1]，所以−6≤x≤1，，因为g(x)=f(2x+1)x+2所以−6≤2x+1≤1且x≠−2，≤x≤0且x≠−2，所以−72,−2)∪(−2,0]．所以x∈[−72【知识点】函数的定义域的概念与求法9. 【答案】B【解析】因为函数在(−∞,0)上单调递增，且f(−2)=0，所以当x∈(−∞,−2]时，f(x)≤0；当x∈(−2,0)时，f(x)>0．又函数是奇函数，奇函数的图象关于原点对称，f(0)=0，且f(2)=0，所以当x∈(0,2]时，f(x)≤0；当x∈(2,+∞)时，f(x)>0．所以f(x)≤0的解集是(−∞,−2]∪[0,2]．故选B．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性10. 【答案】C【解析】函数f(x)=−x2+4x+a的图象开口向下，对称轴为直线x=2，于是函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，从而f(0)=−2，即a=−2，于是最大值为f(1)=−1+4−2=1．【知识点】函数的最大（小）值二、填空题（共6题）11. 【答案】[−12,1 2 ]【解析】B(m,n)在y=−12x2上，所以n=−12m2，所以∀x∈[m−1,m+1]，都有y∈[−12m2−1,12m2+1]，即都有y max≤12m2+1，y min≥12m2−1，所以下面讨论13x∈[m−1,m+1]时，y的最值，① m≤−1时，m+1≤0，所以单调减，所以y max=−12(m+1)2，y min=−12(m−1)2，所以{−12(m+1)2≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,无解．② −1<m≤0时，0<m+1≤1，−2<m−1≤−1，所以y max=0，y min=−12(m−1)2(取不到)，所以{0≤12m2+1,−12(m−1)2≥12m2−1,所以−12≤m≤0．③ 0<m≤1时，1<m+1≤2，−1<m−1≤0，所以y max=0，y min=−12(m+1)2，所以 {0≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,所以 0<m ≤12．④ m >1 时，m −1>0，所以 y max =−12(m −1)2 (取不到)，y min =−12(m +1)2，所以 {−12(m −1)2≤12m 2+1,−12(m +1)2≥12m 2−1,无解．综上：−12≤m ≤12．【知识点】函数的最大（小）值12. 【答案】 (−2,1)【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性13. 【答案】 [0,1)【解析】由题意知 g (x )={x 2,x >10,x =1−x 2,x <1，函数图象如图所示，其递减区间是 [0,1)．【知识点】函数的单调性14. 【答案】端点【知识点】函数的最大（小）值15. 【答案】 [−5,3]【解析】函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且在 [0,+∞) 上是增函数，可得 f (x )=f (∣x ∣)，则f(a+1)≤f(4)，即为f(∣a+1∣)≤f(4)，可得∣a+1∣≤4，即−4≤a+1≤4，解得−5≤a≤3，则实数a的取值范围是[−5,3]．【知识点】函数的奇偶性、函数的单调性16. 【答案】a>0，b≤0【知识点】函数的单调性三、解答题（共6题）17. 【答案】AB=2x，CD⏜=πx,于是AD=1−2x−πx2,因此y=2x⋅1−2x−πx2+πx22,即y=−π+42x2+x,由{2x>0,1−2x−πx2>0,得0<x<1π+2,函数的定义域为(0,1π+2)【知识点】函数的解析式的概念与求法、函数的模型及其实际应用18. 【答案】(1) 由θ−θ0+(θ1−θ0)⋅e−kt得e−kt=θ−θ0θ1−θ0，即−kt=lnθ−θ0θ1−θ0，t=1klnθ1−θ0θ−θ0，在环境温度为θ0=19∘C，选取从θ=98∘C下降到θ=90∘C所用时间约为2分钟这组数据有2=1k ln7971，即k=ln79−ln712≈0.05；选取从θ=98∘C降到θ=85∘C期时间的为3.4分钟这组数据有3.4=1k ln7966，即k=ln79−ln663.4≈0.05；选取从们θ=98∘C得到θ=80∘C所期时的为5分钟这组数据有5=1k ln7961，即k=ln79−ln615≈0.05；故 k ≈0.05．(2) B200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟左右冲泡口感最佳，故选B ．理由如下：由（1）得 t =20ln 79θ−79，当 θ=75∘C 时，有 t =20×(ln79−ln56)≈6.88．所以 200 ml 水煮沸后在 19∘C 室温下大约冷却 7 分钟冲泡“碧螺春”口感最佳．【知识点】函数模型的综合应用19. 【答案】(1) y =f (x )⋅g (x )（x ∈D ）(2) 首先要确定和函数与积函数的定义域，然后化简整理和（积）函数的解析式，结合解析式研究函数的性质．【知识点】函数的相关概念20. 【答案】根据幂函数的定义得 m 2−m −1=1，解得 m =2 或 m =−1．当 m =2 时，f (x )=x 3 在 (0,+∞) 上是增函数；当 m =−1 时，f (x )=x −3 在 (0,+∞) 上是减函数，不符合要求．故 f (x )=x 3．【知识点】幂函数及其性质21. 【答案】(1) 由题意知 {af (1)+b =f (2),af (2)+b =f (4).即 {3a +b =6,6a +b =9.解得 {a =1,b =3.(2) 因为 (1,1) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=f (x )+1，所以 f (2)=f (1)+1=4，f (4)=f (2)+1=5，f (8)=f (4)+1=6．因为 f (x ) 在 [1,2] 上单调递增，所以当 x ∈[1,2] 时，f (x )max =f (2)=4，f (x )min =f (1)=3，所以当 x ∈[1,2] 时，3≤f (x )≤4；当 x ∈[2,4] 时，x 2∈[1,2]，3≤f (x 2)≤4，所以 4≤f (x )=f (x 2)+1≤5；当 x ∈[4,8] 时，x 2∈[2,4]，4≤f (x 2)≤5，所以 5≤f (x )=f (x 2)+1≤6．综上，当 x ∈[1,8] 时，3≤f (x )≤6．故 f (x ) 在 [1,8] 上的最大值为 6，最小值为 3．(3) 当 x ∈[1,2) 时，f (x )=k−∣2x −3∣，令 x =1，可得 f (1)=k −1=3，解得 k =4，所以 x ∈[1,2) 时，f (x )=4−∣2x −3∣，故 f (x ) 在 [1,2) 上的取值范围是 [3,4]．又 (−2,0) 是 f (x ) 的一个“P 数对”，所以 f (2x )=−2f (x ) 恒成立，当 x ∈[2k−1,2k )(k ∈N +) 时，x 2k−1∈[1,2)，f (x )=−2f (x 2)=4f (x 4)=⋯=(−2)k−1⋅f (x 2k−1)，故 k 为奇数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [3×2k−1,2k+1]；当 k 为偶数时，f (x ) 在 [2k−1,2k ) 上的取值范围是 [−2k+1,−3×2k−1]．所以当 n =1 时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 4，最小值为 3；当 n 为不小于 3 的奇数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n+1，最小值为 −2n ；当 n 为不小于 2 的偶数时，f (x ) 在 [1,2n ) 上的最大值为 2n ，最小值为 −2n+1．【知识点】函数的最大（小）值、抽象函数22. 【答案】(1) 每套丛书售价定为 100 元时，销售量为 15−0.1×100=5 (万套)，所以每套丛书的供货价格为 30+105=32 (元)，故书商所获得的总利润为 5×(100−32)=340 (万元)．(2) 每套丛书售价定为 x 元时，由 {15−0.1x >0,x >0,得 0<x <150 . 设单套丛书的利润为 P 元，则 P =x −(30+1015−0.1x )=x −100150−x −30，因为 0<x <150，所以 150−x >0，所以 P =−[(150−x )+100150−x ]+120，又 (150−x )+100150−x ≥2√(150−x )⋅100150−x =2×10=20，当且仅当 150−x =100150−x ，即 x =140 时等号成立，所以 P max =−20+120=100 .故每套丛书售价定为 140 元时，单套丛书的利润最大，为 100 元．【知识点】函数的模型及其实际应用、函数的最大（小）值、均值不等式的应用。

高中数学第四章指数函数与对数函数 4.4 对数函数一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-新人教

第四章指数函数与对数函数4.4对数函数第1课时对数函数的概念及图像与性质考点1对数函数的概念1.(2019·某某某某一中高一期中)与函数y =10lg(x -1)相等的函数是()。

A.y =(√x -1)2B.y =|x -1|C.y =x -1D.y =x 2-1x+1 答案:A 解析:y =10lg(x -1)=x -1(x >1),而y =(√x -12=x -1(x >1),故选A 。

2.(2019·某某公安一中单元检测)设集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },则下列关系中正确的是()。

A.A ∪B =AB.A ∩B =⌀C.A =BD.A ⊆B 答案:D解析:由题意知集合A ={x |x >0},B ={y |y ∈R},所以A ⊆B 。

3.(2019·某某南安一中高一第二阶段考试)设函数f (x )={x 2+1,x ≤1,lgx ,x >1,则f (f (10))的值为()。

A.lg101B.1 C.2D.0 答案:C解析:f (f (10))=f (lg10)=f (1)=12+1=2。

4.(2019·东风汽车一中月考)下列函数是对数函数的是()。

A.y =log a (2x )B.y =lg10xC.y =log a (x 2+x )D.y =ln x 答案:D解析:由对数函数的定义,知D 正确。

5.(2019·某某调考)已知f (x )为对数函数,f (12)=-2,则f (√43)=。

答案:43解析:设f (x )=log a x (a >0,且a ≠1),则log a 12=-2,∴1a 2=12,即a =√2,∴f (x )=lo g √2x ,∴f (√43)=log √2√43=log 2(√43)2=log 2243=43。

6.(2019·某某中原油田一中月考)已知函数f (x )=log 3x ,则f (√3)=。

人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试卷

《第四章指数函数与对数函数》测试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f （x ）=log 2 (x 2-3x -4)的单调递减区间为（） A ．（-∞，-1）B ．（-∞，-1.5）C ．（1.5，+∞）D ．（4，+∞）2．若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（） A ．且 B ．且 C ．且 D ． 3．函数为增函数的区间是（） A ．B ．C ．D ．4．已知函数y =log a (3-ax )在[0，1]上单调递减，则a 的取值范围是（） A ．（0，1） B ．（1，3） C ．（0，3）D ．[3，+∞]5．若实数满足，则（） A ．B ．C ．D ．6．已知定义域为R 的偶函数f (x )在（-∞，0]上单调递减，且f ( ) = 2，则不等式f (log 4x )>2的解集为（）A ．（0，）∪（2，+∞）B .（2，+∞）C ．（0，）∪（， + ∞ ）D ．（0，）7．三个数，，之间的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．()21xy a =-x a 0a >1a ≠0a ≥1a ≠12a >1a ≠12a ≥2213x xy -+⎛⎫= ⎪⎝⎭[)1,-+∞(],1-∞-[)1,+∞(],1-∞,a b 3412a b ==11a b+=121516120.3a =0.32b =2log 0.3c =a c b <<c a b <<c b a <<b c a <<2121222228．已知函数，给出下述论述，其中正确的是（）A ．当时，的定义域为B ．一定有最小值C ．当时，的值域为D ．若在区间上单调递增，则实数的取值范围是二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9．下列运算结果中，一定正确的是（） A ． B ．CD10．已知函数，下面说法正确的有（）A ．的图像关于原点对称B ．的图像关于轴对称C ．的值域为D ．对于任意的，且，恒成立11．若，，则（） A ． B ． C ．D ．12．已知函数f (x )=x 2-2x+a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是（） A ．a ＜1 B ．若x 1≠x 2，则= C ．f （-1）=f （3） D ．函数y=f （∣x ∣）有四个零点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．()()2lg 1f x x ax a =+--0a =()f x R ()f x 0a =()f x R ()f x [)2,+∞a {}4|a a ≥-347a a a ⋅=()326a a -=a =π=-()2121x x f x -=+()f x ()f x y ()f x ()1,1-12,x x ∈R 12x x ≠()()12120f x f x x x -<-104a =1025b =2a b +=1b a -=281g 2ab >lg 6b a ->2x 11x 1+a213．当_________． 14．函数的值域是________．15．若，则________．16．函数的定义域为______，最小值为______．四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）解下列方程．（1）；（2（3）．18．（12分）求下列函数的定义域、值域．（1）；（2）．19．（12分）（1）求函数的单调区间；（2）求函数的单调区间．2x <3=23x y -=1232494log 7log 9log log a ⋅⋅=a =()()212log 23f x x x =--+32381x -=256550x x -⨯+=313x xy =+421x xy =-+261712x x y -+⎛⎫=⎪⎝⎭21181722xxy ⎛⎫⎛⎫=-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20．已知函数.（1）当时，求函数的零点；（2）若有零点，求的取值范围。

高一数学必修第一册2019(A版)_4.3.2_对数的运算_练习(解析版)

第四章指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算一、选择题1．（2019全国高一课时）若a ＞0，a≠1，x ＞0，y ＞0，x ＞y ，下列式子中正确的个数是( ) ①log a x·log a y ＝log a (x ＋y)；②log a x －log a y ＝log a (x －y)； ③log axy＝log a x÷log a y; ④log a (xy)＝log a x·log a y. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A【解析】由对数的运算性质，得到logax•logay≠loga （x+y ）；log log log xx y y a a a-= ；log a （xy ）=log a x+log a y ．故选A2．（2019全国高一课时练）lg8＋3lg5的值为( ) A.－3 B.－1C.1D.3【答案】D 【解析】383585212510003lg lg lg lg lg lg lg ==+==＋＋，故选D 。

3．（2019甘肃武威十八中高一课时练）已知lg2=0.301，lg3=0.477 ,则lg12= ( ) A.0.778 B.1.079C.0.301D.0.477【答案】B【解析】因为lg12lg3lg 4lg32lg 20.47720.301 1.079.=+=+=+⨯=所以选B. 4．（2019全国高一课时）若log 34·log 8m ＝log 416，则m 等于( ) A.3 B.9 C.18 D.27 【答案】D【解析】原式可化为log 8m ＝432log ，lg 2lg 43lg 2lg 3m = ，即lg m ＝6lg 2lg 32lg 2⋅， lg m ＝lg 27，m ＝27.故选D. 5．（2017·全国高一课时练习）设，则f[f(2)]的值为A.0B.1C.2D.3 【答案】C【解析】f(2)=log 3(22−1)=log 33=1，则f[f(2)]=2. 6.（2017·全国高一课时练习）已知，，，，则下列等式一定成立的是A. B. C.D.【答案】B 【解析】因为，，所以，.又，所以，则.二、填空题7．（2019·全国高一课时练）地震的震级R 与地震释放的能量E 的关系为R ＝23(lg E －11.4).2011年3月11日，日本东海岸发生了9.级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的__________倍．【答案】【解析】设震级9.0级、8.0级地震释放的能量分别为21E E 、，则212983lgE lgE （）-=-，即3222113102E E lg E E ，=∴== ．那么2011年地震的能量是2008年地震能量的8．（2019全国高一课时练）方程lg x ＋lg (x －1)＝1－lg 5的根是________．【答案】2【解析】方程变形为lg [x (x －1)]＝lg 2，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.经检验x ＝－1不合题意，舍去，所以原方程的根为x ＝2. 9．（2017·全国高一课时练习）若，则【答案】【解析】，从而，故选D ．10．（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）设函数()(0a f x log x a >＝且1)a ≠，若()122?0128f x x x ⋯＝，则222122012()()()f x f x f x +++的值等于________．【答案】16【解析】由()1220128f x x x ⋯＝，得()1220128a log x x x ⋯=. 因为()()()222222122012122012a a a f x f x f x log x log x log x +++=+++12201222?2a a a log x log x log x =+++()1220122?a a a log x log x log x =+++()1220122?2816a log x x x =⋯=⨯=故答案为16.三、解答题11．（2019·全国高一课时练习）化简：(1)23lg 3lg 955lg81lg 27++-； (2)(lg5)2＋lg2lg50＋2211+log 52. 【答案】（1）115（2）1+ 【解析】 (1)原式＝＝＝.(2)原式＝(lg5)2＋lg2(lg5＋1)＋21·2log 52＝lg5·(lg5＋lg2)＋lg2＋2＝1＋2.12．（2019·全国高一课时练习）若a 、b 是方程2lg 2 x －lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】12【解析】原方程可化为2lg 2x －4lg x ＋1＝0，设t ＝lg x ，则原方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝. 由已知a ，b 是原方程的两个根，则t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝，lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝＝(lg a ＋lgb )·()2lg lg 2lg lg lg lg a b a ba b+-＝2×＝12.故lg(ab )·lg lg lg lg b a a b ⎛⎫+⎪⎝⎭＝12.。

第4章4.4.2 对数函数的图象和性质—人教A版(2019)必修第一册同步新题练习

4.4.2 对数函数的图象和性质刷新题夯基础题组一对数(型)函数的图象1.(2020山西康杰中学高一上期中)为了得到函数f (x )=log 2x 的图象,只需将函数g (x )=log 2x8的图象( )A.向上平移3个单位长度B.向下平移3个单位长度C.向左平移3个单位长度D.向右平移3个单位长度2.在同一平面直角坐标系中,y =2x 与y =log 2(-x )的图象可能是( )3.(2020河南省实验中学高一上期中)函数f (x )=lg(|x |-1)的大致图象是( )题组二对数函数的性质及其应用4.(2020天津红桥高一上期末)函数f (x )=log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过定点 ( )A.(2,2)B.(2,3)C.(1,0)D.(2,1)5.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f (x )=√1-lnx 的定义域是 ( ) A.(0,e)B.(0,e]C.[e,+∞)D.(e,+∞)6.已知a =log 23-1,(12)b=5,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系为( )A.c lo g 13b ”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.(2020四川成都外国语学校高一上期中)函数f(x)=lo g1(x2-2x-3)的单调递增区间2是.9.(2020湖南醴陵一中高一上期中)若log0.5(m-1)>log0.5(3-m),则m的取值范围是.10.函数f(x)=log a(x+√x2+2a2)是奇函数,则a=.11.已知函数f(x)=lg(x+1),解不等式0<f(1-2x)-f(x)<1.),其中0<a<1.12.设函数f(x)=log a(1-ax(1)证明:f(x)是(a,+∞)上的减函数;(2)若f(x)>1,求x的取值范围..13.已知函数f(x)=log21-x1+x(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明:函数f(x)在定义域上单调递减.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题14.(2020广东东莞高一上期末)下列函数中,与函数f (x )=x +1(x ∈R)的值域不相同的是( ) A.y =x (x ∈R)B.y =x 3(x ∈R)C.y =ln x (x >0)D.y =e x (x ∈R)15.(2021河北石家庄正定一中高一上期中)函数f (x )=log 2(x 2-2x +3)的值域为 ( )A.[0,+∞)B.[1,+∞)C.RD.[2,+∞)16.(2020北京通州高一上期末)已知函数f (x )=log a x (a >0,且a ≠1)在[1,4]上的最大值与最小值的和是2,则a 的值为 .17.(2020天津河东高一上期末)已知x 满足√3≤3x ≤9. (1)求x 的取值范围;(2)求函数y =(log 2x -1)(log 2x +3)的值域.18.已知函数f (x )=log 2x.(1)若f (a )>f (2),求a 的取值范围; (2)求y =log 2(2x -1)在[2,14]上的最值.题组四反函数19.(2020北京西城高一上阶段测试)函数y =(1a )x与y =log b x 互为反函数,则a 与b 的关系是( )A.ab =1B.a +b =1C.a =bD.a -b =120.函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(√a ,a ),则a 的值为 ( ) A.2 B.12 C.2或12 D.321.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f(12)的值为.刷新题培素养题组一对数函数的图象1.(2020北京石景山高一上期末,)在同一平面直角坐标系中,函数f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x 的图象可能是()2.(2020河北承德高一上期末,)已知函数f(x)=a x-1+log b x-1(a>0且a≠1,b>0且b≠1),则f(x)的图象过定点()A.(0,1)B.(1,1)C.(1,0)D.(0,0)3.(2020河北唐山一中高一上期中,)函数y=xln|x||x|的图象是()题组二对数函数单调性的应用4.(2020河南信阳高级中学高一上期中,)已知函数f(x)=log a(-x2-2x+3)(a>0,a≠1),若f(0)<0,则此函数的单调递减区间是()A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)C.[-1,1)D.(-3,-1]5.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则实数a的取值范围为()A.(0,+∞)B.(0,12) C.(1,2) D.(-∞,0)6.(多选)()若a>b>0,0<c<1,则()A.log c a<log c bB.c a>c bC.a c>b cD.log c(a+b)>07.(2020山东青岛二中高一上期末,)已知函数f(x)的定义域为R,图象恒过点(1,1),对任意x 1<x2,都有f(x1)-f(x2)x1-x2>-1,则不等式f[log2(2x-1)]<2-log2(2x-1)的解集为 ()A.(0,+∞)B.(log23,+∞)C.(-∞,0)∪(0,log23) D.(0,log23)8.(2020浙江浙北G2高一上期中联考,)已知函数f (x )=|lg x |+2,若实数a ,b 满足b >a >0,且f (a )=f (b ),则a +2b 的取值范围是 . 9.()已知函数f (x )={log a x +m ,0<x <1,-x +2,x ≥1(a >0,a ≠1)在定义域内单调递减,若|f (2m )|>f (a ),求实数m 的取值范围.10.(2020安徽淮北第一中学高一月考,)已知函数f (x )=log a (a x -1)(a >0,且a ≠1).(1)当a =12时,求函数f (x )的定义域;(2)当a >1时,求关于x 的不等式f (x )<f (1)的解集;(3)当a =2时,若不等式f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立,求实数m 的取值范围.题组三对数函数的最大(小)值与值域问题 11.(2020山东泰安高一上期末,)若函数f (x )={2x +2,x ≤1,log 2(x -1),x >1在(-∞,a ]上的最大值为4,则a 的取值范围为 ( ) A.[0,17] B.(-∞,17] C.[1,17] D.[1,+∞)12.()若函数f (x )=log 2[kx 2+(2k -1)x +14]的值域为R,则实数k 的取值范围为 .13.(2020河南周口高一上期末调研,)若函数f (x )={(2-a )x +2a ,x <1,1+lnx ,x ≥1的值域为R,则实数a的取值范围是 . 14.(2020安徽屯溪一中高一上期中,)已知函数f (x )=(13)x,函数g (x )=log 3x.(1)若g (mx 2+2x +m )的定义域为R,求实数m 的取值范围;(2)当x ∈[-1,1]时,求函数y =[f (x )]2-2af (x )+3的最小值h (a );(3)是否存在实数m ,n ,使得函数y =2x +log 3 f (x 2)的定义域为[m ,n ],值域为[4m ,4n ]?若存在,求出m ,n 的值;若不存在,请说明理由.题组四对数函数的综合运用 15.()已知函数f (x )=ln(x +√x 2+1)+1,若实数a 满足f (-a )=2,则f (a )等于 ( )A.1B.0C.-1D.-216.(2020山东济南高一上期末,)已知函数f (x )=log 32-x2+x ,若f (a )+f (a -1)>0,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,12)B.(-1,12) C.(-2,2) D.(-1,2) 17.(多选)(2020山东泰安高一上期末,) 若定义域为[0,1]的函数f (x )同时满足以下三个条件:(i)对任意的x ∈[0,1],总有f (x )≥0; (ii)f (1)=1;(iii)若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则有f (x 1+x 2)≥f (x 1)+f (x 2),就称f (x )为“A 函数”.下列定义在[0,1]上的函数中,是“A 函数”的有 ( ) A.f (x )=lo g 12(x +1) B.f (x )=log 2(x +1) C.f (x )=x D.f (x )=2x -118.(2020山东烟台高一上期末,)已知函数f (x )=ln kx -1x+1为奇函数.(1)求实数k 的值;(2)判断并证明函数f (x )的单调性;(3)若存在α,β∈(1,+∞),使得函数f (x )在区间[α,β]上的值域为[ln (mα-m2),ln (mβ-m2)],求实数m 的取值范围.答案全解全析刷新题夯基础1.A g (x )=log 2x8=log 2x -log 28=log 2x -3,所以只需将函数g (x ) =log 2x8的图象向上平移3个单位长度,即可得到函数f (x )=log 2x 的图象,故选A .2.B 因为y =2x 的图象为过点(0,1)的递增的指数函数图象,故排除选项C,D;y =log 2(-x )的图象为过点(-1,0)的递减的对数型函数图象,故排除选项A,故选B .解题模板函数图象的辨识可从以下方面入手:根据函数的定义域,判断图象的左右位置,根据函数的值域,判断图象的上下位置;根据函数的单调性,判断图象的变化趋势;根据函数的奇偶性,判断图象的对称性;根据函数的特征点,排除不符合要求的图象.3.B 解法一:由题可知,当x >0时, f (x )=lg(x -1),其图象可由函数y =lg x 的图象向右平移1个单位得到;当x <0时, f (x )=lg(-x -1)=lg[-(x +1)],其图象可由函数y =lg x 的图象先关于y 轴做翻折变换,再向左平移1个单位得到,结合选项可知B 正确.故选B .解法二:易知f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),又f (-x )=lg(|-x |-1)=lg(|x |-1)=f (x ),所以f (x )是偶函数,因此C,D 错误.当x >0时, f (x )=lg(x -1),是(1,+∞)上的增函数,故选B .4.A 由对数函数的性质可知,当x =2时, f (2)=2,故函数f (x )=log a (x -1)+2(a >0,a ≠1)的图象恒过定点(2,2).故选A .5.B 要使函数f (x )=√1-lnx 有意义,需满足{1-lnx ≥0,x >0,解得0<x ≤e .因此函数的定义域为(0,e],故选B .6.B 由(12)b=5,得b =lo g 125=-log 25,又a =log 23-1=-log 23,所以-log 25<-log 23<0<log 32,即b <a <c ,故选B .7.B 由3a<3b⇒a lo g 13b ”;由lo g 13a >lo g 13b ⇒0<a lo g 13b ”的必要不充分条件.故选B .8.答案 (-∞,-1)解析由x 2-2x -3>0,得x <-1或x >3,因此函数f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(3,+∞),记为D.设u =x 2-2x -3,则y =lo g 12u ,易知y =lo g 12u 是定义域内的减函数,又u =(x -1)2-4在(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增, ∴f (x )的单调递增区间为(-∞,1]∩D =(-∞,-1). 9.答案 (1,2)解析 ∵y =log 0.5x 是定义域内的减函数,∴log 0.5(m -1)>log 0.5(3-m )⇔{m -1>0,3-m >0,m -1<3-m ,即{m >1,m <3,m <2,∴1<m <2,即m 的取值范围是(1,2). 10.答案√22解析 ∵函数f (x )的定义域为R,且为奇函数,∴f (0)=0,即log a √2a 2=0, ∴√2a 2=1,又a >0,∴a =√22. 经验证,当a =√22时, f (x )为奇函数. 11.解析不等式0<f (1-2x )-f (x )<1, 即0<lg(2-2x )-lg(x +1)=lg 2-2xx+1<1. 由{2-2x >0,x +1>0得-1<x <1. 由0<lg 2-2xx+1<1,得1<2-2xx+1<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,解得-23<x <13. 由{-1<x <1,-23<x <13得-23<x <13,故不等式的解集为(-23,13). 12.解析 (1)证明:任取x 1,x 2∈(a ,+∞),不妨令0<a <x 1<x 2,g (x )=1-ax ,则g (x 1)-g (x 2)=(1-a x 1)-(1-ax 2)=a (x 1-x 2)x 1x 2<0,∴g (x 1)<g (x 2).又∵0<a <1,∴f (x 1)>f (x 2), ∴f (x )是(a ,+∞)上的减函数. (2)∵log a (1-ax )>1,且0<a <1, ∴0<1-ax <a ,∴1-a <a x <1.∵0<a <1,∴1-a >0,从而a <x <a1-a .∴x的取值范围是(a,a1-a).13.解析(1)要使函数f(x)=log21-x1+x 有意义,需满足1-x1+x>0,解得-1<x<1,即函数的定义域为(-1,1).(2)函数f(x)为奇函数.证明:函数f(x)的定义域为(-1,1),任取x∈(-1,1),都有f(-x)=log21+x1-x =-log21-x1+x=-f(x),则函数f(x)为奇函数.(3)证明:由(1)可知, f(x)的定义域为(-1,1), 任取x1,x2∈(-1,1),不妨设-1<x1<x2<1,则f(x1)-f(x2)=log21-x11+x1-log21-x21+x2=log2(1-x11+x1×1+x21-x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2,又x1<x2,所以x2-x1>0, 则有1+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>1,故f(x1)-f(x2)=log21+x2-x1-x1x21-(x2-x1)-x1x2>log21=0,故函数f(x)在定义域上单调递减.14.D易知f(x)的值域为R.A,B,C选项中各函数的值域均为R,不符合题意;选项D中函数的值域为(0,+∞),与f(x)的值域不同,故选D.15.B∵x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,∴f(x)=log2(x2-2x+3)≥log22=1,因此,函数f(x)的值域是[1,+∞),故选B.16.答案 2解析①当a>1时, f(x)=log a x在(0,+∞)上为增函数,所以f(x)=log a x在[1,4]上的最大值为log a4,最小值为log a1;②当0<a<1时, f(x)=log a x在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)=log a x在[1,4]上的最大值为log a1,最小值为log a4.故有log a1+log a4=2,即log a4=2,所以a =2,故答案为2. 17. 解析 (1) ∵√3≤3x ≤9, ∴312≤3x ≤32,由于指数函数y =3x 在R 上单调递增, ∴12≤x ≤2.因此,x 的取值范围是[12,2].(2)由(1)得12≤x ≤2,∴-1≤log 2x ≤1.令t =log 2x ,则y =(t -1)(t +3)=t 2+2t -3,其中t ∈[-1,1]. ∵函数y =t 2+2t -3的图象开口向上,且对称轴为直线t =-1, ∴函数y =t 2+2t -3在t ∈[-1,1]上单调递增,∴当t =1时,y 取得最大值,为0;当t =-1时,y 取得最小值,为-4. ∴函数y =(log 2x -1)(log 2x +3)的值域为[-4,0]. 18.解析 (1)∵f (x )=log 2x 为增函数,f (a )>f (2), ∴a >2,即a 的取值范围是(2,+∞). (2)∵2≤x ≤14, ∴3≤2x -1≤27,∴log 23≤log 2(2x -1)≤log 227.∴函数f (x )=log 2(2x -1)在[2,14]上的最小值为log 23,最大值为log 227. 19.A 由函数y =(1a )x与y =log b x 互为反函数得1a =b ,化简得ab =1,故选A . 20.B 解法一:函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数为y =log a x (a >0,且a ≠1), 故y =log a x 的图象过点(√a ,a ),则a =log a √a =12.解法二:∵函数y =a x (a >0,且a ≠1)的反函数的图象过点(√a ,a ),∴函数y =a x (a >0,且a ≠1)的图象过点(a ,√a ),∴a a=√a =a 12,即a =12. 21.答案 -log 32解析易得y =f (x )=log 3x , ∴f (12)=log 312=-log 32.刷新题培素养1.D选项A中两条曲线都不是函数y=x a(x≥0)的图象;选项B中,y=x a(x≥0)中a>1,y=log a x(x>0)中0<a<1,不符合;选项C中,y=x a(x≥0)中0<a<1,y=log a x(x>0)中a>1,不符合;选项D中,y=x a(x ≥0)中0<a<1,y=log a x(x>0)中0<a<1,符合,故选D.2.C当x=1时, f(x)=f(1)=a0+log b1-1=1+0-1=0,∴f(x)的图象过定点(1,0).故选C.解题模板解决函数图象过定点问题,应从定值入手,如a0=1,log b1=0,由此确定定点.3.B当x>0时,y=xln|x||x|=ln x,排除C,D;当x<0时,y=xln|x||x|=-ln(-x),又y=-ln(-x)与y=ln x的图象关于原点对称,故选B.4.D由f(0)<0得log a3<0,因此0<a<1.由-x2-2x+3>0得x2+2x-3<0,解得-3<x<1.因此函数f(x)的定义域为(-3,1).设u=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴当x∈(-3,-1]时,u=-x2-2x+3单调递增,当x∈[-1,1)时,u=-x2-2x+3单调递减,而0<a<1,即y=logau单调递减,∴f(x)的单调递减区间为(-3,-1],故选D.5.B设y=log3u,u=1-ax.由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,∴-a<0,即a>0.由1-ax>0得ax<1,又a>0,∴x<1a,即f(x)的定义域为(-∞,1a),∴(-∞,2]⊆(-∞,1a )⇒2<1a,结合a>0,得0<a<12,因此a的取值范围是(0,12),故选B.警示求含对数函数的复合函数的单调性时,既要考虑到内、外两层函数的单调性,还要考虑到函数的定义域,即单调区间是函数定义域的子集,要防止因忽略定义域导致解题错误.6.AC选项A中,因为0<c<1,所以y=log c x为单调递减函数,由a>b>0得log c a<log c b,故A正确; 选项B中,因为0<c<1,所以y=c x为单调递减函数,由a>b>0,得c a<c b,故B错误;选项C中,因为a>b>0,0<c<1,所以(ab )c>1,所以a c>b c,故C正确;选项D 中,取c =12,a +b =2,则log c (a +b )=lo g 122=-1<0,故D 错误.故选AC .7.D 由对任意x 1<x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>-1,可得[f (x 1)+x 1]-[f (x 2)+x 2]x 1-x 2>0,令R (x )=f (x )+x ,则函数R (x )=f (x )+x 在R 上是增函数. 不等式f [log 2(2x -1)]<2-log 2(2x -1), 即f [log 2(2x -1)]+log 2(2x -1)<2=f (1)+1, 即log 2(2x -1)<1,所以0<2x -1<2, 即0<x <log 23, 故选D .解题模板解决含有未知函数的不等式,往往要构造函数,运用单调性解题,构造函数时要充分考虑题中的条件f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>-1,平时要积累构造函数的经验.8.答案 (3,+∞)解析 f (x )的图象如图所示,因为f (a )=f (b ),所以结合图象可得0<a <1g (1)=3,即a +2a >3,所以a +2b 的取值范围是(3,+∞). 9.解析由函数f (x )在定义域内单调递减, 可知{0<a <1,log a 1+m ≥1,即{0<a <1,m ≥1.由m ≥1得2m ≥2,故f (2m )=-2m +2, 由0<a <1得f (a )=log a a +m =1+m ,∴|f (2m )|>f (a )⇔|-2m +2|>m +1,又m ≥1, ∴2m -2>m +1,解得m >3, 故m 的取值范围是(3,+∞).10.解析 (1)当a =12时, f (x )=lo g 12(12-1),故12-1>0,解得x <0,故函数f (x )的定义域为(-∞,0).(2)由题意知, f (x )=log a (a x -1)(a >1),其定义域为(0,+∞),易知f (x )为(0,+∞)上的增函数, 由f (x )<f (1)得{x >0,x <1,∴不等式的解集为(0,1).(3)设g (x )=f (x )-log 2(1+2x)=log 22x -12+1,x ∈[1,3],设t =2x -12+1=1-22+1,易知t =1-22+1为增函数,又y =log 2t 为定义域内的增函数,所以g (x )在[1,3]上单调递增,故g (x )min =g (1)=log 213.∵f (x )-log 2(1+2x )>m 对任意实数x ∈[1,3]恒成立, ∴m <g (x )min =log 213, 即m ∈(-∞,log 213).11.C 易知f 1(x )=2x +2在(-∞,1]上单调递增, f 2(x )=log 2(x -1)在(1,+∞)上单调递增.作出f (x )的大致图象,如图所示.由图可知, f (1)=4, f (17)=4,所以a 的取值范围为[1,17]. 12.答案 [0,14]∪[1,+∞)解析设u =kx 2+(2k -1)x +14的值域为A ,y =log 2u 的定义域为B ,则B =(0,+∞). 当k =0时,u =-x +14,A =R,则A ∩B =(0,+∞),函数f (x )的值域为R,符合题意; 当k ≠0时,依题意得k >0,B ⊆A ,因此(2k -1)2-4×k ×14≥0,解得k ≤14或k ≥1, 此时k 的取值范围是(0,14]∪[1,+∞).综上所述,实数k 的取值范围为[0,14]∪[1,+∞). 13.答案 [-1,2)解析当x ≥1时,ln x ≥0,从而1+ln x ≥1. 设x <1时,y =(2-a )x +2a 的值域为B ,则(-∞,1)⊆B.因此{2-a >0,(2-a )×1+2a ≥1,解得-1≤a <2.故a 的取值范围是[-1,2).14.解析 (1)由题意知mx 2+2x +m >0对任意实数x 恒成立, 当m =0时显然不满足, ∴{m >0,Δ=22-4m 2<0,∴m >1.∴实数m 的取值范围为(1,+∞). (2)当x ∈[-1,1]时, f (x )∈[13,3]. 令f (x )=t (t ∈[13,3]),则y =t 2-2at +3=(t -a )2+3-a 2,∴h (a )={28-6a 9,a <13,3-a 2,13≤a ≤3,12-6a ,a >3.(3)存在.∵y =2x +log 3 f (x 2)=2x +log 3(13)x2=2x -x 2=-(x -1)2+1≤1,∴4n ≤1, ∴n ≤14,∴函数在[m ,n ]上单调递增, ∴{2m -m 2=4m ,2n -n 2=4n . 又∵m <n ,∴m =-2,n =0.15.B 设g (x )=ln(x +√x 2+1),易知其定义域为R,且g (-x )=ln(-x +√(-x )2+1)=ln √2=-ln(x +√x 2+1)=-g (x ), 所以g (x )为奇函数.因为f (-a )=g (-a )+1=2,所以g (-a )=1,从而g (a )=-1, 所以f (a )=g (a )+1=-1+1=0,故选B .16.B 由题可知f (x )=log 32-x2+x 的定义域满足2-x2+x >0⇒(x -2)(2+x )<0,解得-2<x <2. 又f (x )+f (-x )=log 3(2-x2+x ·2+x 2-x )=log 31=0,故f (x )为奇函数.又f (x )=log 32-x2+x =log 3(-1+42+x ),且y =-1+42+x 在(-2,2)上为减函数,故f (x )为减函数.f (a )+f (a -1)>0,即f (a )>-f (a -1)=f (1-a ), 所以{-2<a <2,-2<a -1<2,a <1-a ,所以a ∈(-1,12).故选B .17.CD 选项A 中, f (1)=lo g 12(1+1)=-1,故f (x )=lo g 12(x +1)不是“A 函数”.选项B 中,若x 1≥0,x 2≥0,x 1+x 2≤1,则f (x 1)+f (x 2)=log 2(x 1+1)+log 2(x 2+1)=log 2(x 1x 2+x 1+x 2+1)≥log 2(x 1+x 2+1)=f (x 1+x 2),不满足(iii),故f (x )=log 2(x +1)不是“A 函数”.选项C 中,f (x )显然满足(i)(ii),又f (x 1+x 2)=x 1+x 2=f (x 1)+f (x 2),所以f (x )=x 是“A 函数”.选项D 中, f (x )显然满足(i)(ii),因为f (x 1+x 2)=2x 1+x 2-1, f (x 1)+f (x 2)=2x 1+2x 2-2,所以f (x 1+x 2)-[f (x 1)+f (x 2)]=2x 1+x 2-2x 1-2x 2+1=(2x 1-1)(2x 2-1),又x 1,x 2∈[0,1],所以2x 1-1≥0,2x 2-1≥0,从而f (x 1+x 2)≥f (x 1)+f (x 2),因此, f (x )=2x -1是“A 函数”.故选CD . 18.解析 (1)因为函数f (x )=ln kx -1x+1为奇函数,所以f (x )+f (-x )=0, 即ln kx -1x+1+ln -kx -1-x+1=ln (kx -1)(-kx -1)(x+1)(-x+1)=ln 1-k 2x 21-x 2=0对定义域内任意x 恒成立,所以k 2=1,即k =±1,显然k ≠-1,所以k =1. 经验证,k =1符合题意.(2)f (x )在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数.证明:由(1)知f (x )=ln x -1x+1,其定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), 任取x 1,x 2∈(1,+∞),不妨设x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=ln x 1-1x 1+1-ln x 2-1x 2+1=ln (x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1),因为(x 1-1)(x 2+1)-(x 1+1)(x 2-1)=2(x 1-x 2)<0,且(x 1+1)(x 2-1)>0,(x 1-1)·(x 2+1)>0, 所以0<(x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1)<1,所以f (x 1)-f (x 2)=ln (x 1-1)(x 2+1)(x 1+1)(x 2-1)<0,即f (x 1)<f (x 2),所以f (x )在(1,+∞)上为增函数. 同理, f (x )在(-∞,-1)上为增函数. (3)由(2)知f (x )在(1,+∞)上为增函数,又因为函数f (x )在[α,β]上的值域为[ln (mα-m2),ln (mβ-m2)],所以m >0,且{ln α-1α+1=ln (mα-m2),ln β-1β+1=ln (mβ-m2), 所以{α-1α+1=mα-m2,β-1β+1=mβ-m 2,即α,β是方程x -1x+1=mx -m2的两个不等实根,问题等价于方程mx 2-(1-m2)x +1-m2=0在(1,+∞)上有两个不等实根,令h (x )=mx 2-(1-m2)x +1-m2,x ∈(1,+∞),易知h (x )为二次函数,其图象的对称轴为直线x =12m -14, 则{m >0,12m -14>1,Δ=[-(1-m 2)]2-4m (1-m2)>0,ℎ(1)=m >0, 即{m >0,0<m <25,m >2或m <29,解得0<m <29.。

指数函数与对数函数(能力测评卷)-2020-2021学年高一数学单元复习(人教A版必修第一册)

章末检测（四) 指数函数与对数函数能力卷(时间：120分钟，满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)为奇函数，且x≥0时，f(x)＝2x＋x＋m，则f(－1)＝(C)A．－12B．12C．－2D．2【答案】C【解析】因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即20＋0＋m＝0，所以m＝－1，f(x)＝2x＋x－1(x≥0)．因为f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2，所以f(－1)＝－2.2．已知关于x的不等式(13)x－4>3－2x，则该不等式的解集为(B)A．[4，＋∞)B．(－4，＋∞)C．(－∞，－4)D．(－4,1]【答案】B【解析】依题意可知，原不等式可转化为3－x＋4>3－2x，由于指数函数y＝3x为增函数，所以－x＋4>－2x，解得x>－4，故选B．3．设函数f(x)＝log2x，若f(a＋1)<2，则a的取值范围为(A)A．(－1,3)B．(－∞，3)C．(－∞，1)D．(－1,1)【答案】A【解析】∵函数f(x)＝log2x在定义域内单调递增，f(4)＝log24＝2，∴不等式f(a＋1)<2等价于0<a＋1<4，解得－1<a<3，故选A．4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是增函数，令a ＝f (1)，b ＝f (2－0.3)，c＝f (－20.3)，则( A ) A ．b <a <c B ．c <b <a C ．b <c <a D ．a <b <c【答案】A【解析】因为函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以c ＝f (－20.3)＝f (20.3)．又因为y ＝2x 是R 上的增函数．所以0<2－0.3<1<20.3.由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，所以f (2－0.3)<f (1)<f (20.3)＝f (－20.3)，即b <a <c .5．已知f (x )＝(31)4,1,log ,1a a x a x x x -+<⎧⎨≥⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是( B )A ．(0,1)B ．[17，13) C ．(0，13) D ．(19，13) 【答案】B【解析】由题意得310,3140,01,a a a a -<⎧⎪-+≥⎨⎪<<⎩解得17≤a <13，故选B ．6．已知m ，n ∈(1，＋∞)，且m >n ，若log m n 2＋log n m 6＝13，则函数f (x )＝2mn x 的大致图象为( A )【答案】A【解析】由题意，令t＝log m n，则2t＋6t＝13，解得t＝12或t＝6(舍去)，所以n，即2mn＝1，所以f(x)＝2mnx的大致图象为A中的图象．7．若函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，则实数m的取值范围为(C)A．[43，3]B．[43，2]C．[43，2)D．[43，＋∞)【答案】C【解析】先保证对数有意义即－x2＋4x＋5>0，解得－1<x<5，又可得二次函数y＝－x2＋4x＋5的对称轴为x＝－42(1)⨯-＝2，由复合函数单调性可得函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)的单调递增区间为(2,5)，要使函数f(x)＝12log(－x2＋4x＋5)在区间(3m－2，m＋2)内单调递增，只需322,25,322mmm m-≥⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩解得43≤m<2.8．某企业2018年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长8%，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(C)(参考数据：lg 1.08≈0.033，lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】C【解析】该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份为n，则150×(1＋8%)n－2018>200，则n>2018＋2lg2lg3lg1.08-≈2021.8，所以n＝2022.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．下列函数中，是奇函数且存在零点的是(AD)A．y＝x3＋x B．y＝log2xC．y＝2x2－3D．y＝x|x|【答案】AD【解析】A中，y＝x3＋x为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符；B中，y＝log2x为非奇非偶函数，与题意不符；C中，y＝2x2－3为偶函数，与题意不符；D中，y＝x|x|是奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符，故选AD．10．下列函数中值域为R的有(ABD)A．f(x)＝3x－1B．f(x)＝lg(x2－2)C．f(x)＝2,02,2,2x xx x⎧≤≤⎨>⎩D．f(x)＝x3－1【答案】ABD【解析】f(x)＝3x－1为增函数，函数的值域为R，满足条件．B ．由x 2－2>0得x或x <，此时f (x )＝lg(x 2－2)的值域为R ，满足条件．C ．f (x )＝2,02,2,2x x x x ⎧≤≤⎨>⎩当x >2时，f (x )＝2x >4，当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2∈[0,4]，即函数的值域为[0，＋∞)，不满足条件． D ．f (x )＝x 3－1是增函数，函数的值域为R ，满足条件．11．若函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围不能为( BD ) A ．(5,8) B ．(2,8) C ．[6,8) D ．(3,8)【答案】BD【解析】因为函数f (x )＝,1,(4)2,12x a x ax x ⎧>⎪⎨-+≤⎪⎩是R 上的增函数，所以11,40,2422a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩解得4≤a <8.12．设函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩若f (x )－b ＝0有三个不等实数根，则b 可取的值有( BC )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【解析】作出函数f (x )＝||1lg(1),1,3,1x x x x +->⎧⎨≤⎩的图象如图：f (x )－b ＝0有三个不等实数根，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝b 有3个不同交点，由图可知，b 的取值范围是(1,3]，故b 可取2,3.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)的反函数g (x )过点(9,2)，则f (2)＝__9__. 【答案】9【解析】由函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数的图象过点(9,2)，可得：y ＝a x 图象过点(2,9)，所以a 2＝9，又a >0，所以a ＝3.所以f (2)＝32＝9.14．已知函数f (x )＝221xx b -+为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，b ＝__1__.【答案】1 1【解析】因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数，所以定义域关于原点对称，即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1，因为函数f (x )＝221xx b -+为奇函数，所以f (－x )＝221x x b ---+＝2121x x b -+＝－221xx b -+，即b ·2x －1＝－b ＋2x ，所以b ＝1.15．已知图象连续不断的函数y ＝f (x )在区间(0.2,0.6)内有唯一的零点，如果用二分法求这个零点的近似值(精确度为0.01)，则应将区间(0.2,0.6)至少等分的次数为__6__.【答案】6【解析】由0.42n<0.01，得2n>0.040.01＝40，故n的最小值为6.16．某地野生薇甘菊的面积与时间的函数关系的图象如图所示，假设其关系为指数函数，并给出下列说法：①此指数函数的底数为2；②在第5个月时，野生薇甘菊的面积就会超过30 m2；③设野生薇甘菊蔓延到2 m2,3 m2,6 m2所需的时间分别为t1，t2，t3，则有t1＋t2＝t3；④野生薇甘菊在第1到第3个月之间蔓延的平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延的平均速度．其中正确的说法有__①②③__(请把正确说法的序号都填在横线上)．【答案】①②③【解析】∵其关系为指数函数，图象过点(4,16)，∴指数函数的底数为2，故①正确；当t＝5时，S＝32>30，故②正确；∵t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴t1＋t2＝t3，故③正确；根据图象的变化快慢不同知④不正确，综上可知①②③正确．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)计算3log32＋1327＋lg 50＋lg 2；(2)已知2a＝3,4b＝6，求2b－a的值．【解析】(1)3 log32＋1327＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝a x－1－5(a>0，且a≠1)，若y＝f(x)的图象过点(3,20)．(1)求a的值及y＝f(x)的零点；(2)求不等式f(x)≥－2的解集．【解析】(1)根据题意，函数f(x)＝a x－1－5的图象过点(3,20)，则有20＝a2－5，又由a>0，且a≠1，则a＝5，f(x)＝5x－1－5，若f(x)＝5x－1－5＝0，则x＝2，即函数f(x)的零点为2.(2)f(x)≥－2即5x－1－5≥－2，变形可得5x≥15，解可得x≥log515，即不等式的解集为[log515，＋∞)．19．(本小题满分12分)(2019·河南南阳市高一期中测试)设函数f(x)＝log2(4x)·log2(2x)的定义域为[14，4]．(1)若t＝log2x，求t的取值范围；(2)求y＝f(x)的最大值与最小值，并求出取最值时对应的x的值．【解析】(1)∵14≤x≤4，∴－2≤log2x≤2，∴－2≤t≤2.∴t的取值范围是[－2,2]．(2)y＝f(x)＝log2(4x)·log2(2x)＝(2＋log2x)(1＋log2x)，由(1)知t＝log2x，t∈[－2,2]，∴y＝(t＋2)(t＋1)＝t2＋3t＋2＝(t＋32)2－14.当t＝－32，即log2x＝－32，x＝4时，y min＝－14，当t＝2，即log2x＝2，x＝4时，y max＝12.20．(本小题满分12分)某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/102kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：(1)与上市时间t的变化关系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．【解析】(1)由提供的数据知道，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q＝at＋b，Q＝a·b t，Q＝a·log b t中的任意一个进行描述时都应有a≠0，而此时上述三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不吻合．所以，选取二次函数Q＝at2＋bt＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q＝at2＋bt＋c得到，150=250050, 10812100110, 150********,a b ca b ca b c++⎧⎪=++⎨⎪=++⎩解得1200324252 abc⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.所以，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系的函数为Q＝1200t2－32t＋4252.(2)当t ＝－3212200-⨯＝150天时，西红柿种植成本最低为Q ＝1200·1502－32·150＋4252＝100 (元/102kg)．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．【解析】(1)∵f (x )＝2x ，∴g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)＝22x －2x ＋2.因为f (x )的定义域是[0,3]，所以0≤2x ≤3,0≤x ＋2≤3，解得0≤x ≤1.于是g (x )的定义域为{x |0≤x ≤1}． (2)设g (x )＝(2x )2－4×2x ＝(2x －2)2－4. ∵x ∈[0,1]，∴2x ∈[1,2]，∴当2x ＝2，即x ＝1时，g (x )取得最小值－4；当2x ＝1，即x ＝0时，g (x )取得最大值－3.22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝21aa -·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1)．(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．【解析】(1)令log a x ＝t (t ∈R )，则x ＝a t ，∴f (t )＝21a a - (a t －a －t )． ∴f (x )＝21a a - (a x －a －x )(x ∈R )． ∵f (－x )＝21a a - (a －x －a x)＝－21a a - (a x －a －x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．11 当a ＞1时，y ＝a x 为增函数，y ＝－a －x 为增函数，且221a a -＞0， ∴f (x )为增函数．当0＜a ＜1时，y ＝a x 为减函数，y ＝－a －x 为减函数，且221a a -＜0， ∴f (x )为增函数．∴f (x )在R 上为增函数．(2)∵f (x )是R 上的增函数，∴y ＝f (x )－4也是R 上的增函数．由x ＜2，得f (x )＜f (2)，要使f (x )－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f (2)－4≤0，即21a a - (a 2－a －2)≤4. ∴21a a -421a a-≤4，∴a 2＋1≤4a ，∴a 2－4a ＋1≤0， ∴2a ≤2又a ≠1，∴a 的取值范围为[2，1)∪(1,2．。

高一数学(必修一)《第四章-指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版

高一数学(必修一)《第四章指数函数与对数函数》练习题及答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．某超市宣传在“双十一”期间对顾客购物实行一定的优惠，超市规定：①如一次性购物不超过200元不予以折扣；②如一次性购物超过200元但不超过500元的，按标价给予九折优惠；③如一次性购物超过500元的，其中500元给予9折优惠，超过500元的部分给予八五折优惠.某人两次去该超市购物分别付款176元和441元，如果他只去一次购买同样的商品，则应付款（）A ．608元B ．591.1元C ．582.6元D ．456.8元2．德国天文学家，数学家开普勒（J. Kepier ，1571—1630）发现了八大行星的运动规律：它们公转时间的平方与离太阳平均距离的立方成正比．已知天王星离太阳平均距离是土星离太阳平均距离的2倍，土星的公转时间约为10753d ．则天王星的公转时间约为（）A ．4329dB ．30323dC ．60150dD ．90670d3．函数()f x = ）A ．()1,0-B ．(),1-∞-和()0,1C ．()0,1D ．(),1-∞-和()0,∞+4．将进货价为每个80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，每涨价1元，销售量就减少20个，为了使商家利润有所增加，则售价a （元/个）的取值范围应是（）A ．90100a <<B ．90110a <<C ．100110a <<D ．80100a <<5．某市工业生产总值2018年和2019年连续两年持续增加，其中2018年的年增长率为p ，2019年的年增长率为q ，则该市这两年工业生产总值的年平均增长率为（）A ．2p q +；B ．()()1112p q ++-；C ；D 1．6．某污水处理厂为使处理后的污水达到排放标准，需要加入某种药剂，加入该药剂后，药剂的浓度C （单位：3mg/m ）随时间t （单位：h ）的变化关系可近似的用函数()()()210010419t C t t t t +=>++刻画．由此可以判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过（）A ．3hB ．4hC ．5hD ．6h7．某同学参加研究性学习活动，得到如下实验数据：以下函数中最符合变量y 与x 的对应关系的是（）A ．129y x =+B ．245y x x =-+C ．112410x y =⨯- D ．3log 1y x =+ 8．某种植物生命力旺盛，生长蔓延的速度越来越快，经研究，该一定量的植物在一定环境中经过1个月，其覆盖面积为6平方米，经过3个月，其覆盖面积为13.5平方米，该植物覆盖面积y (单位：平方米)与经过时间x (x ∈N )(单位：月)的关系有三种函数模型x y pa =(0p >，1a >)､log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)可供选择，则下列说法正确的是（）A ．应选x y pa =(0p >，1a >)B ．应选log a y m x =(0m >，1a >)C ．应选y nx α=(0n >，01α<<)D ．三种函数模型都可以9．已知函数()21,1,8, 1.x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若()8f x =，则x =（） A ．3-或1 B ．3- C ．1 D ．310．函数e 1()sin 2e 1x x f x x +=⋅-的部分图象大致为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题11．2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京开幕．研讨会聚焦于5G 的持续创新和演进、信息通信的未来技术前瞻与发展、信息通信技术与其他前沿科技的融合创新．香农公式2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫作信噪比．若不改变信道带宽W ，而将信噪比S N从11提升至499，则最大信息传递速率C 大约会提升到原来的______倍（结果保留1位小数）．（参考数据：2log 3 1.58≈和2log 5 2.32≈）12．已测得(,)x y 的两组值为(1,2)和(2,5)，现有两个拟合模型，甲21y x =+，乙31y x =-.若又测得(,)x y 的一组对应值为(3,10.2)，则选用________作为拟合模型较好．13．半径为1的半圆中，作如图所示的等腰梯形ABCD ，设梯形的上底2BC x =，则梯形ABCD 的最长周长为_________．三、解答题14．如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD ，已知院墙MN 长为25米，篱笆长50米（篱笆全部用完），设篱笆的一面AB 的长为x 米．(1)当AB 的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？(2)若围成的矩形ABCD 的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？15．以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (百元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为212800200y x x =-+． (1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（提示：平均处理成本为y x） (2)该单位每月处理成本y 的最小值和最大值分别是多少百元？ 16．如图，以棱长为1的正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系O xyz -，点P 在线段AB 上，点Q 在线段DC 上．(1)当2PB AP =，且点P 关于y 轴的对称点为M 时，求PM ；(2)当点P 是面对角线AB 的中点，点Q 在面对角线DC 上运动时，探究PQ 的最小值．17．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X （单位： t ，100150)X ）表示下一个销售季度内的市场需求量，T （单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量[100X ∈，110），则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[100，110)的频率），求T 的分布列．18．为发展空间互联网，抢占6G 技术制高点，某企业计划加大对空间卫星网络研发的投入.据了解，该企业研发部原有100人，年人均投入()0a a >万元，现把研发部人员分成两类：技术人员和研发人员，其中技术人员有x 名（*x ∈N 且4575x ≤≤），调整后研发人员的年人均投入增加4x %，技术人员的年人均投入调整为275x a m ⎛⎫- ⎪⎝⎭万元. (1)要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前的100人的年总投入，则调整后的技术人员最多有多少人？(2)是否存在实数m 同时满足两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②调整后研发人员的年总投入始终不低于调整后技术人员的年总投入？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．某公司今年年初用81万元收购了一个项目，若该公司从第1年到第x （N x +∈且1x >）年花在该项目的其他费用（不包括收购费用）为()20x x +万元，该项目每年运行的总收入为50万元．(1)试问该项目运行到第几年开始盈利？(2)该项目运行若干年后，公司提出了两种方案：①当盈利总额最大时，以56万元的价格卖出；②当年平均盈利最大时，以92万元的价格卖出．假如要在这两种方案中选择一种，你会选择哪一种？请说明理由．20．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5％．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P （单位：毫克/升）与过滤时间t （单位：小时）之间的函数关系为0ekt P P -=⋅（k 为常数，0P 为原污染物总量）．若前4个小时废气中的污染物被过滤掉了80％，那么要能够按规定排放废气，还需要过滤n 小时，求正整数n 的最小值．21．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式.设年产量为x （0200x <，N x ∈）台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为11402y x =+万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为2264002080101y x x =+-万元.每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完.(1)写出年利润W （万元）关于年产量x （台）的关系式；(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？22．为进一步奏响“绿水青山就是金山银山”的主旋律，某旅游风景区以“绿水青山”为主题，特别制作了旅游纪念章，决定近期投放市场，根据市场调研情况，预计每枚该纪念章的市场价y （单位：元）与上市时间x （单位：天）的数据如下表：(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个恰当的函数描述每枚该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①(0)y ax b a =+≠，②()20y ax bx c a =++≠，③()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠，④(0)a y b a x=+≠； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低市场价；(3)利用你选取的函数，若存在()10,x ∈+∞，使得不等式()010f x k x -≤-成立，求实数k 的取值范围．四、多选题23．函数()()22x x af x a R =+∈的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．五、双空题24．某种病毒经30分钟可繁殖为原来的2倍,且已知病毒的繁殖规律为y=e kt (其中k 为常数;t 表示时间,单位:小时;y 表示病毒个数),则k=____,经过5小时,1个病毒能繁殖为____个.25．已知长为4，宽为3的矩形，若长增加x ，宽减少2x ，则面积最大，此时x ＝__________，面积S ＝__________.参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据题意求出付款441元时的实际标价，再求出一次性购买实际标价金额商品应付款即可.【详解】由题意得购物付款441元，实际标价为10441=4909元如果一次购买标价176+490=666元的商品应付款5000.9+1660.85=591.1元.故选：B.2．【答案】B【分析】设天王星和土星的公转时间为分别为T 和T '，距离太阳的平均距离为r 和r '，根据2323T r T r =''2r r '= 结合已知条件即可求解.【详解】设天王星的公转时间为T ，距离太阳的平均距离为r土星的公转时间为T '，距离太阳的平均距离为r '由题意知2r r '= 10753T d '= 所以323238T r r T r r ⎛⎫=== ⎪'''⎝⎭所以1075310753 2.82830409.484T d '==≈⨯=故选：B.3．【答案】B【分析】分别讨论0x ≥和0x <，利用二次函数的性质即可求单调递减区间.【详解】当0x ≥时()f x 210x -+≥解得11x -≤≤，又21y x =-+为开口向下的抛物线，对称轴为0x =，此时在区间()0,1单调递减当0x <时()f x == ()21y x =+为开口向上的抛物线，对称轴为1x =-，此时在(),1-∞-单调递减综上所述：函数()f x =(),1-∞-和()0,1.故选：B.4．【答案】A【分析】首先设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元，结合条件列式，根据0y >，求x 的取值范围，即可得到a 的取值范围.【详解】设每个涨价x 元，涨价后的利润与原利润之差为y 元则290,(10)(40020)1040020200a x y x x x x =+=+⋅--⨯=-+.要使商家利润有所增加，则必须使0y >，即2100x x -<，得010,9090100x x <<∴<+<，所以a 的取值为90100a <<.故选：A5．【答案】D【分析】设出平均增长率，并根据题意列出方程，进行求解【详解】设该市2018、2019这两年工业生产总值的年平均增长率为x ，则由题意得：()()()2111x p q +=++解得11x =，21x =因为20x <不合题意，舍去故选D ．6．【答案】A【分析】利用基本不等式求最值可得．【详解】依题意，0t >，所以11t +>所以()()()()()()221001100110010010164191012116121t t C t t t t t t t ++===≤==++++++++++ 当且仅当1611t t +=+，即t ＝3时等号成立，故由此可判断，若使被处理的污水中该药剂的浓度达到最大值，需经过3h ．故选：A ．7．【答案】D 【分析】结合表格所给数据以及函数的增长快慢确定正确选项.【详解】根据表格所给数据可知，函数的增长速度越来越慢A 选项，函数129y x =+增长速度不变，不符合题意. BC 选项，当3x ≥时，函数245y x x =-+、112410x y =⨯-增长越来越快，不符合题意. D 选项，当3x ≥时，函数3log 1y x =+的增长速度越来越慢，符合题意.故选：D8．【答案】A【解析】根据指数函数和幂函数的增长速度结合题意即可得结果.【详解】该植物生长蔓延的速度越来越快，而x y pa =(0p >，1a >)的增长速度越来越快 log a y m x =(0m >，1a >)和y nx α=(0n >，01α<<)的增长速度越来越慢故应选择x y pa =(0p >，1a >).故选：A.9．【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，分段求解即可.【详解】根据题意得x ≤1x2−1=8或188x x >⎧⎨=⎩ 解得3,x =-故选：B10．【答案】B【分析】结合图象，先判断奇偶性，然后根据x 趋近0时判断排除得选项.【详解】解：()e 1sin 2e 1x x f x x +=⋅-的定义域为()(),00,∞-+∞()()()e 1e 1sin 2sin 2e 1e 1x x x xf x x x f x --++-=⋅-=⋅=⎡⎤⎣⎦-- ()f x ∴是偶函数，排除A ，C . 又0x >且无限接近0时，101x x e e +>-且sin 20x >，∴此时()0f x >，排除D故选：B .11．【答案】2.5【分析】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，根据题意求出21C C ，再利用指数、对数的运算性质化简计算即可【详解】设提升前最大信息传递速率为1C ，提升后最大信息传递速率为2C ，则由题意可知()122log 111log 12C W W =+= ()222log 1499log 500C W W =+= 所以()()232322222222122222log 25log 500log 2log 523log 523 2.328.96 2.5log 12log 2log 32log 32 1.58 3.58log 23C W C W ⨯+++⨯====≈=≈+++⨯所以最大信息传递速率C 会提升到原来的2.5倍．故答案为：2.512．【答案】甲【分析】将3x =分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.【详解】对于甲：3x =时23110y =+=，对于乙：3x =时8y =因此用甲作为拟合模型较好．故答案为：甲13．【答案】5【分析】计算得出AB CD ==ABCD 的周长为y，可得出22y x =++()0,1t，可得出224y t =-++，利用二次函数的相关知识可求得y 的最大值.【详解】过点B 、C 分别作BE AD ⊥、CF AD ⊥垂足分别为E 、F则//BE CF ，//BC EF 且90BEF ∠=，所以，四边形BCFE 为矩形所以2EF BC x ==AB CD =，BAE CDF ∠=∠和90AEB DFC ∠=∠= 所以，Rt ABE Rt DCF ≅所以12AD EF AE DF x -===-，则OF OD DF x =-= CF =AB CD ∴===设梯形ABCD 的周长为y ，则2222y x x =++=++其中01x <<令()0,1t =，则21x t =-所以()2222212425y t t t ⎛=+-+=-++=-+ ⎝⎭所以，当t =y 取最大值，即max 5y =. 故答案为：5.【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．14．【答案】(1)15米；(2)当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米.【分析】（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-，根据“矩形花园的面积为300平方米”列一元二次方程，求解即可；（2）根据题意，可得(502)S x x =-，根据二次函数最值的求法求解即可．（1）设篱笆的一面AB 的长为 x 米，则(502)m BC x =-由题意得(502)300x x -=解得1215,10x x ==50225x -≤12.5x ∴≥15x ∴=所以，AB 的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米；（2）由题意得()()22502250212.5312.5,12.525S x x x x x x =-=-+=--+≤<12.5x ∴=时， S 取得最大值，此时312.5S =所以，当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．15．【答案】(1)400吨 (2)最小值800百元，最大值1400百元【分析】（1）求出平均处理成本的函数解析式，利用基本不等式求出最值；（2）利用二次函数单调性求解最值.（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为18002200y x x x =+-，显然[]400,600x ∈由基本不等式得：1800222200y x x x =+-≥= 当且仅当1800200x x =，即400x =时，等号成立故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低；（2）212800200y x x =-+ 对称轴220012200x -=-=⨯ 函数212800200y x x =-+在[400，600]单调递增当400x =时，则2min 14002400800800200y =⨯-⨯+= 当600x =时，则2max 160026008001400200y =⨯-⨯+= 答：该单位每月处理成本y 的最小值800百元，最大值1400百元.16．【答案】【分析】（1）根据空间直角坐标系写出各顶点的坐标，再由2PB AP =求得121,,33OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得到P 与M 的坐标，再利用两点距离公式求解即可；（2）由中点坐标公式求得111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再根据题意设点(,1,)Q a a ，最后利用两点间的距离公式与一元二次函数配方法求PQ 的最小值.（1）所以()22211222131133333PM ⎛⎫⎛⎫=++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）因为点P 是面对角线AB 的中点，所以111,,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而点Q 在面对角线DC 上运动，故设点(,1,)Q a a[0,1]a ∈则(PQ a ===[0,1]a ∈所以当34a =时，PQ 取得最小值33,1,44Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 17．【答案】(1)80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧=⎨∈⎩(2)0.7(3)59400 【分析】（1）由题意先分段写出，当[100x ∈，130)和[130x ∈，150)时的利润值，利用分段函数写出即可；（2）由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150x ，再由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7，由此估计得出结论；（3）先求出利润与X 的关系，再利用直方图中的频率计算利润分布列，最后利用公式求其数学期望．（1）解：由题意得，当[100X ∈，130)时500300(130)80039000T X X X =--=-当[130X ∈，150]时50013065000T =⨯=80039000,[100,130)65000,[130,150]X X T X -∈⎧∴=⎨∈⎩（2）解：由（1）知，利润T 不少于57000元，当且仅当120150X ．由直方图知需求量[120X ∈，150]的频率为0.7所以下一个销售季度的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7；（3）解：由题意及（1）可得：所以T 的分布列为：18．【答案】(1)最多有75人 (2)存在 7m =【分析】（1）根据题目要求列出方程求解即可得到结果（2）根据题目要求①先求解出m 关于x 的取值范围，再根据x 的取值范围求得m 的取值范围，之后根据题目要求②列出不等式利用基本不等式求解出m 的取值范围，综上取交集即可（1）依题意可得调整后研发人员有()100x -人，年人均投入为()14%x a +万元则()()10014%100x x a a -+≥，解得075x ≤≤.又4575x ≤≤，*x ∈N 所以调整后的奇数人员最多有75人.（2）假设存在实数m 满足条件.由条件①，得225x a m a ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，得2125x m ≥+. 又4575x ≤≤，*x ∈N 所以当75x =时，2125x +取得最大值7，所以7m ≥. 由条件②，得()()210014%25x x x a a m x ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，不等式两边同除以ax 得1002112525x x m x ⎛⎫⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得100325x m x ≤++因为10033725x x ++≥=，当且仅当10025x x =，即50x =时等号成立，所以7m ≤. 综上，得7m =.故存在实数m 为7满足条件.19．【答案】(1)第4年 (2)选择方案②，理由见解析【分析】（1）设项目运行到第x 年的盈利为y 万元，可求得y 关于x 的函数关系式，解不等式0y >可得x 的取值范围，即可得出结论；（2）计算出两种方案获利，结合两种方案的用时可得出结论.（1）解：设项目运行到第x 年的盈利为y 万元则()25020813081=-+-=-+-y x x x x x由0y >，得230810x x -+<，解得327x <<所以该项目运行到第4年开始盈利．（2）解：方案①()22308115144=-+-=--+y x x x当15x =时，y 有最大值144．即项目运行到第15年，盈利最大，且此时公司的总盈利为14456200+=万元方案②818130303012y x x x x x ⎛⎫=-+-=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当81x x=，即9x =时，等号成立．即项目运行到第9年，年平均盈利最大，且此时公司的总盈利为12992200⨯+=万元.综上，两种方案获利相等，但方案②时间更短，所以选择方案②．20．【答案】10【分析】由题可得()400180%e k P P --=，求得ln 54k =，再由000.5%e kt P P -≥可求解. 【详解】由题意，前4个小时消除了80％的污染物因为0e kt P P -=⋅，所以()400180%ek P P --= 所以40.2e k -=，即4ln0.2ln5k -==-，所以ln 54k =则由000.5%e kt P P -≥，得ln 5ln 0.0054t ≥- 所以4ln 20013.2ln 5t ≥≈ 故正整数n 的最小值为14410-=．21．【答案】(1)2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.【分析】（1）根据题意，分段表示出函数模型，即可求解；（2）根据题意，结合一元二次函数以及均值不等式，即可求解.（1）当070x <<，*N x ∈时 211100406006060022W x x x x x ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭；当70200x ≤≤，*N x ∈时26400208064001001016001480W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴.2**160600,070,N 264001480,70200,N x x x x W x x x x ⎧-+-<<∈⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）①当070x <<，*N x ∈时 221160600(60)120022W x x x =-+-=--+ ∴当60x =时，y 取得最大值，最大值为1200万元.②当70200x ≤≤，*N x ∈时6400148014801320W x x ⎛⎫=-+≤- ⎪⎝⎭ 当且仅当6400x x =，即80x =时，y 取得最大值1320∵13201200>∴当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元.22．【答案】(1)选择()20y ax bx c a =++≠，理由见解析(2)当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元(3)k ≥【分析】(1)由表格数据分析变量x 与变量y 的关系，由此选择对应的函数关系；(2)由已知数据求出函数解析式，再结合函数性质求其最值；(3)不等式可化为()17010210x k x -+≤-，由条件可得()min 17010210x k x ⎡⎤-+≤⎢⎥-⎣⎦，利用函数的单调性求()17010210y x x =-+-的最小值，由此可得k 的取值范围．（1）由题表知，随着时间x 的增大，y 的值随x 的增大，先减小后增大，而所给的函数(0)y ax b a =+≠ ()log 0,0,1b y a x a b b =≠>≠和(0)a y b a x =+≠在(0,)+∞上显然都是单调函数，不满足题意，故选择()20y ax bx c a =++≠．（2）得42102,36678,40020120,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩∴当10x =时，y 有最小值，且min 70y =．故当该纪念章上市10天时，市场价最低，最低市场价为每枚70元．（3）令()()()1701010210f x g x x x x ==-+--(10,)x ∞∈+因为存在()10,x ∈+∞，使得不等式()0g x k -≤成立则()min k g x ≥．又()()17010210g x x x =-+-在(10,10+上单调递减，在()10++∞上单调递增 ∴当10x =+()g x取得最小值，且最小值为(10g +=∴k ≥23．【答案】ABD【解析】根据函数解析式的形式，以及图象的特征，合理给a 赋值，判断选项.【详解】当0a =时()2x f x =，图象A 满足；满足；图象C 过点()0,1，此时0a =，故C 不成立.故选：ABD【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.24．【答案】2ln2 1024【详解】当t=0.5时,y=2,∴2=12e k ,∴k=2ln 2,∴y=e 2t ln 2 当t=5时,y=e 10ln 2=210=1 024.25．【答案】1 1212【详解】S ＝(4＋x) 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－22x ＋x ＋12＝－12 (x 2－2x)＋12＝－12 (x －1)2＋252. 当x ＝1时，S max ＝252,故填1和252.。

人教版A版(2019)高中数学必修第一册：第四章指数函数与对数函数综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第四章综合测试
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合 M = x | x ＜3 ， N = x | log3 x＜1 ，则 M N 等于（）
A.
B.x | 0＜x＜3
在
R
上有最大值，则
a
的
取值范围为（）
A.
−
2 2
,
−
1 2
B.
−1,
−
1 2
C.
−
2 2
,
−
1 2
D.
−
2 2
,
0
0,
1 2
11.某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司 2015 年全年投入研发资金 130 万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加 12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过 200 万元的年份是（参考数据： lg1.12 0.05,lg1.3 0.11,lg 2 0.30 ）（）
【解析】 Q f (x) = log2 (ax −1) 在 (−3, −2) 上为减函数，
a＜0 且 ax −1＞0 在 (−3, −2) 上恒成立，−2a −1≥0 ，
a≤ − 1 . 2
又
g(
x)
在
R
上有最大值，且
g
(x)
在
−,
1 2
上单调递增，
g
(
x)
在
1 2
,
+
上单调递减，且
log
，当
log z
x
=

2020-2021学年高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》测试卷及答案解析

③b＞a＞1
④0＜a＜b＜1
⑤a＝b
其中不可能成立的关系有（）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【解答】解：∵实数 a，b 满足 th a th b，
hh 即
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ
hh
，∴
h
h
hᵎ ；
h
h 对于①，当 a＝3，b＝2 时， h
h h ，即 th 3
th 2，∴①不成立；
对于②，当 a ，b 时， th
∴
；
使
∴使
使
使
x＝y＝3 时取等号．
故选：B．
使使
使
，当且仅当
，即
使
6．已知 3m＝2n＝k 且
，则 k 的值为（）
A．15
B．
C．
【解答】解：∵3m＝2n＝k，∴m＝log3k，n＝log2k，
D．6
∴
th
th
th
th logk6＝2，
∴k2＝6，∴
，
故选：C．
7．设 a＝30.7，b＝（）﹣0.8，c＝log0.70.8，则 a，b，c 的大小关系为（）
第6页共9页
∴ thh
，
∴f（6t）﹣f（3t）＝loga6t﹣loga3t＝loga2 ．
故答案为：．四．解答题（共 6 小题）
14．（1）计算： ୠ
⺁
ୠ；
（2）已知 x+x﹣1＝4，求 x2﹣x﹣2 的值．
【解答】解：（1） ୠ
⺁
ୠ
ୠ
⺁
；
ୠ
（2）由 x+x﹣1＝4，两边平方并整理得 x2+x﹣2＝14，

新人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数单元测试

8．函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，4]C ．[－2,4]D ．(－4,4]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列计算正确的是( )A .12(－3)4＝3－3 B ．2213log －＝23C .39＝33 D ．log 3(－4)2＝4log 3210．对于函数f(x)定义域内的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)，当f(x)＝lg x 时，下述结论中正确的是( )A ．f(0)＝1B ．f(x 1＋x 2)＝f(x 1)·f(x 2)C ．f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)D .f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>011．下列函数中，能用二分法求函数零点的有( ) A ．f(x)＝3x －1 B ．f(x)＝x 2－2x ＋1 C ．f(x)＝log 4x D ．f(x)＝e x －2 12．下列说法正确的是( )A ．函数f(x)＝1x 在定义域上是减函数 B ．函数f(x)＝2x －x 2有且只有两个零点 C ．函数y ＝2|x|的最小值是1D ．在同一坐标系中函数y ＝2x 与y ＝2－x 的图象关于y 轴对称三、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x 1＝3，则下一个有根区间是________．14．已知函数f(x)＝log 6(x ＋1)，则f(1)＋f(2)＝________，f(x)>0的解集为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．已知函数f(x)＝log a (－x ＋1)(a>0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．若函数g(x)＝a x ＋m －3的图象不经过第一象限，则m 的取值范围为________．第四章单元测试卷1．解析：易知函数y＝2－x，y＝log12x，y＝1x在区间(0，＋∞)上单调递减，函数y ＝x 12在区间(0，＋∞)上单调递增．故选A.答案：A2．解析：f (1)＝ln 2－2＝ln 2e 2<ln 1＝0，f (2)＝ln 3－1＝ln 3e >ln 1＝0，所以函数f (x )＝ln (x ＋1)－2x 的零点所在的大致区间是(1,2)．答案：A3．解析：集合M 表示函数y ＝2x 的值域，为(0，＋∞)；集合P 表示函数y ＝log 2x －13x －2的定义域，则⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得x >23且x ≠1，故选D.答案：D4．解析：易知f (x )的定义域为R ，关于原点对称．∵f (－x )＝4－x ＋12－x ＝1＋4x2x ＝f (x )，∴f (x )是偶函数，其图象关于y轴对称．答案：D 5．解析：∵c ＝0.30.2<0.30＝1，a ＝log 27>log 24＝2,11，1－log 2x ≤2⇔0≤x ≤1，或x >1，故选D.答案：D7．解析：当0<a <1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递增，函数y ＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递减，D 选项符合；当a >1时，函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)且单调递增，则函数y ＝1a x 的图象过定点(0,1)且单调递减，函数y ＝log a⎝⎛⎭⎪⎫x ＋12的图象过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0且单调递增，各选项均不符合，综上，选D.答案：D8．解析：因为f (x )在[2，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2－ax ＋3a在[2，＋∞)上单调递增且恒为正，所以⎩⎨⎧a 2≤2，22－2a ＋3a >0，即－4<a ≤4，故选D.答案：D9．解析：12(－3)4＝1234＝33，A 错误；221log 3－＝22log 23＝23，B正确；39＝＝33，C 正确；log 3(－4)2＝log 316＝log 324＝4log 32，D 正确．故选BCD.答案：BCD10．解析：对于A ，函数的定义域为(0，＋∞)，故f (0)无意义，∴A 错误；对于B ，当x 1＝1，x 2＝1时，f (x 1＋x 2)＝f (2)＝lg 10，f (x 1)·f (x 2)＝lg 1·lg 1＝0，∴B 错误；对于C ，f (x 1·x 2)＝lg(x 1·x 2)＝lg x 1＋lg x 2＝f (x 1)＋f (x 2)，∴C 正确；对于D ，f (x )＝lg x 在(0，＋∞)单调递增，则对任意的0<x 1<x 2，都有f (x 1)<f (x 2)即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0；∴D 正确．故选CD.答案：CD11．解析：f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，f (1)＝0，当x <1时，f (x )>0；当x >1时，f (x )>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，其余选项中在函数的零点两侧函数值异号．故选ACD.答案：ACD12．解析：对于A ，f (x )＝1x 在定义域上不具有单调性，故命题错误；对于B ，函数f (x )＝2x －x 2有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；对于C ，∵|x |≥0，∴2|x |≥20＝1，∴函数y ＝2|x |的最小值是1，故命题正确；对于D ，在同一坐标系中，函数y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，命题正确．故选CD. 答案：CD13．解析：设f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)<0，f (3)>0，f (4)>0，有f (2)f (3)<0，则下一个有根区间是(2,3)．答案：(2,3)14．解析：∵f (x )＝log 6(x ＋1)，则f (1)＋f (2)＝log 62＋log 63＝log 66＝1.由f (x )>0可得log 6(x ＋1)>0，∴x ＋1>1，∴{x |x >0}．故答案为：1；(0，＋∞)．答案：1 (0，＋∞)15．解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a >0且a ≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a >1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递减， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝0，f (0)＝log a 1＝－1，无解；当0<a <1时，f (x )＝log a (－x ＋1)单调递增， ∴⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝log a 3＝－1，f (0)＝log a 1＝0，解得a ＝13. ∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即m 的取值范围是[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞) 16．解析：因为要使f (x )＝lg(2x －b )在x ∈[1，＋∞)时，恒有f (x )≥0，所以有2x －b ≥1在x ∈[1，＋∞)时恒成立，即2x ≥b ＋1在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又因为指数函数g (x )＝2x 在定义域上是增函数．所以只要2≥b ＋1成立即可，解得b ≤1.答案：(－∞，1]17．解析：(1)原式＝(－1)2-3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3382-3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15001-2－105－2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2782-3＋(500)12－10(5＋2)＋1 ＝49＋105－105－20＋1＝－1679.(2)原式＝log 331-4＋lg 100＋2＝－14＋2＋2＝154. 18．解析：(1)∵函数f (x )的图象过点(2,1)， ∴f (2)＝1，即log a 2＝1，解得a ＝2，因此，f (x )＝log 2x (x >0)． (2)f (m 2－m )＝log 2(m 2－m )， ∵f (m 2－m )<1且1＝log 22， ∴log 2(m 2－m )<log 22，该不等式等价为：⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m >0，m 2－m <2，解得－1<m <0或1<m <2，∴实数m 的取值范围为(－1,0)∪(1,2)．19．解析：(1)令t ＝a x>0，∵x ∈[－1,1]，a >1，∴a x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ， f (x )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2，故当t ＝a 时，函数y 取得最大值为a 2＋2a －1＝14，求得a ＝3(舍负)，∴f (x )＝32x ＋2×3x －1.(2)由f (x )＝7，可得32x ＋2×3x －1＝7，即(3x ＋4)(3x －2)＝0，求得3x ＝2，∴x ＝log 32.20．解析：(1)由于保鲜时间与储藏温度之间的函数关系是y ＝t ·a x (a >0，且a ≠1)，由题意可得：⎩⎪⎨⎪⎧200＝t ·a 0，160＝t ·a 1，解得⎩⎨⎧t ＝200，a ＝45，故函数解析式为y ＝200×⎝ ⎛⎭⎪⎫45x .(2)当x ＝2 ℃时，y ＝200×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝128(h)．当x ＝3 ℃时，y ＝200×⎝ ⎛⎭⎪⎫453＝102.4(h)．故温度在2 ℃和3 ℃的保鲜时间分别为128 h 和102.4 h.21．解析：(1)因为函数t ＝log 12x 在[2,4]上是减函数，所以t max＝log 122＝－1，t min ＝log 124＝－2.(2)令t ＝log 12x ，x ∈[2,4]，则g (t )＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，由(1)得t ∈[－2，－1]，因此当t ＝－2，即x ＝4时，f (x )max ＝12；当t ＝－1，即x ＝2时，f (x )min ＝7.因此，函数f (x )的值域为[7,12]．22．解析：(1)因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，得b ＝1. 又f (－1)＝－f (1)，得a ＝1. 经检验a ＝1，b ＝1符合题意．(2)证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1－2x 12x 1＋1－1－2x 22x 2＋1＝(1－2x 1)(2x 2＋1)－(1－2x 2)(2x 1＋1)(2x 1＋1)(2x 2＋1)＝2(2x 2－2x 1)(2x 1＋1)(2x 2＋1). 因为x 1<x 2，所以2x 2－2x 1>0. 又因为(2x 1＋1)(2x 2＋1)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )为R 上的减函数．(3)因为t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，所以f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )．因为f (x )为奇函数，所以f (t 2－2t )<f (k －2t 2)．因为f (x )为R 上的减函数，所以t 2－2t >k －2t 2，即k <3t 2－2t 恒成立，而3t 2－2t ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132－13≥－13. 所以k <－13.。

人教A版(2019)高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》检测卷(含答案)

人教A 版（2019）高中数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》检测卷一、单选题（本题有12小题，每小题5分，共60分）1．设函数21,1,()ln ,1,x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩则 ((e))f f =（）A ．1B ．2C ．3D ．()2ln e 1+2．下列函数中，值域为[0,)+∞的是（） A ．2x y =B ．12y x =C ．ln y x =D ．3y x =3．已知函数()2ln ,0,1,0x a x f x x x ⎧+>=⎨-+≤⎩的值域为R ，且1a ≥，若关于x 的方程()()()2220f x m f x m -++=有三个不同的实数根，则m 的取值范围为（）A ．(),1-∞B ．(),e -∞C ．[]0,1D ．[]0,e4．函数(2)ln |3|()|2|x x f x x --=-的图象向左平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，则()g x 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．定义域为R 的函数2log 4,4()1,4x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则所有实数1x ，2x ，3x ，4x ，5x 之和为（） A ．12B ．16C ．20D ．246．若函数()y f x =与3x y -=的图象关于直线y x =对称，则函数2(4)y f x x =-的增区间（） A ．(2,4)B ．(0,2)C ．(,2)-∞D ．(2,)+∞7．已知3()2log f x x =+，[]1,9x ∈，则()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的值域为（）A ．[]6,23B ．[]6,13C ．[]4,11D ．[]4,208．若01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则x ，y ，z 大小关系正确的是（） A ．x y z << B ．y x z << C ．z x y <<D ．z y x <<9．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为 y ＝ae －bt (cm 3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过（）min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一 A ．24B ．12C ．18D ．1610．已知函数()22()log 21f x ax ax =-+定义域为R ，则a 的取值范围是（） A ．(],0-∞B ．()0,1C ．[)0,1D ．()1,+∞11．已知22,32a b a b +=+=，则lg b a 与lg a b 的大小关系是（） A ．lg lg b a a b D ．不确定12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()34x f x x a =-+，则()1f -=（）A ．1B ．43C ．53D ．2二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分）13．函数()f x 的定义域为________.14．已知函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，且1()()2x f x g x ++=，则()f x =________.15．设函数2log (1),1()1,1x x f x x +≥⎧=⎨<⎩，若(1)(2)f x f x +>，则x 的取值范围为________．16．已知函数()f x 是R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于1x =对称，当[0,1]x ∈时，()21x f x =-，计算(0)(1)(2)(3)(2021)f f f f f +++++＝________．三、解答题（本题有6小题，共70分）17．（10分）计算：（1）已知lg 2,lg3a b ==，试用,a b 表示lg18；（2）2(lg2)lg5lg20+⨯．18．（12分）已知函数()f x 满足：22(log )(0)1x f x x x +=>+ （1）求(0)f 的值，并求函数()f x 的解析式；（2）判断并用定义证明函数()f x 的单调性．19．（12分）已知函数()2()2xx f x mx R =+∈为奇函数．（1）求m 的值；（2）求函数()()44x x g x f x -=--，[0x ∈，1]的值域．20．（12分）已知函数1()(,)2x af x b a b R -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭的图象过点(1,0)与点(0,1).（1）求a ，b 的值；（2）若()44x g x -=-，且()()f x g x =，满足条件的x 的值.21．（12分）已知函数()()2ln 21f x ax x =-+.（1）若3a =-，求函数()f x 的定义域；（2）若函数()f x 在区间()2,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）若函数()1g x =若对任意的1x R ∈，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立，求实数a 的取值范围．22．（12分）已知函数()()21log 4122x xf x k k k ⎡⎤=⋅--⋅++⎢⎥⎣⎦．（1）当0k =时，求函数的值域；（2）已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ．当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值城为[]1,1a b ++，求实数k 的取值范围．参考答案1．B根据自变量对应解析式，代入求值即可. 【详解】因为()ln 1f e e ==，所以2 ((e))(1)112f f f ==+=. 故选: B 2．B 【分析】由题意利用基本初等函数的定义域和值域，得出结论. 【详解】解：由于2x y =的定义域为R ，值域为(0,)+∞，故A 不满足条件；由于12y x =[0,)+∞，值域为[0,)+∞，故B 满足条件；由于ln y x =的定义域为(0,)+∞，值域为R ，故C 不满足条件；由于3y x =的定义域为R ，值域为R ，故D 不满足条件，故选：B. 3．A 【分析】函数2ln 0()10x a x f x x x ⎧+>=⎨-+≤⎩，，，的值域要为R ，则1a ≤，又1a ≥，故1a =，画出函数()f x 图象，利用数形结合的方法即可求解【详解】根据该分段函数的图象，函数2ln 0()10x a x f x x x ⎧+>=⎨-+≤⎩，，，的值域要为R ，则1a ≤，但1a ≥，1a，当1a =时，函数()f x 图象如图2所示：关于x 的方程2()(2)()20f x m f x m -++=有三个不同的实数根，即(())(()2)0f x m f x --=有三个不相等的实数根，由图象可知()2f x =有两个实数根，则()f x m =有一个实数根， 1m ∴<，4．D 【分析】根据题意求出()g x 的解析式，分析区间(1,0)-和(0,1)上()g x 的符号，利用排除法，即可求解. 【详解】由题意，函数(2)ln |3|()|2|x x f x x --=-的图象向左平移2个单位长度得到函数()g x 的图象，可得()ln 1x x g x x-=，在区间(0,1)上，可得011x <-<，则有ln 10x -<，必有()0g x <，排除A 、C 项；在区间(1,0)-上，11x ->，则有ln 10x ->，必有()0g x <，排除B 项，所以只有D 项符合. 故选：D. 5．C 【分析】设()t f x =，作出函数()f x 的图象，根据关于x 的方程()()20f x mf x n ++=恰有5个不同的实数解，得到t 的取值情况，结合图象利用对称性，即可求出结论．【详解】设()t f x =，则关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=等价为20t mt n ++=，作出()f x 的图象如图：由图象可知当1t =时，方程()1f x =有三个根，当1t ≠时方程()f x t =有两个不同的实根，∴若关于x 的方程2()()0f x mf x n ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则等价为20t mt n ++=有两个根，一个根1t =，另外一个根1t ≠，不妨设12345x x x x x <<<<，对应的两个根1x 与5x ，2x 与4x 分别关于4x =对称，则34x =，则158x x +=，且248x x +=，则1234520x x x x x ++++=，故选：C ．6．A 【分析】根据题意，函数()y f x =与3x y -=互为反函数，从而求得函数()y f x =的解析式，可得函数2(4)y f x x =-的表达式，从而求得增区间.【详解】解：函数()y f x =与3x y -=的图象关于直线y x =对称，可知：他们互为反函数，313()log y f x x log x∴==-=那么：2213(4)(4)f x x log x x -=-，令24t x x =- 0t >04x ∴<<．()f x 在其定义域内是单调减函数，而24t x x =-在(0,2)上单调递增，在(2,4)单调递减．则复合函数函数2(4)y f x x =-的增区间为(2,4)．故选：A ． 7．B 【分析】首先求出()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域，令2log t x =，再根据二次函数的性质求出函数的值域. 【详解】因为3()2log f x x =+，[]1,9x ∈，所以()()22y f x f x =+⎡⎤⎣⎦的定义域为21919x x ⎧⎨⎩，解得13x ，所以该函数的定义域为[]1,3；所以30log 1x ，所以()()()()()222223332log 2log log 33y f x f x x x x =+=+++=+-⎡⎤⎣⎦3log t x =()01t ，所以()233y t =+-()01t ，当0t =时，6y =，当1t =时，13y =，所以613y ；所以函数y 的值域是[]6,13．故选：B ． 8．A 【分析】利用指，对，幂函数的性质，以及和特殊值1比较大小，判断选项. 【详解】01a b <<<；01b a a a a b b ∴<<<=，log log 1b b a b >=；x y z ∴<<．故选：A ．9．D 【分析】依题意有812b a e a -⨯⋅=，则812b e -⨯=，再由18bt a e a -⋅=求得t ，减去8即得答案．【详解】当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝ae －8b ＝12a ， ∴e －8b ＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝bt ae -＝18a ，所以bt e -＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min ．故选：D. 10．C 【分析】将问题转化为2210ax ax -+>恒成立，讨论二次项系数即可求解. 【详解】由题意知2210ax ax -+> 恒成立，当0a =时，2211ax ax -+=满足条件，当0a ≠时，应有0a >，且二次函数221y ax ax =-+的判别式小于0，即2440a a -<且0a >，解得01a <<，a ∴的取值范围是[)0,1，故选：C ． 11．C 【分析】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，结合题意可知01b a <<<，进而有b b a a b b >>，再利用对数函数的单调性和运算性质即可求解【详解】令()()2,3x xf x xg x x =+=+，则当0x >时，()()g x f x >，当0x <时，()()g x f x <；由22,32a b a b +=+=，得()()2,2f a g b == 考虑到()()2f a g b ==得01b a <<<， b b a a b b ∴>>由b a a b >，得()()lg lg baa b >，即lg lg b a a b > 故选：C 12．D 【分析】由(0)0f =求得a ，再根据奇偶性的定义求值．【详解】()f x 是奇函数，则(0)10f a =+=，1a =-，即()341x f x x =--，1(1)(1)(341)2f f -=-=---=．故选：D ． 13．()(]0,11,2【分析】根据函数的解析式，求出使函数有意义的x 的范围，即为所求. 【详解】解：对于函数()f x 220lg 0x x x ⎧-++≥⎨≠⎩即1201x x x -≤≤⎧⎨>≠⎩且，求得01x <<或12x <≤，故答案为：()(]0,11,2.14．22x x -+ 【分析】根据奇偶性构造方程组11()()2()()2x x f x g x f x g x +-+⎧+=⎨-=⎩，解方程组即可求出结果.【详解】由题意知1()()2x f x g x -+-+-=，因为函数()f x 为R 上的偶函数，()g x 为R 上的奇函数，所以()(),()()f x f x g x g x -=-=-，所以1()()2x f x g x -+-=，因此11()()2()()2x x f x g x f x g x +-+⎧+=⎨-=⎩，两式相加得11()222x x f x +-++=，即()22x x f x -=+. 故答案为：22x x -+ 15．()0,1 【分析】根据分段函数的单调性转化求解．【详解】1x >时，2log (1)1x +>，且2log (1)y x =+是增函数，所以1112x x x +>⎧⎨+>⎩，解得01x <<．故答案为：(0,1)． 16．1 【分析】利用奇函数及其对称轴求()f x 的周期，并由奇函数求10x -≤<上的解析式，进而求得(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====-=-，应用周期性求值即可. 【详解】由题意，()()f x f x -=-且(2)()f x f x -=，∴()(2)()(2)(2)f x f x f x f x f x -=+=-=--=-，即()(4)f x f x =+， ∴()f x 是周期为4的函数.令10x -≤<，则01x <-≤，而[0,1]x ∈时()21x f x =-，∴1()()(21)12xxf x f x -=--=--=-， ∴(0)(2)0,(1)1,(3)(1)1f f f f f ====-=-，即(0)(1)(2)(3)0f f f f +++=，而(0)(1)(2)(3)(2021)505[(0)(1)(2)(3)]f f f f f f f f f +++++=⨯+++(5054)f +⨯(50541)f +⨯+(0)(1)1f f =+=. 故答案为：117．（1）2+a b ；（2）1.【分析】（1）利用对数的运算性质即可求解. （2）利用对数的运算性质即可求解. 【详解】（1）由lg 2,lg3a b ==，则()2lg18lg 29lg2lg9lg2lg3lg22lg32a b =⨯=+=+=+=+.（2）2(lg2)lg5lg20+⨯()2(lg2)lg5lg 45=+⨯⨯()2(lg2)lg5lg4lg5⨯=++ ()2(lg2)lg52lg2lg5⨯=++()22(lg 2)lg 52lg 2lg 5⨯=++ ()2lg 2lg 51=+=18．（1）322(0),()221x x f f x +==+；（2）单调递减，证明见解析. 【分析】（1）直接代入求出(0)f ，用换元法求函数()f x 的解析式；（2）先判断函数22()21x x f x +=+在R 上单调递减，再用定义法进行证明.【详解】解：（1）函数()f x 满足：22(log )(0)1x f x x x +=>+ 2123(0)(log 1)112f f +∴===+．设2log x t =，则2t x =，22()21t t f t +∴=+，∴322(0),()221x x f f x +==+．（2）函数22()21x x f x +=+在R 上单调递减证明：221()12121x x x f x +==+++，在R 内任取1x ，2x ，且12x x <，211212121122()()2121(21)(21)x x x x x x f x f x --=-=++++，12x x <，∴21220x x ->，12(21)(21)0x x ++>，12()()0f x f x ∴->，221()12121x x x f x +∴==+++在R 上是单调递减函数．19．（1）1m =-；（2）11[4-，7]4-．【分析】（1）由函数的奇偶性的定义可得()()0f x f x +-=恒成立，代入可求得答案．（2）由（1）知函数1()22xxf x =-，得出函数()f x 在[0x ∈，1]上的单调性和值域，令()t f x =，得217()()24g x t =---，再由二次函数的性质可求得函数()g x 的值域．【详解】解：（1）因为函数()2()2xxf x mx R =+∈为奇函数，所以()()0f x f x +-=恒成立．又1()()22(1)(2)222x x x x x x m m f x f x m --+-=+++=++，因为1202xx+>，所以10m +=，1m =-．当1m =-时，函数1()22xx f x =-，满足11()()22022x x x x f x f x --+-=-+-=，故1m =-；（2）由（1）知函数1()22xx f x =-，所以函数()f x 在[0x ∈，1]上为增函数，所以可得()[0f x ∈，3]2．令()t f x =，则[0t ∈，3]2．且2442x x t -+=+，所以22217()(2)2()24y g x t t t t t ==-+=-+-=---，因为217()()24y g x t ==---在[0，1]2上单调递增，在1[2，3]2上单调递减，所以当12t =时，函数的最大值为74-，当32t =时，函数的最小值为114-，所以可得()()44x x g x f x -=--，[0x ∈，1]的值域为11[4-，7]4-． 20．（1）1a =，1b =；（2）2log 3x =-. 【分析】(1)由给定条件列出关于a ，b 的方程组，解之即得； (2)由(1)的结论列出指数方程，借助换元法即可作答. 【详解】（1）由题意可得111()0()201221122()1()122a aaa ab b b b b ----⎧⎧-=-=⎪⎪=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=⎩⎪⎪-=-=⎪⎪⎩⎩，解得1a =，1b =，（2）由（1）可得1()21x f x -=-，而()44x g x -=-，且()()f x g x =，于是有12144x x ---=-，设2x t -=，0t >，从而得2230t t --=，解得3t =，即23x -=，解得2log 3x =-，所以满足条件的2log 3x =-.21．（1）11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）(],1-∞.【分析】（1）解不等式23210x x --+>即可得出函数()f x 的定义域；（2）分析可知，对任意的2x ≥，2210ax x -+≥，利用参变量分离法求得34a ≥，利用复合函数法可知内层函数221u ax x =-+在()2,+∞上为增函数，求出a 的取值范围，综合可得出结果；（3）求出函数()g x 的值域，由题意可知，函数()g x 的值域为函数()f x 的值域为子集，可知函数221u ax x =-+的值域包含(]0,1，对实数a 的符号进行分类讨论，可得出关于实数a 的不等式，综合可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当3a =-时，()()2ln 321f x x x =--+，解不等式23210x x --+>，即23210x x +-<，解得113x -<<，故当3a =-时，函数()f x 的定义域为11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意可知，对任意的2x >，2210ax x -+>，等价于对任意的2x ≥，2210ax x -+≥，可得212a x x≥-+， 2x ≥，则1102x <≤，故221213114x x x ⎛⎫-+=--+≤ ⎪⎝⎭，故34a ≥，因为函数()()2ln 21f x ax x =-+在区间()2,+∞上为增函数，设221u ax x =-+，由于外层函数ln y u =为增函数，故内层函数221u ax x =-+在()2,+∞上为增函数，所以，12a≤，解得0a <或12a ≥，因为34a ≥，故34a ≥，因此，实数a 的取值范围是3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（3）211x +≥，则()10g x =，即函数()g x 的值域为(],0-∞，对任意的1x R ∈，都存在实数2x ，使得()()12g x f x =成立，则函数()g x 的值域为函数()f x 的值域的子集，故函数221u ax x =-+的值域包含(]0,1.①当0a =时，函数12u x =-的值域为R ，合乎题意；②当0a >时，函数221u ax x =-+的值域为1,a a -⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，因为(]10,1,a a -⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，可得10a a -≤，解得01a <≤； ③当0a <时，函数221u ax x =-+的值域为1,a a -⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，因为(]10,1,a a -⎛⎤⊆-∞ ⎥⎝⎦，可得11a a -≥，解得0a <. 综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.22．（1）()1,-+∞；（2）12⎛ ⎝⎭.【分析】（1）当0k =时，()21log 22x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，先求出122x +的范围，从而可求出()f x 的范围；（2）当01k <<时，设()21x t t =>，设()()2112m t k t k t k =⋅--++，则由二次函数的性质和对数函数的性质可得即()f x 为增函数，所以将问题转化为()21log 41212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个不等的正实根，进一步转化为()21102k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的不等实根，则由一元二次方程根的分布情况列不等式组可求得答案【详解】解：（1）0k =时，()21log 22x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 因为11222x+>，所以()2211log 2log 122x f x ⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，所以此时()f x 的值域是()1,-+∞．（2）当01k <<时，设()21x t t =>，设()()2112m t k t k t k =⋅--++，对称轴102k t k-=<，所以当1t >时，()m t 为增函数，即()f x 为增函数．所以函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[]1,1a b ++，（0a >，0b >）等价于()21log 41212x x k k k x ⎡⎤⋅--++=+⎢⎥⎣⎦有两个不等的正实根．即()1141222x x x k k k +⋅--++=，设()21x t t =>，所以()21122k t k t k t ⋅--++=，即()21102k t k t k ⋅-+++=有两个大于1的不等实根．所以()()221140211211110201k k k k k k k k k ⎧⎛⎫∆=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+⎪>⎨⎪⎪⨯-+⨯++>⎪⎪<<⎩解得12k <<所以实数k的取值范围是：12⎛ ⎝⎭．。

人教A版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷含答案解析(21)

人教A 版高一数学必修第一册第四章《指数函数与对数函数》单元练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1. 设 f (x ) 是定义在 R 上的周期函数，周期 T =4，对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，且当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，若在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实根，则 a 的取值范围是 ( ) A ． (1,2)B ． (2,+∞)C ． (1,√43)D ． (√43,2)2. 已知 log x 3=3，log y 7=6，z =717，则实数 x ，y ，z 的大小关系是 ( ) A ． x <z <y B ． z <x <y C ． x <y <z D ． z <y <x3. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：①f (x )+f (2−x )=0；②f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos (π2x),x ∈(0,1]；则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( ) A ． 5B ． 6C ． 7D ． 84. 在同一坐标系中函数 y =2−x 与 y =log 2x 的图象是 ( )A ．B ．C ．D ．5. 设 a 是函数 f (x )=2x −log 12x 的零点，若 x 0>a ，则 f (x 0) 满足 ( )A ． f (x 0)=0B ． f (x 0)>0C ． f (x 0)<0D ．以上都有可能6. 在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况：一种是即时价格曲线 y =f (x )，另一种是平均价格曲线 y =g (x )，如 f (2)=3 表示股票开始买卖后 2 小时的即时价格为 3 元；g (2)=3 表示 2 小时内的平均价格为 3 元，下面给出了四个图象，实线表示 y =f (x )，虚线表示 y =g (x )，其中可能正确的是 ( )A ．B ．C ．D ．7. 已知偶函数 f (x ) 的定义域为 R ，对 ∀x ∈R ，f (x +2)=f (x )+f (1)，且当 x ∈[2,3] 时，f (x )=−2(x −3)2，若函数 F (x )=log a (∣x∣+1)−f (x )(a >0,a ≠1) 在 R 上恰有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ． (0,√55)B ． (√55,√33)C ． (√55,1)D ． (√33,1)8. 方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在区间 [−2,4] 上的根必定在 ( ) A ． [−2,1] 内 B ． [52,4] 内C ． [1,74] 内D ． [74,52] 内9. log 212 的值为 ( ) A ． √2B ． −√2C ． 1D ． −110. 若 log a b +3log b a =132，则用 a 表示 b 的式子为 ( )A ． b =a 6B ． b =√aC ． b =a 6 或 b =√aD ． b =a 6 且 b =√a二、填空题（共6题）11. 已知函数 f (x )={log 2x,x >04x ,x ≤0，若函数 g (x )=f (x )−k 存在两个零点，则实数 k 的取值范围是．12. 函数 f (x )=log a (x −2)+1(a >0,a ≠1) 的图象恒过定点 P ，则点 P 的坐标是．13. 若正数 a ，b 满足 log 2a =log 5b =lg (a +b )，则 1a +1b 的值为．14. 对于实数 a 和 b ，定义运算“∗”：a ∗b ={a (a −b )3,a ≤bb (b −a )3,a >b，设 f (x )=(2x–1)∗(x–1)，若函数 g (x )=f (x )−mx 2(m ∈R ) 恰有三个零点 x 1，x 2，x 3，则 m 的取值范围是；x 1x 2x 3 的取值范围是．15. 函数 f (x )=log a (x +2)+3（a >0，且 a ≠1）的图象恒过定点．16. 如果函数 y =lg (x 2−ax +1) 的值域为 R ，那么实数 a 的取值范围是．三、解答题（共6题）17. 某地区今年 1 月，2 月，3 月患某种传染病的人数分别为 52，54，58，为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 f (x )=ax 2+bx +c ，乙选择了模型 y =p ⋅q x +r ，其中 y 为患病人数，x 为月份数，a ，b ，c ，p ，q ，r 都是常数，结果 4 月，5 月，6 月份的患病人数分别为 66，82，115．(1) 你认为谁选择的模型较好？（需说明理由）(2) 至少要经过多少个月患该传染病的人数将会超过 2000 人？试用你认为比较好的模型解决上述问题．18. 若存在常数 k (k >0)，使得对定义域 D 内的任意 x 1，x 2(x 1≠x 2)，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，则称函数 f (x ) 在其定义域 D 上是“k − 利普希兹条件函数”． (1) 若函数 f (x )=√x (1≤x ≤4) 是“k − 利普希兹条件函数”，求常数 k 的取值范围； (2) 判断函数 f (x )=log 2x 是否是“2− 利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；(3) 若 y =f (x )(x ∈R ) 是周期为 2 的“1− 利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数 x 1，x 2，都有 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤1．19. 求下列函数的零点：(1) f (x )=−x 2−4x −4 (2) f (x )=(x−1)(x 2−4x+3)x−3(3) f (x )=2x +x −1 (4) f (x )=log 3(x +1)20. 零点存在定理一般地，如果函数 y =f (x ) 在区间 [a,b ] 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a )⋅f (b )<0，那么在区间 (a,b ) 内至少存在一个实数 c ，使得 f (c )=0，即 y =f (x ) 在 (a,b ) 上至少有一个零点．如何理解零点存在性？21. 计算：(1) (−78)0+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5．(2) lg25+lg2×lg50+(lg2)2．22. 已知 f (x )=log a (a x −1)（a >0 且 a ≠1）．(1) 求证：函数 y =f (x ) 的图象在 y 轴的一侧； (2) 求证：函数 y =f (x ) 在定义域上是增函数．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】因为对于任意 x ∈R 都有 f (−x )=f (x )，所以函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，因为在区间 (−2,6] 内关于 x 的方程 f (x )−log a (x +2)=0(a >1) 恰有 3 个不同的实数解，所以函数 y =f (x ) 与 y =log a (x +2) 在区间 (−2,6] 上有三个不同的交点，因为当 x ∈[−2,0] 时，f (x )=(12)x−1，故函数图象如图所示，又 f (−2)=f (2)=f (6)=3，则有 log a 4<3，且 log a 8>3，解得 √43<a <2．故 a 的取值范围是 (√43,2)．【知识点】函数的奇偶性、函数的周期性、函数的零点分布2. 【答案】D【解析】因为 log x 3=3，所以 x =313，同理可得：y =716=(√7)13，因为函数 y =7x为单调增函数，且 16>17，故 716>717，即 z >y ，因为函数 y =x 13为单调增函数，且 3>√7，所以 313>(√7)13，即 x >y ，所以综上，x >y >z ．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质3. 【答案】A【解析】由 ①f (x )+f (2−x )=0，可得 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 ②f (x −2)=f (−x )，可得 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称，作出 f (x ) 在 [−1,1] 的图象，再由对称性，作出 f (x ) 在 [−3,3] 的图象，作出函数 y =(12)∣x∣在 [−3,3] 的图象，由图象观察可得它们故有 5 个交点，即有函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 5．【知识点】函数的零点分布4. 【答案】A【解析】因为 y =2−x 为减函数，y =log 2x 在 (0,+∞) 上为增函数．【知识点】对数函数及其性质、指数函数及其性质5. 【答案】B【解析】画出 y =2x 与 y =log 12x 的图象（图略），可知当 x 0>a 时，2x 0>log 12x 0，故f (x 0)>0．【知识点】零点的存在性定理6. 【答案】C【知识点】函数模型的综合应用7. 【答案】B【解析】令 x =−1，则 f (1)=f (−1)+f (1)=2f (1)，所以 f (1)=0，所以 f (x +2)=f (x )，即函数的周期为 2．若 F (x )=f (x )−log a (∣x∣+1) 恰有 6 个零点，则 0<a <1，则 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 有 6 个不同的交点，因为 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 均为偶函数且 f (0)=f (2)=−2≠0=log a (∣x∣+1)，故 y =f (x ) 的图象与 y =log a (∣x∣+1) 在 (0,+∞) 上有三个不同的交点．画出函数 y =f (x ) 和 y =log a (∣x∣+1) 的图象如下图所示，由图可知： f (2)=−2=log a 3，得 a =√33，f (4)=−2=log a 5，得 a =√55， a ∈(√55,√33)．（或 {f (2)<log a 3,f (4)>log a 5即 {−2<log a 3,−2>log a 5, 故 a ∈(√55,√33)）【知识点】函数的零点分布8. 【答案】D【解析】令 f (x )=x 3−2x 2+3x −6，因为 f (−2)=−28<0，f (4)=38>0，且 f (−2+42)=f (1)=−4<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,4] 内．又 f (1+42)=f (52)=378>0，所以 f (x ) 的零点在区间 [1,52] 内．又 f (1+522)=f (74)=−9764<0，所以 f (x ) 的零点在区间 [74,52] 内，即方程 x 3−2x 2+3x −6=0 在 [−2,4] 上的根在 [74,52] 内．【知识点】零点的存在性定理9. 【答案】D【解析】 log 212=log 22−1=−1．【知识点】对数的概念与运算10. 【答案】C【解析】由 log a b +3log b a =132 得 log a b +3logab=132，即 2(log a b )2−13log a b +6=0，解得 log a b =6 或 log a b =12，所以 b =a 6 或 b =√a ．【知识点】对数的概念与运算二、填空题（共6题）11. 【答案】0<k≤1【解析】由g(x)=f(x)−k=0，得f(x)=k，令y=k与y=f(x)，作出函数y=k与y=f(x)图象如图：当x≤0时，0<f(x)≤1；当x>0时，f(x)∈R．所以要使函数g(x)=f(x)−k存在两个零点，则k∈(0,1]．【知识点】函数的零点分布12. 【答案】(3,1)【知识点】对数函数及其性质13. 【答案】1【解析】设log2a=log5b=lg(a+b)=k，所以a=2k，b=5k，a+b=10k，所以ab=10k，所以a+b=ab，则1a +1b=1．【知识点】对数函数及其性质14. 【答案】{14}；{0}【知识点】二次函数的性质与图像、函数的零点分布、分段函数15. 【答案】(−1,3)【解析】本题考查对数函数的图象．当x+2=1时，x=−1，f(−1)=log a(−1+2)+3=3，所以函数f(x)=log a(x+2)+3的图象恒过定点(−1,3)．【知识点】对数函数及其性质16. 【答案】(−∞,−2]∪[2,+∞)【解析】由题意知x2−ax+1应能取到大于0的一切实数，因此g(x)=x2−ax+1应与x轴有交点，所以Δ=a2−4≥0．【知识点】对数函数及其性质三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 由题意，把 x =1,2,3 代入 f (x ) 得：{a +b +c =52,4a +2b +c =54,9a +3b +c =58,解得 a =1，b =−1，c =52，所以 f (x )=x 2−x +52，所以 f (4)=42−4+52=64，f (5)=52−5+52=72，f (6)=62−6+52=82，则 ∣f (4)−66∣=2，∣f (5)−82∣=10，∣f (6)−115∣=33；把 x =1,2,3 代入 y =g (x )=p ⋅q x +r ，得：{pq +r =52,pq 2+r =54,pq 3+r =58,解得 p =1，q =2，r =50，所以 g (x )=2x +50，所以 g (4)=24+50=66，g (5)=25+50=82，g (6)=26+50=114，则 ∣g (4)−66∣=0，∣g (5)−82∣=0，∣g (6)−115∣=1．因为 g (4)，g (5)，g (6) 更接近真实值，所以应将 y =2x +50 作为模拟函数．(2) 令 2x +50>2000，解得 x >log 21950≈10.9，所以至少经过 11 个月患该传染病的人数将会超过 2000 人．【知识点】函数模型的综合应用18. 【答案】(1) 由题意得：对任意 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，都有 ∣∣√x 1−√x 2∣≤k∣∣x 1−x 2∣ 成立，所以 k ≥√x +√x ．因为 x 1,x 2∈[1,4]，x 1≠x 2，所以√x +√x <12，所以常数 k 的取值范围是 [12,+∞)．(2) 取 x 1=18，x 2=1，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=3，而 2∣∣x 1−x 2∣=74，所以 x 1=18，x 2=1 不满足 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≤2∣∣x 1−x 2∣，所以函数 f (x )=log 2x 不是“2− 利普希兹条件函数”．(3) 若 x 1,x 2∈[0,2]，①当 ∣x 1−x 2∣≤1 时，∣f (x 1)−f (x 2)∣≤∣x 1−x 2∣≤1， ②当 ∣x 1−x 2∣>1 时，设 0≤x 1<1<x 2≤2，则 ∣f (x 1)−f (x 2)∣=∣f (x 1)−f (0)+f (2)−f (x 2)∣≤∣f (x 1)−f (0)∣+∣f (2)−f (x 2)∣≤∣x 1∣+∣2−x 2∣=x 1+2−x 2<1.因此对任意x1,x2∈[0,2]，都有∣f(x1)−f(x2)∣≤1，因为y=f(x)(x∈R)周期为2，所以对任意x1,x2∈R，都存在p1,p2∈[0,2]，使f(x1)=f(p1)，f(x2)=f(p2)，所以∣f(x1)−f(x2)∣=∣f(p1)−f(p2)∣≤1．【知识点】对数函数及其性质、函数的周期性、幂函数及其性质19. 【答案】(1) 令−x2−4x−4=0，解得x=−2，所以函数f(x)的零点为−2．(2) 令(x−1)(x2−4x+3)x−3=0，解得x=1，所以函数f(x)的零点为1．(3) 在同一平面直角坐标系中作出函数y=2x，y=−x+1的图象，由图可知函数f(x)的零点为0．(4) 令log3(x+1)=0，解得x=0，所以函数f(x)的零点为0．【知识点】函数零点的概念与意义20. 【答案】（1）当函数y=f(x)同时满足：①函数的图象在[a,b]上是连续曲线；② f(a)⋅f(b)<0．则可判定函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，但是不能明确肯定有几个零点，也不是说可能有1个、2个、3个、4个、⋯⋯零点．（2）不满足零点存在性定理并不能说明不存在零点，即当函数y=f(x)的图象在[a,b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)⋅f(b)<0时，函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点，也可能不存在零点．【知识点】零点的存在性定理21. 【答案】(1)(−78)+813+(√32)2×(214)−12−(0.25)0.5=1+2+34×√49−(14)12=1+2+34×23−12=1+2+12−12.(2)lg25+lg2×lg50+(lg2)2 =2lg5+lg2×(lg50+lg2) =2lg5+lg2×lg(2×50) =2lg5+lg2×lg100=2lg5+2lg2=2×(lg5+lg2)= 2.【知识点】对数的概念与运算、幂的概念与运算22. 【答案】(1) 当0<a<1时，定义域为(−∞,0)，当a>1时，定义域为(0,+∞)，所以y=f(x)的图象总在y轴的一侧．(2) 当0<a<1时，y=a x−1在区间(−∞,0)上是严格减函数，又0<a<1，y=f(x)在区间(−∞,0)上是严格增函数．当a>1时，y=a x−1在区间(0,+∞)上是严格增函数，又a>1，y=f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数．【知识点】对数函数及其性质、函数的单调性11。

人教A新版必修1《第4章指数函数与对数函数》单元测试卷(二).docx

人教A 新版必修1《第4章指数函数与对数函数》单元测试卷（二）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）6.设/（%） = xln x,若广（X 。

）= 2,则X 。

的值为（）7. 设a = log 3|, b = log 51，c = log 7|,贝收 )9. 某厂2006年的产值为"万元，预计产值每年以zi%递增，则该厂到2018年的产值（单位：万元）是1. 计算：崂+ 2屈2-（）1 = （A. 1B. 2C. -1D. 02. 1 函数 ' =顽顽的定义域为（A. (-00,1)B. (1, +00)C. (1,2) u (2,+8)D. (1,3) u (3, +8)3. 函数y = 2xT 的值域是（）A. (0,+oo)B. (-1, +00)C. (1,+8)D. G ，+8) 4. 函数y = 的零点个数是（）A. 0B. 1C. 2D.无数个 5. 方程lg|x| = COSX 根的个数为（）A. 10B. 8C. 6D.4A. e 2B.—C.eD. In2A. c > b > aB. b > c > aC. a> c > bD. a > b > cA. a(i+n约13B. a(l + n约12C. a(l + n约D. — a(l -n%)1210.函S/(x) = 2x + 3x的零点所在的一个区间是().A, (-2,-1) B. (0,1) C. (-1,0) D. (1,2)11.三个变量％, y2 , 无随着变量x的变化情况如下表：则关于x分别呈对数函数、指数函数、幕函数变化的变量依次为()A.无，光，>3B. y2, y3C. y2, % D, %, y3, y212.已知函数/'(x) = |x - 2| + l,g(x)=奴，若方程/'(x) = g(x)有两个不相等的实根，则实数左的取值范围是()A. (0,|)B. (|,1)C. (1,2)D. (2.+x)二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设f(x)=化当仃-：)，x 2 2,则竹⑵)的值为______________ .ve x~L,x < 214.若函数/(%) = log2(x + a)的零点为一2,贝!J Q =.15.已知an =(9"，把数列｛%｝的各项排列成如下的三角形状，记a? :; a4A(jn, n)表示第勿行的第〃个数，则4(10,12) = .16.知0 < a < 1,则方程(1闵=|log a x|的实根个数是.三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.(1)计算：0.064 3 — (—4)。

第四章-4.3-对数高中数学必修第一册人教A版

2 1+
C.
D.
【解析】因为3 = 5，所以 = log 3 5，所以
1
2
1
2
log15 30 = log15 30 = (log15 15 + log15 2) =
1
(1
2

+
)
1+
=
1++
.故选B.
2 1+
1
2
1+
log3 2
log3 15
=
1
2
1+

log3 3+log3 5
=
题型4 指、对数方程的求解
经检验知， = 为原方程的解.
+
，

（3）
lg 3 −2lg
= 0.1.
【答案】等式两边取常用对数，得[

∴
−

+ = , ∴ [

.

经检验知, = 或 =
− ] = . ，整理得
1 −4
2
= 16.
例1-3 ［多选题］(2024·辽宁省大连八中期中)下列式子中正确的是( AB
A.lg lg 10 = 0
B.24+log25 = 80
C.若10 = lg ,则 = 10
D.若log 25 = ,则 = ±5
【解析】∵ lg 10 = 1,∴ lg lg 10 = lg 1 = 0,A正确；
( CD
)
A.log ⋅ log = log +
log

C.
= log

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人教A版（2019）必修第一册《第四章指数函数与对数函数》单元测试卷（2）一、单项选择题（本大题共11小题，共55.0分）1.下列运算正确的是()．A. (a+1)2=a2+1B. (3x2)3=9x6C. √6÷√3=2D. a3•a4=a72.已知实数a>0且a≠1，则在同一直角坐标系中，函数f(x)=a−x，g(x)=log a(−x)的图象可能是()A. B.C. D.)< 3.在y=x13，y=log2x，y=tanx这三个函数中，当0<x1<x2<1时，使f(x1+x22f(x1)+f(x2)恒成立的函数的个数是()2A. 0B. 1C. 2D. 34.函数f(x)=a x(a>0,a≠1)的图象恒过点()A. (0,0)B. (0,1)C. (1,0)D. (a,0)5.已知0<a<1,log a m<log a n<0，则()A. 1<n<mB. 1<m<nC. m<n<1D. n<m<1+ln|x|的图象大致为()6.函数f(x)=1xA.B.C.D.7. 设a =2−5，b =log 52，c =log 32则( )A. a 2的解集为( )A. (−∞,14)B. (−∞,12)C. (14,+∞)D. (12,+∞)10. f(x)={ln |x | , x ≠00 , x =0，则方程[f(x)]2−f(x)=0的不相等实根个数为( )A. 3B. 5C. 6D. 411. 已知f(x)=2x 2−2x ，则在下列区间中，方程f(x)=0有实数解的是( )A. (−3,−2)B. (−1,0)C. (2,3)D. (4,5)二、填空题（本大题共6小题，共30.0分） 12. (279)12+(lg5)0+(2764)13=________13. 已知函数f(x)=|2x −1|+|x −2a|.当x ∈[1,2]时，f(x)≤3恒成立，则实数a 的取值集合为_______．14. 若函数f(x)=log 2(x 2−ax +3a)在区间[2,+∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是____．15. 已知函数f(x)=x|x −2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是______． 16. 已知f(x)={x +3,x ≤1,−x 2+2x +3,x >1,则函数g(x)=f(x)−e x 的零点个数为____.17. 若定义在R 上的函数f(x)满足f(x)+2f (x+2017x−1)=2017−x ，则f(2019)=________三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）18. 已知函数f (x )=log 4(4x +1)+kx (k ∈R )是偶函数．(1)求实数k 的值；(2)设g (x )=log 4(a ⋅2x +a )，若f (x )=g (x )有且只有一个实数解，求实数a 的取值范围．19. 设函数f (x )=a x −(k −1)a −x (a >0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)求实数k 的值；(2)若f (1)>0，判断函数f(x)的单调性，并简要说明理由；(3)在(2)的条件下，若对任意的x ∈[1,2]，存在t ∈[1,2]使得不等式f (x 2+tx )+f (2x +α)<0成立，求实数α 的取值范围． 20. 已知函数(Ⅰ)求函数f(x)的定义域，(Ⅱ)若函数f(x)的最大值为2，求实数a 的值21.已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)=2x+1．(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；(2)若对任意x∈[1,+∞)，不等式f(2x)≥mg(x)−2恒成立，求实数m的最大值；(3)设ℎ(x)=(a−2)⋅2x+4−a，若函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，求a的取值范围．22.设函数f(x)是定义在R上的增函数，且f(x)≠0，对于任意x1.x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)⋅f(x2)(1)求证：f(x1−x2)=f(x1)；f(x2)(2)若f(1)=2，解不等式f(3x)>4f(x)．23.一种小商品在过去的20天内的日销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且日销售量近似满足函数g(t)=80−2t(件)，而且销售价格近似满足于f(t)={15+12t(0≤t≤10)25−12t(10<t≤20)(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查了完全平方公式，指数幂的运算，二次根式的除法等，属于基础题．根据完全平方公式，指数幂的运算，二次根式的除法的运算法则，对各选项逐一计算即可．【解答】解：A．(a+1)2=a2++2a+1，故A错误；B.(3x2)3=27x6，故B错误；C.√6÷√3=√2，故C错误；D.a3⋅a4=a7，故D正确．故选D ．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了对数函数和指数函数的图象和性质，属于基础题．根据对数函数和指数函数的图象和性质，即可判断．【解答】)x，为增函数，且过定点(0,1)，解：若0<a<1，∴y=a−x=(1a∴y=log a(−x)的定义域为(−∞,0)，为增函数，且过定点(−1,0)，结合选项可知无符合的图象．)x为减函数，且过定点(0,1)，若a>1，y=a−x=(1ay=log a(−x)的定义域为(−∞,0)，为减函数，且过定点(−1,0)，所以D成立．故选D．3.【答案】B【解析】解：0<x1<x2<1时，使f(x1+x22)<f(x1)+f(x2)2恒成立，则从图像上看，任意两点间的曲线在两点间连线的下方，满足条件的为y=tanx．故选：B．根据题意可得从图像上看，任意两点间的曲线在两点间连线的下方．本题考查了恒成立问题等价转化方法、幂函数、对数函数、正切函数的图像，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：由指数函数的定义和性质可得，函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，故选：B．根据指数函数的单调性和特殊点，函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象恒过点(0,1)．本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，属于基础题．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查对数函数的性质．【解答】解：因为0<a<1, log a m<log a n<0，所以log a m<log a n<0=log a1，所以m>n>1．故选A．6.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了利用导数判断单调性，考查了学生的分析能力，属于基础题．根据函数的单调性以及特殊值代入可进行判断．【解答】解：由已知得当x =2时，，排除A ，当x =−1时，f(x)=−1，排除C ，当x >1时，f′(x)=x−1x 2>0，此时函数f(x)为增函数，排除D ，故选B ．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用对数函数的性质比较大小，涉及对数运算，属于基础题．由对数函数的换底公式可知b <c ，再由a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，从而得出a ，b ，c 的大小关系．【解答】解：因为b =log 52=lg2lg5，c =log 32=lg2lg3，由lg5>lg3，则b <c ，且a =2−5=132=log 55132<log 52=b ，所以a 0，解得：x >−3且x ≠−1．故选C ．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查对数的运算，函数奇偶性与单调性的判断根据函数单调性和奇偶性求解不等式即可．【解答】解：设，定义域为R，易得g(x)为奇函数，又g(x)在R上单调递增，所以由f(2x−1)+f(2x)>2得，f(2x−1)−1+f(2x)−1>0，所以g(2x−1)+g(2x)>0，所以g(2x−1)>−g(2x)，所以g(2x−1)>g(−2x)，所以2x−1>−2x，解得x>1．4故选C．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查函数零点与方程根的关系．【解答】解：方程[f(x)]2−f(x)=0等价于f(x)=0或f(x)=1，(1)若f(x)=0则或x=0，所以方程的根为1,−1,0，(2)若f (x )=1则，所以方程的根为e,−e ，综上，方程[f(x)]2−f(x)=0的不相等实根个数为5．故选B ．11.【答案】B【解析】解：∵f(−1)=2−12=32>0， f(0)=0−1=−1<0，∴在(−1,0)内方程f(x)=0有实数解．故选：B ．利用零点存在定理，先分别求出f(x)在各个区间内两个端点处的函数值，然后再进行判断．本题考查函数零点存在定理，解题时要认真审题，注意函数值的运算．12.【答案】4112【解析】【分析】本题主要考查指数幂的计算．【解答】解：原式=(259)12+1+[(34)3]13=53+1+34=4112．故答案为4112．13.【答案】{1}【解析】【分析】本题考查了含有绝对值不等式的恒成立问题，属于中档题．由题意，f(x)≤3，x ∈[1,2]，得|x −2a|≤4−2x ，解绝对值不等式即得a 的值．【解答】解：∵f(x)=|2x −1|+|x −2a|，且f(x)≤3， ∴|x −2a|≤3−|2x −1|；又∵x ∈[1,2]，∴|x −2a|≤4−2x ，即2x −4≤2a −x ≤4−2x ，∴3x −4≤2a ≤4−x 对x ∈[1,2]恒成立，当1≤x ≤2时，3x −4的最大值2，4−x 的最小值为2，∴a =1.故答案为{1}.14.【答案】(−4,4]【解析】【分析】本题考查复合函数的单调性.设u =x 2−ax −3a ，根据复合函数的单调性及对数函数的性质求解．【解答】解：设u =x 2−ax −3a ，∵函数u =x 2−ax −3a 的图象是开口方向朝上，以x =a 2为对称轴的抛物线，函数f( x )=log 2(x 2−ax −3a )在区间上是增函数，则{a 2≤ 2u ( 2)>0，解得−4<a ≤4．故答案为(−4,4]． 15.【答案】[1,1+√2]【解析】解：f(x)=x|x −2|={x 2−2x,x ≥2−x 2+2x,x <2，其图象如图：由x 2−2x =1，解得：x =1−√2(舍)，或x =1+√2．∴要使函数f(x)=x|x −2|在[0,a]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是：[1,1+√2]．故答案为：[1,1+√2]．写出分段函数解析式，画出图象，数形结合得答案．本题考查函数值域的求法，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.【答案】2【解析】【分析】此题是中档题．考查函数零点与函数图象交点之间的关系，体现了转化的思想和数形结合的思想，体现学生灵活应用图象解决问题的能力．【解答】解：函数g(x)=f(x)−e x的零点个数即为函数y=f(x)与y=e x的图象的交点个数．如下图所示，作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)=f(x)−e x有2个零点．故答案为2．17.【答案】1344【解析】【分析】本题考查了抽象函数的问题，关键是赋值，属于基础题．分别令x=2，x=2019，代值计算即可求出．【解答】)=2017−x，解：f(x)+2f(x+2017x−1当x=2时，f(2)+2f(2019)=2015，①当x=2019时，f(2019)+2f(2)=−2，②①×2−②可得3f(2019)=4032，∴f(2019)=1344．故答案为1344．18.【答案】解：(1)由函数f(x)是偶函数可知：f(x)=f(−x)，∴log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx，化简得log44x+14−x+1=−2kx，即x=−2kx对一切x∈R恒成立，∴k=−12．(2)由题意可得，函数f(x)与g(x)的图象有且只有一个公共点，即方程log4(42+1)−12x=log4(a⋅2x+a)有且只有一个实根，化简得：方程2x+12x=a⋅2x+a有且只有一个实根，且a⋅2x+at>0成立，则a>0．令t=2x>0，则(a−1)⋅t2+at−1=0有且只有一个正根，设g(t)=(a−1)⋅t2+at−1，注意到g(0)=−1<0，所以①当a=1时，有t=1，合题意；②当0<a<1时，g(t)图象开口向下，且g(0)=−1<0，则需满足{−a2(a−1)>0Δ=0,此时有a=−2+2√2；a=−2−2√2(舍去)．③当a>1时，又g(0)=−1，方程恒有一个正根与一个负根．综上可知，a的取值范围是{−2+2√2}∪[1,+∞)．【解析】【分析】本题考查对数函数的性质和函数零点存在性定理，属于难题．(1)由函数为偶函数得log4(4x+1)+kx=log4(4−x+1)−kx，化简式子得出x=−2kx，从而得到k的值;(2)由已知条件可化简为方程2x+12x=a⋅2x+a有且只有一个实根，通过换元，构造函数g(t)=(a−1)⋅t2+at−1，对该函数进行分析即可．19.【答案】解：(1)f(x)为R上的奇函数，所以f(0)=0，即2−k=0，所以k =2；(2) ∵f(x)=a x −a −x ，∴f(1)=a −1a >0，所以a >1，f(x)=a x −(1a )x ，a >1时a x 为R 上的增函数，−(1a)x 为R 上的增函数所以f(x)是R 上的增函数；(3)f(x)为R 上的奇函数∴f(x 2+tx)<f(−2x −a)，又f(x)是R 上的增函数，∴x 2+tx <−2x −a∴a <−x 2−(2+t)x ，对任意的x ∈[1,2]，存在t ∈[1,2]，所以{a <−3−t a <−8−2t，所以a <−8−2t ，存在t ∈[1,2]，所以a <−10．【解析】本题考查函数的单调性、奇偶性及不等式恒成立问题，属于基础题．(1)由题意得f(0)=0 ，即2−k =0，k =2；(2)由题意得a >1，f(x)=a x −(1a)x ，即可得单调性； (3)由题意得a <−x 2−(2+t)x ，所以a <−8−2t ，存在t ∈[1,2]，所以a <−10． 20.【答案】解： (Ⅰ)由{1−x >0x +3>0，得−3<x <1，因此函数的定义域为(−3,1)；(Ⅱ)f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]， ∵−3<x <1，∴0<−(x +1)2+4≤4，∵a >1，∴函数的最大值为log a 4，即log a 4=2，解得a =2．【解析】本题考查函数的定义域及函数的最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(Ⅰ)根据题意可得{1−x >0x +3>0，解不等式组即可求得结果； (Ⅱ)根据题意可得f (x )=log a (1−x )+log a (x +3)=log a (−x 2−2x +3)=log a [−(x +1)2+4]，进而可得函数的最大值为log a 4，可得log a 4=2，从而即可求得结果．21.【答案】解：(1)∵f(x)+g(x)=2⋅2x ，用−x 代替x 得f(−x)+g(−x)=2⋅2−x ，则{f(x)+g(x)=2⋅2x f(x)−g(x)=2⋅2−x 解方程得：f(x)=2x +2−x ，g(x)=2x −2−x ； (2)f(2x)=22x +2−2x =(2x −2−x )2+2≥m(2x −2−x )−2对任意x ∈[1,+∞)恒成立，令t =2x −2−x ，x ∈[1,+∞)，因为令t =2x −2−x 在x ∈[1,+∞)单调递增，故t ≥32，则m ≤t 2+4t =t +4t 对t ∈[32,+∞)恒成立，当t =2时，(t +2t )min =4，故m ≤4，即m max =4．(3)由题：方程2x +2−x =(a −2)⋅2x +4−a 有且只有一个根，即(a −3)⋅22x +(4−a)⋅2x −1=0有且只有一个根，令k =2x ，因为k =2x 在R 上单调递增，且k >0，故方程(a −3)⋅k 2+(4−a)⋅k −1=0(∗式)有且只有一个正根，①当a =3时，方程有唯一根k =1，合题；②当a ≠3时，方程变形为(k −1)[(a −3)k +1]=0，解得两根为k 1=1，k 2=13−a ，因为(∗式)有且只有一个正根，故13−a =1或13−a <0，解得a =2或a >3，综上：a 的取值范围为a ≥3或a =2．【解析】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，考查不等式恒成立问题解法，注意应用换元法和参数分离，以及分类讨论思想，属于中档题．(1)由奇偶性的定义，将x 换为−x ，解方程可得所求；(2)求得f(2x)的解析式，令t =2x −2−x ，应用参数分离和对勾函数的单调性，可得所求最大值；(3)由题意可得(a −3)⋅22x +(4−a)⋅2x −1=0有且只有一个根，令k =2x ，应用指数函数的单调性，以及二次方程实根的分布，对a 讨论，可得所求范围．22.【答案】解：(1)f(x 1)=f(x 1−x 2+x 2)=f (x 1−x 2)f(x 2)，又f(x)≠0，f (x 1−x 2)=f (x 1)f (x 2) ， (3)因为f (1)=2，所以f (2)=4，即f(3x)>4f(x)等价于f (3x )>f (2+x )，又f(x)为定义在R 上的增函数，3x >2+x ，解得x >1，所以解集为{x|x >1}．【解析】本题考查函数的单调性、抽象函数问题及不等式求解，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据f(x 1)=f(x 1−x 2+x 2)=f (x 1−x 2)f(x 2)，应用抽象函数性质即可证明；(2)根据f (1)=2可推出f (2)=4原不等式转化为f (3x )>f (2+x )，利用函数单调性求解．23.【答案】解：(1)由已知，由价格乘以销售量可得：y ={(15+12t)(80−2t ),(0≤t ≤10)(250−12t)(80−2t ),(10<t ≤≤20) ={−t 2+10t +1200,(0≤t ≤10)t 2−90t +2000,(10<t ≤≤20)； (2)由(1)知①当0≤t ≤10时y =−t 2+10t +1200=−(t −5)2+1225，函数图象开口向下，对称轴为t =5，该函数在t ∈[0,5]递增，在t ∈(5,10]递减， ∴y max =1225(当t =5时取得)，y min =1200(当t =0或10时取得)，②当10<t≤20时y=t2−90t+2000=(t−45)2−25，图象开口向上，对称轴为t=45，该函数在t∈(10,20]递减，t=10时，y=1200，y min= 600(当t=20时取得)，由①②知y max=1225(当t=5时取得)，y min=600(当t=20时取得)．【解析】本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，解题的关键是确定函数的解析式．(1)由已知，由价格乘以销售量可得该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)由(1)分段求出函数的最大值与最小值，从而可得该种商品的日销售额y的最大值与最小值．。

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