大学物理第一章质点运动学讲义

位矢表示为
r
xi
yj
r
costi
r
sin
tj
y
y
r
• P (x, y) s
• O
ωt x
•O'
x
自然坐标表示为 s rt
§1.2 质点的位移、速度和加速度
一. 位移 (displacement vector)
PP'
r (t
Fra Baidu bibliotek
t)
r (t)
r
位移反映了质点位置的变化。
s
O•'
r(t)
P
• s
r
• P’
(1) 路位程移是是算矢术量量（有大小r，有s方向）
O • r(t t)
lim r lim s
dr ds
t 0
t 0
(2) 位移与坐标系位置的变化无关
r
位矢与坐标系位置的变化有关
(3)
r r(t t) r(t)
r
O•
r
位移矢量
r = r(t +t ) - r(t )
反映 t 内质点位置的移动(大小、方位)
s
s
P•
A。直角坐标下 x x(t) y y(t) z z(t)
B。自然坐标下
s f (t)
意义: 已知运动学方程，可求质点运动轨迹、速度和加速度
例 一质点作匀速圆周运动，半径为 r ，角速度为 。
求 用直角坐标、位矢、自然坐标表示的质点运动学方程。
解 直角坐标表示的质点运动学方程
x r cos t, y r sin t
t t
A •
r(t)
O•
2.
瞬时加速度
a lim
v(t
a
t0 dv
t)
t
dv
v(t)
dv dt
d2r dt 2
dt dt
v(t t)
• B
r(t t)
v(t) v
v(t t) v
由基本关系式
v
dr dt
a
dv dt
有：
dx dt
xˆ
dy dt
yˆ
dz dt
zˆ
a
d x
dt
xˆ
d y
讨论2： 落体运动 落体运动：只在重力作用下的运动。 在地球附近不太大的空间内，在忽略空气阻
力的情况下，二维抛体运动水平分量和竖直分 量相互独立。选直角坐标系如图。
初速度为
与水平方向夹角为
质点运动状态量是： 加速度分量式：
速度分量式：
位矢分量式：
例1. 已知一质点运动方程
r
2t
i
(2
t
2
)
j
*矢量的“差之模”和“模之差 ”
一般 |r| r 区分几个概念 (1)位置矢量和位移矢量有何不同? (2)位移和路程(path)有何不同? ·“状态量”与“过程量”
二. 速度 ( 描述质点运动快慢和方向的物理量 ) (velocity)
1. 平均速度 Δt 内位矢的平均变化率
v
Δr
r (t
物理学所研究的是物质运动最基本、最普遍的形 式。它包括：
•机械运动 •电磁运动 •原子、分子的热运动 •原子、分子内部的运动
•力学 •电磁学 •分子动理论与热力学 •近代物理学
微观物质（宏 观的延拓）
高速运动 宏观物质
低速运动
二、物理学的重要地位和作用 1、物理学与三次工业革命
牛顿力学的建 立与热力学的 发展
求 (1) t =1s 到 t =2s 质点的位移 (2) t =2s 时 v ，a
(3) 轨迹方程
解
(1)
由平r运均动速r2方度程r1v得(4rr12)i22ii(32jj
1)
j
r2
4i
2i 3 j
2j
(2)
v
当t
dr
2i
dt
=2s 时
t 2t j v2 2
i
4
j
a
d 2r dt 2
t)
r (t)
t
t
矢量
Δr
的方向
(average velocity)
r(t)
r
• r(t t)
2. 瞬时速度 平均速度的极限值(dt 内位矢的平均变化率)
v lim r(t t) r(t) dr
t 0
t
dt
v
dr
dt
反映了t时刻质点运动的状态－瞬时性
矢量性－方向沿轨迹的切线方向
一、绪论内容提要： 1.什么是物理学？ 2.物理学重要？ 3.怎样学好物理学？
二、预备知识：矢量
矢量 有大小和方向的物理量 力 速度
三 、质点运动学
描述物体运动状态变化规律，不涉及运动状态变化的原因。 （质点—刚体运动学）
一、什么是物理学？
•世界的物质性 •运动是物质的存在形式 •物质运动的共性与个性 •自然科学是以物质的运动来进行划分的
dt
4 2r
说明加速度方向总是负位矢方向，指向椭圆中心
例题3 ：一质点作平面运动，已知加速度为 ax A2 cost,
Ba≠y 0。B初始2 s条in件t为t=，v00时其x ，中0A, 、v0By 、 Bω均, 为x0正 常A,数，y0 且0A≠B, A≠0,
求该质点的运动轨迹。
解 这个问题是已知加速度和初始条件求运动方程，进而求出轨
坐标系
z
P
(2) 常用坐标系
直角坐标系（ x , y , z ）
球坐标系（ r,θ, ） 柱坐标系（ , , z ）
y
O 参考系
x
自然坐标系 ( s )
惯性系 以加速度a为判别依据
三. 确定质点位置的常用方法
z 1. 直角坐标法 P(x, y, z) 2. 位矢法
P (x, y, z)
质点某时 刻位置P 由有向线段
j
dr v dt
代入初始条件
r r0
dr
t 0
( 6i
16t
j )dt
r0
8k
r
6t
i
8t
2
j
8k
例2 已知 位置矢量为
r(t) a cos2 ti bsin 2 tj
求:(1)质点的运动轨迹； (2)质点的运动速度及加速度；
(1)运动轨迹可由运动方程消去时间参数t得到
迹方程的问题。
由加速度三个分量
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2 y dt 2
,
az
dvz dt
d2z dt 2
的定义可得（移项后左右积分所得）
vx v0x
(dv x
)2
dv (
y
)2
(dv z
)2
dt
dt
dt
cosα aax cosβ aay cosγ aaz
平均加速度
a
v x
i
v
y
j
v z
k
t
t
t
讨论1：匀变速直线运动(uniformly acceleration motion) 特征：
一维坐标系如图。
o
x
设：
由基本关系式：
得 两边分别积分 得
dv 2
a 2
dt
2
j
j
(3) x 2t y 2 t2 轨迹方程为 y 2 x2 / 4
例2.
已知
a 16
求
v
j
, t =0 时，v0
和运动方程
6i ,
r0
8k
解 由已知有
dv
a
16
j
dt
代入初始条件
v
-v0
16t
j
v
dv
t
16dt j
v0
0
v
6i
16t
三者之间的关系是
v
dr dt
a
dv dt
运动学问题的基本定义式 即解决问题的基本出发式
§1.3 用直角坐标表示位移、速度和加速度
一. 位移
r (t1) x1i y1 j z1k
r (t2 ) x2i y2 j z2k
时间 t 内质点的位移为
r
r
xi
r
(t2
)
r
(t1
)
yj zk
Ax Bx Ay By Az Bz
• 叉乘（矢积）
i jk
R A B Ax Ay Az
R A B ABsin
Bx By Bz
方向： 右手螺旋
矢量的微积分
第1章 质点运动学
(Kinematics of Particles) 力学是描述物体作机械运动时所遵循的规律的学科。
力学分为两部分 、运动学：
二十世纪中对人类影响最大的三个物理发现 原子能、半导体、激光及其应用
二十世纪最重要的理论进展是“相对论”和“量子力学”。这 两个理论彻底改变了人类对时间、空间、宏观和微观的认知。
在整个20世纪中，物理学和物理学家在人类探索自然 奥秘的科学技术发展中起主导作用。然而，在过去的差 不多十年里，物理学却好像在彷徨，科技发展潮流也随 着大众的兴趣转向了软件工业和生物医学。但是。。。
描述物体运动状态变化规律，不涉及运动状态变化的原因。 （质点—刚体运动学） 、动力学：
引起物体状态变化的原因及对物体状态变化的影响（质 点·刚体动力学）
§1.1. 确定质点位置的常用方法
一、理想模型：质点
模型的建立
视具体问题而定 如地球
公转 质点模型 自转 刚体模型
质点：忽略物体的大小和内部结构，把它看成一个有质量的几 何点.
单位 A A A0 矢量
A0 1
A
Axi
Ay
j
Az k
Axiˆ
Ay
ˆj
Az kˆ
Axeˆx Ayeˆy Azeˆz
二. 矢量的运算
B
• 加减 C AB
C
A
• 点乘（标积）Ax Bx i Ay By j Az Bz k
Q A B ABcos
z P(x1, y1, z1)
•
r
r (t1)
y
x
• O
r (t2
)
•
Q (x2, y2, z2 )
(x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k
二. 速度
1. 平均速度
2. 瞬时速度
v
r
x
i
y
j
z
k
v
t
dr
d
t
(xi
yj
t
zk )
t
dx
i
dy
j
dt
yˆ
d z
dt
zˆ
比较两组式子，有：
vx
dx dt
vy
dy dt
vz
dz dt
ax
dv x dt
ay
dv y dt
az
dv z dt
思考：
（B）式中 为什么没有 出现
dxˆ dyˆ dzˆ dt dt dt
矢量物理量能全面地反映物体的运动状态， 便于理论推导和一般性的定义。
在 t 时刻，描述r,运动, 的a物理量是
前期准备 1.课程容量
两个学期，8学时，内容包括力学，振动波动，电磁学，光 学，热学，狭义相对论，近代物理等等 2.作业安排
A，单双号轮换交 B。计入成绩 3.课代表的任务
A。F-416 领作业本) B。收发作业 4.考试安排
笔试闭卷，只考察本学期知识 5.答疑 (F-416)，每天下午
本次课内容
三、怎样学好物理学
•逻辑性思维，条理性思维，系统性思维 •重点把握物理学的模型、概念 •利用图形图像结合来理解物理过程 •养成科学有效的阅读习惯 •独立完成作业
预备知识---矢量
物理量
矢量 标量
有大小和方向的物理量 力 速度
代数量 ＋／－
电流、功
算术量 无正负 路程、质量
一. 矢量的表示 矢量手写体要加箭头，印刷体为黑体字符
dv x dt
i
dv y
j
a
dt axi
dv
z
k
d
2
dt dt
ay j azk
x
2
i
d2 dt
y
2
j
d2z dt 2
k
ax
dv x dt
d2x dt 2
,
ay
dv y dt
d2 dt
y
2
,
az
dv z dt
d2z dt 2
大小为
a
ax2
a
2 y
az2
方向用方向余弦表示为
质点系 物体的形状可忽略，物体可看作有质量的点的集合
刚体 物体的形变可以忽略，形状体积不能忽略
二、坐标系，参考系，惯性系
坐标系：以原点，坐标轴为判别依据
参考系： (frame of reference) 以速度V为判别依据，用来描 述物体运动而选作参考的物体或物体系。
(1) 运动学中参考系和坐标系可任选。
OP
r
r
表示。 xi yj
zk
r z
β
O 参考系
y
位矢的大小为：
x
r x2 y2 z2
x
y
位矢的方向用方向余弦表示，则有：
cos rx ,cos ry ,cos rz
3. 自然坐标法 已知质点相对参考系的运动轨迹时，常用自然法。
s f (t)
4. 运动学方程(函数)
•
参考物 O
x(t) a cos 2 t y(t) b sin 2 t (2)根据速度的定义
( x)2 ( y)2 1 ab
v( t ) d r 2a sin 2 ti 2b cos 2 tj
dt
v
v
2 x
v
2 y
2
a2 sin2 2 t b2 cos2 2 t
求加速度
根据定义
a d v 4 2a cos 2ti 4 2b sin 2tj
法拉第、麦克斯韦 电磁理论的建立
量子理论、相 对论的建立
第一次工业革命以蒸汽 动力的推广使用为标志。 生产实现了机械化。
第二次工业革命以各种 电机与电器的推广使用 为标志。生产实现了电 气化。
第三次工业革命以激 光技术、航空航天技 术、核技术、计算机 技术的发展和普及使 用为标志。生产和生 活实现了信息化。
dz
k
dt dt
dt dt dt
vx
dx dt
,
vy
dy dt
,
vz
dz dt
速度的大小为 v
v
2 x
v
2 y
v
2 z
(dx)2 (dy)2 (dz)2 dt dt dt
速度的方向用方向余弦表示为
cosα vvx , cosβ vvy , cosγ vvz
三.
加a 速 d度v dt
注意速度与速率的区别
速率 v v dr ds dr dt dt dt
平均速率不等于 平均速度的模
v
s
v
t
vA B’’ B'
B
A
三. 加速度 (acceleration)
1. 平均加速度 Δt 内速度的平均变化率
v(t)
a
v
v (t
t) v (t)
t t
矢量
a
Δ v 的方向
v v