分形几何与分形艺术
分形与分形艺术
分形与分形艺术我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一、分形几何与分形艺术什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
“分形” 一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有“破碎”、“不规则”等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸线”，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。
分形几何学
整理课件
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分形几何图形
自然界中有许多分形的例子，如雪花、植物的枝条分叉、海岸线 等。在数学中，历史上也构造了许多分形模型，如Koch曲线、 weierstrass函数等。它们共同的特点是①处处连续但处处不可 微，即曲线处处是不光滑的，总有无穷的细节在里面；②具有自 相似性或统计自相似性，即在不同的标度下，它们的形状是相似 的，不可区分的；③刻划它们的维数不是整数，而是分数。这是 因为，这类曲线都有无穷的细节，所以用1维的直线来测量它， 其值为无穷大，然而它们又没有填满一个有限的平面，所以其维 数又不能等于2，因此，要想得到一个有限的长度，它的测量维 数必定在1和2之间。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把 研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的 世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图 形相比，拥有完全不同层次的复杂性。分形几何则 提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结 构的新方法。
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普通几何学研究的对象，一般都具有整数的维数。比如，零维的点、一维 的线、二维的面、三维的立体、乃至四维的时空。但是现实生活中象弯弯曲曲的 海岸线这些对象就不能用传统欧几里德几何学的整数维描述或者说测量了。要描 述这一大类复杂无规的几何对象，就引入了分形理论，把维数视为分数维数。这 是几何学的新突破，引起了数学家和自然科学者的极大关注。
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一、什么是分形几何学
通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相 似图形和结构的几何学。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层 次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方 面具有统计意义上的相似性，称为自相似性。例如，一块磁 铁中的每一部分都像整体一样具有南北两极，不断分割下去， 每一部分都具有和整体磁铁相同的磁场。这种自相似的层次 结构，适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构不变。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何【摘要】分形几何是一门独特的数学领域，它以非整数维度的几何形状为研究对象。
本文将深入探讨分形几何的历史、基本概念和数学原理，以及在自然界中的展现和艺术中的运用。
分形几何不仅仅是一种数学理论，它还具有广泛的应用价值，在自然界的各个领域中都有着重要作用。
分形几何的未来发展也备受关注，展示着一种新颖的数学思维和艺术创意。
几何里的艺术家——分形几何，展现着独特的美学魅力，引领着无限的想象力和创造力，让我们一起探索分形几何的奥秘与魅力。
【关键词】分形几何、艺术家、几何、应用、历史、基本概念、数学原理、自然界、展现、艺术、运用、未来发展、魅力1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种研究自然和人造现象中形态结构的几何学领域，它研究的是那些不规则、复杂、自相似的图形或结构。
分形几何的研究对象不同于传统几何学中的简单几何图形，而是更接近自然界和人类创造的复杂形态。
分形几何通过数学建模和图形分析，试图揭示自然现象中隐藏的规律和结构。
在分形几何中，“分形”一词来源于拉丁文中的“fractus”，意为“破碎的”或“不规则的”。
分形几何的主要特点是自相似性和尺度不变性，即无论放大还是缩小，图形的结构都保持不变。
这种自相似性使得分形几何能够描述复杂的、非线性的系统，例如云彩、海岸线、树木等自然现象，以及数字信号处理、人工智能等人造结构。
通过分形几何的研究，人们可以更好地理解自然界中丰富多样的形态结构，探索规律和规律背后的美学。
分形几何的应用领域也越来越广泛，涵盖了物理学、生物学、经济学、艺术等多个领域。
在当今数字化时代，分形几何不仅是一门独具魅力的数学学科，更是连接自然、艺术和科学的桥梁。
1.2 分形几何的应用价值分形几何的应用价值非常广泛，涉及到许多领域，包括科学、工程、医学和艺术等。
在科学领域，分形几何被广泛应用于天文学、气象学、地质学和生物学等领域。
在天文学中，分形几何被用来研究星系和星云的形态，帮助科学家更好地理解宇宙的结构和演化过程。
什么是分形艺术？
什么是分形艺术？
作者：韩妙第
首先明确“什么是分形”的定义，先明确分形的定义然后再阐述什么是分形艺术？
什么是分形？其实很简单：局部就是整体的缩影，这些局部几何形状和整体几何形状之间的关系具有固定或相对函数影响下无限递归，或者变大，或着变小或者逆向递归。
所有的变化的几何形状具有相似性、重复性、无限性。
所以，分形说简单了就中国盒一样，一个套一个，不停地循环。
说得严谨点就是各组织之间都有自相似的特性，这就是递归性。
有正向递归和逆向递归二种主要形式。
分型艺术理论的阐述简而概之：利用艺术的手段创作出具有分形几何特征的艺术品的艺术创作行为即为分形艺术。
分形艺术的几何元素在视觉上具有相似性、重复性、无限性；
分形艺术在心理上能够引发人类的探索性、求知性以及无穷性的趣味；
分形艺术在玩具上表现为“万花筒”的特征；。
数学与艺术的奇妙结合用数学创作艺术作品
数学与艺术的奇妙结合用数学创作艺术作品数学与艺术的奇妙结合：用数学创作艺术作品数学和艺术似乎是两个看似截然不同的领域，前者涉及逻辑、推算和精确性，而后者则强调创造力、表达和审美。
然而，在一些令人惊叹的作品和项目中，我们可以发现数学和艺术的奇妙结合。
本文将探讨一些数学和艺术相互交织的例子，并介绍数学如何成为艺术创作的灵感源泉。
首先，让我们来看看平面图形和几何学在艺术中的应用。
几何学是数学的一个分支，研究点、线、面和体等数学对象之间的关系。
艺术家们利用几何学的原理来构造平面图形，并在设计中运用到对称性、比例和形状等元素，从而创造出令人赞叹的作品。
例如，荷兰画家埃舍尔（M.C. Escher）的作品以几何图案和错觉见长，通过精确的几何构造营造出令人难以置信的效果，深受观众的喜爱。
另一个数学与艺术结合的领域是分形艺术。
分形艺术是一种通过重复模式和自相似性来创作作品的方式。
分形艺术家使用数学的分形几何学原理，通过不断缩放和变化的过程，创造出令人惊叹的图像。
这种艺术形式常常被用来描绘大自然中的形态，如树叶的分支结构、山脉的轮廓等。
分形艺术既是数学的表达方式，也是对自然美的再现，使观众在审美的同时也对数学原理有了更深一层的理解。
除了几何学和分形艺术，数学在绘画、雕塑和音乐等艺术形式中也发挥着重要的作用。
在绘画中，艺术家们利用透视原理和色彩理论等数学原理来创造立体感和色彩的和谐。
在雕塑中，数学则帮助艺术家准确地计算出形状和比例，使作品达到更高的艺术境界。
在音乐中，数学可以帮助作曲家解决和弦、调性和节奏等问题，并塑造出动人心弦的音乐作品。
正是由于数学的参与，艺术作品得以呈现出独特的美学效果。
除了艺术作品本身，数学还可以激发艺术家的创造力，并成为他们的灵感源泉。
艺术家可以从数学的美学原理、规律和对称性中汲取灵感，并将其转化为独特的艺术形式。
数学的逻辑性和精确性能够为艺术家提供一种思考问题和解决问题的方法。
艺术创作需要的构思和设计过程中可以受到数学的指导，从而创造出令人惊艳的艺术作品。
分形 数学与艺术结合的明珠
分形数学与艺术结合的明珠大家注意到最近google 图标变成这个样子很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。
通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。
学名，也叫做分形。
我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。
认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。
那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：什么是分形？严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。
但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。
在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。
也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。
下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。
其实，远远不止这些。
从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。
这正是研究分形的意义所在。
例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这张美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。
上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
分形艺术
股票交易收益实例分析表
6
分形赏析
7
英国海岸线有多长
英国的海岸线有多长？这个问题是没有答案的，它完全取决于观察 尺度的选取。显然，用人的脚步来测量，和让一只蚂蚁来测量，得 出的结果将有天壤之别，因为蚂蚁会爬过比人多得多的弯曲，从而 测量的结果将比人的结果大得多。假设有一种无限小的生物，那么 测量结果将是无穷大。不要忘了，在蚂蚁眼中，我们是比鲸还要大 的庞然大物。关于观察尺度，《格列佛游记》里面有精彩的描述。 当格列佛到了巨人国，他发现没有一个女人是漂亮的，因为在他小 小的眼睛里，女人每一个狰狞的毛孔他都看得清清楚楚。作为阅读 对象的文本可以比作英国的海岸线，说文本无定解，不是说文本什 么都不是，它是英国的海岸线，可是它究竟有多长，不同的读者有 不同的测量结果。可是以谁为准？蚂蚁的结果就不算数吗？
8
FFT
3
典型的分形
维尔斯特拉斯函数
康托尔三分集
Koch曲线
谢尔宾斯基地毯
皮亚诺曲线
曼德尔布罗特 4
分形的运用
分形艺术应用 （1）分形模拟自然现象
分形生长及其应用 （1）癌症增殖模型—艾登模型 （2）DLA模型 （3）渗流模型
5
分形的运用
分形图像压缩 分形在地震预报中的应用 分形在股票市场的运形
分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。 （最流行） 分形是其组成部分以某种方式与整体相似的形。（曼德 布罗特）
FFT
2
分形的诞生
曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表论文 《英国的海岸线有多长》 （1967年） 法兰西学院 讲演报 （1973年） “病态”“数学怪物”命名——分形（Fractal） （ 1975年） 法文版《分形对象：形、机遇和维数》出版 （1975年） 英文版《分形：形、机遇和维数》出版 （1977年） 英文版《大自然的几何学》出版 （1982年）
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何几何不仅仅是数学中的一个概念，它也是艺术中的一种灵感源泉。
而分形几何则将几何之美发挥到了极致，成为了一种兼具科学和艺术特质的美学形式。
在分形几何的世界里，数学的精密和艺术的想象交织在一起，勾勒出了独特的美丽景观。
本文将带领读者一起探索几何里的艺术家——分形几何。
1. 分形几何的起源分形几何一词最早由法国数学家贝诺瓦·曼德博特在1975年提出。
分形一词源于拉丁文“fractus”，意为碎片、断裂。
在数学上，分形是指一种具有自相似性的几何形态，即整体的部分在不同尺度上都与整体类似。
这种自相似性使得分形几何成为了一种富有美感和艺术感的数学形式。
分形几何得到了诸多科学和艺术领域的关注，成为了一种跨学科的研究领域。
2. 分形几何和艺术在艺术领域，分形几何为艺术家们带来了无限的灵感。
通过计算机技术和数学算法，艺术家们可以创造出种种奇妙的分形图像，这些图像既具有科学的精密性，又富有艺术的想象力。
分形艺术作品常常展现出几何的美感和图案的丰富多样性，在细节的赏析上更是令人叹为观止。
分形艺术作品已经成为了一种独特的艺术风格，吸引了众多艺术家和观众的关注。
3. 分形几何的应用除了在艺术领域中发挥重要作用之外，分形几何在科学领域中也有着广泛的应用。
在物理、生物、地质等领域，分形几何被用来研究复杂系统的形态和特性。
分形几何的自相似性和分形维度等特性，为科学家们提供了一种独特的研究方法，帮助他们理解和解释自然界中的复杂现象。
分形几何的应用范围正在不断拓展，有望成为解决复杂问题的重要工具。
4. 分形几何与人类文化分形几何不仅仅是一种数学形式，它还深刻地影响着人类文化的发展。
在建筑、绘画、音乐等领域，分形几何都留下了深远的痕迹。
建筑设计师们常常运用分形几何的原理来设计出富有美感和结构稳定性的建筑物；绘画艺术家们则通过分形几何的图案来展现出作品的纷繁多样；音乐创作家们也借助分形几何的节奏和和谐结构来创作富有艺术感的音乐作品。
分形与艺术
分形几何与传统几何有什么区别？
⑴从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例 如，海岸线和山川形状，从远距离观察，其形状是极 不规则的。 ⑵在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。上 述的海岸线和山川形状，从近距离观察，其局部形状 又和整体形态相似，它们从整体到局部，都是自相似 的。当然，也有一些分形几何图形，它们并不完全是 自相似的。其中一些是用来描述一般随即现象的，还 有一些是用来描述混沌和非线性系统的。
什么是分维？
在欧氏空间中，人们习惯把空间看成三维的，平面或球面看成二维，而把直线或曲线看成一维。 也可以梢加推广，认为点是零维的，还可以引入高维空间，但通常人们习惯于整数的维数。分形 理论把维数视为分数，这类维数是物理学家在研究混沌吸引子等理论时需要引入的重要概念。为 了定量地描述客观事物的“非规则”程度，1919年，数学家从测度的角度引入了维数概念，将 维数从整数扩大到分数，从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限。 分维的概念我们可以从两方面建立起来：一方面，我们首先画一个线段、正方形和立方体，它 们的边长都是1。将它们的边长二等分，此时，原图的线度缩小为原来的1/2，而将原图等分为若 干个相似的图形。其线段、正方形、立方体分别被等分为2^1、2^2和2^3个相似的子图形，其中 的指数1、2、3，正好等于与图形相应的经验维数。一般说来，如果某图形是由把原图缩小为 1/a的相似的b个图形所组成，有： a^D=b, D=logb/loga的关系成立，则指数D称为相似性维数，D可以是整数，也可以是分 数。另一方面，当我们画一根直线，如果我们用0维的点来量它，其结果为无穷大，因为直线中 包含无穷多个点；如果我们用一块平面来量它，其结果是0，因为直线中不包含平面。那么，用 怎样的尺度来量它才会得到有限值哪？看来只有用与其同维数的小线段来量它才会得到有限值， 而这里直线的维数为1（大于0、小于2）。与此类似，如果我们画一个Koch曲线，其整体是一条 无限长的线折叠而成，显然，用小直线段量，其结果是无穷大，而用平面量，其结果是0（此曲 线中不包含平面），那么只有找一个与Koch曲线维数相同的尺子量它才会得到有限值，而这个 维数显然大于1、小于2，那么只能是小数（即分数）了，所以存在分维。其实，Koch曲线的维 数是1.2618……。
数学的分形几何
数学的分形几何分形几何是一门独特而迷人的数学领域，它研究的是自相似的结构和形态。
分形几何的概念由波蒂亚·曼德博（Benoit Mandelbrot）在1975年首次提出，之后得到了广泛应用和发展。
本文将介绍分形几何的基本概念和应用领域，旨在帮助读者更好地了解这一令人着迷的学科。
一、分形几何的基本概念分形（fractal）是一种非几何形状，具有自相似的特点。
简单来说，分形就是在各个尺度上都具有相似性的图形。
与传统的几何图形相比，分形图形更加复杂、细致，其形状常常无法用传统的几何方法进行描述。
分形几何的基本概念包括分形维度、分形特征和分形生成等。
1. 分形维度分形维度是分形几何中的重要概念之一。
传统的几何图形维度一般为整数，如直线的维度为1，平面的维度为2，而分形图形的维度可以是非整数。
分形维度能够描述分形的复杂程度和空间占据情况，是衡量分形图形特性的重要指标。
2. 分形特征分形几何的分形特征是指分形图形所具有的一些独特性质。
其中最著名的就是自相似性，即分形图形在不同尺度上具有相似的形态和结构。
此外，分形图形还具有无限的细节，无论放大多少倍都能够找到相似的结构。
3. 分形生成分形图形的生成是分形几何中的关键问题之一。
分形图形可以通过递归、迭代等方式进行生成，比如著名的分形集合——曼德博集合就是通过迭代运算得到的。
分形生成的过程常常需要计算机的辅助，对于不同的分形形状，生成算法也有所不同。
二、分形几何的应用领域分形几何的独特性质使其在许多领域中得到广泛应用。
以下列举了几个典型的应用领域。
1. 自然科学分形几何在自然科学中有着广泛的应用。
例如，分形理论可以用来研究自然界中的地形、云雾形态等。
通过分形几何的方法，我们能够更好地理解和描述自然界的复杂性，揭示出隐藏在表面之下的规律。
2. 经济金融分形几何在经济金融领域也有着重要的应用。
金融市场的价格走势往往具有分形特征，通过分形几何的方法可以更好地预测未来的市场走势和波动。
分形几何与分形艺术
分形几何与分形艺术 Revised as of 23 November 2020分形几何与分形艺术作者：我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一、分形几何与分形艺术什么是分形几何通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot 集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
分形
分形几何----数学中绘画师“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
”——物理学家惠勒（1）一、分形几何的起源数千年以来，我们涉及的和研究的主要是欧氏几何。
欧氏几何主要是基于中小尺度上，点线、面之间的关系，这种观念与特定时期人类的实践认识水平是相适应的，有什么样的认识水平就有什么样的几何学。
进入20世纪以后，科学的发展极为迅速。
特别是二战以后，大量的新理论、新技术以及新的研究领域不断涌现，同以往相比，人们对物质世界以及人类社会的看法有了很大的不同。
其结果是，有些研究对象已经很难用欧氏几何来描述了：1.自然界中的曲线自然界中存在的曲线，我们用现行的一些词汇无法描绘它的具体形态，我们称之为“不可名状”——这是自然界曲线存在的一个共性。
通过进一步研究我们发现，这些曲线的局部和全局有着同样的复杂性。
也就是说无论我们将局部如何放大，它总是会出现与曲线整体相似的复杂性，我们称其为“统计自相似”。
2.“病态曲线”随着数学和自然学科的发展，我们有意无意中创造或发现了一些“奇怪”的曲线，说它奇怪是因为这些曲线最大的特点就是“几何自相似”，局部不断重复整体的特性。
例如“柯赫雪花”“康托尔集”“皮亚诺曲线”“魔鬼阶梯”“谢尔宾斯基三角”“门杰海绵”等。
3．病态函数一些函数也存在着上面“自相似”的规律。
比如十年间的棉花价格波动曲线和一年间棉花价格波动曲线存在的曲线相似。
面对这些现实中存在的问题，我们需要一种新的几何方法来代替欧式几何来解决这些新的难题。
美国数学家B·Mandelbrot曾出这样一个著名的问题：英格兰的海岸线到底有多长？这个问题在数学上可以理解为：用折线段拟合任意不规则的连续曲线是否一定有效？这个问题的提出实际上是对以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。
此外，在湍流的研究。
自然画面的描述等方面，人们发现传统几何依然是无能为力的。
因此就产生一种新的能够更好地描述自然图形的几何学，就是分形几何（2）。
校本课程 趣味数学5 分形几何
美国数学家B.Mandelbrot曾出这样一个 著名的问题：英格兰的海岸线到底有多 长？这个问题在数学上可以理解为：用 折线段拟合任意不规则的连续曲线是否 一定有效？这个问题的提出实际上是对 以欧氏几何为核心的传统几何的挑战。 实际上，数学家们很早就认识到，有的 曲线不能用欧式几何与微积分研究其长 度。但那时解决办法是讨论具备什么条 件的曲线有长度。而没有长度的曲线就 没有深入研究。此外，在湍流的研究。 自然画面的描述等方面，人们发现传统 几何依然是无能为力的。因此就产生一 种新的能够更好地描述自然图形的几何 学，就是分形几何。
曼德勃罗集逐步放大图
Sierpinski三角形
Sierpinski三角形也是比较典型的分形图形，具有严格的 自相似特性（但是在前面说述的Mandelbrot集合却并不 严格自相似）
谢尔宾斯基地毯
谢尔宾斯基地毯的构造与谢尔宾斯基三角形相似，区别 仅在于谢尔宾斯基地毯是以正方形而非等边三角形为基 础的。将一个实心正方形划分为的9个小正方形，去掉 中间的小正方形，再对余下的小正方形重复这一操作便 能得到谢尔宾斯基地毯。
第一步，给定一个初始图形——一条线段； 第二步，将这条线段中间的 1/3 处向外折起； 第三步，按照第二步的方法不断的把各段线段 中间的 1/3 处向外折起。这样无限的进行下去， 最终即可构造出Koch曲线。
Koch雪花（Koch星）
Cantor集
康托三分集 由重复删除直线段中间的三分之一开区间 而创造出来的。 康托集的被扣下去的部分是等比级数，其长度
这样，康托集的总长度为1-1=0。计 算表明康托集不包括任何非零的长度 。事实上，令人惊讶的是，它可能在 所有中间被扣掉的部分之和就等于它 的最初的长度。然而，仔细观察这个 过程却有很重要的东西被剩下，因为 重复地消除只是中间的1/3开集（这 个集合不包含它的端点）。从最初的 [0，1]线段中除去(1/3, 2/3)，而两个 端点1/3和 2/3被留下。随后的操作， 不移动这些端点，因为被移除的部分 总是在剩余部分的内部。所以康托集 是非空的，而事实上，它包括无限多 个点。
分形 数学与艺术结合的明珠
分形数学与艺术结合的明珠很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google LOGO上面看到的数学公式。
通过这个数学公式可以在解析几何上实现很多不规则边的图形。
学名，也叫做分形。
我们在网上搜索了一些资料，为大家做一下分形这个图形学上的概念普及。
认识分形作为一门新兴学科，分形不但受到了科研人员的青睐，而且因为其广泛的应用价值，正受到各行各业人士的关注。
那么，在我们开始学习分形之前，首先应该明白的一件事情是：什么是分形？严格地而且正式地去定义分形是一件非常复杂而且困难的事情。
但是，有一些不太正规的定义却可以帮助我们理解分形的含义。
在这些定义中，最为流行的一个定义是：分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程。
也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已。
让我们来看下面的一个例子。
下图是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅在尺寸上小了一些。
而枝杈的枝杈也和整体相同，只是变得更加小了。
那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必赘言。
如果你是个有心人，你一定会发现在自然界中，有许多景物和都在某种程度上存在这种自相似特性，即它们中的一个部分和它的整体或者其它部分都十分形似。
其实，远远不止这些。
从心脏的跳动、变幻莫测的天气到股票的起落等许多现象都具有分形特性。
这正是研究分形的意义所在。
例如，在道·琼斯指数中，某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。
上图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。
这张美丽的图片是利用分形技术生成的。
在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。
除了自相似性以外，分行具有的另一个普遍特征是具有无限的细致性。
上面的动画所演示的是对Mandelbrot集的放大，只要选对位置进行放大，就会发现：无论放大多少倍，图象的复杂性依然丝毫不会减少。
几何里的艺术家——分形几何
几何里的艺术家——分形几何1. 引言1.1 什么是分形几何分形几何是一种数学理论，包括了自相似性、不规则性和复杂性等特点，它能够描述自然界和人造物体中所存在的复杂形态。
分形几何可以将复杂的形状分解为简单的结构单元，从而更好地解释和描述复杂系统的特征。
分形几何的研究对象可以是自然界中的云雾、山脉、植物等，也可以是人类创造的艺术作品、城市景观等。
通过分形几何的研究，人们能够更深入地理解形态的形成规律和演化过程，为科学研究和艺术创作提供了新的视角。
分形几何的特点在于其不规则性和自相似性。
不规则性指的是形状的复杂度和不规则程度，而自相似性则是指在不同尺度上体现相似性。
分形几何的特点使得人们可以用简单的数学模型来描述复杂的自然现象，从而更好地理解事物的本质及其演变规律。
分形几何是一种独特的数学理论，它不仅在科学领域有着广泛的应用，还在艺术领域中扮演着重要的角色。
通过分形几何的研究和应用，人们能够更好地理解世界的复杂性和多样性，从而为人类的进步和发展提供新的思路和方向。
1.2 分形几何的应用分形几何在应用领域有着广泛的用途，其独特的性质和特点使其在科学、工程、医学等领域发挥着重要作用。
分形几何在图像压缩和图像处理中有着重要的应用。
通过分形图像压缩技术，可以大大减少图像传输和存储时所需的数据量，从而提高图像的传输速度和保存效率。
分形图像处理技术还可以用于图像的放大和缩小，不会出现传统方法中所产生的模糊和失真现象。
在地理信息系统中，分形几何可以用来模拟地形特征，以实现更加逼真的地形图像。
分形几何在地震预测、金融市场分析、气象预测等领域也有着广泛的应用。
分形几何的应用领域十分广泛，不断地为各个领域带来新的发展和突破。
1.3 分形几何在艺术中的作用分形几何在艺术中的作用主要体现在其能够呈现出独特而美丽的几何形状和图案。
分形几何的特点使得它能够生成各种复杂、丰富并且具有自相似性的图像。
这种自相似性使得分形几何产生的图案看起来既具有整体性又具有细节性，给人以视觉上的愉悦和惊叹。
解析分形艺术之美
解析分形艺术之美分形是近年来在非线性科学中发展出来的一个概念，分形以自然美为中介，将数学创作手段引入美学领域，具有独特的审美特征。
它是一个全新的科技领域，它用一种新的“语言”来描述自然中的复杂形状，分形图形神奇美丽、变幻莫测、蕴含着科学之美。
分形艺术——大自然的美学艺术“分形”（fractal）的概念由数学家伯诺孔·曼得布罗特提出的，其原意具有不规则、支离破碎等意义。
根据非线性科学原理，通过计算机数值计算，生成某种同时具有审美情趣和科学内涵的图形、动画，并以某种方式向观众演示、播放、展览，这样的一门艺术叫做分形图形艺术。
分形图形指具有内部相似性特征的图形及其变化过程。
分形方法能够表现各种和谐，分形图形艺术的兴起有助于现代科学与现代艺术的完美结合，分形是最讲究图形的，而图形有助于形象思维，是表达事物的最好工具。
分形艺术的美学特征什么是艺术？艺术是审美的劳动，是人的精神的生活方式，有了人类就有了艺术，艺术的起源要比科学早得多。
分形几何是大自然的几何，是混沌的几何、是复杂的几何、分形从提出那天起，它就紧紧地与艺术联系在一起。
1.自相似性：别样的对称分形艺术的自相似性（self-similar）揭示了新的对称性，它不是传统意义的左右对称或上下对称，而是画面局部与整体的对称。
这种对称是由整体和局部图形的自相似性构成的。
当然，自然事物的形态（如云彩的边界、地表的形状；海岸线等）并不具有严格自相似的特点，它们只是在一定的范围内才呈现出自相似性，这就是一般所说的“近似相似性”或“无规自相似”；但这并妨碍分形几何用于研究自然事物的形态，正像现实中不存在严格的点、线、面、体，而不影响欧式几何用于近似解决现实的数学问题一样。
2.分数维数：从拓扑维到度量维整数维数是整数，这还好理解，原来我们知道的整数维数是拓扑维数，只能取整数，维数表示描述一个对象所需的独立变量的个数。
除拓扑维数外，还有度量维数，它是从测量的角度定义的。
分形艺术名词解释
分形艺术名词解释嘿，朋友们！今天咱来聊聊分形艺术这玩意儿。
你说啥是分形艺术呀？简单来说，它就像是大自然的神奇魔法！你看那树枝，一根大枝上分出好多小枝，小枝上又分出更小的枝，这就是一种分形。
还有那云朵，远看是一大团，近看呢，里面有各种奇奇怪怪的形状，这也是分形呀！分形艺术可神奇了呢！它能把那些看似普通的形状变得超级复杂又超级美丽。
就好像一个普通的图形，经过分形的处理，一下子就变得像万花筒里的世界一样，五彩斑斓，变化无穷。
比如说，你想想雪花，每一片雪花的形状都不一样，但它们都有着那种精致的、对称的美感。
这就是分形的魅力呀！它能在小小的一片雪花里创造出那么多的细节和奇妙。
再比如海岸线，你要是凑近了看，会发现它弯弯曲曲的，有着无穷无尽的变化。
这不就是分形在大自然里的杰作嘛！分形艺术就像是一个无穷无尽的宝藏，你永远不知道下一秒会出现什么样的奇妙图案。
它可以是复杂到让你眼花缭乱的图案，也可以是简洁却又充满魅力的线条。
咱平常生活里也能看到分形艺术的影子哦！你看那墙上的瓷砖图案，有的不就是分形的设计嘛。
还有那些精美的壁纸，说不定也是从分形中获取的灵感呢。
而且哦，分形艺术不仅仅是好看，它还能让我们更好地理解这个世界。
它让我们看到，原来简单的规则也能创造出无比复杂的东西。
这不就像我们的生活嘛，一些小小的选择，慢慢积累起来，就可能变成完全不一样的人生。
分形艺术是不是超级有趣呀？它就像是一个隐藏在我们身边的秘密魔法，等待着我们去发现和探索。
所以呀，朋友们，下次当你看到一些奇奇怪怪却又特别好看的图案时，说不定那就是分形艺术在向你招手呢！别错过这个神奇的世界呀，去感受它的魅力，去享受它带给我们的惊喜吧！分形艺术，真的是太有意思啦！。
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
神奇的曼德布洛特集合，绚丽的分形艺术图像（1）
分形（Fractal），是耶鲁大学数学家曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
应用一个方程去等于一个数字，然后让同样的方程去计算相同的结果，一遍遍的重复这个过程。
当结果被转换成几何形态，便会产生了包含着同样的形态不同的比例，生成惊人的自我衍生图像。
这种运用曼德布洛特集合，由程序迭代（iterative）而产生图像的过程，称为分形（fractal）艺术。
分形艺术不同于普通的“电脑绘画”，普通的“电脑绘画”概念是用电脑为工具从事美术创作，创作者要有很深的美术功底，且作品的创作几乎完全依赖于作者的个人意愿。
而“分形艺术”则是利用分形几何学原理，借助计算机强大的运算能力，将数学公式反复迭代运算，再结合作者的审美及艺术性的塑造，从而将抽象神秘的数学公式变成一幅幅精美绝伦的艺术画作。
fractal 分形艺术
本文章是從以下超連結下載，原文是簡體字。
/zttj/ShowArticle.asp?ArticleID=382分形幾何與分形藝術作者：苑玉峰知識區來源：webmaster@ 點擊數：283 更新時間：2004-10-31我們人類生活的世界是一個極其複雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、複雜的生命現象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑窪窪的地面等等，都表現了客觀世界特別豐富的現象。
基於傳統歐幾裏得幾何學的各門自然科學總是把研究物件想像成一個個規則的形體，而我們生活的世界竟如此不規則和支離破碎，與歐幾裏得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的複雜性。
分形幾何則提供了一種描述這種不規則複雜現象中的秩序和結構的新方法。
一、分形幾何與分形藝術什麼是分形幾何？通俗一點說就是研究無限複雜但具有一定意義下的自相似圖形和結構的幾何學。
什麼是自相似呢？例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什麼大的區別，大樹與樹枝這種關係在幾何形狀上稱之為自相似關係；我們再拿來一片樹葉，仔細觀察一下葉脈，它們也具備這種性質；動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長資訊；還有高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
這些例子在我們的身邊到處可見。
分形幾何揭示了世界的本質，分形幾何是真正描述大自然的幾何學。
"分形"一詞譯于英文Fractal，系分形幾何的創始人曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）於1975年由拉丁語Frangere一詞創造而成，詞本身具有"破碎"、"不規則"等含義。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他發現的並以他的名字命名的集合，他發現整個宇宙以一種出人意料的方式構成自相似的結構（見圖1）。
Mandelbrot 集合圖形的邊界處，具有無限複雜和精細的結構。
如果電腦的精度是不受限制的話，您可以無限地放大她的邊界。
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我们人类生活的世界是一个极其复杂的世界，例如，喧闹的都市生活、变幻莫测的股市变化、复杂的生命现象、蜿蜒曲折的海岸线、坑坑洼洼的地面等等，都表现了客观世界特别丰富的现象。
基于传统欧几里得几何学的各门自然科学总是把研究对象想象成一个个规则的形体，而我们生活的世界竟如此不规则和支离破碎，与欧几里得几何图形相比，拥有完全不同层次的复杂性。
分形几何则提供了一种描述这种不规则复杂现象中的秩序和结构的新方法。
一、分形几何与分形艺术什么是分形几何？通俗一点说就是研究无限复杂但具有一定意义下的自相似图形和结构的几何学。
什么是自相似呢？例如一棵苍天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈，在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系在几何形状上称之为自相似关系；我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质；动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息；还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。
这些例子在我们的身边到处可见。
分形几何揭示了世界的本质，分形几何是真正描述大自然的几何学。
"分形"一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有"破碎"、"不规则"等含义。
Mandelbrot研究中最精彩的部分是1980年他发现的并以他的名字命名的集合，他发现整个宇宙以一种出人意料的方式构成自相似的结构（见图1）。
Mandelbrot集合图形的边界处，具有无限复杂和精细的结构。
如果计算机的精度是不受限制的话，您可以无限地放大她的边界。
图2、图3 就是将图1中两个矩形框区域放大后的图形。
当你放大某个区域，它的结构就在变化，展现出新的结构元素。
这正如前面提到的"蜿蜒曲折的一段海岸线"，无论您怎样放大它的局部，它总是曲折而不光滑，即连续不可微。
微积分中抽象出来的光滑曲线在我们的生活中是不存在的。
所以说，Mandelbrot集合是向传统几何学的挑战。
图 1 Mandelbrot集合图 2 Mandelbrot集合局部放大图3 Mandelbrot集合局部放大用数学方法对放大区域进行着色处理，这些区域就变成一幅幅精美的艺术图案，这些艺术图案人们称之为"分形艺术"。
"分形艺术"以一种全新的艺术风格展示给人们，使人们认识到该艺术和传统艺术一样具有和谐、对称等特征的美学标准。
这里值得一提的是对称特征，分形的对称性即表现了传统几何的上下、左右及中心对称。
同时她的自相似性又揭示了一种新的对称性，即画面的局部与更大范围的局部的对称，或说局部与整体的对称。
这种对称不同于欧几里德几何的对称，而是大小比例的对称，即系统中的每一元素都反映和含有整个系统的性质和信息。
这一点与上面所讲的例子："一头牛身体中的一个细胞中的基因记录着这头牛的全部生长信息"，完全吻合。
不管你是从科学的观点看还是从美学的观点看，她都是那么富有哲理，她是科学上的美和美学上的美的有机结合。
二、复平面中的神奇迭代Mandelbrot集合是Mandelbrot在复平面中对简单的式子Z <- Z^2 + C进行迭代产生的图形。
虽然式子和迭代运算都很简单，但是产生的图形出现那么丰富多样的形态及精细结构简直令人难以置信以至于不可思议。
在传统几何学中难以找到如此简单的规律隐藏着如此复杂而生动的例子。
Mandelbrot集合告诉我们自然界中简单的行为可以导致复杂的结果。
例如，大型团体操中每个人穿的衣服只有几种颜色中的一种，每个人的动作也只是导演规定的几种之一。
但是整体上可以显示出多种多样的复杂形态。
Julia集合在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。
每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。
现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。
将其代入下面方程中进行反复迭代运算：就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。
再把新的Z作为旧的Z，重复运算。
当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。
非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。
问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。
一般按下述算法近似计算：n=0;while ((n++ <Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) <Rmax)){Z=Z*Z+C;其中：Nmax为最大迭代次数Rmax为逃离界限退出while循环有两种情况，第一种情况是：(Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) >= Rmax属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。
第二种情况是：n >= Nmax属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z 值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。
黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。
"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。
黑白两色的图形艺术感染力不强。
要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。
要想获得较好的艺术效果，一般对n做如下处理：Red = n*Ar+Br;Grn = n*Ag+Bg;Blu = n*Ab+Bb;if ((Red & 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;if ((Grn& 0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;if ((Blu& 0x1FF) > 0xFF) Blu = Blu ^ 0xFF;其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为修正量获得的Red、Grn、Blu为RGB三基色，着色效果为周期变化，具有较强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏在周期变化的色彩之中。
你可以想象得出，在屏幕上顺序的试用每个像素点来反复迭代方程要花费很长的时间。
一幅 1024x768 屏幕尺寸的画面有786432个点。
其中一些点在计算机上要反复迭代方程次数达1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃运算。
运算产生一幅Julia集合需要花费很长的时间，有时需要产生一幅做海报用的大图像时，如 10240x7680，要花几天的时间。
当然，你使用高速计算机会缩短这个时间图 4、5、6是三幅Julia集合：图 4 象尘埃一样的结构图 5 稳定的固态型图 6 象树枝状Mandelbrot 集合将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。
Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。
迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：1、Z值没有界限增加（趋向无穷）2、Z值衰减（趋向于零）3、Z值是变化的，即非1或非2Mandelbrot集合是所有的朱莉娅集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。
Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状（见图1）。
你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是受到计算机精度的限制。
Newton/Nova 分形Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。
但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，但已被证明直到今天还是非常有价值的。
例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。
你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的根。
如方程 Z^6 + 1 = 0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。
和平常的Julia分形一样，你能永远放大下去，并有自相似性。
牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图7所示：图7 Newton分形Paul Derbyshire研究牛顿分形图形时，他把Julia集合的常值C加入进去改变了一下算法，并用同样的方法去估算Z，逼近答案，产生奇特的并称之为"Nova"的分形图形。
"Nova"类型分形图形如图8所示：图 8 Nova分形三、关于分形艺术的争论把计算机产生的图形看成是艺术，有人可能要提出一些疑问。
这些图形可以利用高品质的打印机产生任意多幅同样质量的"原作"，从而在商业化的艺术市场上造成混乱，因此她没有收藏价值，没有收藏价值的作品还能算得上是艺术吗？这是一个十分敏感的问题。
早在六十年代初有些数学家和程序设计人员就开始利用计算机及绘图设备从事这方面的工作。
但他们大部分人避免将自己的工作与"艺术"一词挂起钩来，以免与艺术界的人们发生冲突。
但是有一些人还是挺着腰杆去面对批评，承认计算机是视觉艺术的一种新工具，称他们自己的方法为"计算机艺术"。
在批评面前，他们没有受到影响。
他们不顾理论界的反对而继续自己的探索。
他们积累了大量令人难忘的成果。
正因为他们的努力才出现了今天的PhotoShop、Corel DRAW等等著名的软件，以及各种计算机艺术团体组织。
PhotoShop也成了某些美术专业学生的必修课。
当今时代出现的充满科技含量的"分形艺术"又不同于运用PhotoShop从事的计算机艺术创作。
"分形艺术"是纯数学产物，是否能算得上艺术必然会引起新的争论。
争论最活跃的问题是：分形图形是纯数学产物能算得上艺术吗？既然学习数学和程序设计就可以从事艺术创作了，学习美术专业还有什么用处呢？这个问题提的好。
从事分形艺术创作的人要研究产生这些图形的数学算法，这些算法产生的图形是无限的。
他们没有结束，你永远不能看见它的全部。
你不断放大她们的局部，也许你可能正在发现前人没曾见到过的图案。
这些图案可能是非常精彩的。
她们与现实世界相符合，从浩瀚广阔的宇宙空间到极精致的细节，是完全可以用数学结构来描述的。
另一个的问题是颜色，好的颜色选择，就可以得到一幅奇妙的图形。