高中数学第四章圆与方程章末总结课件新人教A版必修

二、直线与圆的位置关系
【典例 2】(2015 银川一中期末)已知圆 C1:x2+y2=2 和圆 C2,直线 l 与圆 C1相切于点(1,1);
圆 C2 的圆心在射线 2x-y=0(x≥0)上,圆 C2 过原点,且被直线 l 截得的弦长为 4 3 .
(1)求直线 l 的方程;
(2)求圆 C2 的方程.
章末总结
网络建构 主题串讲
网络建构
网络点拨 一种确定圆的方程的方法:待定系数法. 两种解决直线与圆位置关系的方法:代数法、几何法. 一种常用数学思想:数形结合思想.
主题串讲
一、圆的方程 【典例1】 已知动圆C经过点A(2,-3)和B(-2,-5) (1)当圆C面积最小时,求圆C的方程; (2)若圆C的圆心在直线3x+y+5=0上,求圆C的方程.
所以,AB=2
r2 d 2 =2
32
9 5
2
=
24 5
,
即两圆的公共弦长为 24 . 5
规律方法 两圆相交常见问题的解法 (1)若两圆相交,只要x2,y2的系数对应相等,两圆方程作差所得方程即为 两圆公共弦所在直线方程. (2)求两圆公共弦长,①利用两圆方程组成的方程组求得两交点的坐标, 再利用两点间距离公式求解即可;②利用圆心到公共弦所在直线的距离 及勾股定理也可求得公共弦长.
l= 1 k2 |x1-x2|=
1 k2
x1
x2 2
4x1x2
.
即时训练 2:已知圆 C:x2+y2-8y+12=0,直线 l:ax+y+2a=0. (1)当 a 为何值时,直线 l 与圆 C 相切;
(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A,B 两点,且 AB=2 2 时,求直线 l 的方程. 解:将圆 C 的方程 x2+y2-8y+12=0 配方得标准方程为 x2+(y-4)2=4,则
此圆的圆心为(0,4),半径为 2.
(1)若直线 l 与圆 C 相切,则有 4 2a =2.解得 a=- 3 .
(2)过圆心 C 作 CD⊥AB,
a2 1
4
4 2a
CD
, a2 1
则根据题意,得
CD
2
DA 2
AC 2
22, 即 a=-7 或-1.
Fra Baidu bibliotekA
1
AB
2.
2
所以直线 l 的方程是 7x-y+14=0 和 x-y+2=0.
解:(1)因为点(1,1)在圆 C1:x2+y2=2 上,所以直线 l 的斜率 k=-1,
所以直线 l 的方程为 x+y-2=0. (2)由已知可设 C2(a,2a)(a>0),
因为圆 C2 过原点,所以 r2=5a2
圆 C2:(x-a)2+(y-2a)2=5a2
圆心 C2 到 l 之距 d= 3a 2 ,又弦长为 4 3 ,
2x 3x
y y
4 5
0, 0
得
x
y
1, 2,
所以圆心 C 为(-1,-2).
根据两点间的距离公式,得半径 r= 10 , 因此,所求的圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10. 法二 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
根据已知条件得
2 a2 (3 b)2 r2,
即时训练 3:求圆心在圆（x- 3 ）2+y2=2 上,且与 x 轴和直线 x=- 1 都相切的
2
2
圆的方程.
解:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
因为圆（x- 3 ）2+y2=2 在直线 x=- 1 的右侧,且所求的圆与 x 轴和直线
所以
12+
3a 22
2 =5a2,得
a=2
或
a=-14,
又
2 a≥0,所以 a=2,所以圆
C2
的方程为(x-2)2+(y-4)2=20.
规律方法 解决圆中弦长问题常用方法 (1)应用圆中直角三角形:半径 r,圆心到直线的距离 d,弦长 l 具有的
关系:r2=d2+（ l ）2.
2
(2)利用交点坐标:若直线与圆的交点坐标易求出,求出交点坐标后, 直接用两点间距离公式计算弦长. (3)利用弦长公式:设直线 l:y=kx+b,与圆的两交点(x1,y1),(x2,y2), 将直线方程代入圆的方程,消元后利用根与系数的关系得弦长
(2 a)2 (5 b)2 r2,
⇒
a b
1, 2,
3a b 5 0
r2 10,
所以所求圆 C 的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
规律方法 用待定系数法求圆的方程的一般步骤. (1)选择圆的方程的某一形式; (2)由题意得关于a,b,r(或D,E,F)的方程(组); (3)解出a,b,r(或D,E,F); (4)代入圆的方程.
即时训练1:已知直线l经过两点(2,1),(6,3). (1)求直线l的方程; (2)圆C的圆心在直线l上,并且与x轴相切于(2,0)点,求圆C的方程.
解:(1)由已知,直线 l 的斜率 k= 3 1 = 1 . 62 2
所以,直线 l 的方程为 x-2y=0. (2)因为圆 C 的圆心在直线 l 上,可设圆心坐标为(2a,a), 因为圆 C 与 x 轴相切于(2,0)点, 所以圆心在直线 x=2 上,所以 a=1. 所以圆心坐标为(2,1),半径为 1, 所以,圆 C 的方程为(x-2)2+(y-1)2=1.
4x
2y
11
0, ②
①-②得 3x-4y+6=0.
因为 A,B 两点坐标都满足此方程,
所以,3x-4y+6=0 即为两圆公共弦所在的直线方程.
易知圆 C1 的圆心 C1(-1,3),半径 r=3. 又 C1 到直线 3x-4y+6=0 的距离为
d= 1 3 4 3 6 = 9 .
32 42 5
解:(1)要使圆 C 的面积最小,则 AB 为圆 C 的直径.
圆心 C(0,-4),半径 r= 1 |AB|= 5 2
所以所求圆 C 的方程为 x2+(y+4)2=5.
(2)法一 因为 kAB= 1 ,AB 中点为(0,-4), 2
所以 AB 中垂线方程为 y+4=-2x,即 2x+y+4=0,
解方程组
三、圆与圆的位置关系
【典例3】 已知圆C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圆C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求两圆的公 共弦所在的直线方程及公共弦长.
解:设两圆交点为 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 A,B 两点坐标满足方程组
x2 y2 2x 6y 1 0,①
x2
y2