线性空间的定义与性质
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础角色。
本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。
具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属于该空间。
即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。
零向量表示线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表示线性空间中的向量存在一个加法逆元。
线性相关性指的是线性空间中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。
具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。
零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。
恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。
可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换密切相关，线性变换本质上是线性空间之间的映射，它将一个线性空间中的向量映射到另一个线性空间中。
线性变换保持了向量空间的线性结构，在线性代数中起到了重要的作用。
线性空间的定义与性质
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换线性空间和线性变换是线性代数中的重要概念，在数学和物理等领域有着广泛的应用。
本文将介绍线性空间和线性变换的概念、性质以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合，满足以下条件：1. 加法运算闭合性：对于任意两个向量u和v，它们的和u+v仍然属于该集合。
2. 加法交换律：对于任意两个向量u和v，有u+v = v+u。
3. 加法结合律：对于任意三个向量u、v和w，有(u+v)+w =u+(v+w)。
4. 存在零向量：存在一个特殊的向量0，使得对于任意向量v，有v+0 = v。
5. 对于任意向量v，存在其负向量-u，使得v+(-u) = 0。
6. 数乘运算闭合性：对于任意标量c和向量v，它们的乘积cv仍然属于该集合。
7. 数乘结合律：对于任意标量c和d以及向量v，有(c+d)v = cv+dv。
8. 数乘分配律1：对于任意标量c以及向量u和v，有c(u+v) =cu+cv。
9. 数乘分配律2：对于任意标量c和d以及向量v，有(cd)v = c(dv)。
线性空间的例子包括n维向量空间和函数空间等。
它们满足上述定义中的所有条件。
二、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个线性空间映射到另一个线性空间的映射，满足以下条件：1. 对于任意向量v和w以及标量c，线性变换T满足T(v+w) =T(v)+T(w)和T(cv) = cT(v)。
2. 线性变换T保持向量的线性组合关系，即对于任意向量v1、v2、...、vn和标量c1、c2、...、cn，有T(c1v1+c2v2+...+cnvn) =c1T(v1)+c2T(v2)+...+cnT(vn)。
3. 线性变换T将零向量映射为目标线性空间的零向量。
线性变换的例子包括平移、旋转和缩放等。
它们保持向量空间的线性结构和线性关系。
三、线性空间与线性变换的关系线性空间和线性变换之间存在着密切的联系。
给定一个线性空间V，定义一个线性变换T：V→W，其中W是另一个线性空间。
线性空间的定义与性质(精)
例2 数域F上m行n列矩阵组成的典例：
设 Mm×n = {A：数域 P 上 m× n 矩阵}，显然
A, B Mm ×n , k P AB Mm ×n ， kA Mm ×n ,
即 Mm×n 对矩阵加法和数乘运算封闭； 易验证 8 条算律亦成立 →
M m? n 对矩阵加法和数乘运算构成数域 P 上的向量空间.
引入减法运算: ( ) 3.
( )) ( ) ( ) ( ) .
( ) (( ) ) 0 .
要证 ( 1) ,即证 ( 1) 是 的负向量. 事实上
( 1) 1 (1) (1 1)) 0 0 → ( 1) 成立.
8)
□
k( ) ( k) k .(即证 k( ), ( k) 是 k 的负 常用表达式为：
（统称为运算封闭性） ，且满足算律： ① ② ③ ④
＋ ＋ ；
(＋ )＋ ＋( ＋ ) ；
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(ab)α a(bα) ；
1 ；
0 V , V , 0 ；
V , / V , / 0 ；
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质. 以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
算律 3) 证明： 设 0 1，0 2 是 V 中零向量
0 2＝0 2＋0 1＝0 1＋0 2＝0 1 . □
该性质是可以用 0 表示 V 中零向量的理论依据.
a( ) a a ； (a b) a b .
§7.1 线性空间的定义与性质
例1 在实数域 R 和 R 集合（正实数全体）
上定义运算 a b aba,b R
o a a R, R
验证 R 对上述定义的加法 与数乘 o 。
运算构成实数域上的线性空间。
解 对加法封闭：对任意的 a,b R ，有
a b ab R 对数乘封闭：对任意的 R, a R ，有 o a a R
⑦ o a a aa a a oa oa
⑧ oa b oab ab ab a b o a ob 经验证 R 所定义的运算构成了线性空间。
例2 设集合 V 为：与向量 0,0,1 不平行的全体
三维数组向量。定义两种运算为：数组向量的加 法和数乘运算。验证集合 V 是否为实数域 R 上 的线性空间。
说明 求差的运算称为减法运算。
定义3 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，若 W 对于 V 中定义的加法与数乘运算也构成一个 线性空间，称 W 是 V 的子空间。
对于子空间，有如下定理加以判别。
定理 设 W 是线性空间 V 的一个非空子集，则 W 是 V 的子空间充要条件是 W 对于 V 的加 法与数乘运算具有封闭性，即
下面再验证满足8条规律： ① a b ab ba b a
② a b c ab c abc abc a b c
③ R 存在零元素1，对 a R 有 a 1 a1 a ④ 对 a R ，有负元素 a1 R ，使
a a1 aa1 1
⑤ 1 a a1 a
⑥ o o a o a a a o a , R
证（6）由 0 0 得
0 0 ，根据加法消去律有 0 0 证（8）若 0 ，据性质（5）可知 0 ；
若 0 ，则 1 存在，有 1 10 ，故
1 1 0 ，证毕
§6-2线性空间的定义和性质(精)
§6-2线性空间的定义和性质一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：① α+β=β+α；② α+（β+γ）=（α+β）+γ；③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：⑤αα=∙1;⑥()()ααkl l k =;⑦()αααl k l k +=+;⑧()βαβαk k k +=+;满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。
例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。
如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。
例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。
例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。
)()()(x af x g x f +例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：V b a ab b a ∈=⊕,,定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为p R v a a a k k ∈∈=,,下面验证V 对于这两种运算满足定义中的八条规则：1 a b ba ab b a ⊕===⊕；2 )()()()(c b a c ab c ab c b a ⊕⊕==⊕=⊕⊕；3 a a a =⋅=⊕11；4 a 的负元素是a -1, 111==⊕--aa a a ;5 a lk a a k a l k lk l ===)(;6 )()()(a l a k a a a a l k l k l k ⊕=⊕==++;7 k k k k k k b a b a ab b a b a k ⊕===⊕=⊕)()()(=)()(b k a k ⊕;8 a a a ='= 1;所以V 是实数域上的向量空间。
线性空间的定义与性质
对p(x)=a0+a1x+···+anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+···+anxn) = 0+0x+···+0xn = 0
所以Q[x]n对线性运算不封闭.
例4: 正弦函数的集合
S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR}
封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加 法和数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn中的向量(元素)是mn矩阵.
例2: 次数不超过n的多项式的全体记作 P[x]n, 即
P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0,
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算
下面验证八条线性运算
规律:
对任意(1a),ab,b c=Ra+,bk=, blaR,= ba ; (2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ; (3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有 aa–1= a a–1 =1; (5) 1a = a1 = a ; (6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a;
=a0+a1x+···+anPx[n x]n,
所以P[x]n对线性运算封闭. 例3: 次数等于n 的多项式的全体记作Q[x]n,
即
Q[x]n={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0, a1, ···, anR, an 0 }
线性空间与线性变换解析
线性空间与线性变换解析线性空间和线性变换是线性代数中重要的概念。
线性空间是指具备了特定性质的向量集合，而线性变换是将一个向量空间映射到另一个向量空间的映射关系。
通过分析线性空间与线性变换的特点和性质，可以深入理解线性代数的基本概念与应用。
一、线性空间的定义与性质1.1 线性空间的定义线性空间，也称为向量空间，是指一个非空集合V及其上的两种运算：加法和标量乘法，满足以下八个条件：（1）加法交换律：对于任意的u和v，u+v=v+u；（2）加法结合律：对于任意的u、v和w，(u+v)+w = u+(v+w)；（3）零向量存在：存在一个向量0，使得对于任意的u，u+0=u；（4）负向量存在：对于任意的u，存在一个向量-v，使得u+(-v)=0；（5）标量乘法结合律：对于任意的标量a和b，以及向量u，(ab)u=a(bu)；（6）分配律1：对于任意的标量a和向量u、v，a(u+v)=au+av；（7）分配律2：对于任意的标量a和b，以及向量u，(a+b)u=au+bu；（8）单位元存在：对于任意的向量u，1u=u。
1.2 线性空间的基本性质（1）线性空间中的向量可以进行加法和标量乘法运算；（2）线性空间中的向量满足向量加法的封闭性和标量乘法的封闭性；（3）线性空间中的向量满足加法交换律、加法结合律和分配律；（4）线性空间中存在唯一的零向量和负向量；（5）线性空间中存在多个基向量，它们可以线性组合得到任意向量；（6）线性空间中的向量存在唯一的零向量和唯一的负向量。
二、线性变换的定义与性质2.1 线性变换的定义线性变换，也称为线性映射，是指将一个向量空间V映射为另一个向量空间W的一种映射关系。
若对于任意的向量u和v，以及任意的标量a和b，满足以下两个条件，则称该映射关系为线性变换：（1）保持加法运算：T(u+v) = T(u) + T(v)；（2）保持标量乘法：T(au) = aT(u)。
2.2 线性变换的基本性质（1）线性变换保持零向量：T(0) = 0；（2）线性变换保持向量的加法和标量乘法运算；（3）线性变换保持向量的线性组合关系；（4）线性变换将线性无关向量映射为线性无关向量；（5）线性变换的核和像是向量空间。
线性空间的定义与简单性质
5 5
a 1 a1 a, a ③ 1 R＋， R＋，即1是零元；
④ a
1 ＋ R ， a R＋，且 a
第六章 线性空间
⑤ 1 a a a ; a R＋；
与 的和，记为 ；在P与V的元素之间还
定义了一种运算，叫做数量乘法：即 V , k P , 在V中都存在唯一的一个元素δ与它们对应，称δ为
k与 的数量乘积，记为
法还满足下述规则，则称V为数域P上的线性空间：
© 2009, Henan Polytechnic University §2 线性空间的定义与简单性质
⑦k ( l ) ( kl )
, , P n , k , l P
© 2009, Henan Polytechnic University §2 线性空间的定义与简单性质
3 3
第六章 线性空间
例2
数域P上的一元多项式环P[x]中，定义了
两个多项式的加法和数与多项式的乘法，而且 这两种运算同样满足上述这些重要的规律，即 ①f ( x ) g( x ) g( x ) f ( x ) ②( f ( x ) g( x )) h( x ) f ( x ) ( g( x ) h( x )) ③f ( x) 0 f ( x) ⑤ 1 f ( x) f ( x) ④ f ( x ) ( f ( x )) 0 ⑥ k (lf ( x )) (kl ) f ( x ) ⑧k( f ( x) g( x)) kf ( x) kg( x)
⑦ (k l ) f ( x ) kf ( x ) lf ( x )
线性空间中的基本定义及性质
线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。
它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。
本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。
一、线性空间的基本定义线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。
具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。
若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有u+0=u；4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+α)u=αu+αu；7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。
在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。
二、线性空间的性质线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。
以下是几个典型的例子：1. 零向量唯一性：线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。
2. 相反元素唯一性：线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。
3. 线性组合性质：设{u1,u2,...,un}为V中的向量。
{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。
其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。
4. 子空间的定义：设V为一个线性空间，如果它的子集W满足：（1）对于任意向量u,v∈W，u+v∈W；（2）对于任意α∈R，u∈W，有αu∈W；则称W是V的一个子空间。
5. 线性无关性：设V为一个线性空间，{u1,u2,...,un}为其中的向量。
线性空间的原理
线性空间的原理线性空间是数学中非常重要的概念，它是一种允许进行向量加法和标量乘法的集合。
线性空间广泛应用于数学、物理、工程等领域，是研究向量和线性运算的理论基础。
本文将围绕线性空间的定义、性质和应用展开详细的阐述。
线性空间的定义：线性空间，也称为向量空间，是一种满足特定条件的集合。
对于一个非空集合V，若其中定义了两种运算：向量的加法和标量的乘法，且满足以下八条性质，那么V就是一个线性空间。
1.加法封闭性：对于V中的任意两个向量u和v，它们的和u+v也属于V。
2.加法交换律：对于V中的任意两个向量u和v，满足u+v=v+u。
3.加法结合律：对于V中的任意三个向量u、v和w，满足(u+v)+w = u+(v+w)。
4.零向量存在性：存在一个元素0∈V，使得对于V中的任意向量u，满足u+0=u。
5.加法逆元存在性：对于V中的任意向量u，存在一个元素-u∈V，使得u+(-u)=0。
6.标量乘法封闭性：对于V中的任意标量α和任意向量u，它们的乘积αu属于V。
7.分配律1：对于V中的任意标量α和β以及任意向量u，满足(α+β)u=αu+βu。
8.分配律2：对于V中的任意标量α和β以及任意向量u，满足α(u+v)=αu+αv。
线性空间的性质：线性空间具有一系列重要的性质，这些性质是对其定义中所列条件的进一步推演和说明。
1.线性空间的零向量唯一：对于一个线性空间V，其零向量是唯一的，即不存在不同的零向量。
2.零向量的加法逆元唯一：对于一个线性空间V以及其中的一个向量u，其加法逆元-u是唯一的，即不存在不同的加法逆元。
3.标量乘法的单位元：对于一个线性空间V，乘以标量1的结果是原向量本身，即1u=u。
4.标量乘法的分配律：对于一个线性空间V以及其中的两个标量α和β，乘法分配律表示为(α+β)u=αu+βu和α(u+v)=αu+αv。
5.标量乘法的结合律：对于一个线性空间V以及其中的两个标量α和β，乘法结合律表示为(αβ)u=α(βu)。
线性空间与子空间
线性空间与子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有线性运算和封闭性的向量集合。
在线性空间中，有一个与之相关的概念，那就是子空间。
子空间是线性空间的一个非空子集，且在同样的线性运算下也构成了一个线性空间。
本文将重点讨论线性空间和子空间的相关概念以及它们之间的关系。
一、线性空间的定义与性质线性空间可以定义为一个非空集合V，上面定义了两种运算：“加法”和“数乘”。
具体而言，对于V中的任意两个元素u和v，其和u+v也属于V，并且对于任意的α∈R（实数域）或C（复数域），定义了数乘运算，即αu也属于V。
这样的集合V称为线性空间，也称为向量空间。
对于线性空间V，具有以下性质：1. 零向量：存在一个元素0∈V，对于V中的任意元素v，有0+v=v+0=v。
2. 加法逆元：对于V中任意的元素v，存在一个元素-v∈V，使得v+(-v)=-v+v=0。
3. 数乘分配律：对于α，β∈R（或C）和v∈V，有(α+β)v=αv+βv，α(βv)=(αβ)v。
4. 数乘结合律：对于α∈R（或C）和u，v∈V，有α(u+v)=αu+αv，(α+β)v=αv+βv。
二、子空间的定义与判定条件在线性空间V中，如果非空集合W满足以下条件，则W称为V的一个子空间：1. 零向量：零向量0∈W。
2. 加法封闭性：对于W中任意的元素u和v，有u+v∈W。
3. 数乘封闭性：对于W中任意的元素u和任意的α∈R（或C），有αu∈W。
判定一个集合是否为线性空间V的子空间，可以应用以下方法：1. 非空性：判断该集合是否为空集，如果为空集，则不是V的子空间。
2. 加法封闭性：取集合中的任意两个元素，进行加法运算，看结果是否属于该集合。
3. 数乘封闭性：取集合中的一个元素，进行数乘运算，看结果是否属于该集合。
三、线性空间与子空间的关系子空间是线性空间的一个重要概念，它可以理解为线性空间的一个子集，且在同样的线性运算下也成为了一个线性空间。
子空间与线性空间之间有以下关系：1. 子空间是线性空间的一个子集，即子空间的元素也是线性空间的元素。
线性空间的定义与简单性质
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ；
2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
7 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.
例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
八条规则其中前四条是加法的运算律这时称v对加法做成一个加群第五六条是数量乘法算律后两条是分配律表示两种运算之间的联系
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
2 §6.2 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
线性空间和其基础性质的定义及应用
线性空间和其基础性质的定义及应用线性代数是一门数学分支学科，主要研究向量空间及其上的运算。
线性空间的概念是线性代数的基础，而许多重要的数学分支学科，如微积分、偏微分方程和量子力学都是基于线性空间理论的。
本文将对线性空间及其基础性质的定义进行阐释，并探讨线性空间在不同领域中的应用。
一、线性空间的定义线性空间是一个向量空间，其基本性质是空间中的所有元素均具有标量乘法（scalar multiplication）和向量加法（vector addition）两种基本运算：1. 标量乘法：对于任何标量（即实数或复数）α和向量v，有唯一一个向量αv，2. 向量加法：对于任何两个向量u和v，有唯一一个向量u+v，3. 满足以下八条性质：（1）线性空间中的任意向量u和v都有一个和，称为它们的和u + v。
（2）+ 运算满足交换律，即 u + v = v + u（3）+ 运算满足结合律，即 (u + v) + w = u + (v + w)（4）存在零向量，即 u + 0 = u,对于所有的向量u;（5）对于每个向量u，存在一个与u相反的向量—u，使得 u + (-u)=0;（6）标量乘法满足结合律, 即α(βv) = (αβ)v。
（7）标量乘法对向量加法的分配律，即α(u+v)= αu + αv。
（8）标量乘法对标量加法的分配律，即(α + β)v= αv+ βv。
（其他一些基本术语）向量的线性组合 ( linear combination) 是指对向量进行加权求和v = c1 v1 + c2 v2 + ... + cn vn ,其中 ci 是标量。
向量空间的维数是指向量集合中，所需最小基的数量，记作dim(V)。
二、线性空间的应用线性空间是许多数学分支学科的基础，在多个应用场景中都有广泛的应用。
以下是一些典型的应用案例。
1. 物理学中的线性空间：量子力学中有一个重要的概念是哈密顿算符（Hartniltonian Operator），它是线性空间中的一个算子，用于对系统的总能量进行量化。
线性空间的定义和性质
又由于02也是零元素，由定义又应有
从而
01 02 01
01 01 02 02
这证明了零元素的唯一性；
(2) 设αV,β与γ都是 α的负元素，则
0 , 0 这样有
0 ( ) ( ) 0
从而α的负元素是唯一的；
(3) 因为
0 1 0 (1 0) 1
(1) ；
(2) ( ) ( ) ；
(3) V中存在元素0，使对任意αβ有
0 ；
(4) 对于V中任意α，存在V中元素β使
得
0；
(5) 1α=α ；
(6) k(l) (kl) ；
(7) (k l)α kα lα ；
(8) k( ) k k .
§7.1 线性空间的定义和性质 7.1.1 线性空间的定义 7.1.2 线性空间的初步性质
7.1.1 线性空间的定义 线性空间是本章遇到的第一个抽象概
念.前面遇到过的n维向量、n阶矩阵等都是 一些具体的对象. 为了引出线性空间的一 般概念，我们先仔细观察一下这两个具体
对象. 例7.1.1 实数域上n维向量全体作成
2 2 Q，从而在Q中用实数去进行的
数乘运算不是封闭的.
从这些例子可以知道，线性空间可以 在各种不同的集合上对于各种不同的
加法、数乘运算来定义，只要这个集合上 定义的加法、数乘运算满足封闭性及八条 算律，就可成P上的线性空间V，一般用
例7.1.5 全体有理数所成集合Q，按通 常有理数的加法和有理数对有理数的乘法， 构成一个有理数域上的线性空间. 注意
这个线性空间V及它所属的数域P是同一个 集合. 一般地，任何一个数域P都是P自身 上的线性空间. 但Q不构成实数域R上的线 性空间，因为用一个实数与Q中元素进行 数乘的结果未必是Q中的元素，如
线性空间与子空间
线性空间与子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指具有加法和数乘运算的集合，并且满足一定的性质。
而子空间则是线性空间中的一个子集，该子集也是一个线性空间，并且具有与原线性空间相同的运算。
本文将详细介绍线性空间的定义和性质，以及子空间在其中的作用。
一、线性空间的定义线性空间是指具有加法运算和数乘运算的集合V，满足以下性质：1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v∈V，并且满足交换律和结合律；2. 数乘运算：对于任意的k∈R（实数域）或C（复数域）和v∈V，有kv∈V，并且满足分配律和结合律；3. 存在零向量0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v；4. 对于任意的v∈V，存在其相反元素-v∈V，使得v+(-v)=0。
二、线性空间的性质线性空间具有以下性质：1. 零向量唯一性：线性空间中的零向量是唯一的；2. 相反元素唯一性：对于线性空间中的任意元素v，其相反元素-v是唯一的；3. 零乘运算：对于线性空间中的任意元素v，有0v=0；4. 数乘一致性：对于线性空间中的任意元素k和v，有k(v+w)=kv+kw；5. 加法一致性：对于线性空间中的任意元素k和v，有(k+m)v=kv+mv；6. 数乘结合性：对于线性空间中的任意元素k和l以及v，有(kl)v=k(lv)；7. 数乘单位元：对于线性空间中的任意元素v，有1v=v。
三、子空间的定义与性质子空间是指线性空间V的一个子集U，该子集也满足以下性质：1. 零向量：子空间U必须包含线性空间V的零向量；2. 封闭性：对于任意的u、v∈U和k∈R或C，有u+v∈U和ku∈U。
子空间是线性空间的重要组成部分，它拥有与原线性空间相同的运算，在研究线性空间的结构和性质时，子空间起着重要的作用。
四、线性空间与子空间的应用线性空间和子空间在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在工程学中，许多物理量和现象可以通过线性空间的表示和运算来描述，如电力系统中的向量分析、力学中的矩阵运算等。
线性空间与子空间的定义与性质
线性空间与子空间的定义与性质线性空间是线性代数中的基本概念之一，它是由一组元素及其对应的运算所构成的数学结构。
本文将介绍线性空间的定义和性质，并讨论其子空间的特点。
一、线性空间的定义线性空间也称为向量空间，它由定义在一个域上的元素所组成，这些元素称为向量。
一个线性空间必须满足以下条件：1. 封闭性：对于任意向量a和b，其线性组合a+b也是线性空间中的向量。
2. 可加性：对于任意向量a、b和c，满足(a+b)+c = a+(b+c)的结合律。
3. 零向量：存在一个零向量0，使得对于任意向量a，有a+0=a。
4. 负向量：对于每个向量a，存在一个负向量-b，使得a+b=0。
5. 数乘性：对于任意向量a和标量k，其标量倍数ka也是线性空间中的向量。
6. 数乘分法：对于任意标量k和l，以及向量a，满足(kl)a=k(la)的结合律。
7. 数乘加法混合性：对于任意向量a和标量k、l，满足(k+l)a=ka+la 的分配律。
8. 数加分法混合性：对于任意向量a、b和标量k，满足k(a+b)=ka+kb的分配律。
二、线性子空间的定义线性子空间是指线性空间中的一个子集，它也是一个线性空间。
对于给定的线性空间V，如果集合W是V的子集，并且满足以下条件：1. 零向量：零向量0属于W。
2. 封闭性：对于任意向量a和b，若a和b都属于W，则其线性组合a+b也属于W。
3. 数乘性：对于任意向量a和标量k，若a属于W，则其标量倍数ka也属于W。
三、子空间的性质线性子空间具有如下性质：1. 非空性：线性子空间不能是空集。
2. 零向量唯一性：线性子空间中的零向量是唯一的。
3. 维数性质：设V是一个线性空间，W是V的一个有限维子空间，如果W的一组基包含n个向量，则W的任意一组线性无关的向量组也包含不超过n个向量。
4. 直和性质：设V是一个线性空间，W是V的一个子空间。
如果存在一个子空间U，使得V是U和W的直和，即任意向量v∈V都可以唯一地表示成v=u+w，其中u∈U，w∈W，则称V是子空间U和W 的直和。
线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说
第一讲线性空间一、线性空间的定义及性质[知识预备]★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式集合的运算：并（），交（）另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。
比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。
实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：设V是一个非空集合，其元素用zx,,等表示；K是一个数域，y其元素用m,等表示。
如果V满足[如下8条性质，分两类]:k,l（I）在V中定义一个“加法”运算，即当Vx∈，时，有唯一的和y+（封闭性），且加法运算满足下列性质:x∈yV（1）结合律z=+)()(；+y+zxyx+（2）交换律x+；=yyx+（3）零元律存在零元素O，使x+；x=O（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。
则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：1）线性空间是基于一定数域来的。
同一个集合，对于不同数域，就可能构成不同的线性空间，甚至对有的数域能构成线性空间，而对其他数域不能构成线性空间。
2）两种运算、八条性质。
数域K 中的运算是具体的四则运算，而V 中所定义的加法运算和数乘运算则是抽象的、形式的。
3）除了两种运算和八条性质外，还应注意唯一性、封闭性是否满足。
线性空间的定义与性质
(2)因 0 0
0 0
0
0
W2
,
即W2非空.
对任意
A a1 0
b1 0
0 , B a2
c1
0
b2 0
0 c2
W2
有 a1 b1 c1 0, a2 b2 c2 0,
于是
A B a1 a2 b1 b2
0
0
0 c1 c2
满足
a1 a2 b1 b2 c1 c2 0,
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间，L是 V的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V的子空间．
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L对于 V 中的线性运算封闭．
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
( x1,, xn )T 0,,0
不构成线性空间． S n 对运算封闭.
但1 x o, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是 线性空间.
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
(1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c); (3) R中存在零元素1,对任何a R ,有
a 1 a 1 a; (4) a R ,有负元素a1 R ,使
a a1 a a1 1;
(5) 1 a a1 a;
例8 R23的下列子集是否构成子空间?为什么?
线性空间和子空间
线性空间和子空间线性空间是线性代数中的重要概念，它是指一个集合，在这个集合中定义了向量的相加和数乘两种运算，并且满足了一系列的性质。
而子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间中的一个子集，同时也是一个线性空间。
一、线性空间的定义和性质线性空间是指一个空间，其中的元素可以进行向量的相加和数与向量的乘法运算。
它的定义如下：定义：设V是一个非空集合，如果在V中定义了两种运算：向量的相加和数与向量的乘法，使得V满足以下性质：1. 向量加法运算：对于任意的u、v∈V，有u+v也属于V，并且满足交换律，即u+v=v+u。
2. 数与向量的乘法：对于任意的k∈R（实数域）和v∈V，有kv 也属于V，并且满足分配律，即k(u+v)=ku+kv。
3. 存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对于任意的v∈V，有v+0=v。
4. 对于任意的v∈V，存在一个元素w∈V，使得v+w=0。
根据以上的定义，线性空间V满足了一系列的性质，如交换律、结合律、分配律等。
在实际应用中，线性空间可以是多维的，例如欧几里得空间、函数空间、向量空间等。
二、子空间的定义和判定子空间是线性空间的一个重要概念，它是指线性空间V的一个子集U，同时也是一个线性空间。
子空间的定义如下：定义：设V是一个线性空间，U是V的一个子集。
如果U本身也是一个线性空间，那么U称为V的子空间。
判定一个集合是否是线性空间的子空间，可以通过以下三个步骤进行：1. 非空性：子空间U必须是非空的，即U中必须至少有一个元素。
2. 加法封闭性：对于任意的u、v∈U，必须有u+v∈U，即子空间U在向量的相加运算下封闭。
3. 数乘封闭性：对于任意的k∈R（实数域）和u∈U，必须有ku∈U，即子空间U在数与向量的乘法运算下封闭。
通过以上的判定方法，可以得出一个集合是否是线性空间的子空间。
三、子空间的例子1. 平面空间：设V是三维向量空间，平面P是其中一个过原点的平面。
则平面P是V的一个子空间。
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由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2) = (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx) = (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx
= Asin(x+B)S[x],
说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运 算统称为线性运算.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组.
说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间.
线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算 满足线性运算规律. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn, q(x)=b0n, R,
p(x)+q(x) = (a0+a1x+···+anxn)+(b0+b1x+···+bnxn ) = (a0+b0)+(a1+b1)x+···+(an+bn)xnP[x]n,
例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为:
ab = ab, a = a, (R, a, bR+)
验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间.
证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+,
所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR,
p(x) = (a0+a1x+···+anxn) =a0+a1x+···+anxnP[x]n,
所以P[x]n对线性运算封闭. 例3: 次数等于n 的多项式的全体记作Q[x]n, 即 Q[x]n={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0, a1, ···, anR, an 0 } 对于通常的多项式加法, 数乘不构成向量空间.
§6.1 线性空间的定义与性质
线性空间是线性代数最基本的概念之一, 也是一 个抽象的概念, 它是向量空间概念的推广.
线性空间是为了解决实际问题而引入的, 它是某 一类事物从量的方面的一个抽象, 即把实际问题看作 向量空间, 进而通过研究向量空间来解决实际问题.
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于
(1) ab = a b = b a = ba ; (2) (ab)c = (a b)c = (a b)c
= a(b c) = a(b c) =a(bc) ; (3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有
aa–1= a a–1 =1; (5) 1a = a1 = a ; (6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a;
对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘:
(x1, x2, ···, xn)T = (0, 0, ···, 0)T
不构成线性空间. 显然, Sn对运算封闭. 但1x = 0 x, 故不满足第(5)条运算规律.
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1)S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间.
(2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律.
(7) k(ab) = k(a b) = (a b)k = ak bk
= akbk = kakb; (8) (k+l)a = ak+l = ak al = ak al = ka l a . 所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
例7: n元实有序数组组成的全体 Sn={ x=(x1, x2,···, xn)T| x1, x2,···, xnR }
例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵.
例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+···+anxn | a0, a1, ···, anR } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ;
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运 算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn Q[x]n, 0R,
0 p(x)=0(a0+a1x+···+anxn) = 0+0x+···+0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合
S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间.